浙教版一元二次方程知识点及习题教案资料
【最新浙教版精选】浙教初中数学八下《2.1 一元二次方程》word教案 (6).doc
2将方程的左边分解因式；
3根据若M·N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
2、讲解例2.
（1）解下列一元二次方程：
教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用“且。
3、补充例4若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？
首先让学生设出未知数，列出方程（ ），再让学生求解.根据学生的求解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去x，因为这里的x可以是0。
三、巩固练习：课本第32页课内练习。
四、体会和分享
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
先由学生自由发言，教师再投影演示：
教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.
2、你能利用因式分解解下列方程吗？
请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（板书课题）
二.新课学习
1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
教师首先指出：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书）
3.用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.
4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
5、数学思想：整体思想和化归思想.
五.课后作业
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》教案1
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》教案1一. 教材分析《一元二次方程的解法》是浙教版数学八年级下册第2.2节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。
通过本节的学习，学生能够熟练运用不同的方法解一元二次方程，并为后续学习更高难度的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的乘法、因式分解等基础知识。
但部分学生对于一元二次方程的解法可能还存在一定的困惑，特别是对于公式的运用和理解。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行解答和指导。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。
2.培养学生运用不同的方法解决问题的能力。
3.提高学生对于数学知识的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.教学难点：公式法的理解和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题引导学生思考，运用案例讲解一元二次方程的解法，小组合作探讨问题，激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程案例。
2.准备PPT，展示一元二次方程的解法。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示一元二次方程的解法，包括因式分解法和公式法。
引导学生了解两种解法的原理和步骤。
3.操练（10分钟）让学生分组练习，运用因式分解法和公式法解一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）挑选几道典型题目，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。
其他学生听讲，加深对解法的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何判断一元二次方程的解法？什么情况下适合使用因式分解法，什么情况下适合使用公式法？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程的解法和应用。
浙教版八年级下册2.2一元二次方程的解法(4课时)教案
《一元二次方程的解法》教学设计【内容出处】浙江教育出版社八年级数学下册第2章第2课。
【素养指向】“数学运算”之“提升解方程能力”。
【教学目标】1.理解因式分解解一元二次方程的原理，会用因式分解法解一元二次方程。
2.理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义，会用直接开平方法解一元二次方程。
3.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
4.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。
5.理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程，能用判别式判断根的个数。
6.会用适当的方法解一元二次方程。
【时间预设】课内4课时加课前20分钟、课后40分钟。
第一课时【侧重目标】侧重目标1。
【内容段落】内容段落一，理解原理；内容段落二，巩固应用。
【教学过程】一、先行学习课前学生用5分钟独立完成学习单上的先学任务。
将下列各式分解因式：22222(1)3(2)49(3)(34)(43)(4)222------+y y x x x x x二、交互学习段落一理解原理〖小组合学〗先独立思考下面的问题，再在小组内交流，形成小组的统一观点。
若A*B=0,下面两个结论正确吗?(1)A和B都为0，即A=0，且B=0.（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0.你能利用因式分解解下列方程吗？22-==y y x(1)30(2)49〖展示评析〗小组推荐代表展示交流，其他小组质疑与纠错，交流评析后获得结论：（2）正确，并展示解上述两个方程的步骤。
模块二巩固应用〖小组合学〗先独立解方程，再在小组内交流利用因式分解法解一元二次方程的步骤。
(1)x2-3x=0 (2)25x2=16〖展示评析〗小组推荐代表展示交流，其他小组质疑与纠错，交流评析后获得结论：1.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.3.用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为零；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.〖检测评价〗独立完成下面题目，然后在小组内交流，进行互动评析。
【最新浙教版精选】浙教初中数学八下《2.1 一元二次方程》word教案 (5).doc
一、合作学习，探究新知
1、列出下列问题中关于未知数x的方程：
（1）把面积为4平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长。
设正方形的边长为x,可列出方程______________;
(2)据国家统计局公布的数据，浙江省2001年全省实现生产总值6万亿元，2003年生产总值达9200亿元，求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。
1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠0就成了一元一次方程了)。
2）讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．
3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
2、判断下列方程是否是一元二次方程：
3、判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程 的根。
通过此题的求解向学生说明：一元二次方程的解（或根）的概念与一元一次方程的解（或根）的概念类似，但解的个数不同。
4.一元二次方程概念的延伸
提问：一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗?
引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，找到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
课题
课时
教学
目标
1、经历一元二次方程概念的发生过程.
2、理解一元二次方程的概念.
3、了解一元二次方程的一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
教学
设想
本节教学重点是一元二次方程的概念，包括它的一般形式.
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案1
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案1一. 教材分析《一元二次方程》是中学数学的重要内容，也是初中数学的难点之一。
浙教版八年级下册第2.1节的内容，主要包括一元二次方程的定义、解法、判别式等知识点。
通过本节课的学习，使学生掌握一元二次方程的基本概念，学会解一元二次方程，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式、函数等基础知识，具备一定的逻辑思维和运算能力。
但一元二次方程相对复杂，学生对其概念、解法、判别式等知识点的理解还需加强。
此外，学生解决实际问题的能力有待提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的基本概念，学会解一元二次方程，理解一元二次方程的判别式。
2.过程与方法：培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义、解法、判别式。
2.难点：一元二次方程的实际应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作学习，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学素材：教材、PPT、黑板、粉笔。
2.教学工具：投影仪、计算机。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一组实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这些问题。
进而引出一元二次方程的概念。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的定义、解法、判别式等基本知识。
通过PPT展示，让学生清晰地了解一元二次方程的各个部分。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解一些简单的一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取一些典型的一元二次方程，让学生独立解答。
教师及时反馈，指出解题过程中的错误，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生运用一元二次方程解决实际问题。
教师提供一些案例，引导学生思考、讨论。
6.小结（5分钟）对本节课的主要知识点进行总结，强调一元二次方程在实际生活中的应用。
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程2
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）2.3一元二次方程的应用（1）【知识重点】1. 利润问题：总利润=单位利润×销售量；利润=售价-进价；利润率=进价进价售价-×100%. 2. 增长率问题：基数×(1+增长率)2=增长两次后的数量.【经典例题】【例1】疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260，若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．【答案】解：设月平均增长率为 x ，根据题意得： 6000(1+x)2=7260 ，解得： x 1=0.1 ， x 2=−2.1 （舍去），故该公众号关注人数的月平均增长率为0.1，答：该公众号关注人数的月平均增长率为0.1．【解析】根据题意先求出 6000(1+x)2=7260 ， 再解方程即可。
【例2】直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在APP 上对一款成本价为40/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每星期可卖出300件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降价0.5元，每星期可多卖出10件，在顾客得实惠的前提下，电商还想获得6080元利润，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？【答案】解：设每件商品售价应定为x 元，则每件商品的销售利润为(x −40)元，每月的销售量为300+60−x 0.5×10=1500−20x （件）， 依题意得：(x −40)(1500−20x)=6080，解得x 1=56，x 2=59．∵在顾客得实惠的前提下，∴x =56，当x =56时，1500−20×56=380答：每件小商品的售价应定为56元，这时电商每月能售出小商品380件．【解析】 设每件商品售价应定为x 元，则每件商品的销售利润为(x −40)元，每月的销售量为300+60−x 0.5×10=1500−20x （件）， 根据总利润=单件的利润×销售量列出方程并解之即可. 【例3】土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素C 等营养成分．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．（1）若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？（2）2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？【答案】（1）解：设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为x ．根据题意，得1000(1+x)2=1440．解得x 1=0.2，x 2=−2.2．（不合题意，舍去）答：土豆平均亩产量的年增长率为20%．（2）解：设增加土豆种植面积a 亩．根据题意，得(100+a)(1200−10a)=1200×100．解得a 1=0（不合题意，舍去），a 2=20．答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变．【解析】（1）设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为x ，根据2020年土豆的平均亩产量×（1+年增长率）2=2022年土豆平均亩产量，列出方程并解之即可；（2）根据2023年每亩土豆的实际成本×亩数=2022年的总成本列出方程并解之即可.【基础训练】1．秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀升，第三季度销售利润是196万元．设第二季度和第三季度平均增长的百分率为x，那么所列方程正确的是（）A．100(1+x)2=196B．100(1+2x)=196C．196(1−x)2=100D．100+100(1+x)+100(1+x)2=196【答案】A【解析】设秦杨商场第二、三季度的利润平均增长率为x，根据题意得：100（1＋x）2＝196，故A符合题意．故答案为：A．2．华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的1625，则每次降价的平均百分比是（）A．10%B．20%C．15%D．25%【答案】B【解析】设平均降低率为x，起始价格为m元，根据题意，得m(1−x)2=1625m，解得x=0.2或x=1.8(舍去)，故答案为：B．3．随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的64 元，求年平均下降率.设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（）A．年平均下降率为80%，符合题意B．年平均下降率为18%，符合题意C．年平均下降率为1.8%，不符合题意D．年平均下降率为180%，不符合题意【答案】D【解析】由已知可得，平均年下降率是大于0且小于1的数，故选项D说法正确.故答案为：D.4．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P=100−2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．(x−30)(100−2x)=200B．x(100−2x)=200C．(30−x)(100−2x)=200D．(x−30)(2x−100)=200【答案】A【解析】设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．根据题意得：（x-30）（100-2x）=200，整理得：x2-80x+1600=0.故答案为：A5．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（）A．（45-30-x）（300+50x）=5500B．（x-30）（300+50x）=5500C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500D．（45-x）（300+50x）=5500【答案】A【解析】由题意可知，当售价每千克降低x元时，每千克的售价为(45−x)元，此时每天销量为(300+ 50x)千克，则可列方程为(45−x−30)(300+50x)=5500，故答案为：A．6．陕西重型汽车有限公司（简称陕汽重卡）是由湘火炬汽车集团股份有限公司与陕西汽车集团有限责任公司合资组建的大型汽车公司企业，该企业随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元／辆下降到10月份的31.59万元／辆，若月平均降价的百分率保持不变，则月平均降价率是%．【答案】10【解析】月平均降价率是x，则有39(1−x)2=31.59解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）故答案为：10.7．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程．【答案】(50−x)(300+10x)=16000【解析】由题意得：(50−x)(300+10x)=16000；故答案为(50−x)(300+10x)=16000．8．随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2019年为10万只，预计2021年将达到12.1万只．求该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率．【答案】解：设该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为x，依题意得：10(1+x)2=12.1解得：x1=0.1＝10%，x2=−2.1（不合题意，舍去）．答：该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为10%．【解析】设该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为x，则2020年为10(1+x)万只，2021年为10(1+x)2万只，然后根据预计2021年将达到12.1万只列出方程，求解即可.9．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？【答案】解：设每件衬衫应降价x元，由题意得：(40−x)(20+2x)=1200，解得：x1=10，x2=20，∵要尽快减少库存，∴每件衬衫应降价20元．【解析】设每件衬衫应降价x元，降价后每件衬衫的利润为（40-x）元，销售的数量为（20+2x）件，根据每一件衬衫的利润×销售量=1200，据此列方程，然后求出方程的解，根据要尽快减少库存，可得到符合题意的x的值.10．2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？【答案】解：设降价x元，每天售出此类纪念品能获利400元，由题意得：(44−x−30)(20+5x)=400解得：x1=4，x2=6，答：商家应将“雪容融”类纪念品每个降价4元或6元时，每天售出此类纪念品能获利400元．【解析】设降价x元，每天售出此类纪念品能获利400元，由题意可得每个的利润为(44-x-30)元，每天的销售量为(20+5x)个，然后根据每个的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可.【培优训练】11．某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元.若增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1+x=4B．(1+x)2=4C．1+(1+x)2=4D．1+(1+x)+(1+x)2=4【答案】D【解析】由题意得：1+(1+x)+(1+x)2=4；故答案为：D.12．某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致，则4月份的房价单价为每平方米（）．A．7300元B．7290元C．7280元D．7270元【答案】B【解析】设房价的下降率为x，根据题意得：10000(1−x)2=8100，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）∴房价的下降率为10%，∴4月份的房价单价为每平方米8100(1−10%)=7290元．故答案为：B．13．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A．50(1+x)2=175B．50+50(1+x)+50(1+x)2=175C．50(1+x)+50(1+x)2=175D．50+50(1+x)2=175【答案】B【解析】二月份的产值为：50(1+x)，三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．故答案为：B．14．"桃花流水窅然去，别有天地非人间."桃花园景点2017年三月共接待游客a万人，2018年三月比2017年三月旅游人数增加5%，已知2017年三月至2019年三月欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，设2019年三月比2018年三月游客人数增加b% ，则可列方程为()A．a(1+5%)(1+b%)=a(1+8%×2)B．a(1+5%)(1+b%)=a(1+8%)2C．a(1+5%)(1+8%)=a(1+b%×2)D．a(1+5%)(1+8%)=2a(1+b%)2【答案】B【解析】2018年三月共接待游客a(1+5%) 万人，2019年三月共接待游客a(1+5%)(1+b%) 万人，又2017年三月至2019年三月欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，则2019年三月共接待游客a(1+8%)2，故方程为：a(1+5%) (1+b%)=a(1+8%)2 .故答案为：B.15．某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件。
浙教版九年级下册数学第2章一元二次方程复习课件
因式分解法的一 般步骤:
一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
2(2x 1)2 9 0
直接开平方法：
1.用开平方法的条件是:缺少一次项的 一元二次方程，用开平方法比较方便; 2.形如:ax2+c=o (即没有一次项).
化成一般形式ax2 bx c 0 a 0
当b2 4ac 0时,x b b2 4ac
一元二次方程的应用
2a
已知方程x2+kx = - 3 的一个根是-1，则
k= 4 , 另一根为_x_=_-__3_
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a2 a 1 的值
为6
构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零（2）有一根为2。
方程两边都是整式
一元二次方程的定义 只含有一个未知数
ax²+bx+c=0
求知数的最高次数是2
（a0） 一
直接开平方法 化成x2 mm 0 x m
元
因 式 分解法 化成A• B 0 A 0或B 0
二 次
一元二次方程的解法
配
方
法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数
方 程
求 根 公式法
化成一般形式ax2 bx c 0 a 0
一元二次方程的一般式
ax2 bx c 0 （a≠0）
一元二次方程
3x²=1
2y(y-3)= -4
一般情势 二次项 一次项 常数 系数 系数 项
3x²-1=0 3
0 -1
2y2-6y+4=0 2 -6 4
1、若 m 2x2 m 2x 2 0 是关于x的一元二次
一元二次方程--浙教版
课时训练
1. 如果代数式4y2-2y+5的值为7，那么代数式 2y2-y+1的值等于 (A ) A.2 B.3 C.-2 D.4
2. 若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2-1成立， 则a的值为 ( C ) A.5 B.4 C.3 D.2
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则 代数式m2-m的值等于 2 。
第二章第二课时：
一元二次方程
Wjl321 制作
要点、考点聚焦
.一元二次方程及其解法 (1)一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0). (2)一元二次方程的四种解法： ①直接开平方法：形如 x2=k(k≥0) 的形式均可用此法求 解. ②配方法：要先化二次项系数为 1 ，然后方程两边同加 上一次项系数的一半的平方，配成左边是完全平方，右 边是常数的形式，然后用直接开平方法求解. ③公式法：这是解一元二次方程通用的方法，只要化成 2 2 b b 4ac ax +bx+c=0(a≠0)利用求根公式：x= 2a ④因式分解法. （b2-4ac≥0
课前热身
4.解方程x2+3x=10 解：x2+3x-10=0 (x+5)(x-2)=0 x=-5或x=2
典型例题解析
【例1】 若3是关于(4/3)x2-2a+1=0的一个解， 则2a的值是 ( C ) A.11 B.12 C.13 D.14
例2。若方程y2-3y+m=0的一个根是1，则它的另一个根是 2 ，m的值是 . 2
典型例题解析
【例3】选用适当的方法解下列方程： （1）x2 - 4=0 （2） （3x+ 1）2=4（x- 1）2
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浙教版一元二次方程知识点及习题
一元二次方程知识点及习题（一）
1、认识一元二次方程：
概念：只含有一个未知数，并且可以化为ax2 bx c 0 （a,b,c为常数，a 0）的整式方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程的三个重要条件：
①、方程必须是整式方程（分母不含未知数的方程）。
女口：x2 2 3 0是分式方程，所以x2 - 3 0不是一元二次方
x x
程。
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是2次。
2 、一元二次方程的一般形式：
一般形式：ax2 bx c 0 （ a 0），系数a,b,c中，a一定不能为0，
b、c则可以为0，其中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
任何一个一元二次方程经过整理（去括号、移项、合并同类项…）都可以化为一般形式。
例题：将方程（x 3）（3x 1） x2化成一元二次方程的一般形式.
解：（x 3）（3x 1） x
去括号，得：3x2 8x 3 x2
移项、合并同类项，得：2x2 8x 3 0 （一般形式的等号右边一定等于
0）
3、一元二次方程的解法：
（1）、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）
形式：（x a）2 b
（2）、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：a2 2ab b2（a b）2,
将原方程配成（x a）2 b的形式，再用直接开方法求解.）⑶、公式法：（求根公式：x —- 4aC）
2a
⑷、分解因式法：（理论依据：a?b 0，则a 0或b 0;利用提公因
式、运用
公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形
:一元二次方程的定义
例1、下列方程中是关于x的「元二次方程的是（）
A 3 x122x 1 1 1
B
2 2
x x
C ax2bx c0
D x22x x21
2
若方程（m2)x|m|3mx 10是关于x的一元二次方程，则（）、
A. m 2
B.m=2 C . m 2 D.m 2
3、关于x的一元二次方程（a- 1）x2+ x+a2—1=0的一个根是0。
则a的值为（）
A、1 B 、一I C 、1 或一1 D、-
2
4、若方程m 1 x2、、m?x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围
是______ 。
2 2
5、关于x的方程（a a 2）x ax b 0是一元二次方程的条件是（）
A、a 丰 1 B 、a M — 2 C 、a 丰 1 且a 工—2 D 、a 丰 1 或a 丰—2
二：一元二次方程的解
1、关于x的一元二次方程a 2 x2 x a2 4 0的一个根为0,则a的值
为________ 。
2、已知方程x2 kx 10 0的一根是2,则k为___________ ，另一根
3、已知a是x2 3x 1 0的根，贝u 2a2 6a ________________
4、若方程ax2 3 4+bx+c=0（a工0）中，a,b,c 满足a+b+c=O和a-b+c=O,则方程的根
5、方程a b x2 b c x c a0的一个根为（）
A 1
B 1
C b c
D a
课堂练习：
1、已知一元二次方程x +3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为
2、已知x=1是一元二次方程x2+bx+5=0的一个解，求b的值及方程的另一个根.
3、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为___________________。
4、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c Oa 0的系数满足a c b，则
此方程必有一根为_________ 。
三：一元二次方程的求解方法
2
一、直接开平方法 1 x 9 0;
二、配方法叮-..
练习
1、如果二次三项式x2（m 1）x 16是一个完全平方式，那么m的值是
2试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。
3已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y为实数，求x y的值。
4已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7的最小值。
、公式法
四、因式分解法
五、整体法
例：a 2 b 2 2 a 2 b 2
6 0,则a 2 b 2 ______________ 。
变式1:若x y 2 x y 3 0，则x+y 的值为 ________________________ 。
变式 2 :若 x 2 xy y 14 , y 2 xy x 28，则 x+y 的值为 _____________________ 变式3 :已知(x 2 y 2 1)(x 2 y 2 3) 5,则x 2 y 2的值等于 ______________________ 。
四：一元二次方程中的代换思想(降次)
典例分析：
x 1 3 x 2
1
1、已知x 2 3x 2 0，求代数式 ----------- ------- 的值。
x 1
2、如果x 2 x 1 0，那么代数式x 3 2x 2 7的值
3、已知，是方程x 2 x 1
0的两个根，那么
4
3 .
2
1、 x 2x 8 0
2
2、2x 5x 1
1、 x 2 2x
2、(x 1)2 (2x 3)2 0
3、x 2 6x 8 0
0的一根，求宁牛的值4、已知a是一元二次方程x2 3x 1
y (2m 3)x 4m 7能否通过 A (-2,
若关于x 的方程kx 2 4x 3
0有实数根，则k 的非负整数值
3、已知关于x 的方程x 2 (k 2)x 6 k 0有两个相等的正实数根，则 k
4、 已知a 、b 、c 为 ABC 的三边，且关于x 的一元二次方程
— 3
c b x 2
' 2 a c x — a c 0有两个相等的实数根，那么这个三角形
4
是 ____ 。
5、 如果关于x 的方程mx 2 2m 2x m 5
0没有实数根，那么关于x 的方
程m 5 x 2 2 m 2 x m 0的实根个数是 __________________ 。
&已知关于x 的方程x 2 k 2x 2k 0
(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
五：根的判别式
1、若关于x 的方程x 2・、kx 1 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围
是
2、关于X 的方程kx 2 ( )
A 、k > 9
B 工0
6x 1
有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
C 、k v 9
D 、k < 9 且 k
3、关于x 的一兀二次方程 m 1 x 2 2mx 0有实数根，则m 的取值范围是
()
A. m 0且m 1
B. m 0
C. m 1
D. m 1
4、对于任意实数 m 关于x 的方程 定( )
A. 有两个正的实数根
B.
C.有一个正实数根、一个负实数根
D.
有两个负的实数根 没有实数根
课堂练习:
1、已知关于x 的方程x 2
(2m 1)x m 2
2 0有两个不等实根，试判断直线
4)，并说明理由。
2、 的值是()
A. B. C. 2或 D.
(2)若等腰ABC的一边长为1另两边长恰好是方程的两个根，求周长。
ABC的
7.用简便方法计算.
(1)-6 ,45X(—4.48);
(2)( —64)X(—81);
(3)1452—242;
(4)
8.已知2 .5x= 求x的值.
9已知A佥,B咼，求宀&的值
10.已知a - 1帀，求a2 4的值
a a
11.已知x2 3x 12的值
12.已知":y f 9 0求汀的值
13.已知关于x的方程x2 2(a 1)x a2 7a 4 0的两根为捲、x?，且满足X1X2 3x i 3x2 2 0 .求(1 -y4) ^2的值。
a 4 a。