微积分习题讲解与答案

微积分习题讲解与答案Last updated on the afternoon of January 3, 2021

1・指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程: (1)心)2-2少 + 和=0 (2) x2y-xy f + y = 0

(3)x2+ 4y n + (sinx)y = 0 (4) —+ P =sin26

de

解⑴1阶非线性

(2)1阶线性

⑶3阶线性

(4)1阶线性

2.验证下列函数是否是所给微分方程的解

(1)xy f + y = cosx,j = -----------

x

⑵(l-x2)y f + xy = 2x,y = 2 + C^l-x2 (C 为任意常数)

(3)y n-2y, + y=09y=Ce x (C 为任意常数)

(4)y n-(^ + A2)j r += 0,J =+C2e^x (CiQ为任意常数)

⑸(x - 2y)y f = 2x-y9x2-xy + y2=C (C 为任意常数)

(6) (xy-x)y H + xy f2 + = = ln(xj)

xcosx-sinx sinx

解(1)是, = cosx 二右

左二X -- ；---- +

X X

(2)是，^=(l-x2) t X +x(2 + Cyll-x2 ) = 2x=右y/l-x2

⑶是‘左=Ce x— 2Ce x +Ce x =0=右(4)是，左二

=右

2x — V

⑸是，左*-2刃口^2一尸右

,+兀-^ +〉，亠_2亠 (xj-x) (xy-x) xy — x xy- x

二比二'尹+亠厶+(宀2丿)5—)“

(xy-x) (xy-x) (xy-x)

二右

3 •求下列微分方程的解

(3) (l + y)dx —(1 一 y)dy = 0

(2) | = Jcosxdx,j r = 5111^ + ^

⑶圧^訂张j%严峡皿

即一y + 21nll + y l=x + C

⑷估心侖必

解得 ln(l + j 2) = ln(l + x 2) + C^

4•已知曲线y = f(x)经过原点，并且它在点(X 』)处的切线的斜率等于2，，试求这条

曲线的方程。

解已知y f = 2x 2

⑹是,左 ⑴加2； ⑵ 4-0SX ；

(be

解得 J = |x 3+C

又知曲线过原点，得c = 0

2

所求曲线方程为J = -x 3

习题

1.用分离变量法求下列微分方程的解 (1) y , = 4x y iy

(2) xy f -y\ny = 0 (3) " = IO"，

(4) sec 2 x tan ydx + sec 2 y tan xdy = 0

⑵J -^ = J —解得厂严 J y\ny J x

⑶ J 10?Jy= jlO x Jx 解得-10_v =1O X +C 即 10"+107=住

(4) J S ^-y -dy = -J ^CC A dx 解得 In I tan y 1= - In I tan x I +C\

整理得 tanA • t^iny = C

⑸打(1 + 丿呛=

Jx(l + x)(/x 解得 J J 2 +|j 3 = \x2 +3X +c

由于几-0=1,解得c = ? o

解得 y = (x 2+C)2

则切宀扣+|

⑹ 卜・，心=『严厶 解得_e -y =_e 2x +c

由于 J L.O =° 贝〔J c = -|

原方程解为2e~y =3-e 2x

2 •求下列齐次方程的解

(1) xy 9 = jin — x

(3) xy f -y-yjy 2 -x 2 =0

解（1）令W = ^-,代入方程得

x

分离变量得

两边积分得

整理得 llnw-ll=C 2lxl

将W = ^回代，即得原方程通解 X

d 1+丄

（2）原式可化为 ~T = —

血1_2

X

令w = 2t 代入方程得

X

分离变量得 两边积分得

（5）八畔占 ax ax (6) x(x + 2j)j r -j 2 =O,jl xU =l

将“=丄回代，即得原方程通解 X 整理得 2arctan —-ln(x 2 + j 2) = C X

令上，代入方程得 X

分离变量得

将"=丄回代，即得原方程通解 X

⑷原式可化为 ?=f-T--+i

dx 1兀丿 x 令丄，代入方程得 X

分离变量得 两边积分得

将w =^回代，即得原方程通解 X

令上》,则"+上1=上—

x dx u 一 1(3)原式可化为

两边积分得

即 |w + Vw 2-H=Clxl

(5)—)务。 dy_ y? dx xy

- A-

令代入方程得 X

分离变量得 两边积分得

将« = 回代，即得原方程通解 x

将y 1*1=1代入得c=2

于是.特解为

1 •求下列微分方程的通解

⑶(x 2 +l)y f + 2xy = 4x 2

(5) jinjdr + (x — Inj)dy = 0 解(1)这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程 的

通解。分离变量得 两端同时积分，得 得通解为 用常数变易法，把

C 换成C(x)t 即 两边微分，得

(6)原式可化为 与二y ， dr x 1 +2xy 1 + 2上 X

习题

(1)十+y=严

(2) xy f + y = x 2 +3x + 2

⑹(2x-y 2)y r = 2y