理论力学习题解答第七章

7－1. 在图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为M，另在滑块D上作用水平力F。

机构尺寸如图所示。

求当机构平衡时，力F与力偶矩M的关系。

7－2. 图示桁架中，已知AD=DB=6m，CD=3m，节点D处载荷为P。

试用虚位移原理求杆3的内力。

7－3. 组合梁由铰链C 铰接AC 和CE 而成，载荷分布如图所示。

已知跨度l=8m ，P=4900N ，均布力q=2450N/m ，力偶矩M=4900N ⋅m ；求支座反力。

N 2450N 14700N 2450==-=E B A F F F ，，7－4 组合梁由水平梁AC 、CD 组成，如图所。

已知：F 1= 20kN ，F 2 = 12kN ，q = 4kN/m ，M = 2kN ·m 。

不计梁自重，试求：固定端A 和支座B 处的约束力。

组合梁由水平梁AC 、CD 组成，如图12－16a 所。

已知：F 1= 20kN ，F 2 = 12kN ，q = 4kN/m ，M = 2kN ·m 。

不计梁自重，试求：固定端A 和支座B 处的约束力。

2(a)(b)22(d )(e)图12－16 例题12－5图解：组合梁为静定结构，其自由度为零，不可能发生虚位移。

为能应用虚位移原理确定A 、B 二处的约束力，可逐次解除一个约束，代之以作用力，使系统具有一个自由度，并解除约束处的正应力视为主动力；分析系统各主动力作用点的虚位移以及相应的虚功，应用虚位移原理建立求解约束力的方程。

为方便计算，可事先算出分布载荷合力大小及作用点。

对于本例：22δrkN 41=⨯==q F F K H各作用点如图12－16b 所示，且HC = CK = 0.5m 。

1．计算支座B 处的约束力解除支座B ，代之以作用力F N B ，并将其视为主动力。

此时，梁CD 绕点C 转动，系统具有一个自由度。

设梁CD 的虚位移为ϕδ，则各主动力作用点的虚位移如图12－16b 所示。

应用虚位移原理，有0δ=∑F W ，0δ30sin δδδ2N =︒+--D B B K K r F M r F r F ϕ （a ）图12－16b 中的几何关系，ϕϕϕδ2δ;δδ;δ5.0δ===D B K r r r将上述各式代入虚位移原理表达式（a ），有0δ)5.0(2N =+--ϕF M F F B K （b ）因为0δ≠ϕ，于是，由式（b ）求得支座B 的约束力为kN 125.02N =-+=M F F F K B （c ）2．求固定端A 处的约束力偶解除A 端的转动约束，使之成为允许转动的固定铰支座，并代之以约束力偶M A ， 将M A 视为主动力偶（图12－16c ）。

这时，梁AC 和CD 可分别绕点A 、B 转动，系统具有一个自由度。

设梁AC 有一虚位移δβ，则梁AC 、CD 上各主动力作用点相应的虚位移如图12－16c 所示。

根据虚位移原理0δ=∑F W ，可得下述方程δ60cos δδδδδ21=-︒+---γβM r F r F r F r F M D K K H H E A（d ）根据图12－6c 中所示之几何关系，各主动力作用点的虚位移分别为βγβγβγββδ2δδ,δδ5.0δδ2δ,δ5.1δ,δ5.0δ=======D K H E r r r r代入式（d ），得到0δ)25.15.0(21=-+---βM F F F F M K H A （e ）由于 δβ≠0 ，所以m kN 1225.15.021⋅=+-++=M F F F F M K H A （逆时针转向）（f ）3．求固定端A 处的水平约束力解除A 端的水平约束，使之变为只能水平移动、而不能铅直移动和自由转动的新约束（图12－16d ），视水平约束力F Ax 为主动力。

这时系统具有一个自由度，使梁AC 和CD 只能沿水平方向平动，设A 点有一水平虚位移δx A ，则其他主动力作用点，将产生如图12－16d 所示的虚位移。

应用虚位移原理，写出060sin δδ2=︒-D A Ax r F x F （g ）由于系统水平平动，所以δx A =δ r D ，故上式为0δ)60sin (2=︒-A Ax x F F （h ）因为 δx A ≠0，所以kN 3660sin 2=︒=F F Ax （i ）4．求固定端A 处的铅垂约束力解除A 端的铅直约束，使之变成只能铅直移动，而不能水平移动和自由转动的新约束（图12－16e ），并视铅垂约束力F Ay 为主动力。

这时，梁AB 平动，梁CD 绕点B 转动，系统具有一个自由度。

设点A 有一铅垂虚位移δy A ，其余各主动力作用点及梁CD 的虚位移如图12－16e 所示。

应用虚位移原理，有0δδ30sin δδδδ21=-︒+---θM r F r F r F r F y F D K K H H E A Ay （j ）由于梁AC 铅垂平动，梁CD 绕点B 转动，于是，由图12－16e 得到：ACA K AC H E y CBr y r y r r r δδδ,δ5.0δδδδδ======θ 将上述各式代入式（j ），得0δ)30sin 5.0(21=-︒+---A K H Ay y M F F F F F （k ）因为 0δ≠A y ，故有kN 225.05.021=+-++=M F F F F F K H Ay7－5. 试求图示梁－桁架组合结构中1、2两杆的内力。

已知kN 41=F ，kN52=F 。

1．求杆1内力，给图（a ）虚位移，虚功表达式为0cos δcos δδδ1N1N 21='++--ϕϕG F E D r F r F y F y F 因为θδ3δ=D y ，θδ2δ=Ey ， θδ5δ=F r ，θδ5δ=G r所以053δ553δ5δ2δ31N1N 21=⋅⋅'+⋅⋅+⋅-⋅-θθθθF F F F 211N 236F F F +=31132211N =+=F F F kN （受拉）A2．求杆2内力，给图（b ）虚位移，则θδ4δ=H r ，θδ3δ=D r θδ2δ=E r ，θδ5δ=G rF r δ，G r δ在FG 方向投影响相等，即ϕϕcos δcos δG F r r =G F r r δδ= 虚功式0sin δδδδN222N 1='----ϕF E H D r F r F r F r F即 054524δ3N222N 1=⋅δ⋅-δ⋅-δ⋅-⋅-θF θF θF θF 2223821N2-=--=F F F kN4112N -=F kNA7－6. 在图示结构中，已知F = 4kN ，q = 3kN/m ，M = 2kN · m ，BD = CD ，AC = CB = 4m ，θ = 30º。

试求固定端A 处的约束力偶MA 与铅垂方向的约束力F Ay 。

解：解除A 处约束力偶，系统的虚位移如图（a ）。

0δsin δ2δ=-+D A r F r q M θϕ（1）其中：ϕδ1δ⋅=r ；ϕδ4δδδ⋅===B D C r r r代入式（1）得：B0δ)sin 42(=-+ϕθF q M A m kN 22sin 4⋅=-=q F M A θ解除A 处铅垂方向位移的 约束，系统的虚位移如图（b ）。

应用虚位移原理：0δδ2cos δ=+-BC D A Ay M r F r F ϕθ （2）其中：BC C A r r ϕθδcos 4δδ==；BC D r ϕδ2δ=代入式（2）得：0δ)22cos cos 4(=+⋅-⋅BC Ay M F F ϕθθ；kN 577.030cos 41=︒-⋅=M F F Ay7－7. 图示结构由三个刚体组成，已知F = 3kN ，M = 1kN · m ，l = 1m 。

试求支座B 处的约束力。

r E（a ）解：解除B 处约束，系统的虚位移如图（a ）。

应用虚位移原理：δδsin δ=+--F CE B B r F M r F θϕ（1） 其中：101sin =ϕ；CEF E l r r θδ4δ2δ==；CE C l r θδ23δ=；CE C B lr l r θδ23δ10δ== 代入式（1）得：0δ)2(=⋅+--CE B l F M l F θ；kN 52=⋅+-=l F M F B7－8. 在图示刚架中，已知F = 18kN ，M = 4.5kN · m ，l1 = 9m ，l2 = 12m ，自重不计。

试求支座B 处的约束力。

解：解除B虚位移如图（a ）。

应用虚位移原理：0δδ=+F Bx Bx r F r F（1）其中：D B D B Bx l OB r θθδ2δδ2=⋅=；DB D OD r θδδ⋅=；DB DF l l ADr r θδδδ22=⋅=代入式（1）得：0δ)2(22=⋅+⋅D B Bx l F l F θδ（a ）kN 92-=-=FF Bx 解除B 处铅垂方向位移的约束，系统的 虚位移如图（b ）。

应用虚位移原理：0δδδ=+-CE F By By M r F r F θ（2）其中：D B D B By l AB r θθδ2δδ1=⋅=；DB D OD r θδδ⋅=；DB DF l l ADr r θδδδ22=⋅=CE D B E OE AE r θθδδδ⋅=⋅=；DB CE OEAEθθδδ⋅=且：15l AE =；125l OE =；则：DB CE θθδ2δ=代入式（2）得：0δ)22(21=+⋅-⋅D B By M l F l F θ；kN 5.112212=-=l MFl F By。