必修5 解三角形复习讲义
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
15【精品讲义】高中数学 必修五_《解三角形》全章复习与巩固_知识点讲解+巩固练习(含答案)基础
《解三角形》全章知识复习与巩固【学习目标】1. 通过对任意三角形边长和角度关系的度量，掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形；2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的几何计算问题及相关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】 要点一：正弦定理△ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b cA B C==要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）. （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角与一边，求其它；②已知两边与一边的对角，求其它.（3）在“已知两边与一边的对角，求其它”的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理 在△ABC 中，2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.变形为：222cos 2b c a A bc +-=， 222cos 2a c b B ac +-=， 222cos 2a b c C ab+-=. 要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角；②已知两边和一边的对角，求其它；③已知两边和夹角，求其它.（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别. （3）正、余弦定理可以结合使用. 要点三：三角形的面积公式(1) 111222a b c S ah bh ch ===，其中,,a b c h h h 分别为,,a b c 边上的高； (2) 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===；(3) S =2a b cp ++=. 要点四：三角形形状的判定方法设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ， 1. 解斜三角形的主要依据（1）角与角关系：由于A B C ++=π，由诱导公式可知，()()()sin sin sin sin sin sin A B C B C A A C B +=+=+=，，； ()()()cos cos cos cos cos cos .A B C B C A A C B +=+=-+=-，， ； ()()()tan tan tan tan tan tan A B C B C A A C B +=+=-+=-，， ；sincos ,cos sin 2222A B C A B C++==. （2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理、余弦定理 2. 常用两种途径（1）由正余弦定理将边转化为角； （2）由正余弦定理将角转化为边. 3. 几种常见的判断方法（1）若sin sin A B =，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sin 2sin 2A B =，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； （3）若()sin 0A B -=，则△ABC 为等腰三角形；（4）若()sin 22=0A B -，则△ABC 为等腰三角形或钝角三角形. 要点诠释：（1）化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.（2）在△ABC 中，熟记并会证明：角A ，B ，C 成等差数列⇔B =60°；△ABC 是正三角形的⇔A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 要点五：解三角形应用举例的分类1. 距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；2. 高度问题（最后都转化为解直角三角形）；3. 角度问题；4. 面积问题. 【典型例题】类型一：求解斜三角形中的基本元素例1. △ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． 【思路点拨】确定在在△ABD 中运用正弦定理，将问题转化为求BAD ∠的正弦值. 【解析】由3cos 05ADC ∠=>知2B <π．由已知得12cos 13B =，4sin 5ADC ∠=， 从而sin sin()BAD ADC B ∠=∠-=sin cos cos sin ADC B ADC B ∠-∠412353351351365=⨯-⨯=． 由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin sin BD BAD BAD⋅=∠53313==253365⨯【总结升华】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象.举一反三：【变式1】设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_______.【答案】由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab +-==-⇒=π 【变式2】在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC =AC ＝_______． 【答案】由正弦定理得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即sin 45AC °，得AC ==．类型二：判断三角形的形状（或求角）例2. 在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c ，，，已知1cos24C =-． （1）求sin C 的值；（2）当2a ＝，2sin sin A C ＝时，求b 及c 的长．【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC 的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c ，要求边b ，考虑用余弦定理，即先求出cosC 的值. 【解析】（1）因为21cos212sin 4C C =-=-，及0C <<π，所以sin C =． （2）当a ＝2，2sinA ＝sinC 时，由正弦定理sin sin a cA C=，得c ＝4． 由21cos22cos 14C C =-=-，及0C <<π得cos C = 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得2120b ±-=．解得b =或所以4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩或 4.b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.举一反三：【变式1】在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c ，，，若22a b -，sin C B =，则A 的度数为【答案 】30°sin C B c =⇒=，222222a b a b c c -=⇒--=-2222b c a c ⇒+-=，∴ 2222cos 222b c a c c A bc bc b +-====-==， ∴ A ＝30°【变式2】设△ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c ，，，若三边的长为连续的三个正整数，且320cos A B C b a A =＞＞，，则sin sin sin A B C ：：为（ ）A ．4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4 【答案】D由于a ，b ，c 三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可设三边长分别为 a 、a-1、a-2．又3b=20acosA ，可得cos 20202(2)A a a a ===-解得6a =，故三边是6,5,4.由正弦定理可得sinA ：sinB ：sinC=6:5:4类型三：解决与面积有关的问题例3. 已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．【思路点拨】（1）由正弦定理及三角形的周长，易求出边AB 的长；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用余弦定理求得角C 的余弦值.【解析】（1）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +，两式相减，得1AB =．（2）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C ⋅⋅=，得13BC AC ⋅=，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅ 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +-⋅-==⋅，所以60C =．【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.【变式1】在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝________【答案】由2222cos a b c bc A =+-可得3AC =，故面积1==2S AB AC ⨯. 【变式2】．在△ABC 中，已知8,5BC AC ==，三角形面积为12，则cos2C = . 【答案】725三角形面积S =1sin 2BC AC C ⨯⨯，可得3sin =5C ，故2cos212sin C C = =725. 类型四：三角形的综合应用例4. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．【思路点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B 的正弦值，进而求B ；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.【解析】（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =．（2）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3cos 2A A =3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=，2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有3A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． 【总结升华】本题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 举一反三：【变式1】已知a b c ，，为△ABC 的三个内角A B C ，，的对边，向量m 1-），n ＝（cos sin A A ，）.若m ⊥n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B ＝ 【答案】6π【变式2】已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，△ABC 中三个内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.（1）求()f x 的单调增区间；（2）若()1f B C +=，1a b ==，求角C 的大小.【答案】（I ）因为21()3sin cos cos 2222x x x f x =+- 3cos 13sin sin cos 22121x x x x =+-=++ πsin()6x =+又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），(Z)k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，(Z)k ∈ （2）因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=， 所以2π3A =. 由正弦定理sin sin B Ab a=， 把3,1a b ==代入，得到1sin 2B =， 又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =.类型五：利用正、余弦定理解决实际问题例5. 在2012年的“利剑”军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a 的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如下图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．【思路点拨】首先根据问题的背景，把相关数据标注在图形中，转化到解三角形中求边长的问题，然后根据已知选用相应的定理进行求解，最后把求解的结果还原为实际问题的答案．【解法】解法一：∵ ∠ADC ＝∠ADB+∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴ ∠DAC ＝60°， ∴AD CD ==， 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得sin sin DB CDBCD DBC=∠∠，sin 334sin 2BCD BD CDaDBC ∠+===∠． 在△ADB 中，由余弦定理得，2222cosAB AD BD AD BD ADB=+-⋅⋅∠22233248a a ⎫=+-=⎪⎪⎝⎭， ∴ AB =或AB =， ∴ ． 解法二：（同解法一）AD DC AC ===， 在△BCD中，∠DBC ＝45°，由正弦定理得sin30sin 45BC CD=°°， ∴ BC ， 在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 45ABAC BC AC BC =+-⋅⋅°2223332488a a a =+-=， ∴ AB=或AB =（舍去）， ∴ ． 【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先要明确题意，根据条件和图形特征寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当．举一反三：【变式1】如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C 、D ，测得40CD m =，并且在C 、D 两点分别测得060ACB ∠=，060ADB ∠=，030BCD ∠=，045ADC ∠=，求河的对岸的两点A 、B 间的距离。
必修5解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形一.正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 —=—=—=2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sinC a + b + c a b c = = = . sin A + sin B + sin Csin A sin B sin C 2）化边为角： a : b : c = sin A : sin B : sin C . a sin A b sin B a sin Ab sin B ，c sin C ，csin C 3）化边为角：a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin Csin A a sin B b sin A a • —— •sin B b ' sin C c ' sin C c 'abc sin A =——, sin B =——, sin C =—— 2 R 2 R 2 R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理a =空A ;-=把B b sin B c sin C a sin A = ------- ;求出b 与c c sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a =竺4求出角B,由A+B+C=180o 求出角C,再使用正 b sin B弦定理a = sn A 求出c 边 c sin C 4.△ABC 中，已知锐角A,边b,则①a < b sin A 时，B 无解;②a = b sin A 或a > b 时，B 有—个解③b sin A < a < b 时，B 有两个解。
2.变形：1） 4）化角为边: 5）化角为边:如：①已知A :60。
高中数学第二章解三角形2.1.1正弦定理课件北师大版必修5
中,
sin
=
sin
=
.
sin
【做一做1】
在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则角 B 等于
.
解析:根据已知条件及正弦定理可知 3sin A=2sin Bsin A⇔
3
π
2π
3=2sin B⇔sin B= 2 ,所以角 B 为3 或 3 .
π
2π
答案:3 或 3
知识拓展1.正弦定理的证明
Bcos A,又 sin B≠0,则 sin A= 3cos A,即 tan A= 3,又△ABC 为锐角三
π
角形,所以 A= .
3
答案:(1)7∶5∶3 (2)A
探究一
探究二
探究三
探究二
探究四
思维辨析
利用正弦定理解三角形
【例2】 在△ABC中,
(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C.
(2)若B=30°,b=5, c=5 3 ,求A,C与a.
分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求
出各元素的值.
解:(1)由三角形内角和定理得,
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
sin
由正弦定理得,b=
sin
1
=
sin 105°=sin(60°+45°)=
(5)在△ABC中,若 cos = 1 + cos2 ,则△ABC为等腰三角形或直
角三角形. (
)
答案:(1)
(2)
(3)× (4)× (5)
探究一
探究二
探究一
探究三
探究四
思维辨析
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。
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的距离 ； 代数意义： | a | 0 a 0
a a0
2、 如果 a 0, 则不等式：
(1)
|x| a |x| a (3) | x | a
x a 或x a ；(2)
x a 或x a
axa
；
(4) | x | a
axa
注意 : 上式中的 x 可换成 f(x)
3、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对
注意：
使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：（ a、b 为正数），即
a2 b2 2
ab 2
2 ab
1 1 （当 a = b 时取等）
ab
4、常用的基本不等式：
① a2
b2
2ab a, b
R ；② ab
a2 b2 a,b R
2
； ③ ab ．
2
ab
2
a
0,b
0 ；④ a2 b2
2
ab a, b R
d n2 2
(a1
d )n 2
(2) 找到通项的正负分界线
s a1 0
若 d 0 则 n 有最大值，当 n=k 时取到的
最大值 k 满足
ak 0 ak 1 0
a1 0 d0
若
则sn 有最大值，当 n=k 时取到的最
大
值 k 满足
ak 0 ak 1 0
等比数列
一．定义、如果一个数列从第 2 项起，每一项与
a f ( x ) a g( x ) (0 a 1) f ( x ) g( x )
③对数不等式：
log a f ( x ) log a g( x )( a 1)
f (x) 0
g( x) 0
必修5-解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B R 2=．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin caC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角（唯一解）； 例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a =;sin sin C B c b = ;sin sin CAc a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
（解不定，需要讨论） 例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CAc a sin sin =求出c 边4.（i ）△ABC 中，已知锐角A ，a ，边b ，则先求B sin ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥<==>解解解无解1,2,,1sin 1,1sin ,1sin b a b a B B B如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
必修五-解三角形-讲义
word 格式-可编辑-感谢下载支持人教版数学必修五第一章 解三角形 重难点解析【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。
2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。
4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。
5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。
6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。
【难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。
4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。
5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
【要点内容】 一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==a bcOCAD两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C csin证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD DaA a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
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解三角形复习
【知识梳理】
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有
2sin sin sin a b c R C ===A B ．
2、正弦定理的变形公式：
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④
sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ．
3.解决以下两类问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B
=；（唯一解） ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。
(一解或两解)
4、三角形面积公式：111sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =
A ==
B ．
5．余弦定理：
形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）
6.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
7.三角形ABC 中 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+
⇔⇔∆>+
⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
【典例应用】
题型一：正余弦定理解三角形
1.在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>==V ，求c b ,。
2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A ．090
B ．0120
C ．0135
D ．0150
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. 185
B. 43
C. 23
D. 8
7 4.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=
-+，则角B 的值为（ ） A. 6π B. 3π C.6π或56π D. 3π或23
π 5．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 6.在△ABC 中，a=1,B=450
,2ABC S ∆=,则△ABC 的外接圆的直径是 . 7.在△ABC 中,222sin A sin B+sinBsinC+sin C =,则角A= .
8．在△ABC 中，已知63,3
1cos ,3tan ===
AC C B ，求△ABC 的面积
9． 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和
32
1+=b c ，求A ∠和B tan 的值
题型2：判断三角形形状
例1.在ABC ∆中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ∆的形状.
2． 在ABC ∆中，已知a b a +＝sin sin sin B B A
-,且cos(A －B)＋cosC ＝1－cos2C. 试确定ABC ∆的形状.
3.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形 4 在中，
，则三角形为（ ） A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形 5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 锐角或钝角三角形
6．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
7.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是 .
8. 在ABC ∆中，若（a-c cosB ）sinB=（b-c cosA ）sinA, 则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰或直角三角形
题型3：三角形的解的个数问题
1.已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（）解
A 一
B 两
C 无解
2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（）解
A 一
B 两
C 无解
3.在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是
题型4:取值范围问题
1.已知两线段1=a ，2=
b ，若以a 、b 为边作三角形，则a 边所对的角A 的取值范围（ ）
A ．]6,0(π
B ．)2,0(π
C ．]4,0(π
D ．)3,6(π
π 2．在ABC ∆中，ο60=B ，若此三角形最大边与最小边之比为2:)13(+，则最大内角（）
A ．ο45
B ．ο60
C ．ο75
D ．ο90
3.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 ( )
A.03a <<
B.13a <<
C.34a <<
D.4<a<6
4．在ABC ∆中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，且B A 2=，则b
a 的取值范围是 ． 5. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 ．
6．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。
课堂练习：
1．在ABC ∆中，5=a ，ο105=B ，ο
15=C ，则此三角形的最大边的长为__________．
2．在ABC ∆中，12=+b a ，ο60=A ，ο45=B ，则=a _________，=b ________． 3．在ABC ∆中，若
b B a A cos sin =，则B 的值为（ ） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο60 D ．ο90
4.ABC ∆中，3π
=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）
A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πB 5.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，且ABC S ∆＝222
4
a b c +-，那么角C ＝ 6. 在四边形ABCD 中，
四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求
AB 的长。
7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =， 3AB AC ⋅=u u u r u u u r ． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
8．在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C ，a+c=2b，求此三角形的三边之比。