北京交通大学-901-2011-真题
2011材料力学真题
科目代码：950科目名称：材料力学（共3页）
注意事项：答案一律写在答题纸上，写在试卷上不予装订和评分。
第1页
一、画图题与填空题（每小题10分，共30分）
1、画出图示单元体的最大剪应力 的作用平面。
2、矩形截面梁如图所示，已知力 ，梁的尺寸 ，材料的弹性模量E。则梁上层纤维AB的伸长量为；B截面形心C点的铅垂位移为。
3、实验研究表明，材料的破坏有以下结论，其中错误的是（）
（A）不同的材料，只要应力状态相同，破坏形式一定相同。
（B）相同的材料，在不同的应力状态下，可有不同的破坏方式。
（C）不同的材料，在相同的应力状态下，可能有不同的破坏方式。
（D）相同材料，应力状态相同，破坏形式一定相同。
二、ห้องสมุดไป่ตู้20分）做图示梁的剪力图和弯矩图。
五、实验题（20分）
图示圆截面拐轴，已知轴受力 ，尺寸 ，a和直径d，试在m截面处确定合理的测点，布置应变片，设计一个电测桥路方案，通过该桥路测定材料的剪切模量G。
六、（20分）已知图示刚架的抗弯刚度EI，载荷集度q及尺寸l，试画出刚架的弯矩图。
七、计算题（20分）
圆截面折杆ABCD如图所示，已知材料常数 ，尺寸 ，杆AB和杆CD的直径均为d，若重物 自高度l处以速度 下落至D点。试求梁的第三相当应力的最大值。
三、计算题（15分）
跨长 的铸铁梁受力如图所示，已知铸铁的许用拉应力 ，许用压应力 。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸 ，并校核梁的强度。
四、计算题（25分）
图示结构中AB为刚性梁，CD,FG杆均为直径d=74mm的钢圆杆，杆长分别为 ，材料的弹性模量 ，比例极限 许用应力 ，稳定安全系数 ，试求该结构的许可荷载 。
北京交通大学管理学真题11
北京交通大学2011年硕士研究生入学考试803管理学真题一、单项选择题（每题1分，20个小题，共20分）1.管理者对某一情况进行分析，从而提出行动方案。
因此，他需要做一下工作：（1）分析评价各方案；（2）确定决策目标；（3）选择满意方案并实施；（4）认识和分析问题：（5）拟定备选方案。
正确的分析思路和程序应该是：（）A．（5）-（3）-（4）-（1）-（2）B．（4）-（5）-（1）-（2）-（3）C．（5）-（4）-（2）-（1）-（3）D．（4）-（2）-（5）-（1）-（3）2.在领导者的权力机构中，专家权在性质上属于：（）A．正式权力，具有持久性的影响和作用。
B．非正式权力，具有持久性的影响和作用。
C．正式权力，不具有持久性的影响和作用。
D．非正式权力，不具有持久性的影响和作用。
3.计划制定中的滚动计划法是动态的和灵活的，它的主要特点是：（）A．按前期计划执行情况和内外环境变化，定期修订已有计划。
B．不断逐期向前推移，时短、中期考虑有机结合。
C．按近细远粗的原则来制定，避免对不确定性远期的过早过死安排。
D．以上三方面都是。
4.近年来，许多组织都努力使自身的结构扁平化，因为扁平化组织结构具有许多优点。
请问下列哪一条不是扁平式组织结构的有点？（）A．降低管理费用B．有利于缩短上下级距离C．上下级易于协调D．有利于选择和培训下属5.在现代管理理论中，决策理论学派的代表人物是：（）A．西蒙B．孔茨C．巴纳德D．韦伯6.计划工作中强调抓关键问题、抓主要矛盾的原理是：（）A．改变航道原理B．许诺原理C．灵活性原理D．限定因素原理7.集权的缺点是：（）A．各部门统一协调困难B．易出现上级部门职权失控C．不能得到规模经济的好处D．限制了中基层管理者主动性和积极性的发挥8.关于群体形成的原因有很多，如①趋同、②外部压力、③安全需要、④自尊、⑤社会和情感需要、⑥领导需要，下列哪个选项正确？（）A．①②③④B．②③④⑤C．③④⑤⑥D．①③④⑤9.某人因获得上司的赏识而被提拔为部门主管，但上任之后却得不到同事们的支持，与同级之间的关系也远不如从前。
北京交通大学2011年硕士研究生入学考试试卷
北京交通大学2011年硕士研究生入学考试试卷（学术型）一、填空题（共15分，每题3分）1．电路如图所示，其端口Ｕ和Ｉ的伏安特性方程是＿＿＿２．图示对称三相电路，电源线电压为３８０V，负载吸收的总有功功率为３００Ｗ，当Ｃ相电源断路后负载吸收的总有功功率为＿＿＿Ｗ。
３．ＲＣ一阶电路全响应V，当初始状态不变而输入增加一倍，则全响应变为＿＿＿Ｖ。
４．已知某无源二端网络的端口电压和电流分别为,则此网络吸收的功率为＿＿＿W。
5.设非线性电感的韦安特性为：。
已知其静态工作点的电流为：，则其静态电感为＿＿＿H，动态电感为＿＿＿H。
二、（15分）图示电路中I=0，试求值。
三、（15分）在图示电感耦合电路中，已知，问负载N的（复）阻抗Z为何值时能获得最大功率？并求此最大功率。
四、（15分）图示电路已达稳态，t=0时，合上开关Ｓ，用拉氏变换求电流i(t≥0).（注：i 的方向为向下）五、（15分）图示电路，开关K在t=0时刻打开。
开关动作前电路已处稳态。
求t≥0时的六、（15分）如图所示对称三相电路中，电源线电压，求。
七、（15分）激励包含两个频率分量，要求响应含有的全部分量，但不含分量，则应选取何种无源元件，元件和参数如何选取？八、（15分）非线性电路如图，非线性电阻为电压控制型，可表示为：i=g(u)=.直流电流源，小信号。
已知。
求：(1)电路静态工作点；(2)非线性电阻上的电压u(t)、电流i(t)。
九、（15分）设电源频率为，电路如图(a)所示，其有向图如图(b)。
(1)写出关联矩阵A；(2)以支路3、4、5为树支，写出基本回路矩阵；(3)写出支路阻抗矩阵Z（以支路1-6为排列顺序）；(4)写出支路导纳矩阵Y（以支路1-6为排列顺序）。
十、（15分）电路如图所示，Ｎ为无源电阻二端口网络，其Ｔ参数为.已知电感无初始能量，且。
求电感上的电流、电压.这些图片都是我自己从拍出来的照片上截的，可能不是特别清楚。
这些题目也都是用键盘输入的，有的不是特别规范，你可以另存为07版本的看得会清楚一点！祝你考研顺利！。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(全国卷,含答案).doc
2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。
第Ⅰ卷 1 至 2 页。
第Ⅱ卷 3 至 4 页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
一、选择题(1) 复数 z 1i ， z 为 z 的共轭复数，则 zz z 1（ A ） 2i（ B ） i（ C ） i（ D ） 2i【答案】 B(2) 函数 y 2 x( x 0) 的反函数为（ A ） yx 2( x R)（ B ）4（ C ）y 4x 2( x R)（ ）Dyx 2( x 0)4y 4x 2 ( x 0) 【答案】 B(3) 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（ A ） a ＞b 1（ B ） a ＞b 1（C ） a 2＞ b 2（ D ） a 3＞ b 3【答案】 A(4) 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 1，公差 d2 ， S k 2 S k 24 ，则 k（ A ） 8 （B ） 7（ C ） 6（ D ） 5【答案】 D(5) 设函数 f ( x) cos x(0) ，将 yf ( x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图3像与原图像重合，则的最小值等于（ A ）1（B ） 3（C ） 6（ D ） 93【答案】 C(6) 已知直二面角l , 点 A ， AC l , C 为垂足 , B ， BD l , D 为垂足．若 AB2, AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于2 (B) 36 (D) 1(A)3 (C)33【答案】 CA(7) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有(A) 4 种(B)10 种(C)18 种(D)20 种lD【答案】 BCB E(8) 曲线 y e 2 x1在点 (0,2) 处的切线与直线 y 0 和 y x 围 成的三角形的面积为(A)1(B)1 (C)2 (D)1323【答案】 A(9) 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， f (x)2x(1 x) , 则 f (5 )11112(A) -(B)(C)(D)2442【答案】 A(10) 已知抛物线C ： y 24x 的焦点为 F ，直线 y2x 4 与 C 交于 A ， B 两点．则cos AFB(A)4(B)3 (C)3 (D)4 5555【答案】 D(11) 已知平面 α截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 α 成 600 二面角的平面 β 截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为(A) 7 (B) 9(C)11(D)13【答案】 D(12) r r rr rr r 1 rr r rr设向量 a ， b ， c 满足 | a | | b |1， agb， ac,bc60 ，则 | c | 的最大值2等于(A) 2 (B)3(c)2(D) 1【答案】 AB绝密★启用前2011 年普通高等学校招生全国统一考试ACD理科数学 ( 必修 +选修 II)第Ⅱ卷注意事项：1 答题前，考生先在答题卡上用直径0． 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
北京交通大学-学年概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案.doc
北 京 交 通 大 学2009~2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案一．（本题满分8分）某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解：设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ，所求概率为()A P ．…………….2分()()40951.01091155=-=-=A P A P ．…………….6分二．（本题满分8分）设随机事件A ，B ，C 满足：()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ，()()161==BC P AC P ．求随机事件A ，B ，C 都不发生的概率． 解：由于AB ABC ⊂，所以由概率的非负性以及题设，得()()00=≤≤AB P ABC P ，因此有()0=ABC P ．…………….2分所求概率为()C B A P ．注意到C B A C B A ⋃⋃=，因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ⋃⋃-=1…………….2分()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 83016116104141411=-+++---=．…………….2分 三．（本题满分8分）某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为p ，()10<<p ．求此人第6次射击时恰好第2次命中目标的概率． 解：{}次命中目标次射击时恰好第第26P{}次射击时命中目标次目标，第次射击中命中前615P =…………….2分 {}{}次射击时命中目标第次目标次射击中命中前615P P ⋅=…………….2分()()424115151p p p p p C -=⋅-=．…………….4分四．（本题满分8分）某种型号的电子元件的使用寿命X （单位：小时）具有以下的密度函数：()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=1000100010002x x x x p ．⑴ 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）；⑵ 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（4分）． 解：⑴ 设{}小时于电子元件的使用寿命大1500=A ，则(){}()321000100015001500150021500=-===>=+∞+∞+∞⎰⎰x dx x dx x p X P A P ．…………….4分 ⑵ 设{}小时于电子元件的使用寿命大0002=B ，则所求概率为()A B P ． ()()(){}(){}()A P X P A P X X P A P AB P A B P 20002000,1500>=>>==．…………….2分而 {}()211000100020002000200022000=-===>+∞+∞+∞⎰⎰x dx x dx x p X P ， 所以， (){}()4332212000==>=A P X P A B P ．…………….2分五．（本题满分8分）设随机变量X 服从区间[]2,1-上的均匀分布，而随机变量⎩⎨⎧≤->=0101X X Y ． 求数学期望()Y E ． 解：(){}(){}1111-=⨯-+=⨯=Y P Y P Y E …………….2分 {}(){}0101≤⨯-+>⨯=X P X P …………….2分()()⎰⎰⎰⎰-∞-+∞-=-=0120003131dx dx dx x p dx x p X X313132=-=．…………….4分 六．（本题满分8分）设在时间t （分钟）内，通过某路口的汽车数()t X 服从参数为t λ的Poisson （泊松）分布，其中0>λ为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为2.0，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率． 解：()t X 的分布列为(){}()tk e k t k t X P λλ-==!，()Λ,2,1,0=k ．…………….2分因此在1=t 分钟内，通过的汽车数为 (){}λλ-==e k k X P k!1，()Λ,2,1,0=k ．由题设，(){}2.001===-λe X P ，所以5ln =λ．…………….3分因此，(){}(){}()252425111!0521021125ln 220=-=-=⋅-==-=≥--e e X P X P λ．…………….3分 七．（本题满分8分） 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<<=其它020,101,xy x y x f 求：⑴ 随机变量Y 边缘密度函数()y f Y （4分）；⑵ 方差()Y D （4分）． 解：⑴ ()()⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ,．因此，当0≤y 或者2≥y 时，()0=y f Y ．…………….1分 当20<<y 时，()()2,2y dx dx y x f y f y Y ===⎰⎰∞+∞-． 所以， ()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它202y y y f Y ．…………….3分⑵ ()()34621203202====⎰⎰+∞∞-y dy y dy y yf Y E Y ． ()()2821242322====⎰⎰∞+∞-ydy y dy y f y Y E Y …………….2分所以， ()()()()929162342222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=Y E Y E Y D ．…………….2分八．（本题满分8分）现有奖券10000张，其中一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金200元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金2元．而购买每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益． 解：设X ：购买一张奖券所得的奖金． 则X 的分布律为所以，…………….2分 ()531000010002100001001010000102001000011000=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …………….4分 再令Y 表示购买一张奖券的收益，则2-=X Y ，因此 ()()572532-=-=-=X E Y E （元）．…………….2分 九．（本题满分8分）两家电影院竞争1000名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响．试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%？附：标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值表解：设甲电影院应设N 个座位才符合要求．设1000名观众中有X 名选择甲电影院，则⎪⎭⎫⎝⎛21,1000~B X ．…………….1分 由题意，{}99.0≥≤N X P ．而 ()500211000=⨯=X E ，()25021211000=⨯⨯=X D ．…………….2分 所以，{}()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=≤250500250500N X P X D X E N X D X E X P N X P99.0250500≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈N …………….3分查表得33.2250500≥-N ，所以有 84.53625033.2500=⨯+≥N ． 所以，应至少设537个座位，才符合要求．…………….2分十．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它0102x x x f ， ()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．令()()n n X X X X ,,,max 21Λ=，试求()n X 的密度函数()()x f n ． 解：总体X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111002x x x x x F ．…………….3分 因此()n X 的密度函数为()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅==--其它102121x x x n x f x F n x f n n n …………….4分⎩⎨⎧<<=-其它010212x nx n ．…………….1分十一．（本题满分12分） 设总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+ααβαβαββx x x x f 01，； ，其中1,0>>βα为参数，()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．⑴ 当1=α时，求未知参数β的矩估计量M βˆ（6分）；⑵ 当1=α时，求未知参数β的最大似然估计量Lβˆ（6分）． 解：⑴ 当1=α时，密度函数为()⎩⎨⎧≤>=--10111x x x x f βββ，； ， 所以，()()1111-==⋅==⎰⎰⎰+∞-+∞--+∞∞-βββββαββdx x dx xx dx x xf X E ，； ．…………….2分解方程：()1-=ββX E ，得解：()()1-=X E X E β．…………….2分 将()X E 替换成X ，得未知参数β的矩估计量为1ˆ-=X X Mβ．…………….2分 ⑵ 当1=α时，密度函数为()⎩⎨⎧≤>=--10111x x x x f βββ，； ， 所以，似然函数为()()()111+-===∏ββββi n ni i x x f L ，；，()()n i x i ,,1,1Λ=>．…………….2分所以，()()()n x x x n L Λ21ln 1ln ln +-=βββ．对β求导，得()n x x x nL Λ21ln ln -=∂∂ββ．…………….2分 令0ln =∂∂βL ，得方程()0ln 21=-n x x x nΛβ． 解得 ()n x x x nΛ21ln =β．因此，β的最大似然估计量为 ()n X X X nΛ21ln ˆ=β．…………….2分十二．（本题满分8分） 设总体()2,~σμN X ，()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．X 与2S 分别表示样本均值与样本方差．令nS X T 22-=，求()T E ，并指出统计量T 是否为2μ的无偏估计量．解：()μ=X E ，()nX D 2σ=，…………….2分由 ()()()()22X E X E X D -=，得 ()()()()2222μσ+=+=nX E X D XE ．…………….2分又 ()22σ=S E ，所以有…………….1分()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n S E X E n S X E T E 2222()2222μμσ=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n S E n ．…………….2分 这表明nS X T 22-=是2μ的无偏估计量．…………….1分北 京 交 通 大 学2010~2011学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案一．（本题满分8分） 在正方形(){}1,1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个实根的概率． 解：设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ． 设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ． 因此该试验的样本空间与二维平面点集(){}11,11,<<-<<-=q p q p D ：中的点一一对应．…………………………………2分随机事件A 与二维平面点集(){}04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=q p q p D A 4,2：…………………2分中的点一一对应．所以， ()241312412214113112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==--⎰p p dp p D D A P A的面积的面积．…………………4分 二．（本题满分8分）从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有%50是质量问题；有%30是数量短缺问题；有%20是产品包装问题．又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占%40；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占%60；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占%75．如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？解：设=1A “事件属于质量问题”，=2A “事件属于数量短缺问题”， =3A “事件属于产品包装问题”．=B “事件经过协商解决”．所求概率为()B A P 1．…………………2分 由Bayes 公式，得 ()()()()()()()()()332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++=…………………2分37735849.075.02.060.03.040.05.040.05.0=⨯+⨯+⨯⨯=．…………………2分所以，()()62264151.037735849.01111=-=-=B A P B A P ．…………………2分三．（本题满分8分）设随机事件A 满足：()1=A P ．证明：对任意随机事件B ，有()()B P AB P =． 解：因为()1=A P ，所以，()()0111=-=-=A P A P ．…………………2分 所以，对任意的随机事件B ，由A B A ⊂，以及概率的单调性及非负性，有 ()()00=≤≤A P B A P ， 因此有()0=B A P ．…………………2分所以，对任意的随机事件B ，由B A AB B ⋃=，以及AB 与B A 的互不相容性，得 ()()()()()()AB P AB P B A P AB P B A AB P B P =+=+=⋃=0．………………4分四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<+=其它0102x bx ax x p ，并且已知()21=X E ，试求方差()X D ． 解：由()1=⎰+∞∞-dx x p 及()()21==⎰+∞∞-dx x xp X E ，得()()32112ba dx bx ax dx x p +=+==⎰⎰+∞∞-，…………………2分 ()()432112ba dx bx ax x dx x xp +=+==⎰⎰+∞∞-．…………………2分由此得线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2143132b a ba ．解此线性方程组，得6,6-==b a ．…………………2分 所以，()()()1035164166612222=⋅-⋅=-==⎰⎰+∞∞-dx x x x dx x p x XE ，所以，()()()()20121103222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ．…………………2分 五．（本题满分8分）经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为%20．某餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解：设X 表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则()8.0,52~B X ．…………1分 则所求概率为()50>X P ．…………………2分 ()()()525150=+==>X P X P X P …………………2分052525215151522.08.02.08.0⋅⋅+⋅⋅=C C 9330001278813.0=．…………………3分六．（本题满分10分）将一颗均匀的骰子独立地掷10次，令X 表示这10次出现的点数之和，求()X E （5分）与()X D （5分）． 解：设k X 表示第k 次出现的点数，()10,,2,1Λ=k ． 则1021,,,X X X Λ相互独立，而且∑==101k k X X ．而k X 的分布列为 ()61==j X P k ，()6,,2,1Λ=j ．…………………2分 所以，()()∑∑==⋅==⋅=616161j j k k j j X P j X E2721616161=⨯==∑=j j ， ()10,,2,1Λ=k ．…………………2分所以，由数学期望的性质，得()()35102727101101101=⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===k k k k k X E X E X E ．…………………2分()()∑∑==⋅==⋅=612612261j j k kj j X P jXE691916161612=⨯==∑=j j ， ()10,,2,1Λ=k ．…………………2分所以，由1021,,,X X X Λ的相互独立性，及数学期望的性质，得()()345510691691101101101=⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===k k k k k X D X D X D ．…………………2分七．（本题满分10分）设随机变量()1,0~N X ，求随机变量122+=X Y 的密度函数．解：由题意，随机变量X 的密度函数为()2221x X e x p -=π，()+∞<<∞-x ．………1分设随机变量122+=X Y 的分布函数为()y F Y ，则有()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=≤+=≤=211222y X P y X P y Y P y F Y ，…………………2分所以，当1≤y 时，()0=y F Y ；…………………1分 当1>y 时，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤--=⎪⎭⎫⎝⎛-≤=2121212y X y P y X P y F Y⎰⎰------==210221212222221y x y y x dx edx eππ…………………2分因此有 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=⎰--112221022y y dxey F y x Y π ，…………………2分 所以，随机变量122+=X Y 的密度函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫⎝⎛-⋅='=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1121212122212212y y y ey F y p y Y Y π ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--10112141y y e y y π ．…………………2分八．（本题满分10分） 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其它0103,x y x y x p ， 求X 与Y 的相关系数Y X ,ρ． 解：()()4333,13102====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dxdy y x xp X E x ， ()()83233,103100====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x ydy xdx dxdy y x yp Y E x，…………………2分()()5333,141322====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dxdy y x p x X E x，()()513,1410222====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y xdx dxdy y x p y Y E x ，…………………2分()()103233,1041002====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x ydy dx x dxdy y x xyp XY E x ，所以有 ()()()()16038343103,cov =⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，…………………2分 ()()()()8034353222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ， ()()()()320198351222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D ，…………………2分 因此，有()()()573320198031603,cov ,=⋅==Y D X D Y X Y X ρ．…………………2分 九．（本题满分10分）一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重kg 50，标准差为kg 5．若用最大载重量为kg 5000的汽车来承运，试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱，才能保证汽车不超载的概率大于977.0（设()977.02=Φ，其中()x Φ是标准正态分布()1,0N 的分布函数）．解：若记i X 表示第i 箱的重量，()n i ,,2,1Λ=．则n X X X ,,,21Λ独立同分布，且()()25,50==i i X D X E ， ()n i ,,2,1Λ=．…………………2分再设n Y 表示一辆汽车最多可装n 箱货物时的重量，则有 ∑==ni i n X Y 1．由题意，得 ()977.010100055050005505000>⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤n n n n n n Y P Y P n n ．…………4分查正态分布表，得 2101000>-=nnx ，…………………2分 当99=n 时，2005.1<=x ；98=n 时，202.2>=x ，故取98=n ，即每辆汽车最多装98箱货物．…………………2分十．（本题满分8分）设总体()1,0~N X ，()621,,,X X X Λ是取自该总体中的一个样本．令()()26542321X X X X X X Y +++++=，试确定常数c ，使得随机变量cY 服从2χ分布． 解：因为()1,0~N X i ，()6,,1Λ=i ，而且61,,X X Λ相互独立，所以()3,0~321N X X X ++，()3,0~654N X X X ++．…………………2分因此()1,0~3321N X X X ++，()1,0~3654N X X X ++．…………………2分 而且3321X X X ++与3654X X X ++相互独立．因此由2χ分布的定义，知 ()2~33226542321χ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++X X X X X X ，…………………2分即()()()2~3226542321χX X X X X X +++++． 取31=c ，则有()2~2χcY ．…………………2分十一．（本题满分12分） 设总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它；0101x xx f θθθ ，其中0>θ为参数，()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．⑴ 求参数θ的矩估计量Mθˆ（6分）；⑵ 求参数θ的最大似然估计量L θˆ（6分）． 证明：⑴ ()()11101+==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-θθθθθθθdx x dx xx dx x xf X E ；，…………………3分因此，得方程 ()1+=θθX E ，解方程，得 ()()21⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=X E X E θ，将()X E 替换成X ，得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X M θ．…………………3分 ⑵ 似然函数为 ()()∏∏=-===ni i n ni i x x f L 1121θθθθ；，…………………2分取对数，得 ()()∑=-+=ni ix nL 1ln 1ln 2ln θθθ，对θ求导，得 ()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∑∑==ni i ni i x n x n L d d 11ln 21ln 212ln θθθθθθ，所以，得似然方程 0ln 211=⎪⎭⎫⎝⎛+∑=ni i x n θθ，…………………2分 解似然方程，得21ln ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x n θ， 因此，参数θ的最大似然估计量为 21ln ˆ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i L X n θ．…………………2分北 京 交 通 大 学2010~2011学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案一．（本题满分8分）一间宿舍内住有6位同学，求这6位同学中至少有2位的生日在同一个月份（不考虑出生所在的年份）的概率． 解：设=A “6位同学中至少有2位的生日在同一个月份”． 所求概率为()A P ．…………………………..1分 考虑事件A 的逆事件：=A “6位同学的生日各在不同的月份”．…………………………..1分()()777199074.02985984665280112116612=-=-=-=P A P A P ． ……..2分 …..2分 …………..2分二．（本题满分8分）有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是3.0，1.0，4.0和2.0．如果他乘火车、轮船、汽车、飞机来的话，迟到的概率分别为31、72、52、61，结果他未迟到，试问他乘火车来的概率是多少？ 解：设=B “朋友来访迟到”，=1A “朋友乘火车来访”， =2A “朋友乘轮船来访”，=3A “朋友乘汽车来访”， =4A “朋友乘飞机来访”．……..1分 所求概率为()B A P 1，由Bayes 公式得 ……..1分 ()()()()()()()()()()()44332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P +++=…..2分⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=6112.05214.07211.03113.03113.0 ……..2分652.0534.0751.0323.0323.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯=1050.29494382356==． ……………..2分三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=其它010525525025x x x xx f试求随机变量X 的分布函数()x F ． 解：当0<x 时， ()()00===⎰⎰∞-∞-xx dt dt t f x F ； …….1分当50<≤x 时，()()50250200x dt t dt dt t f x F xx=+==⎰⎰⎰∞-∞-；……..2分当105<≤x 时，()()255055015212552250x x dt t dt t dt dt t f x F xx -+-=⎪⎭⎫⎝⎛-++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；……..2分当10≥x 时，()()102552250105505=+⎪⎭⎫⎝⎛-++==⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-xx x dt dt t dt t dt dt t f x F ．……..2分因此，随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=10110550152150500022x x xx x x x x F ．……..1分四．（本题满分8分）试决定常数C ，使得!k C p kk λ=，()Λ,2,1=k 为某一离散型随机变量X 的分布列，其中0>λ为参数． 解：若使!k Cp kk λ=，()Λ,2,1=k 是某一随机变量X 的分布列，当且仅当0!≥=k Cp kk λ，()Λ,2,1=k ，而且11=∑∞=k k p ， ……..2分因此有()11111!!kkk k k k p CC C e k k λλλ∞∞∞=======-∑∑∑，……..4分所以有 11C e λ=-．……..2分 五．（本题满分8分）设U 与V 分别是掷一颗均匀的骰子两次先后出现的点数．试求一元二次方程02=++V Ux x有两个不相等的实数根的概率． 解：一元二次方程02=++V Ux x 有两个不相等的实数根的充分必要条件是042>-V U ，或者V U 42>．……..2分又()V U ,的联合分布列为()361,===j V i U P ，()6,,2,1,Λ=j i ．……..2分 所以，一元二次方程02=++V Ux x 有两个不相等的实数根的充分必要条件是()V U ,的取值应为下列情形之一：()1,3，()2,3，()1,4，()2,4，()3,4，()1,5，()2,5，()3,5，()4,5，()5,5，()6,5，()1,6，()2,6，()3,6，()4,6，()5,6，()6,6．……..2分()361702==++有两个不相等的实数根一元二次方程V Ux x P ．……..2分 六．（本题满分8分）设随机变量X 服从区间()1,2-上的均匀分布，试求随机变量2X Y =的密度函数()y f Y ． 解：随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它01231x x p X ．……..1分设2X Y =的分布函数为()y F Y ，则有 ()()()y X P y Y P y F Y ≤=≤=2．……..1分 当0≤y 时，()0=y F Y ；当40≤<y 时，()()()()()y F y F y X y P y X P y F XX Y --=≤≤-=≤=2；当4>y 时，()1=y F Y ．……..1分综上所述，得随机变量2X Y =的分布函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤=11400y y y F y F y y F XXY ．……..1分 因此，随机变量2X Y =的密度函数为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+='=其它04021y y p y p y y F y p XXY Y ．……..1分当10<<y 时，10<<y ，01<-<-y ，于是有()31=y p X，()31=-y p X，因此有()()()()yy y p y p y y p XXY 3131312121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=； 当41<<y 时，21<<y ，12-<-<-y ，于是有()0=y p X，()31=-y p X， 因此有()()()()yy y p y p y y p XXY 613102121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=．……..2分 因此，随机变量2X Y =的密度函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤<=其它41611031y y y y y p Y ．……..1分七．（本题满分8分）试解释“在大量独立重复试验中，小概率事件几乎必然发生”的确切意思． 解：设A 是一随机事件，其概率()10<<A P ．……..1分现独立重复做试验，则在n 次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为()()nA P --11．……..2分令∞→n ，则有()()()()()11lim 111lim =--=--∞→∞→nn nn A P A P ．……..2分这表明，只要试验次数n 充分大，不管随机事件A 的概率多么小，随机事件A 在n 次独立重复试验中至少发生一次的概率与1可以任意接近，即随机事件A 在n 次独立重复试验中至少发生一次是几乎必然的．……..3分八．（本题满分8分）一公寓有200户住户，一户住户拥有汽车辆数X 的分布列为试用中心极限定理近似计算，至少要设多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为95.0？（设：()95.0645.1=Φ，其中()x Φ是()1,0N 的分布函数．） 解：设需要的车位数为n ，i X 表示第i 个住户需要的车位数，()200,,2,1Λ=X ．则随机变量20021,,,X X X Λ独立同分布，而且()2.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=i X E ，()8.13.026.011.002222=⨯+⨯+⨯=i X E ，……..2分 于是有()()()()36.02.18.1222=-=-=i i i X E X E X D ．……..1分由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑∑∑∑======200120012001200120012001i i i i i i i i i i i i X D X E n X D X E X P n X P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===36.02002.1200200120012001n X D X E X P i i i i i i⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈72240n ．……..3分由题设，95.072240≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φn ，因此得645.172240≥-n ， 所以有 9583.25372645.1240=⨯+≥n ．因此至少需要254个车位，才能满足题设要求．……..2分九．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从参数为λ的指数分布，令Y X V Y X U +=-=3,34，试求二维随机变量()V U ,的相关系数V U ,ρ． 解：因为X 与Y 都服从参数为λ的指数分布，所以()()λ1==Y E X E ，()()21var var λ==Y X ．……..1分于是有()()()()λλλ113143434=⋅-⋅=-=-=Y E X E Y X E U E ，()()()()λλλ411333=+⋅=+=+=Y E X E Y X E V E ．再由X 与Y 的相互独立性，得()()()()2222519116var 9var 1634var var λλλ=⋅+⋅=+=-=Y X Y X U ，()()()()22210119var 93var var λλλ=+⋅=+=+=Y E X Y X V ． ……..3分()()()[]()223512334Y XY X E Y X Y X E UV E --=+-= ()()()223512Y E XY E X E --=()()()()()()()()()()22var 35var 12Y E Y Y E X E X E X +⋅-⋅-+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=22221131151112λλλλλλ2222136524λλλλ=--=．……..2分所以有()()()()2294113,cov λλλλ=⋅-=-=V E U E UV E V U ．因此有()()()105910259var var ,cov 222,===λλλρV U V U VU ．……..2分 十．（本题满分8分）设总体X 存在二阶矩，总体期望()μ=X E ，总体方差()2σ=X D ，()n X X X ,,,21Λ是从中抽取的一个样本，X 是样本均值，2S 是样本方差．⑴ 计算方差()X D （4分）；⑵ 如果()2,~σμN X ，计算方差()2S D （4分）．解：⑴ ()()n n n n X D n X n D X D n i n i i n i i 2221221211111σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．……..4分⑵ 因为总体()2,~σμN X ，()n X X X ,,,21Λ是取自总体X 中的一个样本，所以()()1~1222--n S n χσ．……..2分所以，()()()()()()12121111142422242222-=-⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=n n n S n D n S n n D S D σσσσσσ．……..2分十一．（本题满分10分）设()10<<B P ，证明：随机事件A 与B 相互独立的充分必要条件是()()1=+B A P B A P ．证明：必要性：设随机事件A 与B 相互独立，所以随机事件A 与B 也相互独立．因此有()()A P B A P =， ()()A P B A P =，……..3分因此有()()()()1=+=+A P A P B A P B A P ．……..2分 充分性：由于 ()()1=+B A P B A P ， 所以有 ()()()B A P B A P B A P =-=1．因此有()()()()()()()()()B P AB P A P B P AB A P B P B A P B P AB P --=--==11．……..3分 由()10<<B P ，得()01>-B P ，因此有 ()()()()()()()AB P A P B P B P AB P -=-1．整理，得 ()()()()()()()B P AB P B P A P AB P B P AB P -=-． 即得 ()()()B P A P AB P =．这表明随机事件A 与B 相互独立．……..2分十二．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3，Λ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21Λ是取自该总体中的一个样本．试求N 的最大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的最大似然估计值．（3分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1Λ=． 所以似然函数为 (){}nni i i N x X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤．……..3分当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21Λ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ．……..4分 ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ．……..3分北 京 交 通 大 学2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案某些标准正态分布的数值其中()x Φ是标准正态分布的分布函数． 一．（本题满分5分）口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率． 解：设=A “取出4个球，最小号码是5”．10个球取出4个球，有取法410C 种．………….2分若最小号码是5，有取法35C 种，因此()2112101041035===C C A P ．………….3分二．（本题满分5分）一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率． 解：设=A “5位同学至少有两位的生日在同一月份”．5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有512种可能．………….2分 考虑A 的逆事件A ，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的．则 ()()6181.012115512=-=-=PA P A P ．………….3分三．（本题满分8分），已知男人中%5的是色盲患者，女人中色盲患者占%25.0，今从男女比例为21:22的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：设=A “任选一人为男性”，=B “任选一人是色盲患者”． 所求概率为()B A P ．由Bayes 公式，得 ()()()()()()()A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=………….3分9544.00025.0432105.0432205.04322=⨯+⨯⨯=．………….5分 四．（本题满分8分）在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是9.0，8.0和85.0，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率．（4分） 解：设{}甲机床需要维修=A ，{}乙机床需要维修=B ，{}丙机床需要维修=C ．则 ⑴ {}()()C B A P C B A P P ⋃⋃-=⋃⋃=1维修至少有一台机床不需要…….2分 ()()()388.085.08.09.011=⨯⨯-=-=C P B P A P ．………….2分⑵ {}()C B A C B A C B A C B A P P ⋃⋃⋃=修至多有一台机床需要维………….2分 ()()()()C B A P C B A P C B A P C B A P +++=()()()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++=059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.015.02.01.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．…….2分五．（本题满分8分）试确定常数a ，b ，c ，d 的值，使得函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤++<=e x d e x d cx x bx x ax F 1ln 1为一连续型随机变量的分布函数． 解：因为连续型随机变量的分布函数()x F 是连续函数，因此函数()x F 在分段点1=x 及e x =处连续，所以有()()()10101F F F =+=-，即有d c a +=．………….2分 ()()()e F e F e F =+=-00，即有d d ce be =++．………….2分 又分布函数()x F 必须满足：()0lim =-∞→x F x ，()1lim =+∞→x F x ．因而有()0lim ==-∞→x F a x ，()1lim ==+∞→x F d x ．………….2分由此得方程组 ⎩⎨⎧=++=+1101ce be c ，解此方程组，得1,1,1,0=-===d c b a ．………….2分六．（本题满分8分）某地区成年男子的体重X （以kg 计）服从正态分布()2,σμN ．若已知()5.070=≤X P ，()25.060=≤X P ，⑴ 求μ与σ的值；⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过kg 65的概率． 解：⑴ 由已知()5.0707070=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ，()25.0606060=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ………….2分 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ75.025.016015.070σμσμ ．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ75.0605.070σμσμ ，查正态分布表，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-675.060070σμσμ ，解方程组，得70=μ，81.14=σ．………….2分⑵ 设=A “从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过kg 65”．则()()⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>3376.081.1470181.14706581.1470165165X P X P X P X P ()()6631.03376.03376.01=Φ=-Φ-=．………….2分 设X ：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg 65的人数． 则 ()6631.0,5~B X ．设=B “5人中至少有两人的体重超过kg 65． 则 ()()()()()101112===-=≤-=≥=X P X P X P X P B P9530.03369.06631.03369.06631.0141155005=⨯⨯-⨯⨯-C C ． （已知()75.0675.0=Φ，()6631.034.0=Φ）………….2分七．（本题满分8分） 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧-<<+=其它01045,22x y y x y x f求：随机变量Y 的边缘密度函数()y f Y ． 解：当10<<y 时， ()()()()⎰⎰⎰----+∞∞-+=+==yyyY dx y xdx y x dx y x f y f 1021122545,………….3分()()()6211511312531252123103y y y y y xy x yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=-=．…….3分所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=其它01062115y y y y f Y ．………….2分 八．（本题满分10分） 设n X X X ,,,21Λ是n 个独立同分布的随机变量，1X 服从参数为λ的指数分布．令{}n X X X T ,,,m in 21Λ=，求随机变量T 的密度函数． 解：对于任意的实数x ，随机变量T 的分布函数为 ()(){}()x X X X P x T P x F n T ≤=≤=,,,m in 21Λ{}()x X X X P n >-=,,,m in 121Λ()x X x X x X P n >>>-=,,,121Λ …………………….2分()()()x X P x X P x X P n >>>-=Λ211()()()()()()()()nX n x F x X P x X P x X P --=≤-≤-≤--=11111121Λ．………….3分所以，随机变量T 的密度函数为()()()()()x f x F n x F x f X n X T T 11--='=． ………….2分如果1X 服从参数为λ的指数分布，则1X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e x f xX λλ ． 分布函数为()()⎩⎨⎧≤>-==-∞-⎰0001x x e dt t f x F xxX X λ ．………….1分 因此此时{}n X X X T ,,,m in 21Λ=的密度函数为()()()()()x n x n xX n X T e n e e n x f x F n x f λλλλλ-----=⋅⋅=-=111，()0>x ．………….2分九．（本题满分8分） 设随机向量()321,,X X X 间的相关系数分别为312312,,ρρρ，且，()()()0321===X E X E X E ，()()()02321>===σX D X D X D ．令：211X X Y +=，322X X Y +=,133X X Y +=．证明：321,,Y Y Y 两两不相关的充要条件为1312312-=++ρρρ．证明：充分性：如果1312312-=++ρρρ，则有01312312=+++ρρρ．而 ()()322121,cov ,cov X X X X Y Y ++= ()()()()32223121,cov ,cov ,cov ,cov X X X X X X X X +++=()()()()()()()3223231132112var X D X D X X D X D X D X D ⋅++⋅+⋅=ρρρ ()0121323122232213212=+++=+++=σρρρσρσσρσρ………….3分 这说明随机变量1Y 与2Y 不相关．同理可得 ()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y ，这就证明了随机变量321,,Y Y Y 两两不相关． ………….1分必要性：如果随机变量321,,Y Y Y 两两不相关，则有()0,cov 21=Y Y ，()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y而由上面的计算，得()()01,cov 213231221=+++=σρρρY Y ， ………….3分由于02>σ，所以1132312+++ρρρ，即1132312-=++ρρρ． ………….1分十．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<-=其它若011x xx f()5021,,,X X X Λ是从X 中抽取的一个样本，X 与2S 分别表示样本均值与样本方差．求()X E ，()X D ，()2S E ．解：因为()()011=⋅==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E ，()()2121311222==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x dx x xdx x f x XE ， 所以，()()()()2122=-=X E X E X D ． 所以，()()0==X E X E ，………….2分()()10015021===n X D X D ，………….3分 ()()212==X D S E ．………….3分十一．（本题满分8分） 设总体()4,0~N X ，()921,,,X X X Λ是取自该总体中的一个样本．求系数a 、b 、c ，使得统计量()()()298762543221X X X X c X X X b X X a T ++++++++=服从2χ分布，并求出自由度． 解：因为()921,,,X X X Λ是取自总体()4,0N 中的简单随机样本，所以()4,0~N X i ，()9,,2,1Λ=i而且921,,,X X X Λ相互独立．所以()8,0~21N X X +，()12,0~543N X X X ++，()16,0~9876N X X X X +++．…….2分所以，()1,0~821N X X +，()1,0~12543N X X X ++，()1,0~169876N X X X X +++．…….2分 因此，()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X ++++++++．…….2分因此，当161,121,81===c b a 时，统计量()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X T ++++++++=，自由度为3．………….2分十二．（本题满分8分）一家有500间客房的旅馆的每间客房装有一台kW 2（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为%80．求需要多少电力，才能有%99的可能性保证有足够的电力使用空调机． 解：设X ：该旅馆开房数目，则()8.0,500~B X ．………….2分a ：向该旅馆供应的电力．则若电力足够使用空调机，当且仅当a X ≤2．因此()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤2.08.05008.050022.08.05008.050022.08.05008.050022a a X P a X P a X P ． 由题设，99.02.08.05008.05002≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φa ，………….3分 查表，得33.22.08.05008.05002≥⨯⨯⨯-a，………….1分 所以有 ()68.8412.08.050033.28.05002=⨯⨯⨯+⨯⨯≥a ．即至少向该旅馆供电842千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用．………….2分十三．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()n X X X ,,,21Λ是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量． 解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i n i i x x x c x c x f L Λ………….2分所以，()()∑=+-+=ni i x c n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．………….2分 令：()0ln =θθL d d，即0ln ln 1=-+∑=ni i x c n n θ，………….2分得到似然函数的唯一驻点cn x nni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cn Xnni iln ln ˆ1-=∑=θ．………….2分。
北京交通大学901软件工程2010-2015年(12-13年含答案)考研专业历年真题汇编
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2011北京高考真题数学理(解析)
所以 PB (1, 3 ,2), AC (0,2 3 ,0). 设 PB 与 AC 所成角为 ，则
cos PB AC | PB | | AC | 6 2 22 3 6 ． 4
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 BC ( 1, 3 ,0). 设 P(0，- 3, t )(t 0) ， 则 BP ( 1, 3 , t ) 设平面 PBC 的法向量 m ( x, y, z ) ， 则 BC m 0, BP m 0 所以
A 的值分别是
A． 75 ， 25
B． 75 ， 16
C． 60 ， 25
D． 60 ， 16
7.
某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
4
4 正（主）视图
3 侧（左）视图
俯视图
A． 8
B． 6 2
C． 10
D． 8 2
8.
设 A 0,0 ， B 4,0 ， C t 4, 4 ， D t , 4 t R ．记 N t 为平行四边形 ABCD 内部（不含边界） 的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N (t ) 的值域为 A． 9,10,11 B． 9,10,12
M P ，则 a 的取值范围是
1] [1 ， ) D． ( ，
) B． [1 ，
1] C． [1 ，
2.
复数 A． i
i2 1 2i
B ． i
4 3 C． i 5 5
4 3 D． i 5 5
3.
在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是
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20. （本小题共 13 分） 若数列 An : a1 , a2 ,..., an (n 2) 满足 ak 1 ak 1(k 1, 2,..., n 1) ，数列 An 为 E 数列，记 S ( An )
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，含答案）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =ð(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞ （2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32(B)16+(C)48(D)16+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。
若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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确或存饮时未留峦砃，则系统计絊利息并打印利息沾单给储户。
�c 用数据流图描还本系统的功谣C 10分） ， 并用实体－联系图描绘系 中的奻据
对象(10分）。
9. 可行性研究要在较高层次上以较抽象方式进行需求分析和设计。（ 讥在一个设计得很好的系统中，模块的作用域是模块控制域的子染。 11..CMM的5个等级中簸低的是初始级，最高的是优化级。 （ ） 12, 人机界面的设计是一个递归的过程． （ ） , I .13. 软件项目管理先千任何技术活动之前，并贯穿千软件的整个生命周期。（ ）
北以交通大学 zo 11年硕士研究生入学考试试卷
籵II代砃—迎L fill名称
41f'I工凡！
共8页 第 8 页
注芍咐项 答案一 i1· 写在答迎纸上 ， 马在试卷上的不千装订和评分！
时、存，从头型 、 存款日期 、 到期日期 、 利率及密码（可选）等信息，并印出存单
r•, 给储 如果从取认而且存炊时团有飞，码， 则系统首先核对储户密码，若密码正
象是生成类的模板。（ 一 ，才江垦通过软件测试没有发现错误，则说明软件是正确的。（ ）
. 6. 模块化，信息隐藏，抽象和逐步求精的软件设计原则有助于得到高内聚，低耦合度 I
的软件产品．（ ） �:确认测试计划应该在可行性研究阶段制定(
a:软件概要设计包括软件系统结构设计以及数据结构和数据库设计。（ ）
北京交通大学2011年硕士研究生入学考试试卷
科注意目代事项码：：＿答迎案上一＿律写在 科答目名题称 纸：上，写软在件 试卷 工程 上的
D. 变址命名尽证直观
9. 面向对象的开发方法中，（ ）是面向对织技术领域内占主导地位的标准建校沿占 ．
A.Booch
.B. Coad
C. UML
D.OMT
iO. 软件维护产生的副作用，是指（ ）
A 开发时的错误
8. 隐含的错误
C. 因修改软件而造成的错误 D. 运行时误操作
二、判断正误CT正确，F错误）（共20分，每题 一 分）
1. 蛭旋模型是在澡布模型和增妞仗型的基础上堵加了风险分析活动。（ ） 2.JAVA 语言编译器是一个 CASE 工具。( )。 3. 软件模块之间的耦合性越弱越好。( 4在面向对象的软件开发方法中，每个类都存在其相应的对象，类是对象的实例 ， 对