函数的奇偶性练习题[(附答案)

函数的奇偶性1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（ ）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)⋃(2,+∞)D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,(1)求a,b,c 的值;(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．10下列四个命题：（1）f （x ）=1是偶函数；（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函数； （4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．411下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 12若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是（ ） A ．（a ，f （－a ）） B ．（－sin a ，－f （－sin a ））C ．（－lg a ，－f （lg a1）） D ．（－a ，－f （a ））13. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。

14.已知22()21x x a a f x ⋅+-=+是R 上的奇函数，则a =15.若f (x )为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f (-2)=0，则xf (x )<0的解集为________16.已知y=f (x )是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，则f (1－x 2)是增函数的区间是17.已知)21121()(+-=x x x f （1）判断f （x ）的奇偶性； （2）证明f （x ）>0。

答案1.【提示或答案】 D【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。

2.【提示或答案】A【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念 3.【提示或答案】D【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想 【变式与拓展】1：f(x)是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上递减，那么一定有( ）A ．)1()43(2+->-a a f fB ．)1()43(2+-≥-a a f fC ．)1()43(2+-<-a a f f D ．)1()43(2+-≤-a a f f【变式与拓展】2：奇函数f(x )在区间[3，7]上递增，且最小值为5，那么在区间[－7，－3] 上是（ ）A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5 4. 【提示或答案】f (x )=-x -x 4【变式与拓展】已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，x >0时，f （x ）=x 2－2x +3，则f （x ）=________________。

【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式 5．【提示或答案】解(1)此函数的定义域为R .∵f (-x )+f (x )＝lg x x )＝lg 1＝0∴f (-x )＝-f (x )，即f (x )是奇函数。

(2)此函数定义域为｛2｝，故f (x )是非奇非偶函数。

（3）∵函数f （x ）定义域（－∞，0）∪（0，+∞），当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数.【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性 6．解：设2()f x ax bx c =++则2()()(1)3f x g x a x bx c +=-++-是奇函数101,303a a c c -==⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩2221()3()324b f x x bx x b =++=++-（1）当122b-≤-≤≤≤即-4b 2时，最小值为：21314b -=b ⇒=±2()3b f x x ∴=-=-+（2）当242bb -><-即时,f (2)=1无解； （3）当122bb -<->即时，2(1)13,()33f b f x x x -=⇒==++综上得：2()3f x x =-+或 2()33f x x x =++【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式，渗透数形结合 7. 【提示或答案】 -1<1-a<1 -1<1-a 2<1f(1-a)<- f(1-a 2)=f(a 2-1),1-a> a 2-1得0<a<1 【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题 8．【提示或答案】 解(1)()f x 是奇函数，则2221110ax ax ax c bx c bx c bx c+++=-=⇒=-++--由(1)212f a b =+=得,由2(2)30121a f a a -<⇒<⇒-<<+ 又,0,1a N a ∈∴=.当10,,.2a b N ==∉时舍去当a=1时,b=1,211()x f x x x x +==+【基础知识聚焦】结合具体函数，考查函数性质9【提示或答案】分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=－x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=－x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k·3x＜-3x+9x+2，32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．令f(t)=t2－(1+k)t+2,其对称轴12k x+ =当10,12kk+<<-即时,f(0)=2>0,符合题意;当12k+≥时,对任意t>0,f(t)>0恒成立212(1)42011kkk+⎧≥⎪⇒⎨⎪∆=+-⨯<⎩-≤<-+解得综上所述,所求k的取值范围是(,1-∞-+【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题，使学生掌握方法。

10【提示或答案】B11【提示或答案】D12【提示或答案】D【基础知识聚焦】掌握奇偶函数的性质及图象特征13【提示或答案】6【基础知识聚焦】考查奇偶性及整体思想【变式与拓展】：f（x）=ax3+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。

14【提示或答案】由f(0)=0得a=1【基础知识聚焦】考查奇偶性。

若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0；f(x)为偶函数 f(x)=f(|x|)15【提示或答案】画图可知，解集为(,2)(2,)-∞-+∞;16【提示或答案】x<-1,0<x<117【提示或答案】（1）偶函数（2）x>0时，f(x)>0,x<0时-x>0,f(x)=f(-x)>0。