第五章 线性系统的频域分析法习题
四、线性系统的频域分析法
其中： A()Ac (j) 幅频特性
A
() (j) 相频特性
RC网络频率特性的物理意义：
1 A()
0.707
频带宽度
b
01 2 3 4 5
TTTT T
() 0
相角迟后
90
01 2 3 4 5
TTTT T
对稳定的线性系统，其频率特性如下：
设： (s)C R ((s s))b a 0 0 ssm n b a 1 1 s sm n 1 1 .... a .b .m n 1 1 s s a b n m
微分环节： s 惯性环节： 1/(Ts1) 一阶微分环节： Ts1
振荡环节： 1 /s (2/ n 2 2s/ n 1 )0 , 1
二阶微分环节： s2/n22 s/n 1 ,01
例如：G(s)s(0.5s K 1()ss( 21 )2s5) 由上述的5个环节组成。
A()1/ ()900
db 60 40 20 0 900
[20]
0.1
1
j
0
幅相曲线
对数频率特性曲线
L()2l0g A()
20lg () 900
10
3）微分环节： s 由 G(s)s
A() ()900
db 60 40 20 0 90 0 00
uc
ur
ur Asi nt c u c
设初值为0， 对上式拉氏变换，设A=1，得：
Uc(s)RC 1s1Ur(s) s1/1T/Ts2 2
RC网络
TRC
s1x/Tsy2sz2 (xy)s2( s (z1 /T y)/T s(2) s x 2 )2z/T
第5章-线性系统的频域分析法
0.1 0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
（） -96.3 -102.5 -116.6 -140.7 -164.7 -195.3 -219.3 -240.6 -257.5
5-4 频率域稳定判据
一、奈氏判据的数学基础 1、幅角原理
设F(s)为复变函数，F(s)
在s平面上任一点 K*(s z1)(s z2) (s zm)
G( j) j L() 20lg () 90
L(dB) 40 20
0 0.01 0.1
1
20
20dB / dec
10
-40
( ) 90
0 0.01 0.1
1
90
10
4、一阶惯性环节
G(
j)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 22
L() 20 lg 1 T 22
() arg tgT
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法，它 反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以 间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性 法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学 模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过 实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次， 应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结 论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分 析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此， 用频率特性法分析系统是很方便的。
1
T
() 45
L(dB) 0
20
40
60 ( )
0
1 T
精确特性
45
90
渐进特性
20dB/ dec
线性系统的频域分析法试题答案
线性系统的频域分析法【课后自测】5-1 频率特性有哪几种分类方法？解：幅频特性，相频特性，实频特性和虚频特性。
5-2 采用半对数坐标纸有哪些优点？解：可以简化频率特性的绘制过程，利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并可以用简单的方法绘制近似的对数幅频特性曲线。
5-3 从伯德图上看，一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是否有可能相抵消。
若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个怎样的环节（串联）可以完全消除这种影响，它的条件是什么？解：一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是有可能相抵消；。
若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个一阶微分环节（串联）可以完全消除这种影响，两个环节的时间常数相同即可。
5-5 为什么要求在ωc 附近L (ω)的斜率为-20dB/dec ？解：目的是保证系统稳定性，若为-40 dB/dec ，则所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性将难以满足；若该频率更负，闭环系统将难以稳定，因而通常取-20dB/dec 。
5-6 已知放大器的传递函数为()1K G s Ts =+ 并测得ω=1 rad/s、幅频A =φ=-π/4。
试问放大系数K 及时间常数T 各为多少？解：频率特性为：G (jω)=KjωT +1幅频和相频分别为：{|G （j1）|=√1+T2=12√2⁄φ(1)=−arctanT =−π4⁄ 得到：K =12，T =15-7 当频率ω1=2 rad/s 、ω2=20 rad/s 时， 试确定下列传递函数的幅值和相角： 1210(1)1(2)(0.11)G s G s s ==+解：（1）G 1(jω)=10jω=-j 10ω|G 1(jω)|=10ωφ1(ω)=−90°ω1=2 rad/s 时，|G 1(jω)|=102=5 ，φ1(ω)=−90° ω1=20 rad/s 时，|G 1(jω)|=1020=0.5 ，φ1(ω)=−90° （2）G 2(jω)=1jω(0.1jω+1)=1jω-0.1ω2|G 2(jω)|=ω√1+0.01ω2φ2(ω)=arctan 10ωω1=2 rad/s 时，|G 2(jω)|=12√1+0.01×22=0.49φ2(ω)=arctan 102=78.7°ω1=20 rad/s 时，|G 2(jω)|=120√1+0.01×202=0.02φ2(ω)=arctan 1020=26.6°5-8 设单位反馈系统的传递函数为10()1G s s =+ 当把下列信号作用在系统输入端时，求系统的稳态输出。
自控习题课1
总结和习题
内蒙古工业大学信息工程学院自动化系
☝ 第五章 线性系统的频域分析法
习题
绘制开环幅相曲线
总结和习题
内蒙古工业大学信息工程学院自动化系
☝ 第五章 线性系统的频域分析法
习题
绘制对数幅频渐近特性曲线
开环系统Bode图的绘制步骤 开环系统Bode图的绘制步骤 Bode
将开环传递函数表示为典型环节的串联(相乘的形式) 将开环传递函数表示为典型环节的串联(相乘的形式)； 确定各一、二阶环节的交接频率并由小到大标示在对数频率轴上； 确定各一、二阶环节的交接频率并由小到大标示在对数频率轴上； 交接频率并由小到大标示在对数频率轴上 绘制低频段的渐近线。渐近线的斜率取决于积分的个数ν 绘制低频段的渐近线。渐近线的斜率取决于积分的个数ν，等于 20νdB/dec。 处纵坐标等于20lgK 的点， 20νdB/dec。在ω＝1处纵坐标等于20lgK 的点， ω = ν K 时， 纵坐标为0 纵坐标为0。 向右延长最低频段渐近线， 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线 斜率；改变的频率取决于该转折频率对应的典型环节的种类。 斜率；改变的频率取决于该转折频率对应的典型环节的种类。 惯性环节，-20dB/dec 振荡环节， 惯性环节， 振荡环节， -40dB/dec 一阶微分环节， 一阶微分环节，+20dB/dec 二阶微分环节，+40dB/dec 二阶微分环节，
总结和习题
内蒙古工业大学信息工程学院自动化系
☝ 第五章 线性系统的频域分析法
习题
绘制开环幅相曲线 解：频率特性为
2 2[1 − 16ω 2 − j10ω ] G ( jω ) = = (2 jω + 1)(8 jω + 1) (1 + 4ω 2 )(1 + 64ω 2 )
自动控制原理卢京潮主编课后习题答案西北工业大学出版社
自动控制原理卢京潮主编课后习题答案西北工业大学出版社SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第五章 线性系统的频域分析与校正习题与解答5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。
(a) (b)图5-75 R-C 网络解 （a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(R R C R R T C R RR R K s T s K sC R sC R R R s U s U r c ττ (b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=C R R T CR s T s sCR R sC R s U s U r c)(1111)()(2122222212ττ 5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s（1） t t r 2sin )(=（2） )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 图5-76 系统结构图 频率特性: 2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e 则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时, 2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5-3 若系统单位阶跃响应 试求系统频率特性。
自动控制原理的MATLAB仿真与实践第5章 线性系统的频域分析
函数模型，如：tf(), zpk(), ss()。 bode(num,den)：num,den分别为传递函数的分子与
margin(G)；[Gm,Pm,Wcg,Wcp]= margin(G)： 直接求出系统G的幅值裕度和相角裕度。 其中：Gm幅值裕度；Pm相位裕度；Wcg幅值裕度 处对应的频率ωc；Wcp相位裕度处对应的频率ωg。
nichols(G);nichols(G,w)：绘制单位反馈系统开环传 递尼科尔斯曲线。
20
>>clear; num=[2, 3];den=[1, 2, 5, 7]; %G(s)的分子分母 多项式系数向量
p=roots(den) 求根结果：
%求系统的极点
p=
-0.1981 + 2.0797i
-0.1981 - 2.0797i
-1.6038 可见全为负根，则s右半平面极点数P=0。 绘制Nyquist曲线： >> nyquist(num,den) %绘制Nyquist曲线
本节分别介绍利用MATLAB进行频域绘图和频 率分析的基本方法。
6
5.2.1 Nyquist曲线和Bode图
MATLAB频率特性包括幅频特性和相频特性。 当用极坐标图描述系统的幅相频特性时，通常称为 奈奎斯特（Nyquist）曲线；用半对数坐标描述系 统的幅频特性和相频特性时，称为伯德（Bode） 图；在对数幅值-相角坐标系上绘制等闭环参数（ M和N）轨迹图，称为尼克尔斯（Nichols）图。
《自动控制原理》(卢京潮主编)课后习题答案
第五章 线性系统的频域分析与校正习题与解答5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。
u rR 1u cR 2CCR 2R 1u ru c(a) (b)图5-75 R-C 网络解 （a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(R R C R R T C R RR R K s T s K sCR sC R R R s U s U r c ττ ωωτωωωωω11121212121)1()()()(jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a ++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=C R R T CR s T s sCR R sCR s U s U r c)(1111)()(2122222212ττ ωωτωωωωω2221211)(11)()()(jT j C R R j C R j j U j U j G r c b ++=+++==5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s （1） t t r 2sin )(=（2） )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 图5-76 系统结构图频率特性: 2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e 则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时, 2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω )452sin(35.0)2sin()2( -=-Φ=t t j r c m ss ϕ)4.182sin(79.0)2sin()2(+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ 4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)902cos(7.0)4.3sin(4.0--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)6.262cos(58.1)4.48sin(63.0--+=t t5-3 若系统单位阶跃响应 )0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t h tt试求系统频率特性。
控制工程基础C作业2017
《控制工程基础C》作业——适用于测控技术与仪器专业（48学时，含6学时实验）说明：以胡寿松主编《自动控制理论简明教程》为教材，习题的页码以该教材为准。
第一章自动控制概论（参考教材第一章控制系统导论）1-1（P14，1-1）图1-16是液位自动控制系统原理示意图。
在任意情况下，希望液面高度c维持不变，试说明系统工作原理并画出系统方块图。
图1-16 液位自动控制系统1-2（P16，1-5）图1-5是电炉温度控制系统原理示意图。
试分析系统保持电炉温度恒定的工作过程，指出系统的被控对象、被控量以及各部件的作用，最后画出系统方块图。
图1-5 温度控制系统的原理图第二章 控制系统的数学模型（参考教材第二章控制系统的数学模型） 2-1（P81，2-5）设弹簧特性由下式描述：F=12.65y 1.1，其中，F 是弹簧力；y 是变形位移。
若弹簧在形变位移0.25附近作微小变化，试推导Δy 的线性化方程。
2-2（P81，2-7）设系统传递函数为：2()2()32C s R s s s =++，且初始条件 (0)1(0)0c c =-=， 。
试求阶跃输入r （t ）=1（t ）时，系统的输出响应c （t ）。
2-3（P81，2-8）如图，已知G(s)和H(s)两方框相对应的微分方程分别是：()610()20()dc t c t e t dt += ()205()10()db t b t c t dt+=且初始条件均为零，试求传递函数C(s)/R(s)及E(s)/R(s)。
2-4（P82，2-11（a ）（b ）（c ））已知控制系统结构图如图所示。
试通过结构图等效变换求系统传递函数C(s)/R(s)。
（a ）（b ）（c ）2-5（p82，2-12（a ））试简化图中的系统结构图，并求系统传递函数C(s)/R(s)和C(s)/R(s)。
()N s2-6（p83，2-15（b ）、（c ））试用梅森增益公式求图中各系统信号流图的传递函数C(s)/R(s)。
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501第五章 线性系统的频域分析法5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为)](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。
证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ，根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。
5-2 若系统的单位阶跃响应t t e e t c 948.08.11)(--+-=，试确定系统的频率特性。
解：s s s s C 1361336)(2++=，361336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=；2/122/12)81()16(36|)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。
或：)(2.7)()(94t t e e t ct g ---== ；361336)]([)(2++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号)452cos()30sin()(--+=t t t r作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。
解：21)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()(+-+=t t t r6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ；7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。
5-4 典型二阶系统的开环传递函数)2()(2n ns s s G ωζω+=， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为)45sin(2)( -=t t c ss ，试确定系统参数n ω和ζ。
解：2222)(nn ns s s ωζωω++=Φ； 1]4)1[(22222=+-n n nωζωω，4512arctan2-=--n n ωζω； 122-=n n ωζω，答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。
5025-5 已知系统开环传递函数)1()1()(2++=Ts s s K s G τ，0,,>T K τ， 试分析并绘制T >τ和τ>T 情况下的概略幅相曲线。
解：其中2/12231)(2-+=ττT K A ；T K A ττ=2；2/1223)(τ+=T KT A ；)/arctan(451τφT -= ；]))((5.0arctan[2/1--=T T m ττφ；参考：ωτωωωωτωωωτωωτωωω)()1()()1()1()1()1()(2022222222-+-+-++--=+-+=⇒→T K j K T T K j T T K jT j K j G 。
5-6 已知系统开环传递函数)2)(1(1)(++=s s s s G v， 试分别绘制4,3,2,1=v 时的概略开环幅相曲线。
解：∞=|)0(|j G ， 90)0(⨯-=∠v j G ；0|)(|=∞j G ， 90)2()(⨯+-=∞∠v j G ；2/122/12)4()1(|)(|---++=ωωωωv j G 和ωωω5.0arctan arctan 90)(--⨯-=∠ v j G 都是递减函数。
所有幅相曲线的终止相角均小于起始相角180o ，以 90)2(⨯+-v 趋于原点。
当1=v 时，有22=x ω，204.0|)(|=x j G ω，与负实轴有交点)0,204.0(j -。
5-7已知系统开环传递函数)1()1()(12++-=s T s s T Ks G ，0,,21>T T K ，当取1=ω时， 180)(-=∠ωj G ，5.0|)(|=ωj G 。
当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差为 0.1。
试写出)(ωj G 的表达式。
解：据题义有下列结果，50310=K ； 180arctan 90arctan 12-=---T T ；2/1212/122)1(5.0)1(10T T +=+；90)]1/()arctan[(2121=-+T T T T ，121=T T ；201=T ，05.02=T 。
所求的表达式为 )201()05.01(10)(ωωωωj j j j G +-=。
5-8 已知系统开环传递函数)15.0)(12(10)(2+++=s s s s s G ， 试分别计算5.0=ω和2=ω时，开环频率特性的幅值|)(|ωj G 和相位)(ωj G ∠。
解：5.0=ω，89.17791.0414.15.010|)(|=⨯⨯=ωj G ， 4.1534.184590)(-=---=∠ωj G ；2=ω，383.0162.3123.4210|)(|=⨯⨯=ωj G ， 6.3274.181800.7690)(-=+---=∠ωj G 。
5-9 已知系统开环传递函数)125.0)(1(10)(2++=s s s s G ， 试绘制系统的概略开环幅相曲线。
解：{参考：5.22)(2+⇒→ωωj j G }5-10 已知系统开环传递函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=131911211)(2s s s s s s G ，选择频率点，列表计算对应的幅值与相位，绘制对数幅频特性曲线和相频特性曲线。
解：(过于烦琐，绘制渐近幅频特性)5045-11 绘制下列开环传递函数的对数渐近幅频特性曲线：(1))18)(12(2)(++=s s s G ；(2))110)(1(200)(2++=s s s s G ； (3))12/)(1()11.0/(8)(2++++=s s s s s s G ； (4))11.0/)(1()110/400/(10)(2++++=s s s s s s G 。
解：(1) 125.01=ω，5.02=ω； (2) 1.01=ω，12=ω；(3) 1.01=ω，12=ω，23=ω； (4) 1.01=ω，12=ω，203=ω；5-12 已知最小相位系统的对数渐近幅频特性如下试确定系统的开环传递函数。
解：(a) )1)(1()1()(312+++=s T s T s T K s G ；01.01003==T K ，1001.012==T T ；)101.0)(1100()11.0(100)(+++=s s s s G 。
(b) )1()1()(221++=s T s s T K s G ；101001==ωK ,101002=ω，00316.0316.021==T T ；)100316.0()1316.0(100)(2++=s s s s G 。
(c) )1)(12()(212212+++=s T s T s T Ks s G ζ；05.010==ζK ，1.0121==T T ；)11.0)(11.0(10)(22+++=s s s s s G 。
5055-13 试用Nyquist 稳定判据判断题5-5、5-6系统的稳定性。
解：题5-5中，0=P ；T >τ时，Nyquist 曲线ΓG 不包围临界点，系统稳定； τ>T 时， Nyquist 曲线ΓG 包围临界点，系统不稳定。
题5-6中，0=P ；1=v 时， Nyquist 曲线ΓG 不包围临界点，系统稳定； 4,3,2=v 时， Nyquist 曲线ΓG 包围临界点，系统不稳定。
5-14 已知下列系统的开环传递函数(所有参数均大于0)(1) )1)(1)(1()(321+++=s T s T s T K s G ； (2) )1)(1()(21++=s T s T s Ks G ；(3) )1()(2+=Ts s Ks G ； (4) )1()1()(221++=s T s s T K s G ；(5) 3)(sKs G =； (7) )1)(1)(1)(1()1)(1()(432165++++++=s T s T s T s T s s T s T K s G ；(6) 321)1)(1()(ss T s T K s G ++=； (8) 1)(-=Ts Ks G ； (9) 1)(+--=Ts Ks G ；(10) )1()(-=Ts s Ks G 。
及其对应的幅相曲线分别如下图所示，应用Nyquist 稳定判据判断各系统的稳定性，若闭环系统不稳定指出系统在S 平面右半部的闭环极点数。
解：(1)0=P ，2-=R ，2=Z ； 不稳定；(2)0=P ，0=R ； 稳定； (3)0=P ，2=R ，2=Z ； 不稳定； (4)0=P ，0=R ； 稳定； (5)0=P ，2-=R ，2=Z ； 不稳定； (6)0=P ，0=R ； 稳定； (7)0=P ，0=R ；稳定； (8)1=P ，1=R ；稳定；(9)1=P ，0=R ，1=Z ；不稳定；(10)1=P ，1-=R ，2=Z ； 不稳定。
注：第(6)小题的幅相曲线未包围临界点。
应用劳斯稳定判据能够说明闭环系统是稳定的：图中)(ωj G 曲线与负实轴交点处2/1211)(-=T T ω，且1|)(|1>ωj G ，得到1)(2121>+T T T KT 。
5-15 试用Nyquist 稳定判据判断题5-9系统的稳定性。
解：0=P ，2-=R ，闭环系统不稳定。
5-16 已知系统开环传递函数)1)(1()(++=s Ts s Ks G ，0,>T K ，506试用Nyquist 稳定判据判断系统闭环稳定条件：(1)2=T 时，K 值的范围； (2)10=K 时，T 值的范围； (3)K 、T 值的范围。
解：(计算)(ωj G 与虚轴的交点是解该题的要点，即计算临界稳定条件)180arctan arctan 90)(-=---=∠x x x T j G ωωω，1|)(|=x j G ω；2/1-=T x ω，1)1/(=+T KT ；(1)2=T 时，5.10<<K ； (2)10=K 时，9/10<<T ； (3)T T K /)1(0+<<。
5-17 试用对数稳定判据判定题5-10系统的闭环稳定性。
解：采用对数频率稳定判据判，0=P ，且在0|)(|log 20>ωj G 区，相频曲线未穿越180-线，闭环系统稳定。