第五章 线性系统的频域分析法-5-3
线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。
它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。
频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。
本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。
§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。
下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。
图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。
RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。
线性系统的频域分析法试题答案
线性系统的频域分析法【课后自测】5-1 频率特性有哪几种分类方法？解：幅频特性，相频特性，实频特性和虚频特性。
5-2 采用半对数坐标纸有哪些优点？解：可以简化频率特性的绘制过程，利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并可以用简单的方法绘制近似的对数幅频特性曲线。
5-3 从伯德图上看，一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是否有可能相抵消。
若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个怎样的环节（串联）可以完全消除这种影响，它的条件是什么？解：一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是有可能相抵消；。
若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个一阶微分环节（串联）可以完全消除这种影响，两个环节的时间常数相同即可。
5-5 为什么要求在ωc 附近L (ω)的斜率为-20dB/dec ？解：目的是保证系统稳定性，若为-40 dB/dec ，则所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性将难以满足；若该频率更负，闭环系统将难以稳定，因而通常取-20dB/dec 。
5-6 已知放大器的传递函数为()1K G s Ts =+ 并测得ω=1 rad/s、幅频A =φ=-π/4。
试问放大系数K 及时间常数T 各为多少？解：频率特性为：G (jω)=KjωT +1幅频和相频分别为：{|G （j1）|=√1+T2=12√2⁄φ(1)=−arctanT =−π4⁄ 得到：K =12，T =15-7 当频率ω1=2 rad/s 、ω2=20 rad/s 时， 试确定下列传递函数的幅值和相角： 1210(1)1(2)(0.11)G s G s s ==+解：（1）G 1(jω)=10jω=-j 10ω|G 1(jω)|=10ωφ1(ω)=−90°ω1=2 rad/s 时，|G 1(jω)|=102=5 ，φ1(ω)=−90° ω1=20 rad/s 时，|G 1(jω)|=1020=0.5 ，φ1(ω)=−90° （2）G 2(jω)=1jω(0.1jω+1)=1jω-0.1ω2|G 2(jω)|=ω√1+0.01ω2φ2(ω)=arctan 10ωω1=2 rad/s 时，|G 2(jω)|=12√1+0.01×22=0.49φ2(ω)=arctan 102=78.7°ω1=20 rad/s 时，|G 2(jω)|=120√1+0.01×202=0.02φ2(ω)=arctan 1020=26.6°5-8 设单位反馈系统的传递函数为10()1G s s =+ 当把下列信号作用在系统输入端时，求系统的稳态输出。
自动控制原理第五章频域分析法
谐振峰值
Am(m) 2
1
12
振荡环节的对数频率特性
L ()2l0 oG g (j) 2l0 o(g 1 n 2 2)24 2 n 2 2
n L()0低频渐近线是零分贝线。
n L ( ) 4 0lo g (/ n) 4 0lo g (T ) n 1 /T
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
r n12 2 ( 1/ 20 .7) 0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
谐振频率
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
( )
0 0.1 1 10
0 o 0.1 1 10
45o
20
90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 ➢ 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， ➢ 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 ➢ 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程 ➢ 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， ➢ 即横坐标每变化十倍频程〔即变化〕所对应的纵 坐
自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法
第四象限
第三象限
Mr
注意： （特殊点与趋势） 1. A(0) 1, (0) 0; A() 0, () 180 2. 与虚轴的交点 （转折点，是阻尼比的减函数） 2 (0 ) 3.有谐振时， 2 r , M r 为 的减函数 。当 2 0.707 时，谐振峰值 M r 1 。 2
7.延迟环节和延迟系统
1.典型环节
2.最小相位环节的频率特性
（考试、考研重点，nyquist图与bode图必须会画，概率图）
考试的标准画法
L(dB)
20
10
20 lg k
0
10
1
10
100
1000
o
( )
10
0
1
10
100
1000
10
比例环节的nyquist图与bode图
本节目录 1.典型环节 2.最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图）
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。 6.传递函数的频域实验确定
考试的标准画法
o
注意考察几个特殊点： A(0), (0);
积分环节的nyquist图与bode 图
A(), ()
与横轴的交点。 注意横竖坐标交点处的的横坐标值（如果交点处没标横坐标值，则斜线不到头）
比较交点不标记的情况
0
0
纯微分环节的Bode图
半对数坐标系中的直线方程（重要，bode图解计算时经常用到）
第五章线性系统的频域分析法
对 A(ω ) 求导并令等于零，可解得 A(ω ) 的极值对应的频率 ω r 。
ω r = ω n 1 2ζ 2
该频率称为谐振峰值频率。可见，当 ζ = 当ζ
> 1 2
s = jω
G( jω) =| G( jω) | e
j∠G( jω)
= A(ω)e
j (ω)
G( jω) = G(s) |s= jω
G( jω) = G(s)|s= jω =| G( jω)| e j∠G( jω) = A(ω)e j(ω)
A A j (ω ) k1 = G( jω ) e k2 = G( jω ) e j (ω ) 2j 2j
可以作为系统模型
G( jω) = G(s) |s= jω = G( jω) e j(ω)
定义 幅频特性
A(ω ) =| G( jω ) |
(ω ) = ∠G ( jω )
它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 相频特性
它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G ( jω ), 频率特性。 频率特性 G ( jω ) = A(ω )e j (ω ) ，它也是 ω 的函数。G( jω) 称为频率特性 还可将 G ( jω ) 写成复数形式，即
A(ω ) = 1 1 + T 2ω 2 ,
G (s) =
1 Ts + 1
G ( jω ) =
1 jT ω + 1
(ω ) = tg 1T ω
幅频特性 L(ω) = 20log A(ω) = 20log K 20log 1+ T 2ω2 低频段：当Tω << 1时，ω 高频段：当 Tω >> 1时， ω
线性系统的频域分析法
5.1 频率特性
lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当
1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
自动控制原理--第5章 频域分析法
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
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针包围、不包围F(s)平面的原点。
Automatic Control Principle
Page: 4
自 (2)复变函数F(s)的选择
动
控
系统闭环稳定性的判定一般都利用已知的开环传递
制 函数，为此选择 原
理
F(s) 1 G(s)H (s)
F(s)具有3个特点：
南
█ F(s)的零点为系统的闭环极点，F(s)的极点为
京 系统的开环极点。
航
空
█ 开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等
航 于分母多项式的阶次，因此F(s)的零极点数相等。
天
大
█ F(s)与G(s)H(s)相差常数1，当s沿s平面任意
学 闭合曲线 Γ 顺时针运动一周时，所产生的闭合曲线
ΓGH沿实轴正方向平移1，即得ΓF。
Automatic Control Principle
制 原
设Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点，则
理
F
(s)
m
(s
zi
)
n
(s
p
j
)
i1
j 1
南
(Z P) (2 )
京
幅角原理 设s平面上闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零
航 空
点和P个极点,则s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平
航 面上，闭合曲线ΓF包围原点的圈数
天 大
R PZ
学 R 0、R 0、R 0 分别表示ΓF顺时针包围、逆时
n+
e j 处取
n e j
s jn e j 90 ,90
Automatic Control Principle
Page: 8
自 动
(4)闭合曲线ΓGH的绘制 由于开环系统传递函数为
控 实系数有理分式，因此
制
原
G(s)H (s) G(s) H (s) G(s )H (s )
理 即开环系统闭合曲线 ΓGH 关于实轴对称。
动
控
F (s) K (s z1)(s z2 ) (s zm )
F(s)
制
(s p1)(s p2 ) (s pn )
的值域
原 理
则对于s平面上任意一点s，F(s)将其映射到F(s)平面。
在s平面上任选一条封闭曲线Γ，Γ包围一个零点(z1)和
南 京
一个极点(p1)，但不穿过F(s)的任何极点和零点。s从 A点起，沿Γ顺时针运动一周，则相应地F(s)亦从F(A)
闭合曲线Γ的两种形式：
j
空 航 天 大 学
① 虚轴上无开环极点
Γ由两部分组成
s
j
e j
( ,) 90 ，90
虚轴 0
e j
Γ关于 实轴
对称
半径无 穷大的
右半圆
Automatic Control Principle
Page: 7
自
② 虚轴上有开环极点 开环虚轴极点有两种情况，
动 控
ωo=0,ωo=ωn≠0。为避开开环虚轴极点，Γ在开环
航 起运动一周，形成闭合曲线ΓF
空 航 天 大 学
j Γ °z×1p1
zi °
·
A
×pj
j F(A)
∠F(A) 0
0
s平面
Automatic Control Principle
F(s)平面
Page: 2
自 动
分析s沿Γ顺时针旋转一周，F(s)相角的变化
控
F(s) F(s)ds
制 原 理
m
(s zi )
n
(s
p j )
Hale Waihona Puke i1j 1由于 z1和p1被Γ包围，向量s-z1和s-p1顺时针运动一周
南
(s z1) (s p1) 2
京 航 空 航 天 大
zi
j °
Ss··1·A Γ°sz2×1p1×pj
设任一zi未被Γ包围，过zi作两条 直线分别与Γ相切于s1、s2点，则
学
绘制分为三种情况：
Automatic Control Principle
Page: 9
所选闭合曲线Γ关于实轴对称，则当s沿Γ分别在
南 IMs≤0 和 IMs≥0 的范围内运动时，G(s)H (s)沿 ΓGH 京 的相应运动亦关于实轴对称。
航
空
根据 ΓGH 的对称性，只需绘制 ΓGH 在 Ims 0，s
航 天
的半闭合曲线，称为奈奎斯特曲线，仍记为 ΓGH 。
大
根据开环极点在虚轴上的分布，奈奎斯特曲线的
自
动
5.3 频率域稳定判据
控 制
控制系统的闭环稳定性是系统分析设计的首要问
原 题，奈奎斯特稳定判据(奈氏判据)得到广泛应用。
理 1. 奈氏判据的数学基础
奈奎斯特是著名的科学家，也是杰出的通信工程和
南 京
控制工程专家。1929年，提出关于信道传输和通信速
航 率的奈奎斯特定理；1933年，提出负反馈系统稳定性
Page: 5
自
动
F (s)平面
j
控 制
ΓF
原
理
-2 -1 0 1 2 3 4
j
G(s)H (s)平面
ΓGH
-2 -1 0 1 2 3 4
南
京
航
空
航
F(s)建立了其极点、零点分别与开环系统极点、
天 闭环系统极点之间的直接联系。
大
学
闭合曲线ΓF 包围原点的圈数等于ΓGH包围（-1，j0)
点的圈数。
Automatic Control Principle
空 的奈奎斯特判据，成为控制科学和工程领域发展的里
航
天 程牌。奈奎斯特在工程技术领域拥有138项发明专利。
大
奈氏判据以复变函数中的幅角原理为数学基础，结
学
合稳定性判定的需要，选择合适的辅助函数和封闭曲
线，是研究成果的核心。
Automatic Control Principle
Page: 1
自 (1)幅角原理 设有理分式函数
制 虚轴极点附近加以扩展。
原 理
ωo=0 即开环系统含有积分环
节时，在 s j, (0 , 0 ) 处取
j
0+ e j
南
s e j 90 ,90
0 0-
e j
京 ε为正无穷小量。
航
j
空 航
n+ e j
ωo=ωn 即开环系统含有零阻尼振
天 大 学
n
0
荡环节时，在 s j, (n ,n )
Page: 6
自 动
(3)s平面闭合曲线Γ的选择 Γ的选择有两项要求：
控
① 包围s的右半平面—在已知s右半平面的开环极
制 原
点数时，可由幅值定理确定s右半平面的闭环极点数
理 ，进而判定系统的闭环稳定性。
② 不通过任一开环极点—开环极点也是F(s)的极
南 点，按照幅角定理还要求不通过任一闭环极点。
京 航
在Γ的s2⌒s1段，s-zi的相角增 大；在Γ的s1⌒s2段，相角减小；
学
0
故有 (s zi ) 0 。设任一pj未
s平面
被Γ包围,同样可得 (s pj ) 0
Automatic Control Principle
Page: 3
自 动
分析结论：当s沿s平面任意闭合曲线Γ顺时针运动一
控 周，F(s)相角的变化取决于Γ所包围F(s)的零极点数。