江西省萍乡市数学高三文数第二次联考试卷
江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学(文)试题及参考答案
江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,3,4,5,6,8120A B xx x ==-+>∣，则()RA B ⋂=（ ）A.{}2,3,4,5B.{}2,3,4,5,6C.{}3,4,5D.{}3,4,5,62.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()()23i i (z a =++其中)a R ∈为“等部复数”，则复数i z a +在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“x y >”的一个充分条件可以是（ ） A.12x ye-> B.44x y > C.1xy> D.22xt yt > 4.已知两个非零向量,a b 满足(2)a a b ⊥-，且3a b a b+=-，则,a b 的夹角为（ ）A.3π B.2π C.23π D.4π5.在区间()1,5-与()1,5内各随机取1个整数，设两数之和为M ，则2log 2M >成立的概率为（ ） A.35 B.58 C.815 D.7156.函数()3sin x x f x x x+=-的大致图象为（ ）A. B.C. D.7.作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题.为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%.则下列说法中，正确的是（ ） A.0.0018a =B.若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C.根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为310D.这100份花费费用的中位数是4200元8.过双曲线222x y -=上任意一点(),P x y 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形OAPB 的面积为（ ） A.12B.1C.2D.4 9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比51t -=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin1822427sin 27t t --的值为（ ）A.-4B.4C.-2D.210.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()1112,33nn n n nna S S S S++=-=+，则2023S =（ ） A.202331- B.202331+ C.2023312+ D.2022312+ 11.若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段BA 上，3BA BE =，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）A.83π B.2π C.43π D.π12.已知函数()222ln 1xx ax f x e x++=-，当()0,x ∞∈+时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],1∞-B.(2,1e ∞⎤--⎦ C.(],e ∞- D.(],2∞-二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若前n 项和为n S 的等差数列{}n a 满足712812a a a +=-，则17S =__________.14.已知变量x y ､满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则32x y +的最大值__________.15.已知圆221:1O x y +=，圆222:(2)4O x y -+=.请写出一条与两圆都相切的直线方程：__________.16.函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()33y f x =+为偶函数，()32y g x =++为奇函数，对x ∀∈R ，均有()()21f x g x x +=+，则()()77f g =__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为x （千元），带动的销量为y （千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.y10 12 13 18 19 21 24 27（1）根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程.（2）（i ）若该省A 城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？（ii ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A 城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：()()()()()()()11222111ˆˆˆ,,nniiiii i nnni iii i i x x y y x x y y r ba y bx x x x x y y =====----===----∑∑∑∑∑.参考数据：()()()8821169,20i i i i i x x y y x x ==--=-=∑∑.18.（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知222sin sin cos cos sin 2A B A B C +++=（1）求角C ； （2）若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 面积的取值范围.19.（12分）如图所示，圆锥的高3PO =，底面圆O 的半径为1，延长直径AB 到点C ，使得1BC =，分别过点,A C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E ，点D 是切线CE 与圆O 的切点.（1）证明：平面PDE ⊥平面POD ； （2）点E 到平面PAD 的距离为1d ，求1d 的值. 20.（12分）已知函数()313f x ax x =+，函数()2sin x g x e x x =-+. （1）求函数()g x 的单调区间；（2）记()()()F x g x f x =-'，对任意的()0,0x F x ≥≥恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）已知椭圆方程：22221(0)x y a b a b +=>>，其离心率为22e =，且,P Q 分别是其左顶点和上顶点，坐标原点O 到直线PQ 的距离为233. （1）求该椭圆的方程；（2）已知直线:2l y kx =+交椭圆于,A B 两点，双曲线：22142x y -=的右顶点,E EA 与EB交双曲线左支于,C D 两点，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出定值.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂､多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程下图所示形如花瓣的曲线G 称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2sin2ρθ=.（1）若射线:6l πθ=与G 相交于异于极点O 的点P ，求OP ；（2）若,A B 为G 上的两点，且23AOB π∠=，求AOB 面积S 的最大值. 23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()322f x x x x =+---. （1）求()f x 的最小值m ；（2）若,a b 为正实数，且20a b m ++=，证明不等式22111a b b a +≥++.江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）参考答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.68 14.5 15.20(x +=或20)x += 16.61616.由函数()33f x +为偶函数，则()()3333f x f x +=-，即函数()f x 关于直线3x =对称，故()()6f x f x =-；由函数()32g x ++为奇函数，则()()3232g x g x ++=--+-，整理可得()()334g x g x ++-+=-，即函数()g x 关于()3,2-对称，故()()46g x g x =---；由()()21f x g x x +=+，则，可得()()266(6)1f x g x x -+-=-+，得()()24(6)1f x g x x +-=-+故()()()()2214(6)1f xg x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨--=-+⎪⎩，解得()()2621,620f x x x g x x =-+=-， ()()772822616f g =⨯=.故答案为：616.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答.17.（1）3345566810121318192124275,1888x y ++++++++++++++====.经计算可得()()()8182169ˆˆˆ3.45,18 3.4550.7520iii i i x x y y bay bx x x ==--====-=-⨯=-∑∑. 所以所求线性回归方程为ˆ 3.450.75yx =+. （2）（i ）当10x =时，ˆ 3.45100.7535.25y=⨯+=，所以预计能带动的消费达3.525万辆.（ii ）因为3035.2510%35.25->，所以发放的该轮消费补贴助力消费复苏不是理想的.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A 城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A 城市人口数量有限､商品价格水平､消费者偏好､消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.年轻人开始更加注重出行的舒适性和环保性，而传统燃油车的排放和能耗等问题也逐渐成为了消费者们考虑的重点.（只要写出一个原因即可）. 18.（1）因为222sin sin cos cos sin 2A B A B C +++= 所以()()2222sin sin sin 1sin 1sin C A B A B -=+-+-可得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理可得：222a b c ab +-=.由余弦定理知，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===因为()0,C π∈，所以3C π=（2），由（1）知，3C π=所以23A B π+=又ABC 是锐角三角形， 可得02B π<<且2032B ππ<-<解得62B ππ<< 由正弦定理知：sin sin b c B C =又2b =可得sin sin b C c B ⋅==所以2sin 11233sin 2sin 223sin 2tan ABCB Sbc A B B B ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==⨯-== ⎪⎝⎭因为62B ππ<<所以tan B >ABCS<<故ABC面积的取值范围为⎝.19.（1）由题设，PO ⊥平面,ABD D 又是切线CE 与圆O 的切点，CE ∴⊂平面ABD ，则PO CE ⊥，且OD CE ⊥，又,,PO OD O PO OD ⋂=⊂平面,POD CE ∴⊥平面POD ， 又CE ⊂平面PDE ，所以平面PDE ⊥平面POD . （2）,30,OD CE CD OCD AE CE ∠⊥∴==∴==1111111333332P ADE ADE E PAD PAD V S PO V S d d --=⋅===⋅=⋅113d ∴=20.（1）()2sin xg x e x x =-+则()'2cos xg x e x =-+且()00g =，令()()()()()(),'sin ,0,,'sin 1sin 0,x x x g x x e x x x e x x x ϕϕ∞ϕϕ'==-∈+=->-≥在()0,∞+上单调递增，所以()()()00x g x g ϕ''=>=，所以()g x 的单调递增区间为()0,∞+，()(),0,'2cos cos 10x x g x e x x ∞∈-=-+<-≤，所以()g x 的单调递减区间为(),0∞-.（2）()()()22sin 1xF x g x f x e x x x =-'=-+--，且()00F =，()[)cos 22,0,,x F x e x ax x ∞='+--∈+令()()()','sin 2,x G x F x G x e x a ==--令()()()','cos 1cos 0xH x G x H x e x x ==-≥-≥，所以()'G x 在[)0,+∞上单调递增， ①若()()1,''01202a G x G a ≤≥=-≥， 所以()'F x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()'00F x F '≥=， 所以()()00F x F ≥=恒成立. ②若()1,'01202a G a >=-< ()()()'ln 222sin 220G a a +=-+>，所以存在()()00,ln 22x a ∈+，使()0'0G x =，故存在()00,x x ∈，使得()0G x '<，此时()G x 单调递减，即()F x '在()00,x 上单调递减， 所以()()00F x F ''=，故()F x 在()00,x 上单调递减， 所以此时()()00F x F =，不合题意.综上，12a.21.（1）由已知可知：()(),0,0,P a Q b -，所以PQ =POQ 中，等面积可得：1122ab =2,a b ==所以该椭圆方程为22142x y +=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 由()2,0E 可设直线AE 方程：1122x x y y -=+直线BE 方程：2222x x y y -=+ 将直线AE 与双曲线22142x y -=联立可得：()2212111211424420x x x y y y y y --+-+=. 又因为2211142x y -=代入上式中可得：()()111221122420x x x y y y y --+= 解得：1312y y x =-代入直线AE 方程：314x x =所以C 点坐标为11124,y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理可得D 点坐标为：22224,y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以直线CD 的斜率()()2112122112121212222222441444444CD kx kx y y x x x x x x k x x x x x x ⎛⎫++-----+ ⎪⎝⎭====----.所以直线CD 的斜率为定值该定值为-122.（1）62sin2πϕρρθ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩（2）设()[)2,,0,23A B A B πρθρθθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 2sin2A ρθ= 42sin 23B πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭12sin 23AOBA B Sπρρ=⋅⋅142sin22sin 223πθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1sin2sin2cos222θθθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭11sin 4264πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当462ππθ-=时即6πθ=时AOBS23.（1）()min 1102101()251313x x x f x f x x x x =-<⎧⎪+≤≤⎪=∴⎨-+≤<⎪⎪-≥⎩（2）由（1）可知2a b +=()()()()222222221111111211144114a ab b a b a b a b ab a b b a b a ⎡⎤++⎛⎫++++=+++≥++=⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦或由柯西不等式114≥=当且仅当1a b ==时取等号.。
部编版江西省萍乡市高三下学期4月第二次模拟考试(二模)数学(文)试卷
准考证号 姓名绝密★启用前 （在此卷上答题无效）萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，{}2,5,6N =，则图中阴影部分表示的集合是A.{}1 B. {}1,4 C. {}5,6 D. {}1,2,4,5,6（2）已知复数满足()1234i z i -=+(i 为虚数单位)，则z=A.2B. 5C.52D. 5 （3）下列函数中,在()0,+∞上单调递增的是A. 21y x =-+B.1y x =- C. 3y x = D. 2x y -=（4）已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为120︒，则|3|a b +=A. 7B. 7C. 13D. 13 （5）已知tan 2α=-，则2sin 2cos αα+的值为A. 45B. 45- C. 35 D. 35-（6）2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据(单位:棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确．．．的是A. 各班植树的棵数不是逐班增加的B. 4班植树的棵数低于11个班的平均值C. 各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D. 1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳（7）函数1sin 2y x =-的图像沿轴向右平移个单位(0a >)，所得图像关于y 轴对称，则的最小值为A. πB. 34πC. 2πD. 4π（8）执行如图所示的程序框图，则输出的y 值为A.201812 B.201912 C.202012 D.202112（9）已知抛物线()220:yp C x p =>，以()2,0M -为圆心，半径为5的圆与抛物线C 交于,A B 两点，若8AB =，则p =A. 4B. 8C. 10D. 16（10）已知球O 夹在一个二面角l αβ--之间，与两个半平面分别相切于点,A B .若2AB =，球心O 到该二面角的棱l 的距离为2，则球O 的表面积为A. 8πB. 6πC. 4πD. 2π（11）2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R 的相交大圆，分别内含一个半径为的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知21R r =+（），则在两个大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为图1 图2A.121ππ-+ B. 232ππ-+ C. 343ππ-+ D. 454ππ-+ （12）若22x t e lnx t +≥-对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是A. 1(,]e -∞B. 1(,]2-∞C. 1+2⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭， D. (,]e -∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分． （13）在平面直角坐标系中，直线3430x y ++=被圆()()22214x y -++=截得的弦长为 .（14）函数1y x =在点1(2,)2处的切线与直线10ax y ++=垂直，则实数的值为 . （15）在ABC ∆中，58,60a c B ==︒，其内切圆半径为3，则其外接圆半径为 .（16）在ABC ∆中，tan :tan 1:3B C =，以,B C 为焦点的双曲线的一支经过顶点A ，另一支交线段AB 于点M ，BMMA λ=，e 为双曲线的离心率. 设2BC c =，当()2,3e ∈时，λ的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）某中学高三共男生800人，女生1200人.现学校某兴趣小组为研究学生日均消费水平是否与性别有关，采用分层抽样的方式从高三年级抽取男女生若干人.记录其日均消费，得到如图所示男生日均消费的茎叶图和女生日均消费的频率分布直方图.将所抽取女生的日均消费分为以下五组：(](](](](]15,20,20,25,25,30,30,35,35,40，规定日均消费不超过25元的人为“节俭之星”.（1）请完成下面22⨯的列联表；“节俭之星”非“节俭之星” 总计 男生 女生 总计根据以上22⨯的列联表，能否有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关？（2）现已知学校某小组有6名“节俭之星”，其中男生2人，女生4人.现从中选取2人在学校做勤俭节约宣讲活动报告，求选取的2人中至少有一名男生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.0()P K k ≥ 0.15 0.100.05 0.025 0.01 0.0050k2.0722.7063.841 5.0246.6357.829（18）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项和.若对任意正整数n ，有24+3n n S S +=恒成立，且22log n n b a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11nn n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． （19）（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形ACD ∆与ABC ∆互相垂直，4AC BE ==，BE 和平面ABC 所成的角为60︒，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上． （1）求证：DE 平面ABC ； （2）求点B 到平面ADE 的距离．（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，,A B 为其左右顶点，G 点坐标为(,1)c ，c 为椭圆的半焦距，且有0AG BG ⋅=.椭圆E 的离心率32e =. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，,M N 为椭圆上不重合两点，且,M N 的中点H 落在直线12y x =上，求MNO ∆面积的最大值. （21）（本小题满分12分）已知21()sin 2f x x x a x =-+，且0x >.（1）当1a =时，求证：()0f x >恒成立； （2）令21()()2ln(1)2g x f x x x x =-+-+，当()0,x π∈时，()g x 无零点，求a 的取值范围.请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，P 为曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上的动点，将P 点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得Q 点，记Q 点轨迹为2C ，以坐标原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）,A B 是曲线2C 上异于极点的两点，且6AOB π∠=，求OA 的取值范围.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()3544f x x x =-++．（1）关于的不等式()2f x a a ≤-有解，求实数的取值范围；（2）设,m n R +∈，且22m n +=萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（12×5=60分）：CDCAD ； CDDBA ；BC ． 二、填空题（4×5=20分）：13．23 14．4-； 1573 16．18,211⎛⎫⎪⎝⎭． 三、解答题（共75分）：17. （1）由茎叶图可知此次抽样男生共20人，由于采用分层抽样的方式，抽取女生人数为30人.“节俭之星”非“节俭之星”总计 男生 7 13 20 女生 18 12 30 总计252550…………………2分 从而2250(1813127) 3.000 2.70625252030K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ………………………………………………5分故有90％把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关. ………………………………………6分（2）记2名男生分别为A1,A2,记4名女生为B1,B2,B3,B4,则从这6名“节俭之星”选取2名的所有可能有：（A1,A2）（A1,B1）（A1,B2）（A1,B3）（A1,B4）（A2,B1）（A2,B2）（A2,B3）（A2,B4） （B1,B2）（B1,B3）（B1,B4） （B2,B3）（B2,B4）（B3,B4）………………………………………………………………………………9分共15种，其中至少有1名男生的情况有9种，因此，所求概率为3.5P =……………………12分18. （1）设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a由2211434243n n n n n n S S a a q S S +++-=+⎧⇒=⇒=⎨=+⎩，……………………………………………………2分 由于2121(21),(21)n n nn S a S a ++=-=-，所以211124233n n a a a +-==，故11a =，故12n n a -=…………………………………………6分（2）22log 21n n b a n ==-，则111111()(21)(21)22121n n n C b b n n n n +===--+-+………9分故12111111(1)2335212121n n nT C C C n n n =+++=-+-++-=-++…………………12分19. （1）取AC 中点O ，连接,BO DO ，由题知，BO 为ABC ∠的平分线，,BO AC DO AC ⊥⊥设点F 是点E 在平面ABC 上的射影，由题知，点F 在BO 上连接EF ，则EF ⊥平面ABC .平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面,ACD DO AC ⊥，DO ∴⊥平面ABC//DO EF ∴……………………………………………………………2分BE 和平面ABC 所成的角为60︒，即60EBF ∠=︒，23EF ∴=又23DO =，∴四边形EFOD为平行四边形，//DE BO ∴…………………………………5分BO ⊆平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，DE ∴平面ABC (6)分（2）设点B 到平面ADE 的距离为d 由B ADE A BDE V V --=得：11233ADE BDE d S S ∆∆⋅=⋅…………………………………………………8分111123232AD DE d ED DO ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅………………………………………………………………10分解得3d =…………………………………………………………………………………………12分20. （1）依题意：(,0),(,0)A a B a -，则(,1),(,1)AG c a BG c a =+=-……………………1分2210AG BG c a ∴=-+=，即21b =，又32c a =，解得3,2,1c a b ===………………3分所以椭圆方程为：2214x y +=………………………………………………………………………4分（2）设112200(,),(,),(,)M x y N x y H x y ，则002y x =，因为,M N 在椭圆上，有：2211021122221120224414()4244MN x y x y y x x k x x y y y x y ⎧+=-+⎪⇒==-=-=-⎨-++=⎪⎩………………………………6分设直线MN ：1(0)2y x m m =-+≠，联立 2221212221244402,22244y x m x mx m x x m x x m x y ⎧=-+⎪⇒-+-=⇒+==-⎨⎪+=⎩………………8分又232160m ∆=->，得(m ∈所以12x x MN -===原点O 到直线MN的距离d ==……………………………………………………10分故2212122MNO m m S d MN ∆+-===………………………………………11分当且仅当222m m =-，即1m =±时等号成立，故MNO ∆面积的最大值为1. ……………12分21. （1）依题意：当1a =时，21()sin 2f x x x x =-+，则'()1cos f x x x =-+.…………1分令()1cos x x x ϕ=-+，则'()1sin 0x x ϕ=-≥恒成立.()x ϕ∴在R 上单调递增………………3分()(0)0x ϕϕ∴≥=，即'()0f x ≥恒成立，()f x ∴在R 上单增，()(0)0f x f ∴≥=即证…5分（2）[解法1]：21()()2ln(1)sin ln(1)2g x f x x x x x a x x =-+-+=+-+ 1()1+cos 1g x a x x '=-+……………………………………………………………………………6分○1当0a <时， ()g x '在()0π，递增，(0)0g '<，1()=101g a ππ'-->+，所以存在()00x π∈，使0()=0g x '……………………………………8分 当()00x x ∈，，()g x 单调递减，当()0x x π∈，，()g x 单调递增又(0)=0g ，()=ln(+1)>0g πππ-故存在唯一的零点0(,)t x π∈使()=0g t …………………………………………………………10分○2当0a ≥时，由()0x π∈，得()ln(1)g x x x ≥-+，可证：ln(1)0((0,))x x x π-+>∈ ()0g x >在()0x π∈，上恒成立。
江西省萍乡市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析
江西省萍乡市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()3cos 0f x x x ωωω+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min 2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】Q ()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭Q ，即3x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴有且仅有12-=-满足条件；又12min2x x π-=，则22T T ππ=⇒=， 22T πω∴==，∴函数()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，2363f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故B 错误；对于C ，当76x π=时，7726333f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由20333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：D本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题. 2．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．54B ．34C ．58D ．38【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，用,AB AC u u u r u u u r 来表示AF u u u r，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：点E 是AC 中点，点F 是BE 中点()12AF AB AE =+u u u r u u u r u u u r ，12AE AC =u u u r u u u r所以1124AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r又11cos 1122AB AC AB AC A ⋅=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r所以1124AF AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r则2115248AF AB AB AC AB ⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.3．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2 B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 4．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】化简得到34z i =--，得到答案. 【详解】()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，对应点在第三象限.故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 5．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） AB ．3C ．1D ．5【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由52i 12ia =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题. 6．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据题意依次计算得到答案. 【详解】根据题意知：18a =，214a a =，故232a =，322a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.7．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差 【答案】D 【解析】 【分析】ABD 可通过统计图直接分析得出结论，C 可通过计算中位数判断选项是否正确. 【详解】A ．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B ．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C ．入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；D ．由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.8．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 9．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【详解】解：∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=， …，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+Q ，2018212a a ∴==， 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.10．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 11．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1 BC ．±1D．【答案】D 【解析】由复数模的定义可得：2z ==，求解关于实数a的方程可得：a =.本题选择D 选项.12．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥【答案】D 【解析】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，即q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集. 【详解】由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >， 所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥. 【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对p ⌝是q ⌝的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省萍乡市2022届高三数学第二次模拟考试试题 文(解析版)
故事件“直线 与圆 有公共点”发生的概率
故答案选：C
10. 已知函数 ，则 的所有零点之和为（）
A. B. C. D.
【10题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据零点定义求出零点后可得．
【详解】 时，由 得 ，
【详解】由题意当 是圆 切线时， 取得最大值，而当 时， ，
所以由在圆 上总存在点 ，使得 ，得 ，
即 ，解得 ．
故答案为： ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知识，面向全市征召 名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成 这 组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在 内的人数为 ．
A. B.
C. D.
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，设出直线 ，利用圆心到直线位置关系，作图，即可计算出所求概率
【详解】
根据题意，直线 为绕原点转动的任一直线，可设 ，设圆心到直线的距离为 ，
所以， ，若 与圆 相交或相切，则 ，化简得， ，得 ，
所以， ，可以用原点 为圆心， (半径长度可随意取)，作圆，
故选：A.
8. 已知椭圆 ，圆 ，若 的重心在椭圆 上，则椭圆 的离心率为（）
A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】先表示出 的重心，代入椭圆可得出 ，即可求出离心率.
【详解】由题可得 ，则 的重心为 ，
将 代入椭圆可得 ，即 ，
江西省萍乡市数学高三上学期文数第二次联考试卷
江西省萍乡市数学高三上学期文数第二次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·大庆期中) 设函数的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为 ,则（）A . （1,2）B . （1,2]C . （-2,1）D . [-2,1)2. （1分）复数在复平面的对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （1分） (2018高一下·大连期末) 已知，不共线，，，其中 .设点是直线，的交点，则（）A .B .C .D .4. （1分）设x,y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值是（）A . 3B . 4C . 5D . 65. （1分）(2020·重庆模拟) 已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（）A . 2B . 4C . 5D . 66. （1分）(2017·东莞模拟) 己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A .B .C .D .7. （1分） (2016高一上·铜仁期中) 函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是（）A . 1＜d＜c＜a＜bB . c＜d＜1＜a＜bC . c＜d＜1＜b＜aD . d＜c＜1＜a＜b8. （1分）(2017·金华模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面积为，且sinA+sinC=2sinB，则b的值为（）A . 4+2B . 4﹣2C . ﹣1D . +19. （1分）已知一个三角形的三边长构成等比数列，其公比为，则函数的值域为（）A .B .C .D .10. （1分） (2018高一下·攀枝花期末) 已知数列满足：， .设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （1分） (2015高二下·永昌期中) 设f（n）= + + +…+ （n∈N+）则f（k+1）﹣f （k）=（）A .B .C .D .12. （1分） (2018高二下·集宁期末) 函数f(x)= (e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是（）A . 1+B . 1C . e+1D . e-1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·临川期末) 已知△ABC中，AB=7，AC=8，BC=9，P点在平面ABC内，且 +7=0，则| |的最大值为________ ．14. （1分） (2017高二上·西华期中) 已知等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn和Tn ，若 = ，则 =________．15. （1分） (2018高一上·西宁期末) 已知，则 ________．16. （1分） (2017高一上·中山月考) 函数在区间上的值域是________.三、解答题 (共6题；共13分)17. （2分）已知数列{an}的通项公式为an=2n﹣1（1）求证：{an}是等差数列；（2）求{an}的前n项和Sn18. （3分） (2018高三上·黑龙江月考) 已知，且（1）求的值；（2）求的值.19. （2分） (2016高一下·漳州期末) 已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）求cosA及a的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．20. （2分） (2017高一下·蚌埠期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S= ，求角A的大小．21. （2分） (2018高三上·丰台期末) 已知函数 .（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.22. （2分） (2017高二下·合肥期中) 请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共13分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、第11 页共11 页。
江西省七校高三第二次联考数学文科试卷及答案
1 / 6江西省七校第二次联考高三年级数学试卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1、若集合P ＝{－2, 0, 2}，i 是虚数单位，则A ．2i ∈PB ．2i∈P C ．(2i)2∈P D ．32i∈P 2、点A(sin °, cos °)位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、已知函数f(x)＝ln(2116x +－4x)＋1，则f(lg3)＋f(lg 13)＝A ．2B ．1C ．0D ．－1 4、设α,β是空间两个平面，m, n 是空间两条直线，则下列选项不正确．．．的是 A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件5、已知椭圆22163x y +=上有一点P ，F 1, F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有 A ．8个 B ．6个 C ．4个 D ．2个6、现有四个函数：①y ＝xsinx, ②y ＝xcosx, ③y ＝x |cosx|, ④y ＝x ·2x 的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图像对应的函数序号排列正确的一组是A ．①②③④B ．②①③④C ．③①④②D ．①④②③7、在区间[－2π, 2π]内随机取两个数分别记为a, b, 则使得函数 f(x)＝4x 2＋4ax －b 2＋π有零点的概率为A ．34B ．1516C ．78D ．1168、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为A ．23π B ．2πC ．2πD ．223π9、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F(c, 0), 方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1, x 2，则点P(x 1, x 2) A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．必在圆x 2＋y 2＝2上 D ．以上三种情况都有可能 10、定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，设函数f(x)＝(x 2―2)⊗(x ―x 2), x ∈R , 若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围为A ．(－∞, －2)∪(－1,32)B ．(－∞, －2]∪(―1, ―34) C ．(－1,14)∪(14, ＋∞)D ．(―1, ―34)∪[14, ＋∞) 11、某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲…… 若依此规律，得到一系列的三角形，则在前个三角形中共有▲的个数是 A ．64 B ．63 C ．62 D ．6112、若0,2sin cos ,x x y x π⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩则z ＝x ＋2y 的取值范围是A ．(0,6π] B ．[0, 3] C ．[0, 3－6π] D ．[0, 3＋6π] 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省萍乡市2022届高三数学第二次模拟考试试题 文(解析版)
1江西省萍乡市2022届高三数学第二次模拟考试试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，，则（）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据集合元素的形式可得关于的不等式，从而可求.【详解】令，则，而，故，故，故选：C.2. 已知复数满足(为虚数单位)，则=（）B.C.D. 【2题答案】{}+|17A x N x =∈-≤≤{}|31,B x x n n N ==+∈A B = {}1,4{}4,7{}1,4,7{}1,1,4,7-n A B 1317n -≤+≤223n -≤≤n N ∈0,1,2n ={}1,4,7A B = z 32i (1i)z =+i z 21122【解析】【分析】先化简复数z ，再利用复数的模公式求解.【详解】解：因为，所以，故选：D3. 北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．下图是2012-2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量（家）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面说法错误的是（）A. 2012-2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势B. 2013-2019年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快C. 2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底D. 2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长【3题答案】【答案】B32i i 1(1i)2i 2z ==-=-+12z =3【分析】根据图表中的柱状图的高低变化和同比增长率的曲线图可得错误的说法.【详解】图表中的室内滑雪场的数量的柱状图逐年升高，故总体呈增长态势，故A 正确.2013-2017年，我国室内滑雪场的增速逐年降低，2018年，我国室内滑雪场的增速有所提高，而2019年的增速有小幅回落.故B 错误，CD 正确.故选：B.4. 已知，则（）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】因为，所以，，，故选：A 5. 若函数的图象在处的切线斜率为，则()A. B. C. D. 【5题答案】【答案】A1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭12212-21sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 2cos 236ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212sin 6πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2111222⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()ln f x x a x=-1x =3=a 2-1-124【分析】求f (x )导数，由题可知即可求a 的取值．【详解】∵，∴，若函数的图象在处的切线斜率为，则．故选：A ．6. 在中，为边上的中线，在线段上，，则（）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】B 【解析】【分析】由向量的线性运算法则计算．【详解】由题意，故选：B ．7. 如图，在正方体中，E ，F 分别为BC ，的中点，过点A ，E ，F 作一截面，该截面将正方体分成上下两部分，则下部分几何体的正视图为（）(1)3f '=()ln f x x a x =-()1af x x'=-()ln f x x a x=-1x =3(1)1321af a '=-=⇒=-ABCADBCEAD2AE ED=EB =3144AB AC -2133AB AC -2233AB AC -3144AB AC +22121()33233EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-⨯+=-1111ABCD A B C D -1CC5A. B. C. D.【7题答案】【答案】A 【解析】【分析】由，可得截面为，得到几何体，进而得正视图.【详解】如图由于，，由题意得此截面为，由图可知正视图应为A 选项，故选：A.8. 已知椭圆，圆，若的重心在椭圆上，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】先表示出的重心，代入椭圆可得出，即可求出离心率.【详解】由题可得，则的重心为，将代入椭圆可得，即，1//EF AD 1AEFD 1//EF AD 1AEFD 2222:1(0)x y C a b a b+=>>22:630M x y bx ay +-+=12F MF △CC21223412F MF △222a b =()()123,0,,0,3,2F c F c M b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭12F MF △,2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭222214b a a b +=4224440b a b a -+=6即，则，所以.故选：A.9. 已知圆，直线为绕原点转动的任一直线，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据题意，设出直线，利用圆心到直线位置关系，作图，即可计算出所求概率【详解】根据题意，直线为绕原点转动的任一直线，可设，设圆心到直线的距离为，所以，，若与圆相交或相切，则，化简得，，得，所以，，可以用原点为圆心，(半径长度可随意取)，作圆，()22220ba-=222a b=2c e a ===()22:21C x y -+=l l C 3π6π1316:l y kx=l:l y kx=dd =l C 1d ≤2241k k≤+33k -≤≤60AOB ∠=︒O3r =7如图，当直线在阴影处运动时，直线与圆没有公共点，当直线在非阴影处运动时，直线与圆有公共点，故事件“直线与圆有公共点”发生的概率故答案选：C10. 已知函数，则的所有零点之和为（）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据零点定义求出零点后可得．【详解】时，由得，时，由得或，所以四个零点和为．故选：D ．11. 已知四棱锥的底面四边形是正方形，侧棱平面，，且直线与平面所成的角的正切值为，则四棱锥的体积为（）A.B.C.D.【11题答案】【答案】Cl l Cl l Cl C 12013603P ︒==︒()()21,01,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩1()2y f x =-1212-2x ≥21(1)02x --=12x =±0x <1102x +-=12x =-32x =-131102222++---=P ABCD-ABCDPA ⊥ABCD3PA =PCPAB 3P ABCD -3918278【解析】【分析】利用直线与平面所成的角的正切值，求出的边长，进一步利用体积公式求出答案.【详解】设的边长为∵平面∴又∵，∴平面∴直线与平面所成的角即为角∴解得四棱锥的体积为.故选：C.PCPABABCDABCDaPA ⊥ABCDPA ⊥BCBC AB⊥PA AB A⋂=BC ⊥PABPCPABCPB∠3BC PB =3=a =P ABCD -213183V a =⨯=912. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（）A. B. C. D. 【12题答案】【答案】B 【解析】【分析】求出的范围，把它作为整体，结合正弦函数性质得最大值与最小值并分析它们的差最小时结论．【详解】时，，令，，则问题转化为在上的最大值是，最小值是，由正弦函数性质，的周期是，要使得最小，则的最大值或最小值点是区间的中点，由周期性，不妨取或，，或，时，，，，时，，，，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,3a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦M m M m-21212-12-24x π+M m [,]3x a a π∈+22,24443x a a ππππ2⎡⎤+∈+++⎢⎥⎣⎦24x t π+=24a h π+=()sin g t t =2[,]3t t π+M m ()sin g t t=2πM m-()g t 2[,3h h π+23h h ππ++=233h h ππ++=6h π=76h π=6h π=1M =1sin 62m π==12M m -=76h π=1m =-71sin 62M π==-12M m -=10故选：B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22，23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数是上的奇函数，且，若非零正实数满足，则的小值是_______．【13题答案】【答案】【解析】【分析】由函数为奇函数，得到，结合函数的单调性，得到，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为函数为奇函数，可得，由，可得，又因为，可得，所以函数为单调递增函数，所以，即，即，则，当且仅当，即时，等号成立，()f x R ()33f x x x=+,m n ()()20f m mn f n -+=11m n +2()f x ()2()f m mn f n -=-2m mn n -=-111111()()(2)22n m m n m n m n m n +=⋅++=⋅++()f x ()()f x f x -=-()()20f m mn f n -+=()()2()f m mn f n f n -=-=-()33f x x x =+()2330f x x '=+>()f x 2m mn n -=-2m n mn +=112m n +=1111111()()(2(22222n m m n m n m n m n +=⋅++=⋅++≥⋅+=n mm n =1m n ==11所以的小值是.故答案为：14. 若实数、满足约束条件，则目标函数的最小值为________．【14题答案】【答案】【解析】【分析】作出可行域，平移直线，找出使得目标函数在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.15. 中，角的对边分别为，若，则________．11m n +22x y1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩3z x y =+2-3z x y=+3z x y=+y1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩102310x x y +=⎧⎨+-=⎩11x y =-⎧⎨=⎩()1,1A -3z x y=+A3z x y=+yz ()min 3112z =⨯-+=-2-ABC ,,A B C ,,a bc ,cos cos 2o c s a b cc B C a A +=+=b =12【15题答案】【答案】【解析】【分析】由正弦定理化边为角，然后由两角差的正弦公式变形，结合正弦函数性质求得，再用余弦定理列方程解得．【详解】因为，由正弦定理得，，，，是三角形内角，，所以，所以，所以，由余弦定理得，解得（舍去），故答案为：．16. 已知圆，对直线上一点，在圆上总存在点，使得23C π=bcos cos cos a b c A B C +=+sin sin sin cos cos cos A B CA B C +=+sin cos sin cos sin cos sin cos A C B C C A C B +=+sin cos sin cos sin cos sin cos A C C A C B B C-=-sin()sin()A C C B -=-,,A B C(,)A C CB A B ππ-+-=-∈-AC C B-=-2A B C +=3C π=2222cos c a b ab C =+-2243cos33b b π=+-=+-2b=2b=222:2O x y +=340x y +-=(),P t k O A13，则实数的取值范围为________．【16题答案】【答案】【解析】【分析】在圆上，当是圆切线时，取得最大值，由题意这个最大值不小于即满足题意，利用圆心到点的距离与半径的2倍比较可得．【详解】由题意当是圆切线时，取得最大值，而当时，，所以由在圆上总存在点，使得，即，解得．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知识，面向全市征召名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为．30OPA ∠=︒k2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦A OPAOOPA∠30°P PA O OPA ∠30OPA ∠=︒2OP R ==O A 30OPA ∠=︒≤22(43)8k k -+≤225k ≤≤2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦a [20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]5[25,30)3514（1）求和的值，并估计该冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数（中位数精确到）；（2）若用分层抽样的方法从年龄在内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者去该社区的一所高中组织一次冬奥知识宣讲，求这志愿者中至少有1人年龄在内的概率．【17题答案】【答案】（1），，31.7（2）【解析】【分析】（1）先计算各组的频率，再根据频率和为1计算出的值，然后再根据段的人数和对应的频率计算出总人数；利用面积法求出中位数；（2）先计算出年龄在内的志愿者人数；再求从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和至少有一名志愿者年龄在内的事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【小问1详解】由频率分布直方图知：，解得…因为年龄在内的人数为，所以设冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数的估计值为，则内，且满足，解得【小问2详解】ma 0.1[30,35),[35,40),[40,45]6622名[35,40)0.07m =100a =35m[25,30)[30,35),[35,40),[40,45][35,40)(0.010.060.040.02)51m ++++⨯=0.07m =[25,30)3535(0.075)100a =÷⨯=x[30,35)x ∈0.0150.075(30)0.060.5x ⨯+⨯+-⨯=23131.73x =≈15由频率分布直方图知：小组成员年龄在的人数之比为，故抽取的6名志愿者中，在区间中分别抽取了人，人，人记中的名志愿者为，中的名志愿者为，中的名志愿者为，则从人中再随机抽取人的所有可能有；共种，至少有1人年龄在内的情形有种，故所求概率为19. 如图，一半圆的圆心为，是它的一条直径，，延长至，使得，设该半圆所在平面为，平面外有一点，满足平面平面，且，该半圆上点满足．（1）求证：平面平面；．（2）若线段与半圆交于，求三棱锥的体积．【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）[30,35),[35,40),[40,45]3:2:1[30,35),[35,40),[40,45]321[30,35)3123,,A A A [35,40)212,B B [40,45]1C 62121311121(,),(,),(,),(,),(,),A A A A AB A B AC 2321222313231212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A AB A B AC A B A B A C B B B C B C 15[35,40)993155P ==OAB2AB =ABCBC OB=ααP POC ⊥αOP CP ==Q PQ =POQ ⊥POCCQRO PQR-41516【解析】【分析】（1）连接，结合面面垂直得平面，进而得，再结合勾股定理得，进而证明平面即可证明结论；（2）过点作于，则为的中点，进而根据几何关系，结合体积公式求解即可.【小问1详解】证明：连接，又平面平面，平面平面，平面，，∵，平面，又平面，，由平面平面，且平面平面，平面，又平面，∴平面平面.【小问2详解】解：过点作于，则为的中点，PBPB ⊥αPB OQ⊥PO OQ⊥OQ ⊥POCOOD QR⊥DDQRPB ,,OP CP OB CB PB OC==∴⊥POC ⊥αPOC=OCαPB ∴⊥αPB OQ∴⊥1,OP OQ PQ ∴===222,,OP OQ PQ PO OQ ∴+=∴⊥OP PB P= OQ ∴⊥POCAB ⊆POCOQ AB∴⊥POC ⊥αPOC ⊥ABα=OQ ∴⊥POCOQ ⊆POQPOQ ⊥POCOOD QR⊥DDQR17故在中：，即：又，21. 已知数列中，，令．（1）计算的值，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【21题答案】【答案】（1）；（2）Rt COQ 1122OC OQ CQ OD ⨯=⨯5OD=5RQ ∴==11222555ORQ S RQ OD ∆∴=⨯=⨯⨯=2PB == 1124233515O PQR P OQR OQR V V S PB --∆∴==⨯=⨯⨯={}n a 111,2n n n a a a +==2nn b a =123,,b b b {}n b ()31n n c n b =+{}n c n n T 1232,4,8b b b ===2nn b =1(32)24n n T n +=-⋅+18【解析】【分析】（1）根据递推关系求出即可得出，再证明为等比数列即可求出通项公式；（2）利用错位相减法可求出.【小问1详解】由得，又，，，由得，两式相除可得，则，是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故；【小问2详解】由 (1) 知，则，，两式相减得，故．23. 已知．（1）若，求的极值；246,,a a a 123,,b b b {}n b 12n n n a a +=12nn n a a +=11a =423562,2,4,84,a a a a a ∴=====4612232,4,8b a b a b a ∴======12n n n a a +=1122n n n a a +++=22n na a +=12222n n n nb a b a ++=={}n b ∴2nn b =(31)2nn c n =+()2314272102322(31)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-++ ()234124272102322(31)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-++ ()2123112283222(31)283(31)212n nn n n T n n +++--=+⨯+++-+=+⨯-+- 1(23)24n n +=-⋅-1(32)24n n T n +=-⋅+21()ln 12a f x x x ax-=+++1a =-()f x19（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．【23题答案】【答案】（1）极大值为；无极小值.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用导数研究函数的单调性，进而得极值；（2）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：当时，，，当时，递增；当时，递减，的极大值为；无极小值；【小问2详解】解：，当即时，递增；，不合题意，（注：取其它使得的也可）．1()ln 24f x <-a 1ln 24-+(),1a ∞∈--()()()111a x x f x x⎡'⎤-++⎣⎦=10a -≥10a -<1a =-()2ln 1f x x x x =+--()()()121121x x f x x x x+-=-=-'-∴1(0,)2x ∈()()0,f x f x '>1(,)2x ∈+∞()()0,f x f x '<()f x ∴11ln224f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()()()()()21111111a x x a x ax f x a x a x x x⎡⎤-++-++⎣=='⎦+-+=10a -≥1a ≥'()0,()f x f x >311(1)0ln 224a f +=>>-1()ln 24f x ≥-x20当，即时，递增；递减，的最大值恒成立，令，所以，在递增，且，，即25. 已知抛物线，焦点为，过作动直线交抛物线于两点，过作抛物线的切线，过作直线的平行直线交轴于，设线段的垂直平分线为，直线的倾斜角为．已知当时，．（1）求抛物线的方程；（2）证明：直线过轴上一定点，并求该定点的坐标．【25题答案】【答案】（1）（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）法一：根据题意，易得直线的方程为：，与抛物线方程联立，求得，代入求解；法二：设抛物线的准线为，过作于，过作10a -<1a <()()10,,0,1x f x f x a ⎛⎫'∈> ⎪-⎝⎭()()1,,0,1x f x f x a ∞⎛⎫∈+< ⎪-⎝⎭'()f x ∴111(ln(1)ln 212(1)4f a a a =--+<---1()ln(1),(1)2(1)g a a a a =--+<-()()()()22211110,(1)12121a g a a a a a -+=+=>-'<--()g a (),1-∞1(1)ln 24g -=-1a ∴<-(),1a ∞∈--2:2(0)C x py p =>F F l C 1122(,),(,)A x yB x y 12()y y ≥B C m A m n y D AD a l α4cos 5α=-14y =Ca y 24x y=(0,1)l 342py x =-+(2,4)-A p 22x py=C b A 1AA b ⊥1A F21于，根据，结合抛物线的定义，得到，再由求解；（2）设的方程为，与抛物线方程联立，用导数法得到切线斜率，由，得到直线的斜率，进而得到直线的方程，令，得到D 的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程求解.【小问1详解】解：法一：当时，直线的斜率为，又过焦点，故直线的方程为：，代入得：，为钝角，，，代入，解得，抛物线的方程为法二：如图：设抛物线的准线为，过作于，过作于，为钝角，在线段上21FA AA ⊥2A 4cos 5α=-22||||sin =∠AA AF AFA 2112||||=-AA AA A A l 1y kx =+m 22=m x k //m n n n 0x =AD a4cos 5α=-l 34-l F l 342p y x =-+22x py =222320x px p +-=12,y y α≥ 12120,0,2,2p x x x p x ∴<>∴=-=(2,4)A p ∴-22x py =2p =∴C 24x y=C b A 1AA b ⊥1A F 21FA AA ⊥2A 12,y y α≥ 2A ∴1AA22，，又，，解得，抛物线的方程为；【小问2详解】直线与抛物线相交，的斜率存在，由（1）知，设的方程为，代入，得，，由，得，则，切线斜率，，243cos ,sin 55AFA α=-∴∠= 223||||sin (425p AA AF AFA ∴=∠=+⨯21121||||422ppAA AA A A y p =-=+-=-3(44252pp∴+⨯=-2p =∴C 24x y = l C l ∴(0,1)F l 1y kx =+24x y =2440x kx --=12124,4x x k x x ∴+==-24x y =24x y =2xy '=∴m 22=m x k //m n23直线斜率，又直线过直线的方程为：，令，得，，的中点，则线段的垂直平分线的斜率，（，否则为轴，与抛物线只有一个交点），直线的方程为：，设与轴交于点，，直线过定点，命题得证．请考生在第22，23两题中任选一题做答．只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑．选修4—4：坐标系与参数方程27. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；∴n 22n x k =n 11(,),A x y ∴n 211()2x y y x x -=-0x =1212=-D x x y y 1214,2=-∴=+ D x x y y AD ∴11(,1)2x M y +AD a 22a k x =-20x ≠l y ∴a 1122(1)()2x y y x x -+=--a y 0(0,)y 222211111012121111444x x x x x y y x x x ∴=++=++=+-=∴a (0,1)xOy C 12:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t Ox C24（2）若、是曲线上的两点，且，求的最小值．【27题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，再利用直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线的极坐标方程；（2）因为，所以可设、，利用勾股定理可得出，然后利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得的最小值.【小问1详解】解：在曲线的参数方程中，可得，两式相乘得普通方程为，故曲线的极坐标方程为，即．【小问2详解】解：因为，所以可设、，所以，A B C 0OA OB ⋅= AB 22244cos sin ρθθ=-3C t C C 0OA OB ⋅= (),A A ρθ,2B B πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭2222222444cos sin 4sin cos A B AB ρρθθθθ=+=+-- AB C2222x y t x y t +=⎧⎪⎨-=⎪⎩2244x y -=C 22224cos sin 4ρθρθ-=22244cos sin ρθθ=-0OA OB ⋅= (),A A ρθ,2B B πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭222222222444cos sin 4sin cos A B AB OA OB ρρθθθθ=+=+=+--25，故当且仅当时，的最小值为.选修4—5：不等式选讲29. 已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．【29题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解；（2）解法一：令，进而分和两种情况讨论，当时，数形结合求解即可；解法二：结合题意，当时，化为，进而结合绝对值三角不等式得，进而得答案.【小问1详解】()()2222224412125cos 15sin 125sin cos 45cos 15sin 1θθθθθθ=+==-----212121625253sin 24444θ=≥=--2sin 21θ=AB3()|1|2||f x x x =+-()12x f x <-()|1|f x a x ≤-a44,,53∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[)1,∞+1x <-10x -≤≤0x >()|1|g x a x =-0a ≤0a >0a >1x ≠()|1|f x a x ≤-|1|2|||1|x x a x +-≥-max ()1g x =26解：当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上，【小问2详解】解：法一：令当时，，故不合题意，当时，如图所示为的图象，恒过定点，故恒成立，又，则1,0()1231,101,1x x f x x x x x x x -+>⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪-<-⎩∴1x <-11102x x x -<-⇒<1x <-10x -≤≤1431125x x x +<-⇒<-415x -≤<-0x >141123x x x -+<-⇒>43x >44(,)(,)53x ∈-∞-+∞ ()|1|g x a x =-0a ≤(0)1,(0),(0)(0)f g a f g ==∴>0a ≤0a >(),()f x g x ()g x (1,0)()()f x g x ≤⇔||1a ≥0a >[)1,a ∈+∞27法二：当时，为，显然成立，，当时，化为令，则,当且仅当且时等号成立.，综上知：1x =()|1|f x a x ≤-00≤a R ∈1x ≠()|1|f x a x ≤-|1|2|||1|x x a x +-≥-|1|2||()|1|x x g x x +-=-|1|2|||12|()1|1||1|x x x x g x x x +-+-=≤=--0x ≥1x ≠max ()1,1g x a ∴=∴≥[)1,a ∈+∞。
江西省萍乡市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析
江西省萍乡市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3) 【答案】C【解析】【分析】【详解】 因为23C π=，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A =，b B =，所以sin()])sin32z b a B A B B B λλλπ=+==+-=-+])B B φ=+，其中tan φ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62k k k φπππ+<<π+∈Z ，所以tan φ>>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2，故选C ． 2．已知双曲线222:1(0)3-=>y x C a a 的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B C ．3 D ．4 【答案】A【解析】【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得234a +=，解可得1a =，由离心率公式计算可得答案．【详解】根据题意，抛物线28x y =的焦点为(0,2)， 则双曲线22213y x a -=的焦点也为(0,2)，即2c =， 则有234a +=，解可得1a =，双曲线的离心率2c e a==. 故选：A ．【点睛】 本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25【答案】C【解析】 【分析】 根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==， 第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件； 第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件； 第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件； L L 可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.4．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ）A ．4±B ．4C ．2±D ．2【答案】D【解析】【分析】由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，两式相除即可解出q ． 【详解】解：由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，∴24q =，∴2q =-，或2q =，又正项等比数列{}n a 得0q >，∴2q =，故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．5．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺【答案】A【解析】【分析】 根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.【详解】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥P ABC -，O 为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以O 为PC 的中点， 设球半径为R ，则()()22222222145+45744211++2R PC AB BC PA ⎛⎫+== ⎪⎝⎭==,所以外接球的表面积24544902R S πππ==⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.6．已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A ．ln21--B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2 【答案】A【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ，令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ． 7．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 6【答案】C【解析】【分析】设过点1F 作圆222x y b += 的切线的切点为T ，根据切线的性质可得1OT PF ⊥，且||OT a =，再由212PF PF =和双曲线的定义可得12||2,||4PF a PF a ==，得出T 为1F P 中点，则有2//OT PF ，得到21PF PF ⊥，即可求解.【详解】设过点1F 作圆222x y b += 的切线的切点为T ，11,||OT PF FT a ∴⊥== 2121212,2,4,2PF PF PF PF a PF a PF a =-===，所以T 是1F P 中点，212//,OT PF PF PF ∴∴⊥，22221212||||20||4PF PF a F F c ∴+===，225,c e a=∴=故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.8．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =u u u v u u u v ，则DE DF ⋅u u u v u u u v 的取值范围是（ ）A ．11[,]216-B ．1(,]16-∞C ．1[,0]2- D ．(,0]-∞【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+，:1)AC y x =-设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =u u u r u u u r ，找出m 与n 的关系．通过数量积的坐标表示，将DE DF ⋅u u u r u u u r 表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ⋅u u u r u u u r的取值范围．【详解】以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，设(1,0),(1,0)A B C -，则直线:1)AB y x =+ ，:1)AC y x =-设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤所以(),(1,1))AE m CF n n ==--u u u r u u u r由||2||AE CF =u u u r u u u r 得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ， 所以22713(1)(1)4734()816DE DF mn m n n n n ⋅=-+-=-+-=--+u u u r u u u r ， 由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得112n ≤<，由二次函数2714()816y n =--+的图像知，11[,]216y ∈-，所以DE DF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是11[,]216-．故选A ． 【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．9．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N*=-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果.【详解】若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->，即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A .【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.10．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(x f f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >- 【答案】D【解析】【分析】 先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数()()33x f x g x =， 则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数； 由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数； 又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.11．已知i 为虚数单位，若复数12i 12i z +=+-，则z = A ．9i 5+ B ．1i -C ．1i +D ．i - 【答案】B【解析】【分析】【详解】因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 12．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20B ．15C ．10D ．25【答案】C【解析】【分析】通过二项式展开式的通项分析得到22666150C a x x =，即得解. 【详解】由已知得()62123166()rr rr r r r a T C x C a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故当2r =时，1236r -=，于是有226663150T C a x x ==，则210a =.故选：C【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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江西省萍乡市数学高三文数第二次联考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共12分)
1. （1分）(2019·新宁模拟) 已知集合M={1，2}，N={2,3}，则M∩N中元素的个数为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
2. （1分）复数z满足:(|z|-2i)(2+i)=6-2i，则 z 是（）
A . 2-2i
B .
C . 3+i
D .
3. （1分）已知sin2α=，则cos2（-）=（）
A .
B .
C .
D .
4. （1分） (2018高二上·泰安月考) 设是等差数列，下列结论中正确的是（）
A . 若，则
B . 若，则
C . 若，则
D . 若，则
5. （1分）(2016·铜仁) 给出如下四个命题：
①若“”为假命题，则均为假命题；
②命题“若,则”的否命题为“若,则”；
③命题“任意”的否定是“存在”；
④在中，“”是“”的充要条件.
其中不正确命题的个数是（）
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
6. （1分）表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（）
A . p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B . p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C . p是q的充分必要条件
D . p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
7. （1分） (2018高二上·潮州期末) 当满足不等式组时,目标函数最小直是（）
A . -4
B . -3
C . 3
D .
8. （1分） (2019高三上·承德月考) 平面向量与的夹角为 . , ,则等于（）
A .
B .
C . 4
D . 12
9. （1分）如图是函数 )的图象，那么（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
10. （1分）“ ”是“方程表示双曲线”的（）
A . 充分不必要条件
B . 充要条件
C . 必要不充分条件
D . 既不充分也不必要条件
11. （1分）已知抛物线上的焦点F，点P在抛物线上，点A(-2,1)，则要使的值最小的点P的坐标为（）
A .
B .
C .
D .
12. （1分）(2020·咸阳模拟) 已知函数的一条切线为，则的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2 ，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是________
14. （1分）(2017·吕梁模拟) 已知三棱锥的外接球的表面积为25π，该三棱锥的三视图如图所示，三个视图的外轮廓都是直角三角形，则其侧视图面积的最大值为________．
15. （1分）对于一组数据的两个函数模型，其残差平方和分别为153.4 和200，若从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选残差平方和为________ 的那个．
16. （1分） (2020高一下·佳木斯期中) 在锐角三角形中，，则的取值范围是________.
三、解答题 (共6题；共11分)
17. （2分）(2019·怀化模拟) 已知等差数列的前项的和为，， .
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求 .
18. （2分） (2020高三上·泸县期末) 是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)
（1）求中位数．
（2）以这15天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中平均有多少天的空
气质量达到一级或二级．
19. （2分）(2016·四川文) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．
（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（2）证明：平面PAB⊥平面PBD．
20. （1分）(2017·南充模拟) 已知函数（a为常数，a≠0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在点（3，f（3））的切线方程
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在x0处取得极值，且，而f（x）≥0在[e+2，e3+2]上恒成立，求实数a 的取值范围．（其中e为自然对数的底数）
21. （2分）已知曲线C1参数方程：（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设曲线C1与C2公共点为A、B，点P（0，﹣1），求|PA|•|PB|的值．
22. （2分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥2；
（2）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共12分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共11分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、
20-1、20-2、20-3、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
第11 页共11 页。