大物课后答案
大学物理课后习题答案(上下册全)武汉大学出版社 习题3详解
3-1 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 [ ] A.2ωmR J J + B. 02)(ωR m J J+ C.02ωmR JD. 0ω 答案：A3-2 如题3-2图所示，圆盘绕O 轴转动。
若同时射来两颗质量相同,速度大小相同,方向相反并在一直线上运动的子弹,子弹射入圆盘后均留在盘内,则子弹射入后圆盘的角速度ω将：[ ]A. 增大.B. 不变.C. 减小.D. 无法判断. 题3-2 图 答案： C3-3 芭蕾舞演员可绕过脚尖的铅直轴旋转,当她伸长两手时的转动惯量为J 0，角速度为ω0,当她突然收臂使转动惯量减小为J 0 / 2时,其角速度应为：[ ] A. 2ω0 . B. ω0 . C. 4ω0 . D. ω 0/2. 答案：A3-4 如题3-4图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的一端相连结，绳的另一端穿过桌面中心的小孔O . 该物体原以角速度ω 在半径为R 的圆周上绕O 旋转，今将绳从小孔缓慢往下拉．则物体：[ ]A. 动量不变，动能改变； 题3-4图B. 角动量不变，动量不变；C. 角动量改变，动量改变；D. 角动量不变，动能、动量都改变。
答案：D3-5 在XOY 平面内的三个质点,质量分别为m 1 = 1kg, m 2 = 2kg,和 m 3 = 3kg,位置坐标(以米为单位)分别为m 1 (－3,－2)、m 2 (－2,1)和m 3 (1,2),则这三个质点构成的质点组对Z 轴的转动惯量J z = .答案： 38kg ·m 23-6 如题3-6图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球并嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统对o 轴的 守恒。
大物课后部分参考答案及解析
第一章P171-2 已知j t A i v v ωωsin 0-=，则j t A i t v dt v rωcos 0+==⎰由 ⎝⎛==t A y t v x ωcos 0 可得A v xA y -=0cos ω〔以出发点为原点〕 j t mA a m F jt A a ωωωωcos cos 22-==∴-=1-4 如图，在B 点时，根据其受力情况，有⎝⎛==-20202130sin 60cos BB B mv mgl l mv mg T 解得)N (923==mg T B 在B 点时，根据其受力情况，有⎝⎛==-2221CC C mv mgl l mv mg T 解得)N (183==mg T C1-6 由题意设kv f = ，其受力方向在竖直方向上，则有dtdv mma kv F mg f F mg ==--=-- 变形可得dt dv kvF mg m=--两边同时积分⎰⎰=--t vdt dv kvF mg m00整理可得)1(t m ke kFmg v ---= 注意基本概念的理解和掌握：位移，速度，加速度之间的关系 注意受力分析，区分出B 点时的角度关系设沉降距离为y ，则dtdy v =)]1([)1(0-+-=--==--⎰⎰tm ktt m ke km t k F mg dt e k F mg vdt y1-9 由题意，当h=50m 时，桶中水已全部漏完，故木桶从井中提到井口所做的功为J)(3500)(J 3430)1.011(]2.0)[(1005050021005050或=+-=+-+=⎰⎰gh gh h Mgdhdh gh g m M W1-14 〔1〕子弹所受的冲量)m /s kg (9)50050(02.0⋅-=-⨯=∆=p I木块所受的冲量与子弹所受的冲量反向，即)m/s kg (9⋅=木块I〔2〕对木块，有)m/s kg (950⋅=⋅=∆=m p I木块，因此kg 18.0=m 。
大物习题答案1
习 题 一1—1 一质点在平面xOy 内运动，运动方程为x =2t ，2219t y -= (SI)。
(1)求质点的运动轨道；(2)求t =1s 和t =2s 时刻质点的位置矢量；(3)求t =1s 和t =2s 时刻质点的瞬时速度和瞬时加速度；(4)在什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时x 、y 分量各为多少?(5)在什么时刻，质点离原点最近?最近距离为多大?[解] 质点的运动方程:t x 2=，2219t y -= (1)消去参数t ，得轨道方程为: 22119x y -= (2)把t=1s 代入运动方程，得j i j i r 172)219(22+=-+=t t 把t =2s 代入运动方程，可得j i j i r 114)2219(222+=⨯-+⨯= (3)由速度、加速度定义式，有4/,0/4/,2/-====-====dt dv a dt dv a t dt dy v dt dx v y y x x y x所以，t 时刻质点的速度和加速度为 j i j i t v v v y x 42-=+= j j i a 4-=+=y x a a所以，t=1s 时，j i v 42-=，j a 4-= t=2s 时，j i v 82-=，j a 4-= (4)当质点的位置矢量和速度矢量垂直时，有 0=⋅v r即 0]42[])219(2[2=-⋅-+j i j i t t t 整理，得 093=-t t解得 3,3;0321-===t t t (舍去) m 19,0,s 011===y x t 时 m 1,m 6,s 322===y x t 时 (5)任一时刻t 质点离原点的距离 222)219()2()(t t t r -+= 令d r/d t =0 可得 t =3所以，t =3s 时，质点离原点最近 r1—2 一粒子按规律59323+--=t t t x 沿x 轴运动，试分别求出该粒子沿x 轴正向运动；沿x 轴负向运动；加速运动，减速运动的时间间隔。
大物第五章课后习题答案
简答题5.1 什么是简谐运动？说明下列运动是否是简谐运动？（1）活塞的往复运动；（2）皮球在硬地上的跳动；（3）一小球在半径很大的光滑凹球面底部的来回滑动，且经过的弧线很短；（4）锥摆的运动。
答：质点的简谐振动一定要有平衡位置，以平衡位置作为坐标原点，如果以x 表示质点偏离平衡位置的位移，质点所受合外力一定具有F kx =-的形式。
（１）活塞的往复运动不是简谐运动，因为活塞受力的方向和它的位移是同一方向，任一时刻所受的合外力不具有F kx =-的形式，所以活塞的往复运动是简谐运动。
（２）皮球在硬地上的跳动不是简谐运动，因为忽略空气阻力，皮球在上升和下落阶段，始终受到竖直向下的重力的作用，任一时刻所受的合外力不具有F kx =-的形式，所以皮球的运动不是简谐运动。
（３）一小球在半径很大的光滑凹球面底部的来回滑动，且经过的弧线很短是简谐运动。
符合简谐运动的定义。
（４）锥摆的运动不是简谐运动，此时锥摆受到重力和绳的拉力的作用，这两个力的合力的大小为恒量，而方向在不断的改变，任一时刻所受的合外力不具有F kx =-的形式，所以锥摆的运动不是简谐运动。
5.2（1）试述相位和初相的意义，如何确定初相？（2）在简谐振动表达式)cos(ϕω+=t A x 中，t = 0是质点开始运动的时刻，还是开始观察的时刻？初相20/,πϕ=各表示从什么位置开始运动？答：1）相位是决定谐振动运动状态的物理量，初相是确定振动物体初始时刻运动状态的物理量。
由初始条件可以确定初相。
2）在简谐振动表达式)cos(ϕω+=t A x 中，t = 0是质点开始计时时刻的运动状态，是开始观察的时刻。
初相0ϕ=是物体处于正最大位移处开始运动，初相/2ϕπ=是物体处于平衡位置且向初相x 轴负向开始运动。
5.3 一质点沿x 轴按)cos(ϕω+=t A x 作简谐振动，其振幅为A ，角频率为ω，今在下述情况下开始计时，试分别求振动的初相：（1）质点在x = +A 处；（2）质点在平衡位置处、且向正方向运动；（3）质点在平衡位置处、且向负方向运动；（4）质点在x =A /2处、且向正方向运动；（5）质点的速度为零而加速度为正值。
大一物理课后习题答案
1． 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m 的人。
圆盘的半径为R ，转动惯量为J ，角速度为ω。
如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。
2． 在半径为1R 、质量为M 的静止水平圆盘上，站一静止的质量为m 的人。
圆盘可无摩擦地绕过盘中心的竖直轴转动。
当这人沿着与圆盘同心，半径为2R （1R <）的圆周相对于圆盘走一周时，问圆盘和人相对于地面转动的角度各为多少？3 长m l40.0=、质量kg M 00.1=的匀质木棒，可绕水平轴O 在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量g m 8=的子弹以s m v /200=的速率从A 点射入棒中，A 点与O 点的距离为l 43，如图所示。
求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。
4． 1mol 的氢，在压强为1.0×105Pa ，温度为20℃时，其体积为0V 。
今使它经以下两种过程达到同一状态：（1）先保持体积不变，加热使其温度升高到80℃，然后令它作等温膨胀，体积变为原体积的2倍；（2）先使它作等温膨胀至原体积的2倍，然后保持体积不变，加热使其温度升到80℃。
试分别计算以上两种过程中吸收的热量，气体对外作的功和内能的增量；并在Vp 图上表示两过程5、 1摩尔理想气体在400K 与300K 之间完成一个卡诺循环，在400K 的等温线上，起始体积为0.0010m 3，最后体积为0.0050m 3，试计算气体在此循环中所作的功，以及从高温热源吸收的热量和传给低温热源的热量。
6． 电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处(r <R )的电势。
7． 半径为1r 、2r 的两个同心导体球壳互相绝缘，现把的+q 电荷量给予内球，求： （1） 外球的电荷量及电势；（2） 把外球接地后再重新绝缘，外球的电荷量及电势； （3） 然后把内球接地，内球的电荷量及外球的电势的改变。
8． 半径为0R 的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率为r ε，求：（1） 介质内、外的电场强度E 和电位移D； 介质内的电极化强度P和表面上的极化电荷面密度σ'9.一截面半径为R 的无限长圆柱导体，均匀的通有电流I ，求导体内外的磁场分布。
大学物理学课后习题答案
习题及解答（全）习题一1-1 ｜r ∆｜与r ∆有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v有无不同?其不同在哪里?试举例说明．解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即r ∆12r r -=，12r r r -=∆； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v tsd d .t rd d 只是速度在径向上的分量.∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则t ˆr ˆt r t d d d d d d r rr += 式中t rd d 就是速度径向上的分量，∴t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示.题1-1图(3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以t v t v t v d d d d d d ττ +=式中dt dv就是加速度的切向分量.(t tr d ˆd d ˆd τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝22y x +，然后根据v =t rd d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v =22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =222222d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r+=，jt y i t x t r a jt y i t x t r v222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴故它们的模即为222222222222d d d d d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作22d d d d t r a trv ==其二，可能是将22d d d d t r tr 与误作速度与加速度的模。
大物课后答案
大学物理学（第五版）上册（马文蔚）课后答案及解析1-1 分析与解(1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故,即｜｜≠ ．但由于｜dr｜＝ds,故,即｜｜＝．由此可见,应选(C)．1-2 分析与解表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解．故选(D)．1-3 分析与解表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所述)；在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．1-4 分析与解加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．1-5 分析与解本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为,其中绳长l 随时间t 而变化．小船速度,式中表示绳长l 随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为,方向沿x 轴负向．由速度表达式,可判断小船作变加速运动．故选(C)．1-6 分析位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0～tp 和tp～t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用和两式计算．解(1) 质点在4.0 s内位移的大小(2) 由得知质点的换向时刻为(t＝0不合题意)则,所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为(3) t＝4.0 s时,,1-7 分析根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作出a-t 图线．又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t 图为t 的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝x(t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t 图．解将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为(匀加速直线运动), (匀速直线运动)(匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的a-t 图［图(B)］．在匀变速直线运动中,有由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x -t 图．在2～4ｓ时间内, 质点是作的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k＝20的一段直线［图(c)］．1-8 分析质点的轨迹方程为y ＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到．对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则,最后用积分求ｓ．解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为,这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为,图(a)中的P、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．(3) 由位移表达式,得其中位移大小而径向增量*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则,由轨道方程可得,代入ds,则2ｓ内路程为1-9 分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解(1) 速度的分量式为,当t ＝0 时, vox ＝-10 m?6?1ｓ-1 , voy ＝15 m?6?1ｓ-1 ,则初速度大小为设vo与x 轴的夹角为α,则α＝123°41′(2) 加速度的分量式为,则加速度的大小为设a 与x 轴的夹角为β,则,β＝-33°41′(或326°19′)1-10 分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 ＝y1(t)和y2 ＝y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程．解1(1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y1 ＝y2 ,即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2(1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝g ＋a,螺丝落至底面时,有(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为则1-11 分析该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′(t)和y′＝y′(t)来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x0 ＋x′和y ＝y0 ＋y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．解(1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因,则质点P 的参数方程为,坐标变换后,在Oxy 坐标系中有,则质点P 的位矢方程为(2) 5ｓ时的速度和加速度分别为1-12 分析为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程．根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得．由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度．这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得．解设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s＝htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为当杆长等于影长时,即s ＝h,则即为下午3∶00 时．1-13 分析本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由和可得和．如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．解由分析知,应有得(1)由得(2)将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m?6?1ｓ-1代入(1) (2)得v0＝-1 m?6?1ｓ-1,x0＝0.75 m．于是可得质点运动方程为1-14 分析本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv ＝a(v)dt 分离变量为后再两边积分．解选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．(1) 由题意知(1)用分离变量法把式(1)改写为(2)将式(2)两边积分并考虑初始条件,有得石子速度由此可知当,t→∞时, 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度．(2) 再由并考虑初始条件有得石子运动方程1-15 分析与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即和,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．解由加速度定义式,根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得又由及初始条件t＝0 时,r0＝(10 m)i,积分可得由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x ＝10＋3t2 y ＝2t2消去参数t,可得运动的轨迹方程3y ＝2x -20 m这是一个直线方程．直线斜率,α＝33°41′．轨迹如图所示．1-16 分析瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为和．在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为, ,式中｜Δv｜可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出．由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→0 时的极限值．解(1) 由图(b)可看到Δv ＝v2 -v1 ,故而所以(2) 将Δθ＝90°,30°,10°,1°分别代入上式,得,, ,以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度．1-17 分析根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平均速度的极限即瞬时速度．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量aｔ和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和aｔ得到．在求得t1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式求ρ．解(1) 由参数方程x ＝2.0t,y ＝19.0-2.0t2消去t 得质点的轨迹方程：y ＝19.0 -0.50x2(2) 在t1 ＝1.00ｓ到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为则t1 ＝1.00ｓ时的速度v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为则1-18 分析物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得．解(1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x ＝vt,y ＝1/2 gt2飞机水平飞行速度v＝100 m?6?1s-1 ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离(2) 视线和水平线的夹角为(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为1-19 分析这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易．现建立如图(a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v0cosβ和v0sinβ,其加速度分别为gsinα和gcosα．在此坐标系中炮弹落地时,应有y ＝0,则x ＝OP．如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足vx ＝0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解．由于本题中加速度g 为恒矢量．故第一问也可由运动方程的矢量式计算,即,做出炮弹落地时的矢量图［如图(B)所示］,由图中所示几何关系也可求得(即图中的r 矢量)．解1由分析知,炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为(1) (2)令y ＝0 求得时间t 后再代入式(1)得解2做出炮弹的运动矢量图,如图(b)所示,并利用正弦定理,有从中消去t 后也可得到同样结果．(2) 由分析知,如炮弹垂直击中坡面应满足y ＝0 和vx ＝0,则(3)由(2)(3)两式消去t 后得由此可知．只要角α和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v0 的大小无关．讨论如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困难,有兴趣读者不妨自己体验一下．1-20 分析选定伞边缘O 处的雨滴为研究对象,当伞以角速度ω旋转时,雨滴将以速度v 沿切线方向飞出,并作平抛运动．建立如图(a)所示坐标系,列出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系,即可求证．由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出,从不同小孔中飞出的水滴将会落在半径不同的圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布解(1) 如图(a)所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为(1) (2)由式(1)(2)可得由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为(2) 常用草坪喷水器采用如图(b)所示的球面喷头(θ0 ＝45°)其上有大量小孔．喷头旋转时,水滴以初速度v0 从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上．则以φ角喷射的水柱射程为为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多,而且还不能均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题．1-21 分析被踢出后的足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程得到．由于水平距离x 已知,球门高度又限定了在y 方向的范围,故只需将x、y 值代入即可求出．解取图示坐标系Oxy,由运动方程,消去t 得轨迹方程以x ＝25.0 m,v ＝20.0 m?6?1ｓ-1 及3.44 m≥y≥0 代入后,可解得71．11°≥θ1 ≥69．92° 27．92°≥θ2 ≥18．89°如何理解上述角度的范围？在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示)．如果以θ＞71．11°或θ ＜18.89°踢出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门；由于球门高度的限制,θ 角也并非能取71.11°与18.89°之间的任何值．当倾角取值为27.92°＜θ ＜69．92°时,踢出的足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门．因此可取的角度范围只能是解中的结果．1-22 分析在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /R．这样,总加速度为a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．解(1) 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为,故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2) 要使｜a｜＝b,由可得(3) 从t＝0 开始到t＝v0 /b 时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1-23 分析首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,ω＝ω(t)确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．解因ωR ＝v,由题意ω∝t2 得比例系数所以则t′＝0.5ｓ时的角速度、角加速度和切向加速度分别为总加速度在2.0ｓ内该点所转过的角度1-24 分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解(1) 由于,则角速度．在t ＝2 ｓ时,法向加速度和切向加速度的数值分别为(2) 当时,有,即得此时刻的角位置为(3) 要使,则有t ＝0.55ｓ1-25 分析这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v1 为Ｓ′相对Ｓ的速度,v2 为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′为相对速度,它们之间的关系为(如图所示),于是可得1-26 分析这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足．再由相对速度的矢量关系,即可求出所需车速v1．解由［图(b)］,有而要使,则1-27 分析船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v 决定的．由于水流速度u的存在, v与船在静水中划行的速度v′之间有v＝u ＋v′(如图所示)．若要使船到达正对岸,则必须使v 沿正对岸方向；在划速一定的条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值．解(1) 由v＝u ＋v′可知,则船到达正对岸所需时间为(2) 由于,在划速v′一定的条件下,只有当α＝0 时, v 最大(即v＝v′),此时,船过河时间t′＝d /v′,船到达距正对岸为l 的下游处,且有1-28 分析该问题涉及到运动的相对性．如何将已知质点相对于观察者O 的运动转换到相对于观察者O′的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系O 中一动点(x,y)变换至系O′中的点(x′,y′)．由于观察者O′相对于观察者O 作匀速运动,因此,该坐标变换是线性的．解取Oxy 和O′x′y′分别为观察者O 和观察者O′所在的坐标系,且使Ox 和O′x′两轴平行．在t ＝0 时,两坐标原点重合．由坐标变换得x′＝x - v t ＝v t - v t ＝0 y′＝y ＝1/2 gt2加速度由此可见,动点相对于系O′是在y 方向作匀变速直线运动．动点在两坐标系中加速度相同,这也正是伽利略变换的必然结果．2-1 分析与解当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ(其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．2-2 分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．2-3 分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μFN．由此可算得汽车转弯的最大速率应为v＝μRg．因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑．应选(C)．2-4 分析与解由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关．重力的切向分量(m gcos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力FN也将不断增大,由此可见应选(B)．2-5 分析与解本题可考虑对A、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解．此时A、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a′为A、B 两物体相对电梯的加速度,ma′为惯性力．对A、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得FＴ＝5/8 mg．故选(A)．讨论对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力．如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度aA 和aB 均应对地而言,本题中aA 和aB的大小与方向均不相同．其中aA 应斜向上．对aA 、aB 、a 和a′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁．有兴趣的读者不妨自己尝试一下．2-6 分析动力学问题一般分为两类：(1) 已知物体受力求其运动情况；(2) 已知物体的运动情况来分析其所受的力．当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来．本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系α＝f(t),然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来．解取沿斜面为坐标轴Ox,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有(1)又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有则(2)为使下滑的时间最短,可令,由式(2)有则可得,此时2-7 分析预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体．处理动力学问题通常采用―隔离体‖的方法,分析物体所受的各种作用力,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程．根据连接体中物体的多少可列出相应数目的方程式．结合各物体之间的相互作用和联系,可解决物体的运动或相互作用力．解按题意,可分别取吊车(含甲、乙)和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy 轴正方向(如图所示)．当框架以加速度a 上升时,有FＴ-(m1 ＋m2 )g ＝(m1 ＋m2 )a (1) ,FN2 - m2 g ＝m2 a (2)解上述方程,得FＴ＝(m1 ＋m2 )(g ＋a) (3) FN2 ＝m2 (g ＋a) (4)(1) 当整个装置以加速度a ＝10 m?6?1ｓ-2 上升时,由式(3)可得绳所受张力的值为FＴ＝5.94 ×103 N乙对甲的作用力为F′N2 ＝-FN2 ＝-m2 (g ＋a) ＝-1.98 ×103 N(2) 当整个装置以加速度a ＝1 m?6?1ｓ-2 上升时,得绳张力的值为FＴ＝3.24 ×103 N此时,乙对甲的作用力则为F′N2 ＝-1.08 ×103 N由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时,由于起吊加速度不同,绳中所受张力也不同,加速度大,绳中张力也大．因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确保起吊过程的安全．2-8 分析该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．解分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程,有mA g -FＴ＝mA a (1)F′Ｔ1 -Fｆ＝mB a′ (2)F′Ｔ-2FＴ1 ＝0 (3)考虑到mA ＝mB ＝m, FＴ＝F′Ｔ, FＴ1 ＝F′Ｔ1 ,a′＝2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力讨论动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3) 解方程组,得出文字结果；(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来．2-9 分析当木块B 平稳地轻轻放至运动着的平板A 上时,木块的初速度可视为零,由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态．根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度．换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-v′(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得．该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解．将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能,而它们的共同速度可根据动量定理求得．又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量．木块相对平板移动的距离即可求出．解1以地面为参考系,在摩擦力Fｆ＝μmg 的作用下,根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程Fｆ＝μmg ＝ma1 F′ｆ＝-Fｆ＝m′a2a1 和a2 分别是木块和木板相对地面参考系的加速度．若以木板为参考系,木块相对平板的加速度a ＝a1 ＋a2 ,木块相对平板以初速度- v′作匀减速运动直至最终停止．由运动学规律有- v′2 ＝2as由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为解2以木块和平板为系统,它们之间一对摩擦力作的总功为W ＝Fｆ(s ＋l) -Fｆl ＝μmgs式中l 为平板相对地面移动的距离．由于系统在水平方向上不受外力,当木块放至平板上时,根据动量守恒定律,有m′v′＝(m′＋m) v″由系统的动能定理,有由上述各式可得2-10 分析维持钢球在水平面内作匀角速度转动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力(向心力),而该力是由碗内壁对球的支持力FN 的分力来提供的,由于支持力FN 始终垂直于碗内壁,所以支持力的大小和方向是随ω而变的．取图示Oxy 坐标,列出动力学方程,即可求解钢球距碗底的高度．解取钢球为隔离体,其受力分析如图(b)所示．在图示坐标中列动力学方程(1)(2)且有(3)由上述各式可解得钢球距碗底的高度为可见,h 随ω的变化而变化．2-11 分析如题所述,外轨超高的目的欲使火车转弯的所需向心力仅由轨道支持力的水平分量FNsinθ 提供(式中θ 角为路面倾角)．从而不会对内外轨产生挤压．与其对应的是火车转弯时必须以规定的速率v0行驶．当火车行驶速率v≠v0 时,则会产生两种情况：如图所示,如v＞v0 时,外轨将会对车轮产生斜向内的侧压力F1 ,以补偿原向心力的不足,如v＜v0时,则内轨对车轮产生斜向外的侧压力F2 ,以抵消多余的向心力,无论哪种情况火车都将对外轨。
大物电磁学课后答案4
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4-3 在电子仪器中，常把载有大小相等方向相反电流的导线扭 在一起，这是为什么？
找出 idt 与 Fdt 的关系）
解：(1) F BI L， Fdt BLIdt mV m 2gh 即 BL Idt BLq m 2gh ，
B
×××××× ××××××
L
m 2gh
q
BL
K
（2）m 10克，L 20厘米，h 0.30米，b 0.10特，求得q 1（库仑）
解：
B
0I 2a
(sin
1
sin
2
)
0
I
A
L
0I 2L sin
600
(cos2
cos1
)
1.73
104
(特斯拉）。
4-14 如图所示，一根宽为a的“无限长”平面载流铜板，其厚 度可以忽略，铜板中的电流为I，求铜板中心上方h处的磁感应 强度B，并讨论h>>a,h<<a两种情况，其结果说明了什么？
4-13一半径为R＝0.10米的半圆形闭合线圈，载有电流I＝10安 培，放在均匀外磁场中，磁场方向与线圈平面平行，磁感应强 度 B=5.0x103高斯。（1）求线圈的磁矩P；（2）求线圈所受磁 力矩的大小和方向；（3）在此力矩作用下线圈转90o（即转到线 圈平面与B垂直），求力矩作功。
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大学物理学（第五版）上册(马文蔚)课后答案及解析1-1 分析与解(1）质点在t 至(ｔ+Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示,其中路程Δｓ＝PP′, 位移大小|Δr｜＝PP′,而Δr＝|r｜-｜r|表示质点位矢大小的变化量，三个量的物理含义不同，在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能).但当Δt→０时，点P′无限趋近P点,则有｜ｄr|=ds,但却不等于ｄｒ.故选（B).（2) 由于|Δr |≠Δs,故，即| |≠.ﻫ但由于|dr｜＝ds,故，即｜｜=．由此可见，应选(C）.ﻫ1-２分析与解表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号vｒ表示，这是速度矢量在位矢方向上的一个分量; 表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解.故选(D).1-3 分析与解表示切向加速度at，它表示速度大小随时间的变化率，是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 －2 所述)；在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ.因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D).１-4 分析与解加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量ａn起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时,at恒为零；质点作匀变速率圆周运动时，ａt为一不为零的恒量,当at改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选（B)．ﻫ１－５分析与解本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为，其中绳长ｌ随时间t而变化．小船速度,式中表示绳长l 随时间的变化率，其大小即为ｖ0，代入整理后为,方向沿x 轴负向．由速度表达式,可判断小船作变加速运动．故选(C).ﻫ1-6分析位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时，位移的大小才会与路程相等．质点在ｔ时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向，此时，位移的大小和路程就不同了．为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻tｐ,求出0～tp 和tp～t 内的位移大小Δx１、Δx2 ,则t时间内的路程,如图所示,至于t ＝4.０ｓ时质点速度和加速度可用和两式计算．ﻫ解（１) 质点在４.0 s内位移的大小ﻫ(2) 由得知质点的换向时刻为(t＝0不合题意) 则, ﻫ所以，质点在4.０s时间间隔内的路程为ﻫ(3)t＝4.0 s时, ﻫ,１－7 分析根据加速度的定义可知,在直线运动中v－t曲线的斜率为加速度的大小（图中AB、CD段斜率为定值,即匀变速直线运动;而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量，在ａ－t 图上是平行于ｔ轴的直线,由ｖ－ｔ图中求出各段的斜率,即可作出a-t图线.又由速度的定义可知,x-ｔ曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x -t图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–ｔ图为t 的二次曲线.根据各段时间内的运动方程ｘ＝ｘ（t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x －t 图．ﻫ解将曲线分为ＡB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为ﻫ(匀加速直线运动），(匀速直线运动）（匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的ａ－t图[图（B)］．ﻫ在匀变速直线运动中，有ﻫﻫ由此,可计算在0～２s和4~6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为ﻫ用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x－t 图.在2～４ｓ时间内，质点是作的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k＝２0的一段直线[图(c)].1-８分析质点的轨迹方程为y ＝f(x),可由运动方程的两个分量式x（t)和y(t)中消去t 即可得到．对于r、Δｒ、Δｒ、Δs 来说,物理含义不同，可根据其定义计算．其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ｄs,则,最后用积分求s.解(1) 由x(t)和y（t）中消去t后得质点轨迹方程为,这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．ﻫ(2）将t ＝０s和t＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为ﻫ,ﻫ图(a)中的P、Q 两点，即为t ＝０s和t =2s时质点所在位置．(3)由位移表达式,得ﻫ其中位移大小ﻫ而径向增量*（4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PＱ段长度,先在其间任意处取ＡB 微元ｄｓ,则,由轨道方程可得,代入ｄs,则２ｓ内路程为ﻫﻫ1－9 分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解（1)速度的分量式为ﻫ, ﻫ当t =０时, vox ＝-１0m？6?１ｓ-１, voy＝15 m?6?1ｓ-１，则初速度大小为ﻫ设vｏ与x 轴的夹角为α，则ﻫα＝1２3°41′(2) 加速度的分量式为ﻫ，则加速度的大小为设ａ与ｘ轴的夹角为β,则ﻫ,β=－33°41′(或３２６°1９′)1-10分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动，列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y１=ｙ1(ｔ)和y２＝y2(t)，并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件，问题即可解;另一种方法是取升降机(或螺丝）为参考系,这时,螺丝（或升降机)相对它作匀加速运动，但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.ﻫ解1 (１)以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y1=y2 ，即(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2(１)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝ｇ+a，螺丝落至底面时,有ﻫﻫ(2) 由于升降机在t时间内上升的高度为ﻫ则ﻫ1-1１分析该题属于运动学的第一类问题，即已知运动方程r=r(t）求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时，若取以点(０,3)为原点的O′x′ｙ′坐标系，并采用参数方程ｘ′＝ｘ′(ｔ)和y′＝y′(ｔ)来表示圆周运动是比较方便的.然后，运用坐标变换x ＝x０+x′和y =y0 +ｙ′,将所得参数方程转换至Oxy坐标系中,即得Oｘｙ坐标系中质点P在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．解（1) 如图(B)所示,在O′x′ｙ′坐标系中，因,则质点P 的参数方程为ﻫ,ﻫ坐标变换后,在Oxｙ坐标系中有，ﻫ则质点Ｐ的位矢方程为ﻫﻫ(２) 5s时的速度和加速度分别为ﻫ1-1２分析为求杆顶在地面上影子速度的大小，必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程.根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得.由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度.这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得.解设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s=htgωt,下午２∶00时，杆顶在地面上影子的速度大小为ﻫ当杆长等于影长时,即s=h,则ﻫ即为下午3∶00时．1-13分析本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决.由和可得和．如ａ=a（t）或v ＝v（t),则可两边直接积分.如果a 或v不是时间t 的显函数，则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解由分析知，应有得(1)ﻫ由ﻫ得(２)将t＝3ｓ时，ｘ=9m,ｖ＝2 m?6?1ｓ-1代入（1)(2)得v0=-1 m?６?1s－1,x0=０.75 m.于是可得质点运动方程为ﻫ1-14 分析本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数，因此,需将式ｄv＝a(ｖ)dｔ分离变量为后再两边积分.ﻫ解选取石子下落方向为y轴正向,下落起点为坐标原点．(1) 由题意知(1)ﻫ用分离变量法把式(１)改写为ﻫ(２）ﻫ将式（2）两边积分并考虑初始条件,有ﻫ得石子速度ﻫ由此可知当,t→∞时, 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度．ﻫ(２) 再由并考虑初始条件有ﻫ得石子运动方程1-15 分析与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax 和ａｙ分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式ｘ(t)和y（ｔ).由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式，即和，两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下.ﻫ解由加速度定义式,根据初始条件t0＝0时v ０＝0,积分可得又由及初始条件t＝０时，r0=(1０m)ｉ，积分可得ﻫﻫ由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x ＝10+3t２ｙ＝2ｔ2消去参数t，可得运动的轨迹方程３y=2ｘ-２0 mﻫ这是一个直线方程.直线斜率，α＝1-１6 分析瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同，它们分３3°４1′．轨迹如图所示.ﻫﻫ别表示为和 .在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为, ,式中｜Δv｜可由图(B)中的几何关系得到，而Δt可由转过的角度Δθ 求出．由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→０时的极限值．ﻫ解(1) 由图(b）可看到Δｖ=ｖ２-v1 ,故而ﻫ所以（2) 将Δθ=90°，3０°,10°,1°分别代入上式,得，ﻫ, ，以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度 .ﻫ1-17分析根据运动方程可直接写出其分量式ｘ＝x(t)和y =ｙ(ｔ)，从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率，即，它与时间间隔Δt的大小有关,当Δｔ→0时,平均速度的极限即瞬时速度．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量ａt 和ａn ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即，后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和at得到.在求得ｔ１时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式求ρ.ﻫ解(１) 由参数方程x ＝2．0t, ｙ=19.0－２.0t2ﻫ消去ｔ得质点的轨迹方程：ｙ＝1９．０－0.5０ｘ２ﻫ(2) 在t1 ＝1．00s 到ｔ2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度ﻫﻫ（3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为则t1 =1．00ｓ时的速度v(t)|t ＝1s=2.0i -4.０ｊﻫ切向和法向加速度分别为ﻫﻫ（4) t ＝1．0s质点的速度大小为ﻫ则１-18 分析物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知，物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此，分别列出其运动方程,运用时间相等的条件，即可求解.此外，平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vｙ求出，这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.ﻫ解（1）取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为ﻫx =vt,y ＝1/２gt2飞机水平飞行速度v=100m？6？１s-1 ，飞机离地面的高度y=100m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离ﻫﻫ(２) 视线和水平线的夹角为ﻫﻫ(3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为ﻫﻫ取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为ﻫﻫ1-19 分析这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理，建立一个恰当的坐标系，将运动分解的话，求解起来并不容易.现建立如图(a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动，其初速度分别为v０cosβ和ｖ0sinβ,其加速度分别为gsinα和gcｏｓα．在此坐标系中炮弹落地时,应有y =0,则ｘ＝OＰ．如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足ｖx ＝0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解．由于本题中加速度ｇ为恒矢量．故第一问也可由运动方程的矢量式计算,即，做出炮弹落地时的矢量图［如图（B)所示],由图中所示几何关系也可求得(即图中的r 矢量)．解1由分析知，炮弹在图(a）所示坐标系中两个分运动方程为(1) (2)令y ＝０求得时间t 后再代入式（1)得ﻫ解2 做出炮弹的运动矢量图,如图（ｂ)所示,并利用正弦定理,有ﻫ从中消去ｔ后也可得到同样结果.ﻫ（2) 由分析知,如炮弹垂直击中坡面应满足y ＝0 和vx＝0,则ﻫ(3）由(２)（3）两式消去ｔ后得ﻫ由此可知．只要角α和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v0 的大小无关．讨论如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困难,有兴趣读者不妨自己体验一下.1-20分析选定伞边缘O 处的雨滴为研究对象，当伞以角速度ω旋转时,雨滴将以速度ｖ沿切线方向飞出，并作平抛运动．建立如图(a)所示坐标系，列出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系，即可求证．由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出，从不同小孔中飞出的水滴将会落在半径不同的圆周上，为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布ﻫ解(１) 如图(ａ）所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为ﻫ(1)(2)(2）常用草坪喷由式(１)（2)可得ﻫ由图(a）所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为ﻫﻫ水器采用如图(ｂ）所示的球面喷头(θ0 ＝4５°)其上有大量小孔．喷头旋转时,水滴以初速度ｖ０从各个小孔中喷出，并作斜上抛运动，通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上.则以φ角喷射的水柱射程为ﻫﻫ为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多，而且还不能均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题.1-21 分析被踢出后的足球，在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程得到.由于水平距离x 已知,球门高度又限定了在y 方向的范围，故只需将x、y 值代入即可求出．解取图示坐标系Ｏxy,由运动方程ﻫ,消去t 得轨迹方程ﻫ以x＝２5.0 ｍ，v ＝20.０m?６?1s-１及3.４4 m≥ｙ≥0 代入后,可解得71.11°≥θ1 ≥69．92° 27．92°≥θ2 ≥18.89°ﻫ如何理解上述角度的范围？在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角（如图所示)．如果以θ>71.11°或θ ＜１8.89°踢出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门;由于球门高度的限制,θ 角也并非能取71.１１°与18．89°之间的任何值．当倾角取值为2７.９2°<θ ＜69．9２°时,踢出的足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门.因此可取的角度范围只能是解中的结果. 1－2２分析在自然坐标中，s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s =ｓ(t）,对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量ａt,而加速度的法向分量为an=v2 /R．这样,总加速度为a ＝aｔｅｔ＋anｅｎ．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0.因圆周长为２πR,质点所转过的圈数自然可求得．解(1) 质点作圆周运动的速率为ﻫﻫ故加速度的大小为其加速度的切向分量和法向分量分别为ﻫ,ﻫ其方向与切线之间的夹角为ﻫﻫ（2）要使|a｜=b,由可得ﻫ(3）从t=０开始到ｔ=v0 ／b 时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为ﻫﻫ１-2３分析首先应该确定角速度的函数关系ω=kt２.依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数ｋ，ω＝ω(t)确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法（微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．解因ωR＝v,由题意ω∝t2得比例系数ﻫ所以ﻫ则ｔ′＝0.５s 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为ﻫﻫ总加速度在2.０ｓ内该点所转过的角度ﻫ１－24 分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解(1）由于,则角速度．在t =2 ｓ时,法向加速度和切向加速度的数值分别为ﻫﻫ(2) 当时，有,即ﻫ得ﻫ此时刻的角位置为(3) 要使,则有ｔ＝0.55s1-２５分析这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′.ｖ１为Ｓ′相对Ｓ的速度,v２为雨滴相对S的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v１，雨滴相对地面竖直下落的速度为v２，旅客看到雨滴下落的速度v2′为相对速度，它们之间的关系为(如图所示），于是可得ﻫ１－26分析这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车为动参考系S′.如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度ｖ2′的方向)应满足．再由相对速度的矢量关系,即可求出所需车速v1．ﻫ解由[图（b）］,有而要使,则ﻫ1－27 分析船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v决定的.由于水流速度u的存在，ｖ与船在静水中划行的速度v′之间有ｖ＝u＋v′(如图所示)．若要使船到达正对岸，则必须使v沿正对岸方向；在划速一定的条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值．ﻫ解（１) 由v=u +ｖ′可知,则船到达正对岸所需时间为ﻫ（２）由于,在划速v′一定的条件下,只有当α＝0 时, ｖ最大(即ｖ＝ｖ′),此时,船过河时1-２8 分析该问题涉及到运动的相对间ｔ′=d／v′,船到达距正对岸为l 的下游处,且有ﻫﻫ性.如何将已知质点相对于观察者Ｏ的运动转换到相对于观察者O′的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系Ｏ中一动点(x,y）变换至系Ｏ′中的点（x′,y′）.由于观察者Ｏ′相对于观察者O 作匀速运动，因此,该坐标变换是线性的．解取Oxy和O′x′y′分别为观察者O和观察者Ｏ′所在的坐标系,且使Ｏx 和O′x′两轴平行.在t =0 时,两坐标原点重合．由坐标变换得ﻫx′＝x - v t =ｖt - v t＝０ｙ′＝ｙ＝1/２ｇｔ2加速度ﻫ由此可见，动点相对于系Ｏ′是在y 方向作匀变速直线运动.动点在两坐标系中加速度相同，这也正是伽利略变换的必然结果.ﻫﻫ２－1 分析与解当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零，物体在绳子拉力FＴ(其方向仍可认为平行于斜面）和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(ｂ)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选（D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征.ﻫ2-２分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反，并保持不变,故选(A）.ﻫ2-3分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供，能够提供的最大向心力应为μFN.由此可算得汽车转弯的最大速率应为v=μRｇ.因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值，均能保证不侧向打滑.应选(C)．ﻫ2-4分析与解由图可知，物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关.重力的切向分量(m gcosθ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力）将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程可判断,随θ 角的不断增大过程，轨道支持力FN也将不断增大,由此可见应选(Ｂ）.ﻫ2－５分析与解本题可考虑对A、Ｂ两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解.此时Ａ、B 两物体受力情况如图（b)所示,图中a′为A、B 两物体相对电梯的加速度,ｍa′为惯性力．对A、Ｂ两物体应用牛顿第二定律,可解得FＴ=5/８mg．故选(A).讨论对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力．如以地面为惯性参考系求解，则两物体的加速度aA 和ａB 均应对地而言,本题中aA 和aＢ的大小与方向均不相同.其中aＡ应斜向上．对aＡ、aB、a 和a′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁.有兴趣的读者不妨自己尝试一下．ﻫ２－６分析动力学问题一般分为两类:(1) 已知物体受力求其运动情况；(2) 已知物体的运动情况来分析其所受的力．当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介，把动力学方程和运动学规律联系起来.本题关键在列出动力学和运动学方程后，解出倾角与时间的函数关系α＝ｆ(t),然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来．解取沿斜面为坐标轴Oｘ,原点O 位于斜面顶点，则由牛顿第二定律有（1)又物体在斜面上作匀变速直线运动，故有则(2)为使下滑的时间最短,可令，由式(2)有ﻫ则可得, ﻫ此时ﻫ2-7 分析预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体．处理动力学问题通常采用“隔离体”的方法,分析物体所受的各种作用力,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程．根据连接体中物体的多少可列出相应数目的方程式.结合各物体之间的相互作用和联系,可解决物体的运动或相互作用力．ﻫ解按题意,可分别取吊车(含甲、乙）和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy 轴正方向（如图所示).当框架以加速度a 上升时，有ﻫFＴ-(m１+m2 )g ＝(m1 ＋ｍ2 )ａ（１),FN2 -ｍ２g=m2 ａ（2)解上述方程，得FＴ=（ｍ1 ＋m2 )(g +a) （3) ＦN2 ＝m2 (g ＋a) （4)ﻫ（1) 当整个装置以加速度a =10 ｍ？6?１s-2 上升时,由式(3)可得绳所受张力的值为FＴ=5.94 ×10３N乙对甲的作用力为F′N2＝-FN2＝-ｍ2 (g+a）＝-1.98×１03 N(2) 当整个装置以加速度a＝１m?6?1s-2 上升时,得绳张力的值为ＦＴ＝３.2４×103 Nﻫ此时,乙对甲的作用力则为F′Ｎ2＝-1．08 ×103 Ｎ由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时，由于起吊加速度不同，绳中所受张力也不同,加速度大，绳中张力也大．因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确保起吊过程的安全．ﻫ２-8 分析该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解.分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立.同时也要注意到张力方向是不同的．解分别对物体和滑轮作受力分析[图(b）].由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程，有mA g -FＴ=mA a (1）ﻫF′Ｔ1 -Fｆ=mB a′(２）F′T －2FＴ1 ＝0 (3)考虑到ｍA ＝ｍＢ＝m，FＴ=F′T , FＴ1＝Ｆ′Ｔ1，a′＝2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力讨论动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意，确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组;(3) 解方程组,得出文字结果;(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来．ﻫ２-9分析当木块B 平稳地轻轻放至运动着的平板A 上时，木块的初速度可视为零，由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态．根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度．换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-ｖ′(与平板运动速率大小相等、方向相反）作匀减速运动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得．ﻫ该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解.将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能,而它们的共同速度可根据动量定理求得．又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量．木块相对平板移动的距离即可求出.解１以地面为参考系，在摩擦力Fｆ＝μmg 的作用下,根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程ﻫFｆ=μmg =ma1 F′ｆ=－Fｆ=ｍ′a２a1 和a2 分别是木块和木板相对地面参考系的加速度.若以木板为参考系,木块相对平板的加速度a =a1 ＋a2 ，木块相对平板以初速度-ｖ′作匀减速运动直至最终停止．由运动学规律有- v′2 =2as由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为ﻫﻫ解２以木块和平板为系统,它们之间一对摩擦力作的总功为。