正余弦定理中等题讲义
正余弦定理 - 解析版
sin B sin C c sin C sin 2B 2cos B
5
25
★★★练习 2. 在锐角 ABC 中， A = 2B ， B, C 所对的边分别为 b, c ，则 b 的取值范围是
．
b+c
答案： (1 , 1) 32
解析：分子分母齐次式直接由正弦定理进行边化角，然后利用倍角公式化简
b
b +
c
=
sin
sin B B + sin C
=
sin
B
sin B + sin(A +
B)
=
sin
B
+ sin
sin B Acos B
+
cos
A sin
B
=
1+
1 2 cos2 B
+
cos
A
=
1 4 cos2
B
下面求
B
的范围，因为 ABC
是锐角三角形，所以
A
=
A
+
2B 2
B = 3B
2
，解得 6
B
4
，代入上式可得
b 的取值范围是 (1 , 1) 。
b+c
32
★☆☆例题 4. 在 ABC 中， sin A = sin B ，则 ABC 的形状是（ ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 锐角三角形
答案：B
解析：由 sin A = sin B 得， A = B ，三角形为等腰三角形。
sin B sin A
2
2
★★☆练习 1. ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 a = 3, cos A = 6 , B = A + 。
正弦定理、余弦定理讲义
此为三角函数最为基础的知识，在以后的多学科学习中都能用到，需要学生熟练掌握，并灵活运用。
解三角形【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理； 2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题． 【基础知识】在C B A c b a ABC ∠∠∠∆、、分别是、、中，所对的边，ABC R ∆为的外接圆半径,则有，1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin =∠=∠=∠； 2.余弦定理：bca cb A 2cos 222-+=A bc c b a cos 2222-+=⇔ ac b c aB 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=⇔ abc b a C 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ 3.常用公式：（1）π=++C B A ；（2）B ac A bc C ab S sin 21cos 21sin 21===知识点一：解直角三角形【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．【变式训练】 1.在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.知识点二：正、余弦定理的运用【典例精析】 例1、（2010辽宁文数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.例2、（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a =42bc . (Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小； （2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA+-cos2C=27.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.【变式训练】1.（2010天津文数）在∆ABC中，coscosAC B AB C=。
高三正余弦定理、解三角形综合讲义
正余弦定理、解三角形综合讲义一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理：考点1 正弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝(2)a ＝ ，b ＝ ，c ＝(3)sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝考点2 余弦定理在ABC ∆中a 2＝ ，b 2＝ ，c 2＝ ．余弦定理可以变形为：cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ . 考点3 内角和定理面积公式: ．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 在三角形中大边对大角，反之亦然.1．(广州调研)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin A sin A ＋C＝( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－322．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝( )A ．－725 B.725 C ．－2425 D.24253．(全国)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1 4．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，则AB →〃BC →＝( )A ．－152 B.152 C ．－15 32 D.15 326．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为______．8．在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________.1．(广州海珠调研)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，A ＝π3.a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(cos B ，sin B )，n ＝(cos C ，－sin C )．(1)求m 〃n 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．2．(2011年广东深圳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，sin α2与向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，2cos α2垂直，其中α为第二象限角．(1)求tan α的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2＋c 2－a 2＝2bc ，求tan(α＋A )的值．3．(2011年全国)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .己知a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .4．(2011年山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．5．(惠州调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m 〃n ＝12. (1)求角A 的值；(2)若a ＝2 3，b ＋c ＝4，求ABC 的面积．高考尝试1．(湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．2. ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.3.在ABC ∆中，3,2,600===∠BC AC A ，则AB 等于___________。
6.4.3第1课时余弦定理讲义
6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角． 教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. ②在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. ③在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( )(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( )2．做一做(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c ＝3，则B＝____.(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形．(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为____.(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于____.题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．232．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( )A．1 B． 2C．2 D．43．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( )A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π34．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．35．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____.7．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝7，则sin∠ABD ＝____.8.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，sin∠ABC＝235，则CD的长度等于____.三、解答题9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－3)bc，sin A sin B＝cos2C2，BC边上的中线AM的长为7.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的周长．6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角．教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b 2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. ②在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. ③在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( ) (2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( ) (3)已知△ABC 中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝____.(2)已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形． (3)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为____. (4)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于____. 答案 (1)5π6 (2)钝角 (3)π3(4)13题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[解]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22，又cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.答案(1)D (2)见解析解析(1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，∴c＝219.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋27－362×3×33＝0.∴A＝90°，∴C＝60°.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．[解析](1)因为c<b<a，所以最小角为角C.所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－13 2×7×43＝32，所以C＝π6，故选B.(2)已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a －8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.[答案](1)B (2)见解析[条件探究] 若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？解因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝432＋132－72 2×43×13＝48＋13－49839＝3926.故△ABC 的最大角的余弦值为3926.已知三边求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．[跟踪训练2] (1)在△ABC 中，(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为____.(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 答案 (1)120° (2)见解析解析 (1)由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，得a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，∴边a 最大．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°.(2)解法一：由余弦定理的推论，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.∴所求中线长为7.解法二：在△ABC 中，设AC 边上的中线长为x ，如图，以AB ，BC 为邻边作▱ABCD .由余弦定理可得，在△ABC 中，有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos∠ABC ，① 在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos∠BAD ，② ①＋②可得(2x )2＋AC 2＝2(AB 2＋BC 2)， 即(2x )2＋82＝2×(92＋72)，∴x ＝7， ∴所求中线长为7.题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[解]由2cos A sin B＝sin C，得2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理，得cos C＝12，C＝60°，∴△ABC为等边三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∵B＝60°，b＝a＋c2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a＋c22＝a2＋c2－2ac cos60°.∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．23答案 B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a2 2a·2a ＝3 4.2．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( ) A．1 B． 2C．2 D．4答案 C解析b cos C＋c cos B＝b·a2＋b2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝2a22a＝a＝2.3．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.答案120°解析由c>a>b，知角C为最大角，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.答案 2解析由已知及余弦定理，得sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos45°＝4，a＝2.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．解由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝a cos B，得c＝a·a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形．又b＝a sin C，∴b＝a·ca，∴b＝c，∴△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( ) A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对答案 C解析∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴5＝15＋c2－215×c×32.化简，得c2－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0，∴c＝25或c＝ 5.2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案 B解析∵sin2A2＝1－cos A2＝c－b2c，∴cos A＝bc＝b2＋c2－a22bc⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π3答案 B解析∵a2＋b2＋2ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－2ab，cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab 2ab ＝－22，∵C∈(0，π)，∴C＝3π4.4．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．3答案BC解析设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝a2＋a＋12－a＋222a a＋1＝a－32a，所以－12≤a－32a<0，解得32≤a<3.故选BC.5．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°答案 B解析令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3,2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，∴cosα＝x2－12＋2x＋12－x2＋x＋12 2x2－12x＋1＝－12，∴最大角为120°.二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____. 答案5＋19解析 由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A 及条件，可得cos A ＝－12，∴A ＝120°，再由余弦定理求得BC 2＝19，∴周长为5＋19.7．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ∠ABD ＝____.答案12解析 因为BD 为∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝12∠ABC .由余弦定理，得cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22×AB ×BC ＝32＋22－722×3×2＝12.又cos ∠ABC ＝1－2sin 2∠ABD ＝12，所以sin ∠ABD ＝12.8.如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC ＝33，BD ＝5，sin ∠ABC ＝235，则CD 的长度等于____.答案 4解析 由题意，知sin ∠ABC ＝235＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠CBD ＝cos ∠CBD ，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos∠CBD ＝27＋25－2×33×5×235＝16.∴CD ＝4.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解 在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b＝19.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．解(1)由(a－c)2＝b2－34 ac，可得a2＋c2－b2＝54 ac.所以a2＋c2－b22ac＝58，即cos B＝58.(2)因为b＝13，cos B＝5 8，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－54ac＝(a＋c)2－134ac，又a＋c＝2b＝213，所以13＝52－134ac，解得ac＝12.1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解(1)由已知及余弦定理，得cos B＝c2＋a2－b22ca＝9＋c＋b c－b6c＝9－2c＋b6c＝－12，即9－2b＋c＝0，又b－c＝2，所以b＝7，c＝5.(2)由(1)及余弦定理，cos C＝a2＋b2－c22ab＝32＋72－522×3×7＝1114，又sin2C＋cos2C＝1,0＜C＜π，所以sin C＝5314，同理sin B＝32，所以sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝32×1114＋5314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3314. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的周长．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0<A <π，所以A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角．所以B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ， 化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，所以a ＝2.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋22－2×2×2×cos 2π3＝12， 所以c ＝2 3.所以△ABC 的周长为4＋2 3.。
第二讲 余弦定理经典讲义
第二讲余弦定理一、自主梳理1．余弦定理(1)语言叙述：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦求积的两倍．(2)公式表达：(3)推论：证明：2．余弦定理及其推论的应用：可以解决两类解三角形问题：一是已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；二是已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．3.正弦定理及其推论的应用：可以解决两类解三角形问题：一是：二是：4、利用余弦定理判定三角形的形状∆AB的角A、B、C的对边，则：设a、b、c是C①若222C= ；+=，则90a b c②若222C< ；+>，则90a b c③若222C> ．+<，则90a b c5、余弦定理与面积公式6、何时用余弦定理二、 预习检测1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2 D ．219 2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则sin A 的值为( )A.5719 B.217C.338 D ．－57193．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．4．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．三、 题型精讲题型一 已知两边与一角解三角形1.(2012·陕西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.2、在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a .3、(2012·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.4．(2012·湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332 C.3＋62 D.3＋3945、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c .6．(2013·吉林省长春三校高三年级调研测试)△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，且AB →·AC →＝AC →2，则BC ＝________.题型二 已知三边解三角形1、在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，c ＝3＋3，解此三角形．2、在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．3、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，则角A 的大小为________．4、(2012·湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394练习：1．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则角B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．在△ABC 中，c 2－a 2－b 2＝3ab ，则角C 为( ) A ．60° B ．45°或135° C ．150° D ．30°3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π124．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°5．(2013·保定市第一学期高三期末调研考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A.32 B ．3 C ．6 D ．96．(2013·课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．57．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19题型三 判断三角形形状1.在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状．2、(2012·上海卷)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定3、(2013·陕西五校高三第三次模拟)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．(2013·湛江市普通高考测试题(二))若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形5．(2013·乐山一中阶段考试)在△ABC 中，若a 2b 2＝a 2＋c 2－b2b 2＋c 2－a2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝2b cos C ，试判断△ABC 的形状．8、在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．题型四取值范围1. 设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．2、在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，则t的取值范围是________．3、已知锐角三角形的边长分别为1,3，x，则x的取值范围是多少？4．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则角A的取值范围是________．四、 课后练习1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab2．在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( ) A.1213 B.513C ．0 D.233．已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定4．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π35．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.236．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.7．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是________．8．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________．9．已知在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，求角C .10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，若(a ＋b ＋c )(sin A ＋sin B －sin C )＝3a sin B ，求C 的大小．11．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．。
正余弦定理复习讲义(精典)
4．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________．
5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为()
A．2B．8C.D.
题型一 利用正弦定理求解三角形
例1 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.
探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
psinB(p∈R)，且ac＝b2.
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
(2)若角B为锐角，求p的取值范围．
探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
题型三 正、余弦定理的综合应用
例3 (2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝
2．余弦定理：a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________.余弦定理可以变形为：cosA＝________________，cosB＝____________，cosC＝__________.
正余弦定理知识点+经典题(有问题详解)
正余弦定理1.定理容：〔1〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== 〔2〕余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。
即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-〔3〕面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形： 〔1〕一边和两角：〔2〕两边和其中一边的对角： 〔3〕两边和它们所夹的角： 〔4〕三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，如此b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，如此角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假如A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，如此c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.146．在△ABC 中，假如cos A cos B ＝ba，如此△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c ＝2，b ＝6，B ＝120°，如此a 等于( )A.6B ．2C.3D. 29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假如a ＝1，c ＝3，C ＝π3，如此A ＝________.10．在△ABC 中，a ＝433，b ＝4，A ＝30°，如此sin B ＝________.11．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，如此a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，如此△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，如此a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，如此a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，如此此三角形有________组解．17．如下列图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，如此货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 与b 、c .19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)假如a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．26C ．36D ．4 62．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，如此c 等于()A. 3B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，如此∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假如(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，如此a cos B ＋b cos A 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，如此这个新的三角形的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，如此AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，如此a 为()A.3B ．23C.3或23D ．29．△ABC 的三个角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，如此边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假如a ＝4，b ＝5，S ＝53，如此边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，如此cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.14．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，如此AB →·BC →的值为________．15．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，如此角C ＝________.16．(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，如此最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)假如△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，如此b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，如此角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假如A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，如此c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，假如cos A cos B ＝ba，如此△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c ＝2，b ＝6，B ＝120°，如此a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，如此C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假如a ＝1，c ＝3，C ＝π3，如此A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，a ＝433，b ＝4，A ＝30°，如此sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，如此a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，如此△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°如此a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，如此a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，如此此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如下列图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，如此货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 与b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)假如a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，如此c 等于() A. 3 B. 2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，如此∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假如(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，如此a cos B ＋b cos A 等于() A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，如此这个新的三角形的形状为() A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，如此c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，如此AB →·AC →的值为() A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，如此a 为() A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．△ABC 的三个角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，如此边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假如a ＝4，b ＝5，S ＝53，如此边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，如此cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，如此b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k ＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3.答案：2 314．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，如此AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935) ＝－19. 答案：－1915．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，如此角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°16．(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，如此最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，如此⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.18．△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)假如△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解：(1)由题意与正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A， 得AB ＝sin C sin ABC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b. 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b. 又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正弦定理和余弦定理
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法。
基础梳理
1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；
(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；
(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，cos C
＝a 2＋b 2－c 2
2ab .
3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则
一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题n
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
双基自测
1．()在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063 D ．56
2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B
b ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
3在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()．A．30° B．45° C．60° D．75°
4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝1
3，则△ABC的面积为()．
A．3 3 B．2 3 C．4 3 D.3
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．
考向一利用正弦定理解三角形
【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.
[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
【训练1】()在△ABC中，若b＝5，∠B＝π
4，tan A＝2，则sin A＝________；a
＝________.
考向二利用余弦定理解三角形
【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos B
cos C＝－
b
2a＋c
.
(1)求角B的大小；
(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
【训练2】 ()已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A
2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；
(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．
【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c
cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形
考向三 正、余弦定理的综合应用
【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．
【训练3】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝4 5，
b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错
【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.
【示例】►在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b ＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
【试一试】()△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B ＋b cos2A＝2a.
(1)求b a；
(2)若c2＝b2＋3a2，求B.。