7.Hamilton力学(中科大朱界杰)
力学概论

力学概论
6
亥姆霍兹
亥姆霍兹说:“一切 自然科学的最后目的,是 把自己变成力学。”“只 要把自然现象归结为简单 的力这件事完成了,并证 明了自然现象只能这样来 归结,那么科学的任务将 就此终结了。”
Hermann von Helmholtz 1821-1894
力学概论
7
19世纪末英国科学家开尔 Lord Kelvin 文说:“我的目标就是要证 (William Thomson) 明,如何建造一个力学模型, 1824-1907 这个模型在我们所思考的无 论什么物理现象中,都将满 足所要求的条件。在我没有 给一种事物建立起一个力学 模型之前,我是永远也不会 满足的。如果我能够成功地 建立起一个模型,我就能理 解它,否则我就不能理解。”
力学概论 33
托勒密的观察很精细,而且制造过不少好的天文仪器, 他发现了天球北极的易位,即岁差现象。他还发现了 星球在近地平线时的快速升高,即光折射的影响。 托勒密的系统是: 地球处于天球的中心; 各行星与日、月绕地球作等速圆周运动,而且还 进行沿着绕自己平均位置为中心的小圆(本轮)作等 速运动。对行星的轨道圆来说,地球的位置是偏心的; 星空是一个以地球为中心的 24 小时旋转一周的球 体。
力学概论 40
哥白尼自画像
力学概论 41
力学概论
42
哥白尼在30岁时回到波兰,那时他舅父在一个大教堂 里当教士,他也就在舅父的教堂里当一名博学教士。 此后他就一直在那里工作到去世。在教堂里,他的任 务是记帐、看病等教堂事务,在余下的时间就去思考 他的宇宙模式。 1512年,他的舅父去世了,他继续在那里工作,并且 在教堂附近的平台上安装了一些简陋的天文仪器,以 供他观察之用。 哥白尼最大的贡献是他积数十年如一日撰写的著作 《天体运行论》,这本书提出了日心说,从而结束了 一千多年的地心说的统治。
材料力学中的名人

照相法、数字散斑面内相关法(DSCM)等。
罗伯特·胡克Robert Hooke
英国物理学家、天文学家。1635年7月18
日生于威特岛的弗雷施瓦特。1662年起
直到逝世一直担任皇家学会实验管理员。
1663年胡克获得了牛津大学文学学士学
位,并被选为皇家学会会员。1665年胡
理问题,并由此得到数学上的发现。他对
积分理论、行星运动理论、热物理、弹性
理论、电磁理论、位势理论和概率论都有
重要贡献。
材料力学方面的贡献
泊松比(Poisson ratio):材料在单向受拉或受
压时,横向正应变与轴向正应变的绝对值的
比值。
• 泊松比µ作为基本的弹性常数,可以由体积
模量K和剪切模量G的比值来确定,满足如下
细胞。用自己制造的显微镜观察植物组织,
于1665年发现了植物细胞(实际上看到的是
细胞壁),并命名为“cell”,至今仍被使用。
光学贡献
在光学方面,胡克是光的波动说的支持
者。1655年,胡克提出了光的波动说,他认
为光的传播与水波的传播相似。1672年胡克
进一步提出了光波是横波的概念。在光学研
究中,胡克更主要的工作是进行了大量的光
导出弹性体的运动方程,发现在弹性介质中可
以传播纵波和横波,并且从理论上推演出各向
同性弹性杆在受到纵向拉伸时,横向收缩应
变与纵向伸长应变之比是一常数,其值为四
分之一。
常用材料弹性模量&泊松比
泊松比的测试方法
1.1 机械方法
运用机械方法测定材料泊松比一般属于接触式测量。
弹性泊松比的测试已经标准化。ASTM规定采用两对引
4.部分习题参考答案(中科大朱界杰)

1. 抛物运动
作用量为
������
=
������
∫
0
1 {2
������(������̇ 2
+
������̇ 2)
−
������������������}
������������
=
������
∫
0
������
1 {(2
������
+
2
������������)
+
1 (2
Hale Waihona Puke ������������������
+∫
������1
{������������ ������������ + ������������������ ������������������} ������������
������2 ������ ������������
������������
������������
������
∫
0
1 2
������[������������������(������,
������)]2������������
������������
+
������2
∫
������1
1 2
������[������������������(������,
������)]2������������
������(���⃗���),
���⃗���(���⃗���),
������)������������
������1
������1
������2 ������������
时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的Noether理论

时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的Noether理论祖启航;朱建青;宋传静【摘要】研究了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 理论.首先,基于Hamilton原理,建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程;其次,根据时间尺度上Hamilton作用量在无限小变换下的广义准不变量,得到了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 等式和守恒量;最后,举例说明结果的应用.【期刊名称】《华中师范大学学报(自然科学版)》【年(卷),期】2017(051)001【总页数】5页(P23-27)【关键词】时间尺度;相空间;非完整系统;Noether等式;守恒量【作者】祖启航;朱建青;宋传静【作者单位】苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;南京理工大学理学院,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】O3161988年德国学者Hilger在他的博士论文[1]中提出测度链上的微积分理论,其主要思想就是把连续和离散进行统一[2-3].时间尺度作为测度链的一种特殊形式,非常具有代表性.目前,时间尺度在动态方程、变分原理、最优控制和经济等相关领域都得到了广泛的应用[4-11].近年来,国内外学者对时间尺度上力学系统的变分问题及其对称性与守恒量进行了研究.Bohner研究了时间尺度上Lagrange方程表达形式及变分问题[12],Barosiewicz等研究了时间尺度上Lagrange系统的Noether理论[13],Cai等研究了时间尺度上非保守和非完整力学系统的Noether理论[14],Song和Zhang建立了时间尺度上Birkhoff方程,给出了Birkhoff系统的Noether等式与守恒量[15].本文基于时间尺度上Hamilton原理,建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程.根据Hamilton作用量在无限小变换下的准不变量,得到了系统的Noether定理.时间尺度上的微积分理论可参阅文献[6].假设力学系统的位形由n个广义坐标来确定,其运动受时间尺度上g个双面理想非Chetaev型非完整约束非完整约束(1)加在虚位移上的限制条件为时间尺度上Lagrange函数为则有时间尺度上Lagrange非完整力学系统的微分方程[14]其中,为非势广义力,λβ是约束乘子.假设系统非奇异,即对约束条件(1)求Δ导数,并将方程(4)显示形式表示出来[7],.由(6)式解得代入(7)式,则可解出约束乘子λβ作为t,qσ,qΔ的函数.方程(4)可表示为其中,引进时间尺度上广义动量和Hamilton函数[9]于是在正则变量p,qσ下,(1)、(2)和(9)式变为时间尺度上非保守力学系统的Hamilton原理为其中,,满足以下交换关系和端点条件将(13)式两边同时乘以,代入(15)式,可得对(11)式两边关于广义动量求偏导数,得到将(19)式代入(18)式,根据Dubois-Reymond定理[12],可得对(20)式求Δ导数,可得方程(19)和(21)称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的运动方程.由(14)式,方程(19)和(21)可进一步表示为称方程(22)为与时间尺度上相空间中非完整系统(12),(19)和(21)相应时间尺度上相空间中完整系统的运动方程.首先,考虑只含有qs,ps变分的情况.相空间中Hamilton作用量表示为定义1称作用量(23)式在变换下为广义准对称不变量,当且仅当对任意区间[ta,tb]⊆[t1,t2],有,其中,ε为无限小参数,ξs和ηs为无限小变换的生成函数,为全变分,为规范函数并且有G=εG.定理1如果作用量(23)式是变换(24)式下的广义准对称不变量,对所有,那么.证明由定义1,方程(25)在任意区间[ta,tb]⊆[t1,t2]上均成立,则(25)式等价于,对(27)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0,则可以得到(26)式.定理2如果作用量I是定义1下的广义准对称不变量,那么系统的守恒量为证明由(22)和(26)式,可得于是得到(28)式.下面将讨论含时间t的无限小变换下的广义准对称不变量.令U是右稠连续可微函数和的集合.对任意qs,ps∈U和ε,映射∈是右稠连续的,而且它是在新的时间尺度上带有前跳算子σ*和导数Δ*的一个象.同时有交换关系[6]:定义2如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量,当且仅当对任意的区间[ta,tb]⊆[t1,t2].t.定理3如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量,那么.证明由定义2,可得,由于区间[ta,tb]是[t1,t2]的任意子区间,所以有,对(34)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0,则可得等式(32).(32)式就称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether等式.定理4如果作用量I是定义2下的广义准对称不变量,那么系统的守恒量为证明令,当时,则根据等式(33)有,t.由于=t,则有,).由定义1可知,泛函是在={}上的无限小变换的准不变量.因此当=t,由定理2可得.又因为,其中,∂1H表示对函数H中第一个变量求偏导数.将(41)、(42)式代入(40)式,则可得(35)式.定理4称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的广义Noether定理,根据这个定理可由已知的广义准对称不变量得到系统的守恒量.定义时间尺度,假设系统的Lagrange函数为所受的非完整约束为该约束为非Chetaev型的,虚位移满足根据(10)式和(11)式,有广义动量和Hamilton函数,将Hamilton函数代入(21)式,则有由(44),(46)和(47)式,求得于是有根据(32)式和(2)式,可得对(50)和(51)式进行求解所以根据定理4,可得到守恒量时间尺度将离散和连续进行了统一,研究时间尺度在分析力学的应用并寻求相应的守恒量.本文通过时间尺度上Hamilton原理,建立时间尺度上非Chetaev型非完整Hamilton方程.定义了时间尺度上相空间中的广义准不变量,得到系统的Noether等式和守恒量.本文结果具有普遍性,当约束条件时,结论可退化为时间尺度上相空间中Chetaev型非完整力学系统的Noether的理论.同时,可进一步拓展到时间尺度最优控制,约束Birkhoff力学系统等.致谢:作者对张毅教授的悉心指导深表感谢!【相关文献】[1] HILGER S. Ein maβkettenkalkul mit anwendung auf zentrumsmannigfaltigkeiten[D]. Wurzburg:Universität Wurzburg, 1988.[2] HILGER S. Analysis on measure chains-a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results Math, 1990, 18(1-2):18-56.[3] HILGER S. Differential and difference calculus-unified[J]. Nonlinear Anal, 1997,30(5):2683-2694.[4] AGARWAL R P, BOHNER M. Basic calculus on time scales and some of its applications[J]. Results Math, 1999, 35(1-2):3-22.[5] AGARWAL R P, BOHNER M, PETERSON A. Inequalities on time scales: a survey [J]. J Math Inequ Appl, 2001, 4(4):535-557.[6] BOHNER M, PETERSON A. Dynamic equations on time scales, An Introduction with applications[M]. Boston: Birkhäuser, 2001.[7] BOHNER M, GUSEINOV G SH. Partial differentiation on time scales[J]. Dyn Syst Appl,2004, 13(3): 351-379.[8] ATICI F M, BILES D C, LEBEDINSKY A. An application of time scales to economics[J]. Math Comput Model, 2006, 43(7-8): 718-726.[9] AHLBRANDDT C D, BOHNER M, RIEDNHOUR J. Hamiltonian systems on time scales[J]. J Math Appl Anal, 2000, 250(2): 561-578.[10] HILSCHER R, ZEIDAN V. Weak maximum principle and accessory problem for control problems on time scales[J]. Nonlinear Anal, 2009, 70(9):3209-3226.[11] HILSCHER R, ZEIDAN V. Calculus of variations on time scales: Weak local piecewise solutions with variable endpoints[J]. J. Math Anal Appl, 2004, 289(1):143-166.[12] BOHNER M. Calculus of variations on time scales[J]. Dyn Syst Appl, 2004,13(12):339-349.[13] BARTOSIEWICZ Z, TORRES D F M. Noether theorem on time scales[J]. J Math Anal Appl, 2007, 342(2): 1220-1226.[14] CAI P P, FU J L, GUO Y X. Noether symmetries of the nonconservative and nonholonomic system on time scales[J]. Sci China: Phys Mech Astron, 2013,56(5):1017-1028.[15] SONG C J, ZHANG Y. Noether theorem for Birkhoffian systems on time scales[J]. J Math Phys, 2015, 56(10): 102701(1-7).。
中科大林子靖高等量子力学课件2013

4)关于学习本高量课程的基本建议
• 物理-自然的科学-研究物质运动最一般的规律及物质 的基本结构的学科 • 量子力学:反映微观世界中物质运动规律性的理论; 介观和宏观物质体系性质与现象的基础 • 物质世界的基本规律通过数学理论表述:数学形式/物 理解释 • Paradox/interpretation • Richard Feynman: “A paradox is only a confusion in our own understanding.” 实用性原则: • 学习量子力学的数学理论基础与应用,不为“非本征” 解释带来的哲学困惑所干扰
3) 实践是重大物理发现的源泉
• 经典物理、相对论、量子力学
量子力学的发展对人类的物质文明有巨大贡献: 宏观现象与性质有其微观起源 • 物质的宏观形态的性质及化学基本结构与现象的 基础 众多的技术应用与进步 对哲学思想影响深刻而长远
• Jordan & Wigner对所有场进行量子化的方法:真空不空 • 客观实在与否:认知的主观性(测量的作用) • 理论完备性(纠缠态非局域性/隐变量) • 现象新奇性(“非波非粒,亦波亦粒”) (相对论对时空观、宇宙学影响重大,理论思想得到广泛接受)
教材
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised edition, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 1994 (Editor: San Fu TUAN); ISBN: 0-201-53929-2
• de Broglie波提供了适用于所有物理基本单元的新原理: 将世界看做由多场而非多点粒子作用组成而使所有物 理得到统一(量子场论/粒子物理)(一种消除电磁力 与其所作用粒子区分的二象性) • 直接启发了薛定谔波方程,也比海森堡思想自洽
中科大力学课件

中科大力学课件一、教学内容本节课的教学内容出自中科大力学课件,主要涉及力学的基本概念、牛顿三定律、能量守恒定律等。
具体内容包括:1. 力学基本概念:力、质量、速度、加速度等;2. 牛顿三定律:第一定律(惯性定律)、第二定律(加速度定律)、第三定律(作用与反作用定律);3. 能量守恒定律:动能、势能、机械能的转化与守恒。
二、教学目标1. 使学生掌握力学基本概念,理解牛顿三定律和能量守恒定律;2. 培养学生运用力学知识解决实际问题的能力;3. 增强学生对科学的兴趣,提高学生的科学素养。
三、教学难点与重点重点:力学基本概念、牛顿三定律、能量守恒定律;难点:牛顿第二定律的应用,能量守恒定律在实际问题中的运用。
四、教具与学具准备教具:PPT、黑板、粉笔;学具:笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入:讲解力的作用,如拉力、压力、摩擦力等,让学生感受力学在生活中的应用;2. 讲解力学基本概念,如力、质量、速度、加速度等,并结合实例进行解释;3. 阐述牛顿三定律,通过示例和练习使学生理解并掌握定律内容;4. 讲解能量守恒定律,引导学生理解动能、势能、机械能的转化与守恒;5. 针对教学难点,通过例题讲解和随堂练习,帮助学生掌握牛顿第二定律的应用和能量守恒定律在实际问题中的运用;6. 课堂互动:提问学生对力学知识的理解和应用,鼓励学生发表自己的观点和看法;六、板书设计板书内容主要包括:力学基本概念、牛顿三定律、能量守恒定律。
板书设计要求简洁明了,重点突出,方便学生理解和记忆。
七、作业设计作业题目:1. 解释力、质量、速度、加速度等力学基本概念,并结合实例进行说明;2. 运用牛顿三定律,分析并解答实际问题;答案:1. 力是物体之间相互作用的结果,质量是物体所具有的惯性大小,速度是物体在单位时间内移动的距离,加速度是物体速度变化的快慢;2. 实例:一个物体在水平面上受到一个恒定的力作用,根据牛顿第二定律,物体的加速度与作用力成正比,与物体质量成反比;3. 实例:一个物体从高处自由落下,重力势能转化为动能,根据能量守恒定律,重力势能的减少等于动能的增加。
高等流体力学1混沌-4

第一章 流体中的混沌(4)
朱克勤 彭杰
航天航空学院
2010年春季学期
2010-3-24
1
1.5 ABC 流和Lagrangian混沌
1.5.1 螺旋度密度 (Helicity density)
螺旋度(Moffatt 1969)
H
(t
)
=
G
∫∫∫V
⋅ωGdΩ
其中螺旋度密度场
h
(
G r,
速度分布代入Euler方程
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪
u u
∂u
∂x ∂v
∂x
+ +
v v
∂u
∂y ∂v
∂y
+ +
w w
∂u
∂z ∂v
∂z
= =
− −
1
ρ
1
ρ
∂p
∂x ∂p
∂y
2010-3-24
⎪⎪⎩u
∂w ∂x
+
v
∂w ∂y
+
w ∂w ∂z
=
−
1
ρ
∂p ∂z
8
得到
⎧ ⎪ ⎪
∂p ∂x
=
ρ
(BC
sin
y
⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 2 5⎠
Z Z
2
1.5
z1
0.5
0 0
1 4
2 3
0.5
y1 Y
1.5
0
0.5
x1
1.5
2
2
X X
2
1.5
z1
5 6
8 7
0.5
0
0
0.5
2024年中科大理论力学课后习题答案

注意事项
在使用课后习题答案时,学生需要注意以下几点:一是不要完全依赖答案,要 注重自己的思考和总结;二是要注意答案的适用范围和条件,避免盲目套用; 三是要及时反馈和纠正答案中的错误或不足之处。
2024/2/29
6
02 质点与刚体运动 学
2024/2/29
7
质点运动学基本概念
质点的定义
质点是一个理想化的物理模型,忽略 物体的形状和大小,只考虑其质量。
2024/2/29
02
答案
根据牛顿第二定律,合外力$F_{ 合}=ma$,则合外力做的功 $W_{合}=F_{合}l=mal$,其中 $l=v_{0}t+frac{1}{2}at^{2}$为 物体在t时间内的位移。功率 $P_{合}=F_{合}v=mav$,其中 v为物体在t时刻的瞬时速度, $v=v_{0}+at$。
15
实际应用举例及拓展
2024/2/29
01
应用一
汽车行驶过程中的动力学分析。汽车行驶时受到发动机的动力、地面的
摩擦力和空气阻力等作用,通过动力学分析可以优化汽车的设计和行驶
性能。
02
应用二
航空航天领域的动力学问题。航空航天领域涉及大量的动力学问题,如
火箭发射、卫星轨道计算等,需要运用动力学原理进行精确分析和计算
03 题目2
一轻绳跨过定滑轮,两端分别系 有质量为m1和m2的物体,且 m1>m2,开始时两物体均静止 ,当剪断轻绳后,求两物体的加 速度和速度变化。
25
04
答案
剪断轻绳后,两物体均做自由落 体运动,加速度均为g。由于两 物体初始时刻均静止,因此速度 变化量相同,即$Delta v=gt$, 其中t为物体下落的时间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
得������������ = ������������(������1, ⋯ , ������������)之后代入,以完成变量代换。这个方程可解的条件是
det
(������������������������������������)
=
det
������2������ (������������������ ������������������ )
称������(������, ������, ������)为哈密顿量或者哈密顿正则函数。
广义能量函数和哈密顿量是同一个物理量,只是自变量不同。
4. 保守系统的 HAMILTON 方程
对广义能量函数微分,
������������(������, ������, ������̇ ) = ������{������������������̇������ − ������(������, ������, ������̇ )}
������ ������������ +������̇ ������ ������������������
利用广义动量的定义������������ = ������������/������������̇������消去������������̇������项,再由拉氏方程
������������ ������ ������������ ������������������ = ������������ ������������̇������ = ������̇������
得
3 / 37
对哈密顿量微分
������������(������,
������,
������̇ )
=
−
������������ ������������
������������
−
������̇������ ������������������ +������̇ ������ ������������������
���������⃗���1(������, ������) ������������������
,
���������⃗���2(������, ������������������
������)
,
⋯
,
���������⃗���������(������, ������������������
������)
⋅
���������⃗���������(������, ������������
������)
������̇ ������
+
1 2
������
∑
������=1
������������
���������⃗���������(������, ������������
������)
⋅
���������⃗���������(������, ������������
������2������(������, ������, ������̇ ) ������������̇ ������ ������������̇ ������
是对称正定矩阵,行列式非零。
当拉格朗日力学被应用到非力学系统时,上述证明不适用。但一般来说,系统仍然是非奇异 的。
将拉格朗日方程变换为哈密顿方程,所需的变换为 Legendre 变换。
−
������������ ������������
������������
−
������̇������ ������������������ +������̇ ������ ������������������ =
������������ ������������
������������
+
������������ ������������������
≠
0
补充习题:证明 Legendre 变换是对合的(involutive),即对������(������)进行 Legendre 变换,可得������(������)。
3. HAMILTON 正则函数
对拉氏量������ = ������(������, ������, ������̇ )作 Legendre 变换
两者相等,
������������ ������������������� Nhomakorabea����
������������(������, ������, ������) = ������������ ������������ + ������������������ ������������������ + ������������������ ������������������
������)
������2������(������, ������, ������̇ ) ������������̇ ������ ������������̇ ������
=
������2������(������, ������, ������̇ ) ������������̇ ������ ������������̇ ������
第 7 章 HAMILTON 力学
一、 HAMILTON 方程
������个的 2 阶常微分方程等价于2������个 1 阶常微分方程,例如牛顿方程可以改写成
���⃗��� = ���������⃗���̈ ⇔
���������⃗��� ������������
=
���⃗���
���������⃗���
⋅
���������⃗���������(������, ������) ������������������
������̇ ������ ������̇ ������
+
������
∑
������=1
������������
���������⃗���������(������, ������) ������������������
=
det
������2������(������, ������, ������̇ ) ( ������������̇������������������̇������ )
≠
0
������(������, ������, ������̇ ) = ������(������, ������, ������̇ ) − ������(������, ������)
补充习题:考虑带电粒子在电磁场中的拉氏量,证明 Legendre 变换是可行的。
2. LEGENDRE 变换
设函数������ = ������(������1, ⋯ , ������������),记梯度为
引进函数
������������ ������������ ≝ ������������������
������(������1, ⋯ , ������������) ≝ ������������������������ − ������(������1, ⋯ , ������������) 等式右边的������������必须通过求解方程组
2 / 37
������������ ������������ = ������������������
������������(������, ������, ������̇ ) ������������ = ������������(������, ������, ������̇ ) = ������������̇������ 这些变量被看成是2������维相空间的坐标,������������称为正则坐标,������������称为正则动量,(������������, ������������)称为一对共 轭的正则变量。
不全为 0,否则说明广义坐标改变时,质点组的位形没有变化,
Δ���⃗���������
=
���������⃗���������(������, ������) ������������������
������������=0,
即广义坐标有奇异性。所以
������ = 1,2, ⋯ , ������
哈密顿力学与量子力学有更直接的对应关系。
相比拉格朗日力学,哈密顿力学的缺点是不协变,对简单问题求解比拉氏方程麻烦。
1. 相空间
除了时间,拉氏量������ = ������(������, ������, ������̇ )的自变量是广义坐标和广义动量
������������, ������̇������, ������ = 1,2, ⋯ , ������. 在哈密顿力学中,自变量取为广义坐标������������和广义动量
=
������
∑
������=1
������������
���������⃗���������(������, ������) ������������������
⋅
���������⃗���������(������, ������) ������������������
恰当定义的(well-defined)广义坐标,对任意������ = 1,2, ⋯ , ������, 偏导数
������������(������, ������, ������̇ ) ������������ = ������������̇������ 反解出������̇������(������, ������, ������),代入������(������, ������, ������̇ )的表达式, ������(������, ������, ������) = ������(������, ������, ������̇ (������, ������, ������))