初中数学几何专题《角平分线》精讲
角平分线的性质教学课件
三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
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角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。
三角形角平分线专题讲解
二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法图1-1B图1-2DBC来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
2022年九年级中考数学冲刺-几何模型讲义
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
角平分线课件
角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
人教版数学八上第9讲角的平分线的性质(基础)知识讲解
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF.【思路点拨】利用角平分线的性质可得DE ＝DC ，为证明三角形全等提供了条件.【答案与解析】证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE ＝DC （角的平分线上的点到角两边的距离相等）在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE ＝CF【总结升华】有角平分线的条件，又有到角两边的垂线段，要考虑角平分线的性质定理.2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE ＝AE＋BE＝AB＝6.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=，则△ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2的面积之比为（）A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．:3:23、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论.【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE ＝CF ．求证：AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴DE ＝DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是角平分线．【巩固练习】一.选择题1. AD 是△ABC 的角平分线, 自D 点向AB 、AC 两边作垂线, 垂足为E 、F, 那么下列结论中错误的是( )A.DE ＝ DFB. AE ＝ AFC.BD ＝ CDD. ∠ADE ＝ ∠ADF2．如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）A ．mn 31B ．mn 21C ．mnD ．2mn3. 如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D. 44. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三角形三条高线的交点B.三角形三条中线的交点C．三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点5. 如图，下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是（）A．△PBA≌△PDC B. △AOD≌△COBC. AB⊥PD，DC⊥PBD.点O到∠APB两边的距离相等.6. 已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5cm，则直线AB与CD的距离为（）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm二.填空题7．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC 的长为_____cm．8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6cm，那么线段BE是△ABC的，AE＋DE＝。
角平分线的性质教学课件
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
初中数学 什么是角平分线和中位线的性质
初中数学什么是角平分线和中位线的性质角平分线和中位线是初中数学中常见的概念，它们在几何中具有重要的性质和应用。
在本文中，我们将详细讨论角平分线和中位线的定义、性质以及它们的应用。
一、角平分线的定义和性质：1. 角平分线的定义：在一个角中，从顶点引出一条射线，将这个角分成两个相等的角，那么这条射线就称为角的平分线。
2. 角平分线的性质：- 角平分线将角分成两个相等的角：角平分线将一个角分成两个相等的角，即两个被平分的角具有相等的度数。
- 角平分线与角的两边相交：角平分线从角的顶点引出，与角的两边相交于两个不同的点。
二、中位线的定义和性质：1. 中位线的定义：在一个三角形中，连接两个非顶点的中点的线段称为中位线。
2. 中位线的性质：- 中位线将三角形分成两个等腰三角形：中位线将一个三角形分成两个面积相等的等腰三角形，即由中位线分割出的两个三角形的底边相等，高也相等。
- 三条中位线交于一点：三角形的三条中位线交于一点，这个交点称为三角形的重心。
三、角平分线和中位线的应用：1. 角平分线的应用：- 证明角的相等：通过角平分线的性质，可以证明两个角是相等的，从而在几何证明中起到重要的作用。
- 构造角：通过已知角的平分线，可以准确地构造出所需的角。
- 解决问题：角平分线的概念可以应用于解决实际问题，如定位和测量。
2. 中位线的应用：- 分割三角形：中位线将三角形分割成两个等腰三角形，可以帮助我们计算三角形的面积或找到等腰三角形的性质。
- 证明三角形的相似性：通过中位线的性质，可以证明两个三角形是相似的，从而在几何证明中起到重要的作用。
- 定位和测量：中位线的概念可以应用于实际问题中，如定位和测量三角形的重心。
综上所述，角平分线和中位线是初中数学中重要的几何概念。
通过了解它们的定义和性质，我们可以更好地理解和应用于相关的问题，包括证明角的相等、构造角、计算三角形的面积、证明三角形的相似性以及定位和测量等。