高考数学创新大一轮复习江苏专用课件：第七章 第40讲 一元二次不等式
高考数学一轮复习 第7章 不等式 第2节 一元二次不等式及其解法课件 文
2．不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象．
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔a＝b＝0，或a>0，
c>0
Δ<0.
(2)不等式
ax2＋bx＋c<0
对任意实数
x
恒成立⇔a＝b＝0，或a<0，
c<0
Δ<0.
12/11/2021
‖基础自测‖ 一、疑误辨析 1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0.( ) (2)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1 和 x2.( )
时，解集为x1<x<1a；当 a＝1 时，解集为∅；当 a>1 时，解集为x1a<x<1.
12/11/2021
►名师点津 ——————————————————— 含有参数的不等式求解，往往需要比较相应方程根的大小，对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式， 则可对判别式进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数 不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
12/11/2021
5．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，则 ab 的值为________． 解析：由不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，知 a<0 且 ax2＋bx＋1＝0 的两 根为 x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－ －113＋ ＝131a＝ ，－ba， 所以 a＝－3，b＝－2，所以 ab＝6. 答案：6
2021年高考数学(江苏版)一轮配套课件：§7.1 一元二次不等式 .ppt
方法 2 分式不等式的解法
解分式不等式的关键是先将给定不等式移项、通分,整理成一边为商
式,另一边为0的形式,再等价转化成整式不等式(组)的形式进行求解.
(1)
f g
((xx>))0⇔f(x)·g(x)>0;
(2) f (x≥) 0⇔
g(x)
f (x) g(x) 0, g(x) 0.
例2 不等式 1≤ 的1 解集为
解析 A={x|x2<4}={x|-2<x<2},
B= x
|=1
x
4={3x|-3<xx|<xx1}13.
0
(1)A∩B={x|-2<x<1}.
(2)因为2x2+ax+b<0的解集为B={x|-3<x<1},所以-3和1为方程2x2+ax+b=0
的两根.
故
b
2
a 2
3 1,
所以
31,
a 4, b 6.
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/14
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
高考数学一轮复习 一元二次不等式及其解法课件
解：(1)法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0， 方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝ ，x2＝6. 函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点 ( ，0)和(6,0). 所以原不等式的解集为{x| ≤x≤6}.
法二：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0 ⇒(3x－1)(x－6)≤0⇒(x－ )(x－6)≤0. ∴原不等式的解集为{x| ≤x≤6}. (2)原不等式等价于
(3)由12x2－ax－a2＞0⇔(4x＋a)(3x－a)＞0 (xa)(xa)0,
43 ①a>0时， 解集为{x|x＜ 或x＞－ }. ②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}； ③a＜0时，
解集为{x|x＜ 或x＞－ }.
1.解下列关于x的不等式 (1)19x－3x2≥6， (2)0＜x2－x－2≤4， (3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0).
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的 关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本 增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000 (1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 有
2.对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是： (1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次 不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0； (3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决 定所求不等式的不等号的方向； (4)判断二次不等式两根的大小.
解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3＞0； (2)－3x2－2x＋8≥0； (3)12x2－ax＞a2(a∈R).
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法课件(理)
b(a≠0)的形式．当 a＞0 时，解集为
；当 a＜0 时，解集为
．若
关于 x 的不等式 ax>b 的解集是 R，则实数 a，b 满足的条件是
．
3．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，
称为___Байду номын сангаас______不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的
类型二 一元二次不等式的解法
解下列不等式：
(1)x2－7x＋12＞0;
(2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1＜0;
(4)x2－2x＋2＞0.
解：(1)方程 x2－7x＋12＝0 的解为 x1＝3，x2＝4. 而 y＝x2－7x＋12 的图象开口向上，可得原不等式 x2－7x
＋12＞0 的解集是{x|x＜3 或 x＞4}．
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba
①
②
{x|x1＜x＜x2}
∅
无实根 R ③
4.分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为 0， 左边化为gf（（xx））的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
gf（（xx））＞0 ⇔ f(x)g(x)＞0；
gf（（xx））＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；
于号取 ，小于号取 ”求解集．
(4)一元二次不等式的解：
函数、方程与不等式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
江苏高考数学(理)总复习课件： 一元二次不等式及其解法
则实数 a 的取值范围是________．
解析：当 a－2＝0，即 a＝2 时，原不等式为－4＜0，
所以 a＝2 时成立，
当 a－2≠0，即 a≠2 时，由题意得
a－2＜0， Δ＜0，
即a4－a－2＜202， ＋16a－2＜0，
解得－2＜a＜2.
综上所述，－2＜a≤2. 答案：(－2,2]
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观，全扫命题题点
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考点一 一元二次不等式的解法
基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1．(2018·南通中学检测)不等式－3x2＋6x＞2 的解集为________．
解析：将不等式－3x2＋6x＞2 转化为 3x2－6x＋2＜0，
所以不等式的解集是x1－
角度二：形如 f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
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2．已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R ，b∈R )，对任
意实数 x 都有 f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当 x∈[－1,1]时， f(x)＞0 恒成立，求 b 的取值范围． 解：由 f(1－x)＝f(1＋x)知 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称， 即a2＝1，解得 a＝2. 又因为 f(x)开口向下，所以当 x∈[－1,1]时，f(x)为增函数， 所以 f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0 恒成立，即 b2－b－2＞0 恒成立， 解得 b＜－1 或 b＞2. 所以 b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
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考点二 含参数的一元二次不等式的解法
重点保分型考点——师生共研 [典例引领] (2019·天一中学检测)解关于 x 的不等式：ax2＋(a－2)x－2≥0. 解：①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，解得 x≤－1.
高考江苏数学大一轮精准复习课件一元二次不等式
将一元二次不等式因式分解为两个一次多项式的乘积，然后根据不 等式的性质求解。
适用范围
适用于部分一元二次不等式，即可以因式分解的不等式。
注意事项
在因式分解时，需要注意符号问题和分解的彻底性。同时，对于不 能因式分解的不等式，需要采用其他方法进行求解。
03
一元二次不等式在实际问题中应用
区间内根存在性判断及根的个数判断
易错点一
忽视不等式性质，盲目去分母或去括号导致错 误。
01
易错点二
忽视特殊情况，如重根、无解等。
03
易错点三
对参数分类讨论不全或分类错误。
05
02
避免方法
在解题前，先明确不等式的性质，遵循等式 的运算法则进行操作。
04
避免方法
在解题过程中，要时刻关注特殊情况 的出现，对重根、无解等情况进行特 殊处理。
请教老师
遇到难题或不理解的概念时，及时向老师请教，获取专业的 指导和解答。
同学互助
与同学组建学习小组，共同讨论问题、分享学习心得，相互 帮助、共同进步。
谢谢您的聆听
THANKS
根的判别式
通过计算判别式Δ=b²-4ac，判断一元二次方程在实数范围内是否有解，从而推断出对 应的一元二次不等式在指定区间内是否有解。
区间端点函数值
通过计算区间端点处的函数值，结合一元二次函数的图像性质，可以判断函数在指定区 间内的符号变化，从而确定不等式在区间内的解的情况。
中值定理
利用中值定理，可以判断一元二次函数在指定区间内是否存在零点，从而推断出不等式 在区间内的解的情况。
解题思路梳理与总结
一元二次不等式的解法
01
通过因式分解、配方法或求根公式将不等式转化为一
高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法PPT课件
Δ=0
Δ<0
有两相等实 数根x1=x2= b
2a
没有实数根
_{_x_∈__R_|_x_≠__ b}
_R_
2a
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0，则可先 根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.
3.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表 示为
5.某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元， 则生产者不亏本时的最低产量是_______. 【解析】要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000+20x0.1x2， 整理得x2+50x-30 000≥0，解得x≥150或x≤-200(舍去)， 故最低产量是150台. 答案：150台
{x|x>x2或x<x1}
R
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)，则必有a>0.( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞)，则方程 ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2+bx+c>0的解集为R.( )
一元二次方 程
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
(江苏专版)高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式实用课件文
第十四页，共40页。
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A， B 的大小关系是________． 解析：由题意得，B2－A2＝－2 ab≤0，且 A≥0，B≥0，可 得 A≥B. 答案：A≥B
第十二页，共40页。
(2)取 a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知①错误；当 c＜0 时，ac＞bc⇒a＜b，∴②错误；∵ca2＜cb2，∴c≠0，又 c2＞0， ∴a＜b，③正确；取 a＝c＝2，b＝d＝1，可知④错误．
(3)x1＞3，x2＞3⇒x1＋x2＞6，x1x2＞9；反之不成立，例如 x1＝12，x2＝20，x1＋x2＝421＞6，x1x2＝10＞9，但 x1＜3.故“x1 ＞3 且 x2＞3”是“x1＋x2＞6 且 x1x2＞9”的充分不必要条件．
第三页，共40页。
01 突破点（一） 不等式的性质(xìngzhì)
第四页，共40页。
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．比较两个实数大小的方法 a－b＞0⇔a ＞ ba，b∈R，
(1)作差法a－b＝0⇔a ＝ ba，b∈R， a－b＜0⇔a ＜ ba，b∈R.
ab＞1⇔a ＞ba∈R，b＞0， (2)作商法ab＝1⇔a ＝ ba∈R，b＞0，
；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
.
第二十六页，共40页。
[方法技巧] 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
高考数学大一轮复习 7.2一元二次不等式及其解法教师用书 理 苏教版
§7.2 一元二次不等式及其解法1．“三个二次”的关系【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ax ＋b >0，则x >－b a.( × )(2)不等式－x 2－5x ＋6<0的解集为{x |x <－6或x >1}．( √ )(3)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × ) (4)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (6)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为________． 答案 [0,3]解析 由3x －x 2≥0得x (x －3)≤0，∴0≤x ≤3，∴函数f (x )＝3x －x 2的定义域为[0,3]．2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．答案 (2,3)解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)． 3．不等式x －3x －1≤0的解集为________． 答案 {x |1<x ≤3} 解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x ≠1，∴1<x ≤3.故原不等式的解集为{x |1<x ≤3}．4．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0， 即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.题型一 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集： (1)－x 2＋8x －3>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a)(x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a}；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(1)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．答案 (1)(－2,3) (2)(－12，1]解析 (1)由题意，知－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.则不等式2x 2＋bx ＋a <0即2x 2－2x －12<0，其解集为{x |－2<x <3}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，2x ＋1≠0，(*)由(*)解得－12<x ≤1.题型二 一元二次不等式的恒成立问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．(2)已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为______________．答案 (1)[－1,4] (2)(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可， 联立方程解得x <1或x >3. 题型三 一元二次不等式的应用例3 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________． 答案 20 解析 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 的最小值为20.转化与化归思想在不等式中的应用典例：(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}． 答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．(2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别.方法与技巧1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a <0的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． 失误与防范1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数f (x )＝ 1－xx ＋2的定义域为________． 答案 (－2,1] 解析1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是______________________． 答案 (－3,1)∪(3，＋∞)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝________. 答案 2∶1∶3解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0， ∴－b ＋c a <x <c －ba. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.4．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－2,2]解析 原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2,2]．5．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是________． 答案 {a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.6．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为________________________． 答案 {x |x <－lg 2}解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________________．答案 {x |a <x <1a}解析 原不等式即(x －a )(x －1a)<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.8．(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0.不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .解得：x >5，或－5<x <0.9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征锐率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%， 农产品的收购量为a (1＋2x %)万担， 收购总金额为200a (1＋2x %)万元． 依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， 解得－42≤x ≤2. 又∵0<x <10，∴0<x ≤2. 即x 的取值范围为(0,2]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是________________________． 答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞)解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0， 由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 2．(2013·重庆改编)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 3．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 4．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. 5．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是{x |12<x <2}．(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解 (1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2. (2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12， 即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为(－3，12)． 6．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法课件文
b＝－5a， 即c＝6a，
a＜0.
代入不等式 cx2－bx＋a＞0，得 6ax2＋5ax＋a>0(a＜0)．
即 6x2＋5x＋|－12＜x＜－13.
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类型四 含有参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0.
解：x2＋x－3x2＋2＞0⇔（x＋2）x－（2x＋1）＞0⇔ (x－2)(x＋2)(x＋1)＞0， 数轴标根得{x|－2＜x＜－1 或 x＞2}， 故填{x|－2＜x＜－1 或 x＞2}．
第二十六页，共43页。
点拨： 分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式 的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根 法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端 为 0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证 x 的最高次幂的项的系数为正 数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其 分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为 整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出 各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右 根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下 依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左 依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写 出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等 号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连 根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．
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当 0<a<1
1 时，解集为x|1<x<a；
当 a＝1 时，解集为∅；
当 a>1
1 时，解集为x|a<x<1.
f（x） (1) >0(<0)⇔f(x)· g(x)>0(<0). g（x） f（x） (2) ≥0(≤0)⇔f(x)· g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g（x） 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.
考点一 一元二次不等式及分式不等式的解法
【例1】 解下列关于x的不等式.
x＋1 (1)－6x －5x＋1<0; (2) x ≤3.
解析
2
1 1 的解集是－2，3，则
a＋b＝________.
1 1 ∵x1＝－2，x2＝3是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根，
a b 4－2＋2＝0， a＝－12， ∴ 解得 ∴a＋b＝－14. b＝－2， a＋b＋2＝0， 9 3
答案 －14
4.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之 间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本C＝500＋30x元.若使得日获利不少于1300 元，则该厂日产量所要满足的条件是__________. 解析 由题意得(160－2x)· x－(500＋30x)≥1300，解得20≤x≤45. 答案 [20，45]
第40讲
一元二次不等式
考试要求 1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的 二次函数、一元二次方程的联系(B级要求)；2.求解一元二次不等式(C级要求).
诊断自测
1.(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是________.
解析 解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5， 由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－ ∞ ，－2)∪
(5，＋∞).
答案 (－∞，－2)∪(5，＋∞)
x＋1 2.(扬州市 2018 届高三上学期期中)不等式 x <2 的解集为________.
x＋1 1－x 解析 x <2，即 x <0 等价于(1－x)x<0，
∴不等式的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞).
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
3.(教材改编)若关于 x 的不等式 ax ＋bx＋2>0
5.(必修5P80习题8改编)若不等式x2－2x＋ k2－2>0对于任意的x ∈[2 ，＋∞)恒成立，则
实数k的取值范围是________.
解析 由 x2－2x＋k2－2>0，得 k2>－x2＋2x＋2，设 f(x)＝－x2＋2x＋2，f(x)＝－(x－
1)2＋3，当 x≥2，可求得 f(x)max＝2，则 k2>f(x)max＝2，所以 k> 2或 k<－ 2
1 1 1 ②当 a>1 时，a<1，解 x－a (x－1)<0，得a<x<1； 1 1 1 ③当 0<a<1 时，a>1，解 x－a (x－1)<0，得 1<x<a.
1 综上所述，当 a<0 时，解集为{x|x<a或 x>1}；
当 a＝0 时，解集为{x|x>1}；
2
解
1 (1)原不等式转化为 6x ＋5x－1>0，方程 6x ＋5x－1＝0 的解为 x1＝ ，x2＝ 6
2 2 2
－1.根据 y＝6x ＋5x－1
1 的图象，可得原不等式的解集为x|x<－1，或x>6.
x＋1 2x－1 (2)原不等式变形为 x －3≤0，即 x ≥0，
1 所以原不等式的解集为x|x≥2，或x<0.
考点二 含参不等式解法
【于x的不等式：ax2 －(a ＋ 1)x ＋ 1<0. 解 (1)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，
∴x1＝a，x2＝1，
①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}， ②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅， ③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a<x<1}.
规律方法
(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出
x－a 不等式的解集； (2) 遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为 x－b x－a <0(a<b)或者 >0(a<b)的形式，方法二是针对分母的正负进行讨论；如第 (2)题， x－b
x>0， x<0， 就可以转化成 或者 再分别求解. x＋1≤3x x＋1≥3x，
b 一元二次不等式 ax2＋bx＋ (－∞，x1)∪(x2， (－∞，－2a)∪ c>0(a>0)的解集 ＋∞) b (－2a，＋∞)
R
一元二次不等式 ax2 ＋ bx (x1，x2) ＋ __________ ∅ ∅
c<0(a>0)的解集
2.常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
答案
(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
知识梳理
1.“三个二次”的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c 有两个相异实根 ＝0(a>0)的根 x1，x2(x1<x2)
有两个相等实根 x1 b ＝x2＝－ 2a 没有实数根
(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若
1 a<0， 原不等式等价于x－a(x－1)>0，
1 解得 x<a或 x>1. 若
1 a>0，原不等式等价于x－a(x－1)<0.
1 1 ①当 a＝1 时，a＝1，x－a(x－1)<0 无解；
不等式
解集 a<b {x|x<a或x>b} {x|a<x<b} ___________ a＝b a>b {x|x<b或x>a} ____________ {x|b<x<a}
(x－a)· (x－b)>0 (x－a)· (x－b)<0
{x|x≠a} ________
∅
口诀：大于取两边，小于取中间.
3.分式不等式的等价变形