分离变量法(非齐次方程的求解问题)

于是: 第一步:设所求的解为
∞
nπ x ⎫ ⎧ ⎨ s in ⎬ l ⎭ ⎩
nπ x u ( x, t ) = ∑ un ( t ) sin l n =1
其中 un ( t ) 是 t 的待定函数
(1.1)
第二步:将方程中的自由项 f ( x, t ) 也按上述固有函数 展开成傅立叶级数
nπ x f ( x, t ) = ∑ f n ( t ) sin l n =1
二阶非齐次常系数微分方程：
y + py + qy = f ( t )
'' '
齐次通解：
y = C 1 y1 ( t ) + C 2 y 2 ( t )
非齐次特解： y * = C 1 ( t ) y1 ( t ) + C 2 ( t ) y 2 ( t ) 非齐次特解：
y = ( C 1 + C 1 ( t )) y1 ( t ) + ( C 2 + C 2 ( t )) y 2 ( t )
C1 , C2满足 ′ ⎧C1′(t ) y1 (t ) + C2 (t ) y2 (t ) = 0 ⎨ ′ ′ ′ ⎩C1′(t ) y1 (t ) + C2 (t ) y2 (t ) = 0 0 y2 y1 0 ′ ′ f y2 y1 f ′ C1′(t )＝ , C2 (t )＝ y1 y2 y1 y2 ′ ′ ′ ′ y1 y2 y1 y2
( t > 0)
(t > 0)
(t > 0)
作业：下面我们根据所学的方法,思考下列非齐次边界条 件的定解问题: 1.有限长杆的导热问题:
( 0 < x < l, t > 0) u ( 0, t ) = A, u ( l , t ) = B (t > 0)
ut = a uxx + f ( x)
2
u ( x, 0) = g ( x)
选取辅助函数: w
(x , t )
(t > 0)
满足条件:
使对于新未知函数 即
v
( x , t ) 边界条件是齐次的
v ( 0, t ) = v ( l , t ) = 0
这就要求
w
(x , t )
w ( 0, t ) = u1 ( t ) , w ( l , t ) = u2 ( t )
(t > 0)
因此,令:
x u ( x , t ) = v ( x , t ) + ⎡ u 2 ( t ) − u1 ( t ) ⎤ + u1 ( t ) ⎣ ⎦ l
则原定解问题转化为如下问题:
vtt = a vxx + f1 ( x, t ) ( 0 < x < l, t > 0)
2
(**)
v ( 0, t ) = v ( l , t ) = 0
un (t ) =
∫ nπ a
l
t
0
nπ a (t − τ ) f n (τ )sin dτ l
其次,我们考察下列定解问题:
utt = a uxx + f ( x, t ) ( 0 < x < l, t > 0)
2
(**)
u ( 0, t ) = u ( l , t ) = 0
(t > 0)
u ( x , 0 ) = ϕ ( x ) , ut ( x , 0 ) = ψ ( x )
nπ a nπ a un (t ) = c1 cos t + c2 sin t+ l l t l nπ a nπ a − τ dτ cos f n (τ )sin t+ ∫0 nπ a l l t l nπ a nπ a τ dτ sin f n (τ ) cos t ∫0 nπ a l l
∵un ( 0) = 0 , un ' ( 0) = 0 ∴c1 = c2 = 0
∞
其中
2 f n (t ) = l
∫
l 0
nπ x f ( x , t ) sin dx l
( n = 1, 2 )
(1.2)
将(1.1), (1.2)式代入(1)式得:
⎛ ⎞ ′′ ( t ) + ⎜ nπ a ⎟ un ( t ) − f n ( t )]sin nπ x = 0 ∑[un l ⎝ l ⎠ n =1
utt = a uxx + f ( x, t )
2
( 0 < x < l,
t > 0)
u ( 0, t ) = u1 ( t ) , u ( l , t ) = u2 ( t )
u ( x , 0 ) = ϕ ( x ) , ut ( x , 0 ) = ψ ( x )
(t > 0)
令
u ( x, t ) = v ( x, t ) + w ( x, t )
λn ≥ 0
(n
, yn
= 1, 2
)
对应于这些固有值,有无穷多个固有函数:
(x ),
y2
(x ),
(x ),
(2)固有函数
yn
( x ) 构成一个带权函数 ρ ( x )
(m
≠ n)
的正交函数系,即:
∫
b a
ρ ( x ) y m ( x ) y n ( x ) dx = 0
f
在
(3)若函数
(x
x ψ 1 ( x ) = ψ ( x ) − ⎡ u 2 ' ( 0 ) − u1 ' ( 0 ) ⎤ − u1 ' ( 0 ) ⎦ l ⎣
问题(**)的解法利用上一节的知识可以求解,这样对于 具有非齐次边界条件的问题就可以解决了.
下面考虑边界条件不是第一类的情况,就下面几种非 齐次边界条件的情况,分别给出相应的辅助函数:
2.5 固有值与固有函数
本章学习了应用分离变量法求解弦振动方程,一维 热传导方程和二维拉普拉斯方程的有关定解问题时, 都需要解决一个含参变量的常微份方程的边值问题 称为固有值问题. 这个问题在下面章节还会遇到. 方程:
d ⎛ dy ⎜ p (x) dx ⎝ dx
⎞ ⎟ − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 ⎠
( 0 < x < l, t > 0) u ( 0, t ) = u ( l , t ) = 0 (t > 0)
ut = a uxx + A
2
u ( x, 0) = 0
2.以原点为中心以1为半径的圆内,求解泊松方程:
uxx + uyy = −2 x
的解,使它满足边界条件:
u
x2 + y2 =1
=0
2
根的三种情况：
⎧ r1 ≠ r2 ⎪ ⎨ r1 = r2 = r ⎪r = α ± i β ⎩
得常系数微 分方程的通 解：
⎧ y = C1e r1x + C2 e r2 x ⎪ rx rx ⎨ y = C1e + C2 xe ⎪ y = eα x (C cos β x + C sin β x ) 1 2 ⎩
2
表示仅由强迫力引起的弦振动位移
它满足:
vtt = a vxx + f ( x, t ) ( 0 < x < l, t > 0)
v ( 0, t ) = v ( l , t ) = 0
v ( x , 0 ) = vt ( x , 0 ) = 0
(t > 0)
而
w ( x, t )
则表示由初始状态引起的弦振动位移
于是得常微方程初值问题:
⎛ nπ a ⎞ un '' ( t ) + ⎜ ⎟ un ( t ) = f n ( t ) n = 1, 2 ⎝ l ⎠
2
un ( 0) = 0 , un ' ( 0) = 0
应用常微方程参数变异法, 可求出（具体解法见下页）
un ( t ) =
nπ a ∫
l
t
0
nπ a ( t − τ ) f n (τ ) sin dτ l
它满足:
wtt = a wxx
2
( 0 < x < l,
t > 0)
w ( 0, t ) = w ( l , t ) = 0
(t > 0)
w ( x , 0 ) = ϕ ( x ) , wt ( x , 0 ) = ψ ( x )
对于这两个问题,由前面学习的内容,我们都可以解决。
作业：下面我们根据所学的方法,思考下列非齐次方程定 解问题: 1.有限长杆的导热问题:
(t > 0)
1
v ( x , 0 ) = ϕ 1 ( x ) , vt ( x , 0 ) = ψ
(x)
其中:
x f1 ( x, t ) = f ( x, t ) − ⎡ u2 '' ( t ) − u1 '' ( t ) ⎤ − u1 ' ( t ) ⎣ ⎦ l x ϕ 1 ( x ) = ϕ ( x ) − ⎡ u 2 ( 0 ) − u1 ( 0 ) ⎤ − u1 ( 0 ) ⎦ l ⎣
∞
2
由此得:
⎛ nπ a ⎞ un ′′ ( t ) + ⎜ ⎟ un ( t ) = f n ( t ) n = 1, 2 ⎝ l ⎠
结合初始条件(3)可知:
2
un ( 0) = 0 , un ' ( 0) = 0
附录:
y 二阶常系数微分方程： + py + qy = 0
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