(完整版)高中数学基本不等式题型总结
高中数学必修五不等式方法与题型总结
不等式的题型方法总结1 不等式性质1、不等式的性质：课本性质请自己整理。
注意：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：）2.比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法 ；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
一、a b -与0比较大小。
1、基本功练习 1.1 比较3(1)2a ++与34(1a--的大小。
解析：注意立方和差公式。
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++1.2 比较22123x +与32120x +的大小，其中x R ∈。
1.3 ,a b 都是正数，比较112222()()a bb a+大小。
1.4 比较62019x +与422018x x ++的大小，其中x R ∈。
1.5 已知,,,a b c d ∈{正实数}，且b c <，比较ab d +与ac bc d ++的大小。
1.6 已知0,1,0x x m n >≠>>，比较1m m x x+与1n nx x +的大小。
1、综合能力提升2.1 已知正数,,a b c 满足lg a 、lg b 、lg c 成等差数列，比较222a b c -+与2()a b c -+的大小。
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结1. 引言不等式是数学中重要的概念之一，它在数学建模、优化理论、概率论等领域中有着广泛的应用。
基本不等式是解决不等式问题的基础，掌握常用的解题方法对于学习和应用不等式理论至关重要。
本文将系统总结基本不等式题型及常用方法，以帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
2. 一元一次不等式2.1 一元一次线性不等式2.1.1 基本性质：线性函数图像特点、函数值与符号关系在解决一元一次线性函数时，我们首先需要了解线性函数图像的特点。
对于形如ax+b>0或ax+b<0的线性函数，我们可以通过求解对应方程ax+b=0得到临界点x=-b/a，并以此为界将数轴分为两个区间。
在每个区间内，我们可以通过选取任意一个测试点来判断该区间内函数值与符号之间的关系。
2.1.2 解法：图像法、代数法对于一元一次线性不等式，我们可以通过图像法和代数法来解决问题。
图像法是通过绘制线性函数的图像，通过观察函数在不同区间的变化来确定不等式的解集。
代数法则是通过代数运算，将不等式转化为等价的形式，从而得到解集。
例如，对于ax+b>0形式的线性不等式，我们可以将其转化为ax>-b，并根据a的正负性讨论出解集。
2.2 一元一次绝对值不等式绝对值函数是一个常见的非线性函数，在解决绝对值不等式时我们需要特别注意其特点和解题方法。
对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的绝对值不等式，我们可以将其转化为一个或多个线性不等式，并根据这些线性不等式得到最终的解集。
2.3 一元二次根号型不等式二次根号型函数在数学中也有着重要地位，在解决二次根号型函数时我们需要掌握特定方法。
例如，在求解形如√(ax^2+bx+c)>0或√(ax^2+bx+c)<0 的二次根号型函数时，可以通过求出二次方程ax^2+bx+c=0 的两个实数根，并根据根的位置和函数的凹凸性来确定函数值与符号之间的关系。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法一、不等式的基本概念1.不等式的定义不等式是指两个数或者两个代数式之间的大小关系。
不等式中经常涉及到大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号。
2.不等式的解集不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
解集可以是有限的实数集合，也可以是无限的实数集合。
3.不等式的图像表示不等式可以用数轴上标记不同的数和符号表示，从而方便我们对不等式的解集进行直观的了解。
二、不等式的基本性质1.不等式的加减性对于不等式，如果两边同时加上（或减去）同一个数，不等式的方向不变。
即若a > b，则a + c > b + c；若a < b，则a - c < b- c。
2.不等式的乘除性对于不等式，如果两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；如果乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
即若a > b且c > 0，则ac > bc；若a < b且c > 0，则ac < bc；若a > b且c < 0，则ac < bc；若a < b且c < 0，则ac > bc。
3.不等式的转换对于不等式，可以通过变形、合并和分解等方式，将不等式转化为更加简单的形式，从而便于我们求解和分析。
三、不等式的解题方法1.解不等式的基本步骤解不等式的基本步骤包括：（1）对不等式进行变形，使其化简为最简形式；（2）确定不等式的解集的范围；（3）利用不等式的性质，对不等式进行分析和求解。
2.不等式的分类不等式可以分为一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等不同类型。
对于不同类型的不等式，我们需要采用不同的方法和技巧进行求解。
3.一元一次不等式的解法一元一次不等式表示形式为ax + b > 0或ax + b < 0（a≠0），求解一元一次不等式主要有以下几种方法：（1）利用不等式的性质进行分析和求解；（2）通过加减消去法进行变形和求解；（3）通过乘除消去法进行变形和求解。
基本不等式完整版(非常全面)
根本不等式专题辅导一、知识点总结1、根本不等式原始形式〔1〕假设R b a ∈,，则ab b a 222≥+〔2〕假设R b a ∈,，则222b a ab +≤2、根本不等式一般形式〔均值不等式〕假设*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、根本不等式的两个重要变形 〔1〕假设*,R b a ∈，则ab ba ≥+2〔2〕假设*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=〞4、求最值的条件：“一正，二定，三相等〞5、常用结论〔1〕假设0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=〞〕 〔2〕假设0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=〞〕〔3〕假设0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=〞〕〔4〕假设R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ 〔5〕假设*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=〞 6、柯西不等式 〔1〕假设,,,a b c d R∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+〔2〕假设123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：〔3〕设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有二、题型分析题型一：利用根本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 4、,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、〔2013年新课标Ⅱ卷数学〔理〕选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、〔2013年卷〔数学〕选修4—5：不等式选讲0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求以下函数的值域〔1〕22213x x y += 〔2〕)4(x x y -= 〔3〕)0(1>+=x x x y 〔4〕)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 〔一〕〔凑项〕1、2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值； 2、54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值； 题型四：利用不等式求最值 〔二〕〔凑系数〕1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
《基本不等式》17种题型高一
基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。
它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。
在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。
本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。
二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。
三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。
学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。
高中数学：复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答
不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或设相应的一元二次方程的两根为，，则()002≠=++a c bx ax 2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆不等式的解的各种情况如下表：>∆=∆<∆ 二次函数cbx ax y ++=2（）的图象0>a cbx ax y ++=2c bx ax y++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()A x f >D D ()min f x A >若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()B x f <D D ()max f x B<二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax +By +C ，所得到实y x ,y x ,数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥；ab ≤,当且仅当a=b 时取等号.ab 222⎪⎭⎫⎝⎛+b a 3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值;P 2如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值.42S 注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
完整版)基本不等式知识点和基本题型
完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。
高中数学基本不等式题型总结：
高中数学基本不等式题型总结：
一、一元一次不等式
1. 原理：在一元一次不等式中，如果两个不等式的不等号方向
相同，且两个不等式的等号两边都乘以同一个正数或同一个负数，
那么不等式保持不变。
2. 解法：
a. 将不等式化简为标准形式：ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a
和 b 均为实数，且a ≠ 0。
b. 对不等式进行相同操作后得到的不等式，得到不等式的解集。
二、一元二次不等式
1. 原理：在一元二次不等式中，解不等式的关键是确定二次函
数的凹凸性和零点情况。
2. 解法：
a. 将不等式化简为标准形式：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b 和 c 均为实数，且a ≠ 0。
b. 利用一元二次函数的凹凸性和零点情况进行分析，得到不等
式的解集。
三、绝对值不等式
1. 原理：对于绝对值不等式，根据绝对值的定义可分为绝对值大于等于零和绝对值小于等于零两种情况。
2. 解法：
a. 将不等式化简为标准形式：|ax + b| > c、|ax + b| < c 或 |ax + b| ≥ c、|ax + b| ≤ c，其中 a、b 和 c 均为实数，且a ≠ 0。
b. 根据绝对值的定义和不等式方向进行分析，得到不等式的解集。
四、其他常见不等式
1. 根据题目要求和不等式的特点，灵活运用数学运算符和基本不等式的性质，确定不等式的解集。
以上是高中数学中基本的不等式题型总结，希望能对你的研究有所帮助。
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专题 基本不等式
【一】基础知识
基本不等式：)
0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ；
（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.
2.几个重要的不等式
（1）；（2）；()24a b ab +≤(),a b R ∈)+0,0a b a b ≥>>【二】例题分析
【模块1】“1”的巧妙替换
【例1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=41x y
+【变式1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=4x x y
+【变式2】（2013年天津）设， 则的最小值为 .2,0a b b +=>1||2||a a b
+【例2】（2012河西）已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b +【变式】已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b
+=2a b ab ++
【例3】已知，且，则的最小值为 .
0,0x y >>280x y xy +-=x y +【例4】已知正数满足，则的最小值为 .,x y 21x y +=8x y xy
+【例5】已知，若不等式总能成立，则实数的最大值为 . 0,0a b >>212m a b a b
+≥+m
【例6】（2013年天津市第二次六校联考）与圆相交于两点，()1,0by a b +=≠22
1x y +=,A B 为坐标原点，且△为直角三角形，则的最小值为 . O AOB 22
12a b +
【例7】（2012年南开二模）若直线始终平分圆的周长，()2200,0ax by a b -+=>>22
2410x y x y ++-+=则的最小值为 . 11a b
+【例8】设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足12,e e 12,F F P ，则的最小值为
120PF PF ⋅= 22214e e +【例9】已知，则的最小值是（ ）0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=11x y
+
A ．6
B ．5
C ．
D ．3+【例10】已知函数，若，且，则的最小值为 .()4141
x x f x -=+120,0x x >>()()121f x f x +=()12f x x +
【模块二】“和”与“积”混合型
【例1】（2012年天津）设,若直线与轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且与圆,m n R ∈:10l mx ny +-=x l 相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为 .
224x y +=2O AOB ∆【例2】设，，若，，则的最大值为_______.,x y R ∈1,1a b >>2x y a b ==28a b +=11x y
+【例3】若实数满足，则的最大值为 .
,x y 221x y xy ++=x y +【例4】（2013年南开一模）已知正实数满足，则的最小值为 .
,a b 21a b ab ++=a b +
【例5】设，若直线与圆相切，则的取值范围是,m n R ∈()()1120m x n y +++-=()()22111x y -+-=m n +（ ）
（A ） （B ）1⎡+⎣(),11⎡-∞⋃+∞⎣
（C ） （D ）22⎡-+⎣()
,22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知，且成等比数列，则的最小值为 . 1,1x y >>11ln ,,ln 44
x y xy 【例7】（2015天津）已知 则当的值为 时取得最大值.
0,0,8,a b ab >>=a ()22log log 2a b ⋅【例8】（2011年天津）已知，则的最小值为 .
22log log 1a b +≥39a b +
【例9】下列说法正确的是（ ）
A ．函数的最小值为
x x y 2
+=
B ．函数的最小值为)0(sin 2
sin π<<+=x x x y
C ．函数的最小值为
x x y 2+=
D ．函数的最小值为x x y lg 2
lg +=【例10】设的最小值是（
）,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则
A ．10
B ．
C ．．。