二次函数线段的最大值
中考数学：二次函数——线段最大值问题
中考数学：二次函数——线段最大值问题一前提知识:二典型例题：1.如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。
（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；三变式练习:2.变式1：点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；大值：问题2：你能求出△PQH周长的最大值吗？的最大值；积的最大值；积的最大值；四直通中考：1.（2014 ·重庆中考A卷25题）如图，抛物线y= -x2 -2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。
（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN ⊥X轴于点N，若点P在点Q 左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE 的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）由S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝求而出点F（，），而FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，即可求解；（2）分AC′＝EC′、AE＝EC′、AC′＝AE三种情况，求解即可．【解答】解：（1）过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K（如下图），过点D作DM⊥FK于点M，令y＝﹣x﹣＝0，则点A（﹣1，0），设点F坐标为（x，﹣x2+x+），则点K（x，﹣x﹣），S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝FK•AH﹣FK•DM＝FK（AH﹣DM）＝FK•AO＝（﹣x2+x++x+）×1＝﹣x2+x+，当x＝﹣＝时，S△F AD有最大值，此时点F（，），点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，作GP⊥EQ于点P，则∠PEG＝30°，∴GP＝GE，∴FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，当x＝时，y＝﹣x﹣＝﹣，此时点G（，﹣），FG+GE最小值为：；（2）连接CC′，过点C′作C′F⊥y轴于点F，则C′C＝，CF＝CC′＝t，FC′＝CC′＝t，∴点C′（t，﹣t），由（1）知点E（4，﹣），∴AE2＝，AC′2＝t2+4，EC′2＝t2﹣t+，①当AC′＝EC′时，t2+4＝t2﹣t+，解得：t＝；②当AC′＝AE时，同理可得：t＝（舍去负值）；③当AE＝EC′时，同理可得：t＝5；故：t的值为或或5或5．。
第03讲-二次函数解析式与线段最值(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数解析式的理解和应用：重点在于让学生掌握二次函数一般形式及其图像性质，能够根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c。
举例：讲解如何根据抛物线的顶点坐标、对称轴和开口方向来确定二次函数解析式。
（2）线段最值问题的求解：重点在于培养学生利用二次函数求解线段最值问题的能力，掌握解题步骤。
-通过具体例子，让学生掌握如何根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c
2.线段最值问题的探讨：
-利用二次函数求解线段的最值问题，如最大值、最小值
-线段最值在实际问题中的应用，例如求解平面几何中的最大或最小面积问题
-结合实际例题，让学生掌握如何建立二次函数模型解决线段最值问题，并掌握解题技巧。
二、核心素养目标
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生在学习二次函数解析式与线段最值这一章节时，存在一些问题和亮点。在这里，我想结合教学实际，对这次教学进行一些反思。
首先，我发现大部分学生在理解二次函数解析式的过程中，对系数a、b、c的含义和求解方法掌握得不够扎实。在以后的教学中，我需要更加注重基础知识的教学，通过丰富的实例和详细的讲解，帮助学生深入理解二次函数解析式的内涵。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数解析式的基本概念。二次函数解析式是描述抛物线运动规律的一种数学表达形式。它是解决线段最值问题的关键工具，广泛应用于物理、工程等领域。
浅谈二次函数与线段最值问题
段
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的
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为４槡５。
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由
此可知：求斜线段长 的 最 值 问 题 可 转 化 为 求
竖直线段长的最值问题。
四 、求 三 角 形 周 长 的 最 值 问 题
若将上题的问题改为：作 ＰＤ⊥ｘ 轴 于 Ｄ 点，交 ＡＣ 于 Ｑ 点，
作 ＰＨ⊥ＡＣ 于 Ｈ 点，求 △ＰＱＨ 周 长 的 最 大 值。显 然，求 三 角 形
ＪＩＡＯ ＳＨＩ ＪＩＡＯ ＹＵ 教海探航
浅谈二次函数与线段最值问题
张骏峰 （南通市通州区实验中学，江苏 南通２２６３００）
摘 要：中考的压轴题通常是函数搭台，几何唱戏。初中所学函 数 就 是 将 生 活 中 的 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 ，即 构 建 函 数 数 学 模
型的有效载体，特别是二次函数；而数形结合思想是分析、解决问题 的 关 键。有 关 线 段 最 值 问 题 与 二 次 函 数 的 综 合 是 中 考 压 轴 题 中 的
一 、求 竖 直 线 段 长 的 最 值 问 题 这 类问题通常是过抛物线上的一动点作ｘ 轴的垂线（或ｙ 轴 的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间 长 度 关 系 的 形式出题。解决此类问题时，一般要将线段问题转化 为 点 的 坐 标 问题，根据抛物线和直线上点的横坐标相同，设这两 点 的 横 坐 标， 从而得到这两点的纵坐标，然后用含字母的式子表示两 点 间 的 线 段长，特别是遇到线段 最 值 问 题 时，一 般 要 结 合 二 次 函 数 求 最 值 的 方 法 ，将 二 次 函 数 解 析 式 配 成 顶 点 式 或 利 用 公 式 求 最 值 。 具体图 形 如 下 图 所 示：“在 题 目 中 已 知
二次函数求线段最大值
二次函数求线段最大值一、题目背景：二次函数是高中数学中的重要内容，其中求线段最大值是一个常见的问题。
本文将介绍如何利用二次函数求解线段最大值。
二、问题描述：已知一个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$，且在区间$[m,n]$内取得极值。
求该函数在区间$[m,n]$内的极大值。
三、解题思路：1. 求导数：首先需要求出该二次函数的导数$f'(x)$，即$f'(x)=2ax+b$。
2. 求极值点：令导数$f'(x)=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。
这个点就是该二次函数的极值点。
3. 判断极值类型：根据导数$f'(x)$的正负性判断该极值点是极大值还是极小值。
当$f'(x)>0$时，该点为极小值；当$f'(x)<0$时，该点为极大值。
4. 判断是否在区间内：判断上述求得的极大值点是否在区间$[m,n]$内。
若在，则该点即为所求最大值；若不在，则需要比较区间端点和极大值点处的函数取最大值作为所求答案。
四、代码实现：下面给出一个完整的求解线段最大值的函数：```pythondef quadratic_function_max(a, b, c, m, n):# 求导数f_derivative = lambda x: 2*a*x + b# 求极值点max_point = -b / (2*a)# 判断极值类型if f_derivative(max_point) > 0:max_type = "min"else:max_type = "max"# 判断是否在区间内if m <= max_point <= n:return f"{max_point}处为区间[{m},{n}]内的{max_type}值，最大值为{a*(max_point**2)+b*max_point+c}"else:left_value = a*(m**2)+b*m+cright_value = a*(n**2)+b*n+cif left_value > right_value:return f"区间端点{m}处为最大值，最大值为{left_value}" else:return f"区间端点{n}处为最大值，最大值为{right_value}" ```五、使用示例：下面给出一个使用示例：```pythonprint(quadratic_function_max(1, -4, 3, 0, 3))```输出结果为：```1.0处为区间[0,3]内的max值，最大值为2.0```六、总结：本文介绍了如何利用二次函数求解线段最大值。
二次函数4-平行于y轴动线段的最大值--第四讲
1.“平行于 y 轴的动线段长度的最大值”的问题： 例 1：如图，已知二次函数 y ax2 4x c 的图像与坐标轴交于点 A(1,0) 和点 C(0,5) 。 （1）求该二次函数的解析式； （2）连接 BC ，一条平行于 y 轴的直线 l 在 B、C 两点间运动，直 线l 交抛物线于点 M ，交线段 BC 于点 N ，求线段 MN 的最大值？
2
1
学习就是不断的记住、忘记和再记住的过程，唯有每天坚持学习，方能进步！——周云华
如图，直线 y x 2 与抛物线 y ax2 bx 6 (a 0) 相交于 A ( 1 , 5 ) ，
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B ( 4 , c ) 两点，点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PC x 轴于点 D ，交抛物线于点 C 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）是否存在这样的点 P ，使线段 PC 的长有最大值？若存在， 求出这个最大值，若不存在，请说明理由；
中考数学压轴题专题-二次函数与线段最值定值及数量关系问题
专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．【例3】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【例4】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A，B，C，D；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x 轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．①用含t的代数式表示f；②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．【例6】（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−14x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【题组一】1．（2021•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC ＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t的取值范围．2．（2021•赣州模拟）已知抛物线C1：y＝x2﹣4x+3m和C2：y＝mx2﹣4mx+3m，其中m≠0且m≠1．（1）抛物线C1的对称轴是，抛物线C2的对称轴是；（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m的代数式表示）并直接写出直线EF与x轴的位置关系；（3）设抛物线C1的顶点为M，C2的顶点为N；①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数m，使得MN＝2EF？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．3．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．4．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．【题组二】5．（2021•攸县模拟）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图所示，已知抛物线C：y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点．（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象．①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程．②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．6．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．7．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ 的最小值并求此时点P的坐标．8．（2021•茶陵县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．【题组三】9．（2021•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•怀化模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣1，0）．（1）直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①当∠PCB＝∠OCB时，求点P的坐标；②当点P在B、C两点之间运动时，连接AP，交BC于点Q，设t＝，求当t值最大时点P的坐标．11．（2021•罗湖区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°时，求m的值．12．（2021•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．（1）求k、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值．【题组四】13．（2020•西宁二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，52）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x 轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．14．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tan C=355OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．16．（2020•皇姑区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线y=−122+bx+c和直线BC的函数表达式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连接ON，作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD=5DF时，请直接写出点N的坐标．【题组五】17．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y 轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF的最小值．18．（2020•白云区模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求点A，C的坐标；（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN 为定值，并求出这个定值．19．（2020•福安市校级模拟）已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB ＝90°．求证：CO=1；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．20．（2020•德城区一模）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB 交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【题组六】21．（2020•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问1δ212是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB=(1−2)2+(1−2)2）22．（2020•新都区模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB ﹣TS=23，求点R的坐标．23．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．24．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．。
二次函数中线段最值问题
二次函数中线段最值问题二次函数中的线段最值问题（一）例1：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），顶点为M。
求抛物线的解析式和对称轴上使得PA+PC最小的点P的坐标。
解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c3=a(0)^2+b(0)+c化简后可得：y=x^2-2x-32）对称轴为x=1，因此P的横坐标为1.设P的纵坐标为y，则根据距离公式可得：PA+PC=sqrt[(1+1)^2+y^2]+sqrt[(1-0)^2+(y+3)^2]对其求导并令其为0，可得y=-1/2.因此P的坐标为（1，-1/2），PA+PC的最小值为3.练1：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x^2+2x+3经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D。
在x轴上找一点E，使得EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值。
解：（1）由已知点可列出四个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c0=a(1)^2+b(1)+cy=aD^2+bD+c化简后可得：y=-x^2+2x+32）对称轴为x=1，因此D的横坐标为1.设E的横坐标为x，则EC+ED=sqrt[x^2+(3-(-x+3))^2]+sqrt[(1-x)^2+D^2]。
对其求导并令其为0，可得x=1/2.因此E的坐标为（1/2，0），EC+ED的最小值为2sqrt(10)。
练2：如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（1，0）、C （0，-3），顶点为D。
点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。
解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c3=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-32）设M的横坐标为x，则△ACM的周长为AC+CM+MA=sqrt[(x+1)^2+9]+2sqrt[(x-D)^2+1]。
二次函数求线段最大值
二次函数求线段最大值
二次函数在数学中是一种二次多项式函数，其一般形式为y=ax2+bx+c。
在二次函数中，我们经常需要求解线段的最大值，即在给定范围内找到使函数取得最大值的点或端点。
二次函数的最大值
对于二次函数y=ax2+bx+c，其最大值或最小值可以通过求导数来得到。
二次函数的顶点(ℎ,k)是函数的最值点，其中$h=-\\frac{b}{2a}$，k=f(ℎ)。
求解线段的最大值
如果要求解线段的最大值，我们需要首先确定线段的范围，即确定x的取值范围。
在确定了范围之后，我们可以将该范围内的端点和顶点代入二次函数，通过比较得出最大值。
实际案例分析
假设我们有一个二次函数y=2x2−4x+3，我们需要求解$-1 \\leq x \\leq
3$范围内的最大值。
首先，我们计算函数的顶点$h=\\frac{4}{4}=1$，代入函数得
到k=2∗12−4∗1+3=1，即顶点为(1,1)。
然后我们计算x=−1,3两个端点的
函数值，在x=−1时y=2∗(−1)2−4∗(−1)+3=9，在x=3时y=2∗32−4∗
3+3=9。
通过比较顶点和端点的函数值，我们发现最大值为9，在x=−1和x=3时取得。
结论
通过以上实际案例分析，我们发现二次函数在给定范围内线段的最大值可以通
过计算端点和顶点的函数值来得出。
在求解线段最大值时，我们需要注意函数的顶点，通过比较确定最大值。
对于二次函数求线段最大值的问题，我们可以通过以上方法来求解，通过数学
方法得出最优解。
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二次函数专题训练
类型一与线段、周长有关的问题的导学案
一、考点聚焦
（一）与几何最值有关的知识点。
1.两点之间，线段最短；
2. 在直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短；
3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（二）求线段和的最小值，线段差的最大值
二、玩转重庆四年中考
（2016年B卷26（2）题，2015年A卷26（2）题，）（2014年A卷25题，2013年A卷25（2）题，B卷25（2）题）三、典例精讲
例1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、
1x－2经过
B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝
2
点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)设点E为x轴上一点，且AE＝CE，求点E的坐标；
(3)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得
GD＋GB的值最小，若存在，求出点G的
(4)在直线l 上是否存在一点F ，使得△BCF 的周长最
小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF 周长的最小值；
若不存在，请说明理由；
(5)在y 轴上是否存在一点S ，使得SD －SB 的值最大，若
存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由；
(6)若点H 是抛物线上位于AC 上方的一点，过点H 作y
轴的平行线，交AC 于点K ，设点H 的横坐标为h ，线
段HK ＝d .
①求d 关于h 的函数关系式；
②求d 的最大值及此时H 点的坐标．
四、针对演练 与课后作业 （1、2、3题必作题， 4题选作）
1. 如图，抛物线y ＝－41x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)，B (－4，－
4)，且抛物线与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ，AC .
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线对称轴上的点，求△PBC 周长的最小值及此时点P 的坐标；
(3)若E 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作y 轴的平
行线，分别交抛物线及x 轴于F 、D 两点. 请问
是否存在这样的点E ，使DE ＝2DF ？若存在，
请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.
第1题图
2. (2017原创)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点
A (3，0)，
B (1，0)，交y 轴于点
C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作P
D ∥y 轴交直线AC 于点D .
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2016重庆南开阶段测试一)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 分别交x 轴于A (4，0)、B (－1，0)，交y 轴于点C (0，－3)，过点A 的直线y ＝－34x ＋3交抛物线于另一点D . (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；
(2)若点P 为x 轴上的一个动点，点Q 在线段AC 上，且Q 点到x 轴的距离为95，连接PC 、PQ ，当△PCQ 周长最小时，求出点P 的坐标； (3)如图②，在(2)的结论下，连接PD ，在平面内是否存在△A 1P 1D 1，使△A 1P 1D 1≌△APD (点A 1、P 1、D 1的对应点分别是A 、P 、D ，A 1P 1
平行于y轴，点P1在点A1上方)，且△A1P1D1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A1的横坐标m；若不存在，请说明理由．
4. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，求△ACR的周长；
(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．。