现代控制理论复习题
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《现代控制理论》复习题1
二、（15分）考虑由下式确定的系统： 2
33
)(2
+++=
s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212113103210x x y u x x x x
能观测标准形为
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110133120x x y u x x x x
对角标准形为
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212112112001x x y u x x x x
三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统
x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=3210
求其状态转移矩阵。
解：解法1。
容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵A 可以对角化。矩阵A 对应于特征值2,
121-=-=λλ的特征向量是 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=21,
1121νν
取变换矩阵 []⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--==-1112121
ννT ， 则 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=-2111
1T
因此， ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--==-20011TAT D 从而，
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-+---=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-------------t t t
t t t t t t t t t At
e e e
e e e e e e e T e e T e
2222221
22221112002111
00
解法2。拉普拉斯方法 由于
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡+++-+++-+-++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(32132)3(1)(adj )det(1321)(1
1
s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI A sI s s A sI
故 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t t
t t t t
t At
e e e
e e e e e A sI L e
t 222211
2222])[()( 解法3。凯莱-哈密尔顿方法 将状态转移矩阵写成 A t a I t a e At
)()(10+= 系统矩阵的特征值是-1和-2，故 )(2)()
()(10210t a t a e t a t a e
t t
-=-=-- 解以上线性方程组，可得 t t t
t e e t a e
e t a 2120)(2)(-----=-=
因此， ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=+==Φ--------t t t
t t t t
t At
e e e
e e e e e A t a I t a e
t 2222102222)()()(
四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=, ,是完全能观的，请画出观
测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。
解 观测器设计的框图：
观测器方程：
Ly
Bu x LC A Cx y L Bu x A x ++-=-++=~)()
(~~
其中：x ~是观测器的维状态，L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。
观测器设计方法：
由于 )](det[])(det[)](det[T
T
T
T
L C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得T
T
T
L C A -具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。
五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov 稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。
解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：
线性时不变系统Ax x
= 在平衡点0=e x 处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q ，李雅普诺夫矩阵方程Q PA P A T
-=+有惟一的对称正定解P 。 在具体问题分析中，可以选取Q = I 。
考虑二阶线性时不变系统： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211110x x x x
原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 I PA P A T -=+ 其中的未知对称矩阵 ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=22121211
p p p p P 将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001111011102212
1211
2212
1211
p p p p p p p p 进一步可得联立方程组
1
22012221222121112-=-=---=-p p p p p p 从上式解出11p 、12p 和22p ，从而可得矩阵 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12/12/12/322121211
p p p p P 根据塞尔维斯特方法，可得 04
5
det 02
321>=
=∆>=
∆P 故矩阵P 是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 六、（10分）已知被控系统的传递函数是
)
2)(1(10
)(++=
s s s G