(完整版)必修五正余弦定理习题练习
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，ο30,34==A b ，则B 等于（ ）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ）A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A.14 B.23 C.23- D.14- 10．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos2=，则△ABC 为（ ）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（ ）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（ ）A.6πB.3πC.23πD.56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15．已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角 16．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===，则ABC ∆的面积为（ ） A.156 B. 154 C. 152D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ． 3－1 B ．3 C. 2 D. 1 评卷人 得分一、解答题（题型注释）18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π=，22212b ac -=. （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+ （1）求sinA ； （2）若32a =，△ABC 的面积S ＝22，且b>c ，求b ，c ．22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值； （Ⅱ）若17a c ==，，求ABC △的面积.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =， （1）求b 的值； （2）求sin C 的值．二、填空题 24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .26．在中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若，则b=___________．27．在C ∆AB 中，已知，C 4A =，30∠B =o ，则C ∆AB 的面积是 ． 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，，则C 的大小为___________. 29．在∆ABC ，则这个三角形的形状是参考答案1．D 【解析】试题分析：B b A a sin sin =，2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ；b a <Θ，030=>∴A B ， 060=∴B 或0120=B ，选D.考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ，所以060=C ，选B.考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-，23B π=，选C. 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=，又222237b a ac b a -=⇒=，由余弦定理可得，2222221cos 242a cb a B ac a +--===-，又()0,B π∈，所以120B ︒∠=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=， ∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°， 故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝2222a b c ab+-<0，则角C 为钝角考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得22222a b c a b ab+-=g ，那么化简可知所以 2222=a a b c +-，即 22=b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状． 解：∵cos2=，∴（1+cosB ）=，在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形， 故选：B ． 12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 解：∵A=60°，a=4，b=4， ∴由正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A ， 则B=45°． 故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=，三角形为直角三角形考点：三角函数基本公式 15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==，选A考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3.【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得b c 322=，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a ， 即bc c a b 2222=+-，将22212b a c -=代入可得b c 322=，再代入22212b ac -=可得b a 35=， 所以522sin sin ==a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ； （2）因3sin 21=A bc ，故322322212=⨯⨯b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π， ∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2， 即a+c=2， ∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B=.4π（2）21+ 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角， 再联系两角和差公式，可求出角B 。
正余弦定理练习题
正余弦定理练习题正余弦定理练习题在初中数学中，我们学习了许多几何定理，其中正余弦定理是一个非常重要且实用的定理。
正余弦定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度，解决实际问题。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对正余弦定理的理解和运用。
练习题1：已知一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A的度数为α。
根据正余弦定理，我们可以得出以下公式：a² = b² + c² - 2bc * cosα现在，我们假设a=5cm，b=7cm，c=8cm，α=30°，请计算出角B和角C的度数。
解答：根据正余弦定理，我们可以得到以下两个公式：b² = a² + c² - 2ac * cosβc² = a² + b² - 2ab * cosγ代入已知条件，我们可以得到：7² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cosβ8² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * cosγ通过计算，我们可以得出：cosβ ≈ 0.42，cosγ ≈ 0.71由于0°< β, γ < 180°，我们可以使用反余弦函数来计算角度：β ≈ arccos(0.42) ≈ 64.6°γ ≈ arccos(0.71) ≈ 44.4°因此，角B的度数约为64.6°，角C的度数约为44.4°。
练习题2：现在，我们来解决一个实际问题。
假设你正在参加一个登山活动，你站在山脚下，想要测量山顶的高度。
你找到了一棵高大的树，树的高度为10m。
你站在树的底部，向上仰望山顶，测得角度为30°。
然后，你向上走了100m，再次测量角度，发现角度变为15°。
请计算山顶的高度。
解答：我们可以将问题抽象成一个三角形，树的高度为a，你站在树底部的位置为B，你站在树顶的位置为A，山顶的位置为C。
(完整版)正弦定理和余弦定理练习题
【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。
必修五第一章《正余弦定理》课后练习及答案
必修五-第一章第一节正弦定理和余弦定理一、单选题1 、在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是（）A、9B、18C、D、2 、在中，角、、所对的边分别为、、，则的值为（）A、B、C、D、3 、在中，若，则（）A、B、C、D、4 、在中，三边与面积S的关系式为则角C为（）A、30°B、45°C、60°D、90°5、已知△ABC内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a=3，b=2，∠A=60°，则cosB=（）A、B、C、D、6 、在中，若，，此三角形的面积，则的值是（）A、B、25 C、55 D、497 、在三角形ABC中,是角A,B,C,的对边,若成等比数列则( )A、B、C、D、8 、中，若，则的面积为（）A、B、C、1 D、9 、在中，分别为三个内角所对的边,设向量，，若向量，则角的大小为（）A、B、C、D、10 、在△ABC中，三个内角之比为，那么相对应的三边之比等于（）A、B、1：2：3C、D、3：2：112 、若三边长，则的值为（）A、B、C、D、13 、在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边分别为,若,则△ABC的形状是( )A、等腰三角形或直角三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、等边三角形14 、某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为,则此人能( )A、不能作出这样的三角形B、作出一个锐角三角形C、作出一个直角三角形D、作出一个钝角三角形15 、△的顶点在平面内，、在的同一侧，、与所成的角分别是30°和45°.若=3，，，则与所成的角为（）A、60°B、45°C、30°D、15°16 、在中,,则A为( )A、60°或120°B、60°C、30°或150°D、30°17 、关于的方程有一个根为1，则一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、钝角三角形18 、一个三角形的两内角分别为300和450，若450角所对边长为8，则300角所对边长为（）A、4B、C、D、19 、△ABC的内角所对的边分别为,若,则等于( )A、B、C、D、20 、△ABC中，分别为的对边，如果成等差数列，B=30°，△ABC的面积为，那么（）A、B、C、D、参考答案单选题答案1—5：C、A、B、B、C；6—10：D、D、B、B、A；11—15：C、D、A、D、C；16—20：A、A、B、D、B；。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
正弦定理余弦定理练习题
正弦定理余弦定理练习题在平面几何中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理。
熟练掌握这两个定理的使用方法，对于解题非常有帮助。
本文将通过一些练习题，进一步巩固并应用正弦定理和余弦定理。
一. 练习题一已知三角形ABC，∠BAC = 35°，BC = 10cm，AC = 8cm。
1. 求∠ABC和∠ACB的度数。
2. 求∠BAC的正弦值和余弦值。
3. 求∠BAC的弧度值。
解答：1. 由三角形内角和定理可知∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，故∠ABC + 35° + ∠ACB = 180°。
化简可得∠ABC + ∠ACB = 145°。
又因为∠ABC和∠ACB为三角形内角，故它们的度数之和小于180°，可知∠ABC和∠ACB的度数为(0, 145°)。
2. 根据正弦定理可得 sin(∠BAC) = BC/AC = 10/8 = 1.25。
因为∠BAC是锐角，故其正弦值为1.25。
根据余弦定理可得 cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (AB² + 8² - 10²) / (2 * AB * 8) = (AB² + 64 - 100) / (16 * AB) = (AB² - 36) / (16 * AB)。
因为∠BAC是锐角，所以其余弦值小于1，得到 AB² - 36 < 16 * AB。
将 AB 换成 x，得到 x² - 16x - 36 < 0。
解这个不等式可得 4 < x < 9，所以 AB 的长度为 (4, 9)。
3. 弧度值可以通过将度数除以180°，再乘以π来计算。
所以∠BAC 的弧度值为35° * (π /180°) ≈ 0.6109。
余弦定理练习题(含答案)
余弦定理练习题（含答案）本页仅作为文档封面，使月変T以删除This document is for reference onlyjar21year余弦定理练习题11. ABC中，如果BC=6, AB=4, cosB=§,那么AC 等于（）A. 6B. 2、/i C・ 3、/i D・ 4、/i2. 在△ABC 中，a=29 b=\[l-l9 C=30\ 则 c 等于（）D・23. 在A ABC中，，=匕2+以+羽be,则z &等于（）A. 60°B. 45°C. 120°D. 150°4. ABC中，Z/k Z B. ZC的对边分别为a、H c,若0+呂_夕曲曲=羽却则Z B的值为（）5TX2n或T 或亍5. 在△ ABC中，a、b、c分别是4、C的对边，则acosS+bcos4等于（）A. aB. bC. cD.以上均不对6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定8. 在AABC 中，b=g C=39 S=30°,贝!| a 为（）B・ 2、/i 或2、/i D・ 29. 已知bABC的三个内角满足2B=A + C9且48=1, SC=4,则边BC上的中线AD的长为 __________________ ・10. A ABC中，sin4： sinB ： sinC=（｛i —：L）：（yfl+l）:倔，求最大角的度数.已知a. b、c是bABC的三边，S是'ABC的面积，若a=4, b=5, S=5©则边c的值为______________________ ・12. 在AABC 中，sin A : sin S ： sin C=2 ： 3 ： 4,贝Ij cos A ： cos B : cos C= _______ ・13. ABC中，0=3^2, cos C=|, S^ABC=4y[39则b= __________________ ・/+，一c215・已知4 ABC的三边长分别是a、b. c,且面积S= ---------------- -------- ,则角C= __________ ・16.三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_____________ •17・在AABC中，BC=a9 AC=b f a, b是方程只_2压+2 = 0的两根，且2cos（4 + B） = l,求48的长.18.已知"BC的周长为y/1+l,且sin A + sin B=y/lsin C.⑴求边AB的长；⑵若4 ABC的面积为^sin C,求角C的度数.19.在△ABC 中，BC=G AC=39 sin C=2sinA.(l)求AB 的值；(2)求sin(24的值.20.在4 ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab・且2cos Asin B=sinC,确定A ABC的形状.余弦定理答案在bABC 中，a=2, b=y[3-l 9 C=30°,则 c 等于（B ） D. 2 在4 ABC 中.a2=b2+w+羽矗，则ZA 等于（D ）A ・ 60°B. 45°C. 120°D. 在b ABC 中，Z Z By ZC 的对边分别为 a. c 9 若（a 2+c 2—b 2）tanB=y/3ac 9亠5兀亠2TX 或T 或亍 解析：选D.由（a 24-c 2-b 2）tanS=V3ac,联想到余弦定理，代入得 c^+c 2—b2 y[3 1 羽 cosB n . 羽 n 2ncosB== 2ai = 2 t^B = 2 sin8•显然fi#2r •: S ，n8= 2 ••: Z 或亍.5. ABC 中.a 、b 、c 分别是久8、C 的对边，则acosS+bcosA 等于（C ）A ・a B. S C. c D ・以上均不对6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.宜角三角形C ・钝角三角形 D.由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a, b 9 c 且a 2+b 2=c 2.设增加的长度为m,则c+m>a+m 9 c+m>b+m, 又（a+m ）2+（b+m ）2=a 2+b 2+2 佃+b ）E+2m2>c2+2cm+E2=（c+E ）r•:三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形.8・在4ABC 中.b=g C =39 S=30°,贝!）a 为（ ）B ・ 2、/i 或 2、/iD ・ 2 解析：选 C ・在AABC 中，由余弦定理得 62=02+^—2accosS,即 3=a 2^9—3y[3a 9 :. a 2 —3^3a+6=0,解得 a=\[3或 2羽・9. 已知bABC 的三个内角满足2B=A+C 9且AB=l f BC=4,则边BC 上的中线AD 的长为 ___________________ ・ 解析:T 2B=A + C, 4 + B+C=n,・•・ 3=扌・在AABD 中，AD=\）AB 2-}-BD 2—2AB BDcosB= yj 1+4—2xlx2x^=^3.答案：羽10. A ABC 中，smA : sinB : sinC=^-l ）:（羽+ 1）: 嗣,求最大角的度数・解：・・ sin4 : sinB : sinC=（V3~l ） : （W+1）:屈,・.a ： b ： c =（\（3-l ）:（羽+1）:伍・ 设 a=（羽一b=（y[3 + l ）k 9 c=yjldk （k>O}fa 24~b 2—c 2 1 ・・・c 边最长，即角C 最大.由余弦定理，得cosC=―面一=一刁 又ce （o°, 180°）, /. C=120°.11. 已知a 、b 、c 是6ABC 的三边，S 是b ABC 的面积，若a=4, b=5, S=5品 则边c 的值为 ___________________ ・ 解析：S=#absinC, sinC=^, /. C=60°或 120°./. cosC=#,又T c 2=a 2+b 2—2abcosC tA ^=21或61,・・,=回或佰•答案： 回或屈12. 在 AABC 中.sinA ： sinB ： sin C=2 ： 3： 4,贝l| cos A : cos 8 ： cos C= ________ ・解析：由正弦定理 a ： b ： c=sin A : sin B : sin C=2 ： 3 ： 4,2k 2+ 4k 2- 3/c 2 11IS 9 13.在△ ABC 中，a=3\（29 cos C=-： 解析:cos c=扌,sin2. 3. 4. 150° 则ZB 的值为（D ）cP+c 2—b 2 设 a=2k （k>0）,贝0 b=3k 9 c=4k, cos B=同理可得:cos 4=^, cos C=—右・・ cos A ： cos B : cos C=14 : 11 : （—4）.答案:14 ： 11 ： （—4）S AABC =4~\》,则 b= __________ ..又S AAB c=^absinC=4yj3t 即知3迄普=裁,二b=2品答案；2伍a 2-f-b 2—c 215.已知AABC 的三边长分别是a 、b. c,且面积S=——,则角C= ________________________ ・2x2kx4k1 a'+b2—c2，+堺一c2 ab 1解析：尹bsinC=S= ---------- - ------= --- 書^—=2obcosC, sinC=cosC, tanC=l, /. C=45°.答案：45°2ab16.三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为.疋+ k—1 2—k+1 2<0解析：设三边长为k-l9 k f k+l(k>29 kWN),则‘ 一亠-々=2VkV4,A+k—l>k+l32+4'—2? 7 7• • k=3,故三边长分别为2,3,4, 最小角的余弦值为2x3x4 =：答案:百17.在bABC中，BC=a, AC = b9 a, b是方程x z-2y(3x^2 = 0的两根，且2cos(A + S) = 1,求AB的长.1 1解：・.• A+B+C=TI且2cosS+B)=l, cos(n—C)=-t即cosC=—-又T 6 b是方程x2—2^/3x+2=0的两根,・・・a+b=2晶ab=2.・・.AB2=AC2+BC2-2AC BCcosC=a2+b2-2ab(-^=a2+b2+ab=(a+b)2—ab=(2yj3)2-2 = lQ9 /. AB=y[ld.18.已知AABC的周长为迄+1,且sinA+sinS=V2sinC・⑴求边AB的长；⑵若bABC的面积为fsinC,求角C的度数.解：⑴由题意及正弦定理得AB+BC+AC=7i+l, BC+AC=y/2AB,两式相减，得48=1.(2)由厶ABC的面积扌BC AC sin C=|sin C,得BC AC=^,在△ ABC 中,BC=G AC=3f sin C=2sinA・⑴求AB的值；(2)求sin(2A-为的值.解：⑴在BABC中，由正弦定理黒=鳥，得AB=^BC=2BC=2y/5. ▲毋+&7—BC2 2\[s(2)在△ ABC中，根据余弦定理，得cos A= 2AB AC = 5，于是si" … 4 3从而sin 24=2sin AcosA=^9 cos 24=cos2 4 —sin2 ^ = g-所以sin(2A—R = sin 2Acos^—cos 2Asin^=-J^・20.在b ABC中，已知(a+b+c)佃+b—c)=3cr® 且2cos4sin S=sinC,确定b ABC的形状. 」十7亠e ^sin C c .亠sinC c解：由正弦定理，得sin 8=匸由2cos Asin B=sin C,有cos4 = 2s j n g = 2b・b'+c2—ct2 c b'+c2—a'又根据余弦定理，得COS 4= 2bc ,所以沪2bc /即云=屏+以一a"所以a=b又因为(a+b+c)(a+b—c) = 3ab,所以(a+b)2—c2=3ab f所以4S2—c2=3S2, 所以b=6所以a=b=c f因此4 ABC为等边三角形.。
正弦定理与余弦定理的应用练习题
正弦定理与余弦定理的应用练习题在数学中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
它们可以帮助我们计算三角形的边长或角度，解决实际生活中的测量和定位问题。
本文将通过一些应用练习题来展示正弦定理与余弦定理的实际运用。
练习题1：已知一个三角形的两边和夹角，计算第三边的长度。
假设三角形ABC中，已知边AB的长度为3，边AC的长度为4，夹角BAC的度数为60°。
我们需要计算边BC的长度。
解题思路：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：sinA / a = sinB / b = sinC / c其中，A、B、C分别代表三角形ABC的角度，a、b、c分别代表三角形的边长。
根据已知信息：A = 60°，a = 4，b = 3。
代入公式，我们可以求得：sin60° / 4 = sinB / 3。
通过单位圆表格或计算器，我们可以得到sin60°的值为√3/2。
将该值代入公式，我们可以求得：√3 / 2 / 4 = sinB / 3。
通过简单的变形，我们可以得到：sinB = （3 * √3）/ 8。
通过计算器计算sinB的反函数（即B的值），我们得到B约等于30.96°。
因为三角形的内角和为180°，所以C = 180° - 60° - 30.96° ≈ 89.04°。
现在我们已经得到了三个角的度数，可以使用余弦定理来计算边BC的长度。
根据余弦定理的公式：c² = a² + b² - 2ab * cosC代入已知信息，我们可以得到：BC² = 3² + 4² - 2 * 3 * 4 * cos89.04°。
通过计算器计算cos89.04°的值，我们得到其约等于0.0175。
代入计算式，我们可以得到：BC² ≈ 9 + 16 - 24 * 0.0175。
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必修五正余弦定理习题练习
一．选择题（共5小题）
1．（2015•秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）
A．B．C．D．
2．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）
A．B．C． D．
3．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C． D．或
5．（2014•新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1
二．填空题（共6小题）
6．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______．
7．（2015•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______．
8．（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=______．
9．（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．10．（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．11．（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．
三．解答题（共1小题）
12．（2015•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
必修五正余弦定理习题练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2015•秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）
A．B．C．D．
【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，
由c=2a，则b=a，
=，
故选B．
2．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）
A．B．C． D．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，
∴bcsinA=bc=，
∴bc=3，①
又a=2，A是锐角，
∴cosA==，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，
∴b+c=2②
由①②得：，
解得b=c=．
故选A．
3．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，
∴sinBcosB=sinAcosA
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
即有△ABC为等腰或直角三角形．
故选C．
4．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C． D．或
【解答】解：由正弦定理可得：sinA===
∵a=＜b=
∴
∴∠A=，
故选：B．
5．（2014•新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1
【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，
∴S=acsinB=，即sinB=，
当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，
当B为锐角时，cosB==，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC=．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
6．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．
【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．
∵S△ABC==bc=，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．
解得a=8．
故答案为：8．
7．（2015•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，
3sinA=2sinB，则c=4．
【解答】解：∵3sinA=2sinB，
∴由正弦定理可得：3a=2b，
∵a=2，
∴可解得b=3，
又∵cosC=﹣，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，
∴解得：c=4．
故答案为：4．
8．（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．
【解答】解：∵sinB=，
∴B=或B=
当B=时，a=，C=，A=，
由正弦定理可得，
则b=1
当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾
故答案为：1
9．（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=．
【解答】解：由正弦定理可得，
=，
即有sinB===，
由b＜a，则B＜A，
可得B=．
故答案为：．
10．（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．
【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，
由正弦定理可得，
=，
即有AC==2．
故答案为：2．
11．（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．
【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，
在△ABD中，AB=3，AD=3，
根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，
则BD=．
故答案为：
三．解答题（共1小题）
12．（2015•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2+c2=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．。