数学建模的基本方法
数学建模的基本步骤及方法
数学建模的基本步骤及方法数学建模是一种应用数学的方法，通过对实际问题进行抽象和建立数学模型，以求解问题或进行预测和模拟。
它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
本文将介绍数学建模的基本步骤及方法。
一、问题理解与建模目标确定在进行数学建模之前，首先需要对问题进行全面的理解，并明确建模的目标。
了解问题的背景、限制条件和需求，明确要解决的主要问题。
确定建模目标是指明建模的最终目的，如是否需要进行预测，求解最优解或模拟系统行为等。
二、问题假设与参数设定在建立数学模型时，为了简化问题和计算，我们常常需要进行一些假设。
假设可以是对某些变量的约束条件，或对系统行为的特定假设。
另外，还需要确定模型中的参数，即直接影响模型行为和计算结果的变量值。
三、模型构建与分析模型构建是指根据问题的特性和建模目标，选择适当的数学方法和公式，将问题转化为数学表达式。
常用的数学方法包括微积分、线性代数、随机过程等。
模型构建后，需要对模型进行分析，检验模型的可行性和有效性，评估模型与实际问题的拟合程度。
四、模型求解与结果验证模型的求解是指通过计算或优化方法，求得模型的解析解或数值解。
求解的方法多种多样，如数值计算、优化算法、模拟仿真等。
求解后，需要对结果进行验证，比较模型求解的结果与实际情况的差异，并分析产生差异的原因。
五、结果分析与报告撰写对模型的结果进行分析是数学建模的重要环节。
通过对结果的解释和分析，了解模型对问题的预测、优化或模拟效果。
在分析过程中，需要注意结果的合理性和稳定性，以及对结果的可靠性和可解释性进行评估。
最后，撰写模型报告，将整个建模过程和结果进行系统化的呈现和总结，并提出进一步改进的建议。
六、模型验证与应用模型验证是指将建立好的数学模型应用于实际问题，并进行实验验证和应用效果评估。
通过与实际数据和实验结果进行比较，验证模型的有效性和适用性。
若模型符合实际要求，则可以将其应用于类似问题的求解和预测。
数学建模的基本步骤与方法
数学建模的基本步骤与方法数学建模是利用数学方法和技巧对实际问题进行数学化描述和分析的一门学科。
它在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学建模的基本步骤与方法。
一、问题的分析与理解在进行数学建模之前，首先要对问题进行充分的分析与理解。
这包括对问题的背景、目标和约束条件的明确，以及对问题所涉及的各个因素和变量的了解。
只有充分理解问题，才能设计合理的数学模型。
二、建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤。
模型是对实际问题的一种抽象和简化，通过数学表达来描述问题的关系和规律。
建立数学模型的关键是要确定问题的输入、输出和中间变量，以及它们之间的函数关系或约束条件。
在建立数学模型时，可以使用各种数学方法和技巧。
例如，可以利用微分方程描述物理过程的变化，利用优化方法求解最优化问题，利用概率统计模型描述随机现象的规律等。
根据具体问题的特点和要求，选择合适的数学方法是十分重要的。
三、模型的求解与分析建立数学模型后，需要对模型进行求解和分析。
这包括利用数值方法或解析方法求解模型，得到问题的解析解或近似解。
在模型求解的过程中，可能需要编写计算程序、进行数值计算和统计分析等。
模型求解过程中，还需要对模型的解进行评估和分析。
例如，可以对模型的稳定性、收敛性、误差估计等进行分析，以确定模型的可行性和有效性。
四、模型的验证与应用在对模型进行求解和分析之后，需要对模型进行验证和应用。
验证是指将模型的结果与实际数据进行比较，以检验模型的准确性和可靠性。
如果模型的结果与实际数据吻合较好，说明模型是可信的。
模型的应用是指将模型的结果用于解决实际问题或做出决策。
根据模型的目标和应用场景，可以对模型的结果进行解释和解读，提出合理的建议和决策。
五、模型的改进与扩展建立数学模型是一个动态的过程，模型的改进与扩展是不可缺少的环节。
通过对模型的不断改进和扩展，可以提高模型的准确性和适用性，更好地描述和解决实际问题。
模型的改进与扩展可以从多个方面入手。
数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法和步骤
数学建模是一种应用数学方法解决实际问题的研究方法,其基本方法和步骤如下:
1. 确定问题:明确要解决的问题,包括问题的描述、背景、目的和限制等。
2. 收集数据:收集与问题相关的数据,可以通过调查、实验、案例分析等方式获取。
3. 建立模型:基于问题的特点,选择合适的数学模型来描述问题,包括线性、非线性、概率等模型。
4. 分析模型:对建立的数学模型进行分析,确定模型的参数和假设,并进行模型的检验和优化。
5. 求解模型:根据建立的数学模型,求解出问题的答案,可以使用数值方法、统计分析等方法进行求解。
6. 验证和评估:对求解出的答案进行验证和评估,检查答案的准确性和可靠性,并根据需要进行模型的优化和改进。
数学建模的基本方法和步骤需要注重问题分析、模型建立、数据分析和模型求解等环节,其中数据分析是非常重要的一环,需要注重数据的收集、处理和分析,以获取准确和可靠的信息。
同时,数学建模需要注重实践,需要结合实际情况,不断优化和改进模型,以达到更好的解决实际问题的效果。
数学建模是一种重要的研究方法,可以帮助我们更好地理解和解决现实世界中的各种问题,具有广泛的应用前景和发展趋势。
数学建模的基本方法与实例
数学建模的基本方法与实例数学建模是一种通过数学模型来解决实际问题的方法。
它在现代科学研究和工程实践中扮演着重要的角色。
本文将介绍数学建模的基本方法，并通过实例来详细说明。
一、问题分析在进行数学建模之前，首先需要对问题进行分析和理解。
这包括明确问题的背景、确定问题的目标以及收集问题所需数据等。
通过充分了解问题，我们可以更加准确地进行建模和求解。
二、建立模型在问题分析的基础上，我们需要建立适当的数学模型来描述和解决问题。
数学模型是对实际问题的抽象和简化，它包括变量、参数、约束条件和目标函数等要素。
常见的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、动态规划模型等。
以线性规划模型为例，其数学形式为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中，c₁、c₂、...、cₙ分别为模型的目标函数系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件的右侧常数。
三、求解模型建立完数学模型后，下一步是求解模型以得到问题的最优解。
对于不同类型的模型，可以使用不同的数学方法和工具来求解。
常见的方法包括线性规划的单纯形法、非线性规划的梯度法、动态规划的最优控制理论等。
四、模型验证与分析求解完模型后，需要对结果进行验证和分析。
这包括检验模型的可行性、灵敏度分析以及结果的解释和实际应用等。
通过对模型结果的分析，可以判断模型的有效性和可靠性。
接下来，让我们通过一个实例来具体说明数学建模的过程。
实例：某物流公司的货物配送问题某物流公司需要合理安排货物的配送路线，以最小化配送时间并满足客户的需求。
假设有n个客户需要送货，每个客户的货物量不同，同时每个客户的配送时间窗口也不同。
数学建模的基本方法
数学建模的基本方法数学建模是一种将现实问题转化为数学模型并进行求解的方法。
它通过建立数学模型来描述问题的要素和关系，利用数学的方法进行分析和求解，从而得出与实际问题相对应的数学结果。
数学建模的基本方法主要包括问题分析、建立数学模型、求解模型和模型验证等几个步骤。
问题分析是数学建模的第一步。
在问题分析阶段，需要对实际问题进行深入的研究和分析，理解问题的背景、要素和关系，并确定问题的目标和约束条件。
在问题分析过程中，需要综合运用数学、统计学、物理学等相关知识，对问题进行全面的思考和分析。
建立数学模型是数学建模的核心步骤。
在建立数学模型时，需要根据问题的具体要求和已知条件，选择合适的数学方法和理论，将问题转化为数学表达式或方程组。
数学模型可以是线性模型、非线性模型、概率模型、优化模型等不同类型的数学表达式，具体的选择取决于问题的特点和求解的要求。
接下来，求解模型是数学建模的关键步骤。
在求解模型时，可以利用数值方法、符号计算、优化算法等不同的数学工具和技术进行求解。
根据问题的特点和求解的需求，可以选择适当的求解方法，进行计算和分析。
在求解过程中，需要注意对结果的合理解释和实际意义的分析，确保结果的可靠性和有效性。
模型验证是数学建模的最后一步。
在模型验证阶段，需要对建立的数学模型进行验证和评估，检查模型的合理性和有效性。
可以通过与实际数据的对比、模型的稳定性分析、敏感性分析等方法来进行模型的验证。
如果模型的预测结果与实际情况相符，说明模型具有一定的准确性和可靠性。
数学建模是一种将现实问题转化为数学模型并进行求解的方法。
它通过问题分析、建立数学模型、求解模型和模型验证等步骤，将实际问题抽象为数学问题，并利用数学的方法进行求解和分析。
数学建模能够帮助我们更好地理解和解决实际问题，提高问题求解的效率和精度，具有广泛的应用前景和深远的影响。
数学建模的基本思路与方法
数学建模的基本思路与方法数学建模是通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。
它不仅是数学和统计学领域的重要研究方向，也在物理、化学、生物、经济和工程等众多学科中得到广泛应用。
本文将介绍数学建模的基本思路与方法。
一、问题的理解与分析在进行数学建模之前，首先需要全面理解和分析问题。
这包括对问题的背景、目标及约束条件进行明确，对问题所涉及的各种变量和参数进行分类和整理，了解问题的局限性和可行性等。
二、数学模型的建立基于对问题的理解与分析，接下来要建立数学模型。
数学模型是对实际问题进行抽象和数学化的表示。
常用的数学模型包括方程模型、差分模型、微分模型、最优化模型等。
1. 方程模型方程模型是最常见且基础的模型之一。
它将实际问题中的各种关系和规律用数学方程进行表示。
常见的方程模型有线性方程模型、非线性方程模型、微分方程模型等。
2. 差分模型差分模型是离散的数学模型，适用于描述实际问题中的离散数据和变化趋势。
差分模型通常用递推关系式进行表示，可以通过差分方程求解。
3. 微分模型微分模型是连续的数学模型，适用于描述实际问题中的连续变化和关系。
微分模型通常用微分方程进行表示，可以通过求解微分方程获得结果。
4. 最优化模型最优化模型是在一定约束条件下，寻找最优解或最优策略的数学模型。
最优化模型可以是线性规划、非线性规划、整数规划等形式。
三、模型的求解与分析建立数学模型后，需要对模型进行求解和分析。
求解模型的方法有很多，包括解析解法、数值解法和优化算法等。
1. 解析解法对于简单的数学模型，可以通过代数方法得到解析解。
解析解法基于数学公式和运算，可以直接得到精确的解。
2. 数值解法对于复杂的数学模型，常常需要借助计算机通过数值计算来求解。
数值解法基于数值逼近和迭代算法，可以得到模型的近似解。
3. 优化算法对于最优化模型，可以使用各种优化算法进行求解。
著名的优化算法包括线性规划的单纯形法、非线性规划的牛顿法和拟牛顿法等。
数学建模方法与应用
数学建模方法与应用数学建模是一种将现实问题转化为数学模型、通过数学方法进行求解与分析的过程。
它是数学与实际问题相结合的一种高级应用领域，涉及数学、计算机科学、物理学、经济学等多个学科的知识。
本文将介绍数学建模的基本方法和一些常见的应用领域。
一、数学建模的方法1.问题描述与分析：在进行数学建模前，首先需要对实际问题进行准确的描述和分析。
这包括确定问题的目标、特征和约束条件，并明确问题的可行性和难度。
2.建立数学模型：将实际问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型。
常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、优化模型等。
根据实际问题的特点选择合适的模型进行建立。
3.模型求解：使用数学方法对建立的数学模型进行求解。
常见的求解方法包括解析解法、数值解法、优化算法等。
根据问题的要求和模型的特点选择合适的求解方法。
4.模型评价与验证：对求解结果进行评价和验证，判断模型对实际问题的适应性和准确性。
通过与实际数据的比较，对模型进行修正和改进，提高模型的可靠性和实用性。
二、数学建模的应用领域1.物理学与工程学：数学建模在物理学和工程学中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，可以利用数学模型研究天体运动、电磁场分布等问题。
在工程学中，可以使用数学模型分析材料的力学性能、流体的流动规律等。
2.经济学与金融学：数学建模在经济学和金融学中有着重要的作用。
例如，可以使用数学模型分析经济增长、市场供求关系等经济问题。
在金融学中，可以利用数学模型研究股票价格预测、风险管理等问题。
3.生物学与医学：数学建模在生物学和医学领域中的应用也越来越多。
例如，在生物学研究中，可以使用数学模型探究生物体内的化学反应、生物发育等过程。
在医学领域中，可以利用数学模型帮助诊断疾病、预测病情等。
4.社会学与心理学：数学建模在社会学和心理学中的应用正在不断扩大。
例如，在社会学研究中，可以使用数学模型分析人口变动、社会网络等问题。
在心理学领域中，可以利用数学模型研究认知过程、心理评估等。
第二讲：数学建模的基本方法和步骤
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R r1 ( xn ) rm ( xn ) nm
1
1
m
1
我们一般选取多项式做拟合：f(x)=a1xm+ …+amx+am+1，即 取{1,x,x2,·,xm-1}。此时矩阵R含有一个m阶子式是范德蒙行 · · 列式，从而有惟一解。
用MATLAB做多项式最小二乘拟合
数学建模的基本方法
----数据处理和拟合模型
拟合模型原理
如果想确定具有因果关系的变量之间的确 定函数关系，可通过先测量一组数据，再 通过数学方法得到具体的函数表达式模型， 利用该模型可进行解释所研究的问题，可 进行预测。这个过程就称为拟合过程，得 到的模型称为拟合模型。
拟 合 模 型 实 例 1
可化简为一次线性的非线性最小二乘法 • 10. y=a+b1f1(x)+b2 f2(x)+…+bn fn(x) • 令 ui= fi(x), 则有 • y=a+b1u1+…+bnun. • 20. y=a ebx . • 令 z=ln y, 则有 • z = ln a + b x = a* + b x . • 3 0. y = a x b . • 令 z = ln y, u = ln x, 则有 • z = ln y = lnａ＋b ln x = a*+ b u
k 1
m
(2)
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
线性最小二乘法的求解－超矩阵解法
m n 1 r ( xi )[ ak rk ( xi ) yi ] 0 J k 1 i 1 0 (3) a j n m ( j 1, m) rm ( xi )[ ak rk ( xi ) yi ] 0 i 1 k 1
上机作业：下面是美国黄松的数据：其中x表示树身 中部测得的直径（单位：英寸）；y是体积的度量。
x 17 19 20 22 23 25 28
y
x y
19
31 140
25
32 153
32
33 187
51
36 192
57
37 205
71
39 250
113
42 260
请按下面给出的函数类型用最小二乘法则进行参数估计，并 判断优劣（使用计算机）：
1）输入以下命令： x=0.1:0.1:1.1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; R=[(x.^2)’ x’ ones(11,1)];％第三列全是1 A=R\y’ 2）计算结果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317
+ i (x+ i) i,y
+
+
+
+
y=f(x)
x i =|yi－f(xi)|为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
建立拟合模型需解决的问题 •如何选定拟合的函数类型？例如用多项式型函数 还是指数型函数去拟合？ •在某个拟合的准则意义下如何在一类函数（带有 参数的函数族）中选择最佳的函数？即：从该类 函数中选出最佳的函数（确定函数中的具体参 数），使之在此准则的意义下最精确地代表了数 据。 •如何从一些已经拟合好的类型中选择最合适的？ 例如判断最佳的指数型函数是否比最佳的多项式 型函数更合适？
Min ∑ | yi－f(xi) |2
绝对偏差的平方和是优化的指标； 优化标准是指标越小越好。 问题转化求使得该指标最小的参数值，即求优 化指标是参数函数的最小值点的问题。
拟合模型最常用的准则——线性最小二乘法的基本思路
先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令 注意：此优 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 化函数是以 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 参数为自变 量的函数。 确定a ,a , …a 的准则（最小二乘准则）：
1 2 m
（1）
函数类型是这些 使n个已知的数据点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和 最小 。 r(x)的线性组合 n n 记 J (a , a , a ) 2 [ f ( x ) y ]2
1 2 m
i 1 n i 1
i
i 1
i
i
[ ak rk ( xi ) yi ]2
7
6.5
6
5.5
5
4.5 二次拟合 三次拟合 六次拟合 4
3.5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
为了准确判断拟合效果，需计算“节点处的总 误差”： （续前面程序） wc1=sqrt(sum((polyval(a1,x0)-y0).^2)) wc2=sqrt(sum((polyval(a2,x0)-y0).^2)) wc3=sqrt(sum((polyval(a3,x0)-y0).^2)) wc6=sqrt(sum((polyval(a6,x0)-y0).^2)) 执行得： wc1 =0.4188 wc2 =0.0565 wc3 =0.0078 wc6 =0.000705
y=ax+b; y=ax2+b y=ax2+bx+c; y=ax2+bx, y=axb;
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
10
2
c (t ) c0 e kt
clear hold on x0=1:9;y0=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50]; for i=1:9 plot(x0(i),y0(i),'+') end a1=polyfit(x0,y0,1),a2=polyfit(x0,y0,2) ， a3=polyfit(x0,y0,3),a6=polyfit(x0,y0,6) x=0:0.1:10; y1=polyval(a1,x);y2=polyval(a2,x); y3=polyval(a3,x);y6=polyval(a6,x);plot(x,y1,x,y2,'g',x,y3,'b',x,y6,'r') hold off gtext('二次拟合'),gtext('三次拟合'),gtext('六次拟合')
-0.447 1.978
9.30 11.2
即要求 出二次多项式:
f ( x) a1x 2 a2 x a3
中 的 A (a1 , a2 , a3 ) 使得:
[ f ( xi ) yi ]2
i 1
11
最小
解法1．用解超定方程的方法
此时 x12 R 2 x11 x1 x11 1 1
f ( x) 9.8108x 2 20.1293x 0.0317
12
解法2：用多项式拟合的命令
10 8 6
1）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,‘k+’,x,z,‘r’) %作出数据点和拟合曲线的图 形“k+”指数据点(x,y)是＋黑色；“r”指线是红色
温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 已知热敏电阻数据： 电阻R() 765 求600C时的电阻R。
1100 1000 900 800 700 20
826
873
942 1032
确定函数类型为 R=at+b a,b为待定系数， 如何估计？
40 60 80 100
拟 合 模 型 实 例 2
温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032
拟合R=a1t+a2
用命令 polyfit(x,y,m) 得到 a1=3.3940, a2=702.4918
例1： 对下面一组数据作二次多项式拟合
xi yi 0.1 0.2 0.3 3.28 0.4 6.16 0.5 7.08 0.6 7.34 0.7 7.66 0.8 9.56 0.9 9.48 1.0 1.1
4 2 0 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2）计算结果： Ａ = -9.8108
20.1293
-0.0317
f ( x) 9.8108x 2 20.1293x 0.0317
例2：对函数C=C(t)测量得下面一组数据： t ： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C：4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 试分别用1次、2次、3次、6次多项式作拟合，并画图显示 拟合效果。
T T
(4) 超矩阵解法
称为正规方程组或法方程组.当RTR可逆时，（4）有唯一解：
a ( RT R) 1 RT y
(5)
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取
怎样选择{r1(x), …rm(x)}，以保证系数{a1,…am}有唯一解？ 提示 {a1,…am}有唯一解 RTR可逆 Rank(RTR)=m Rank(R)=m R列满秩 列向量组{r1(x), …rm(x)} r ( x ) r ( x ) 线性无关