长沙理工大学水力学考研复习资料第八章 明槽恒定非均匀流1

武汉大学水利水电学院 赵昕
1 2
(b) 流速v < c
c=
gh
边随水流向下游运动。
棱柱形平坡渠道静止水体中的微幅波波速
v
v
(c) v > c
(d) v = c
波动不能向上游传播。 明槽中，其微幅波与两侧壁面的反射波叠加，在远处近似为平面波。
假设波速、波高保持不变，取一运动惯性参考系随波峰一起移 动，相对运动呈恒定非均匀流动 水深 过水断面面积 相对流速 断面1 h A v1=c 断面2 h+Δh A+ΔA v2 = cA/(A+ΔA) 能量方程
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临界坡度的计算式 i K =
gχ K Q2 = 2 2 2 AK CK R K αC K BK
若用曼宁公式计算CK ，得
iK =
gn 2 χ K 13 αR K BK
（长度单位均为m，g单位为m·s-2）
iK的大小与流量、糙率和断面形状及尺寸有关： 其它条件相同，糙率n越大，iK越大； 流量增加， iK是增是减，与断面形状、流量和临界水深的大小有关。
第八章
明槽恒定流动
第三节 明槽恒定渐变流
单一波源在等深度无穷大静止水域中产生的微幅扰动波以波源为 圆心呈同心圆状向四周扩展
一、微幅扰动波与明槽流态
c
使水流偏离均匀流的因素：流量、断面、底坡 和糙率的沿程变化，水流中的建筑物和障碍物 ＝ 对水流的干扰
c c
(a) 静水中
c
v
c- v
c+v
扰动以重力表面波的形式向上、下游ห้องสมุดไป่ตู้播 ――扰动波，所到之处 使水深、流速等发生变化。 微幅波：水深波幅Δh << 原水深h； 有限幅度波（断波）：其波幅与原水深为同一数量级或更大。 在流速为v的动水中，固定波源产生的圆形波面一边扩展，一 浅水长波理论: 大水体中微幅波传播速度
v v = = Fr c gA B
c≈ g
A B
（3）v = c ，即Fr =1时，称为临界流（Critical flow），逆行波 停驻在波源，急流、缓流的分界点。 弗劳德数代表水流惯性力与重力作用之比，缓流时，重力作用大 于惯性力作用；急流时，惯性力作用则占上风。
为一弗劳德数。
Fr =
5
矩形断面明槽
例 8 －5
一梯形断面渠道，b =10 m， m =1.0，当Q = 12 m3/s时， h0 =1.0 m，问该渠道是缓坡渠道还是陡坡渠道？
解： 均匀流时 A ＝(b + mh0)h0 = (10 + 1×1)×1 = 11 m2 B=b+2mh0= 10 + 2×1×1 = 12 m， 则
Fr =
v = Q / A = 1.09 m/s
v = 1.09 / 9.8 × 11 / 12 = 0.364 < 1 gA B
陡坡、缓坡，只与均匀流的急、缓流有对应关系，与非均匀流流态无关
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均匀流流态为缓流，所以i < iK，为缓坡。
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不是小底坡的情况下的有关方程和表达式 dES αQ 2B = cos θ − ≈ 1 − Fr 2 cos θ dh gA 3
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五．小结
明槽水流（均匀流或非均匀流）流态的判别
判别指标 水深 h Fr 流速 v 缓流 h > hK Fr < 1 v<c 临界流 h = hK Fr = 1 v = 微幅波波速 c 急流 h < hK Fr > 1 v>c
例8-4 一矩形断面渠道，宽度b =5 m，流量Q =30 m3/s，水深h =1.0 m，判断此时明槽流动的流态。 Q 30 v 解： Fr = = = = 1.917 > 1 gh bh gh 5 × 1× 9.8 × 1 或 急流
当ES一定时，求极值
g (2E S − 3h ) gh dq = 2g (E S − h ) / α − = =0 dh 2g (E S − h )α 2g (E S − h )α
得
h = 2ES /3 = hK （极大值点）。
在断面形状尺寸一定时，Q越大，hK越大； 当流量一定时，断面越宽，临界水深越小。
v gh
6
二．明槽恒定流动的基本方程与断面比能 明槽恒定非均匀流 J≠i，不能用明槽均匀流的基本公式。 明槽恒定渐变流总水头 = 水面高程（水位）z +αv2/2g 明槽恒定流动的能量方程
ES = h cos θ +
αv 2 αQ 2 = h cos θ + 2g 2gA 2
断面比能形式的明槽恒定流动能量方程
v
c-v
c+v
h+
c2 c2 ⎛ A ⎞ = h + Δh + ⎜ ⎟ 2g 2g ⎝ A + ΔA ⎠
4
2
3
ΔA≈BΔh，得
微幅扰动波向上游传播（逆行波）的绝对波速＝ c - v
2
c= g
A B
(1 + ΔA / A )
（1）v < c，即Fr <1时，这种流态称为缓流（Subcritical flow）， 下游的扰动可以影响上游，水力要素受下游水流条件影响；
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ES = h +
αv 2 αQ 2 =h + 2g 2gA 2
存在一个极小值点hK
棱柱形明槽A＝A（h）， 当流量给定时ES =ES (h)
dE S dE S dh = =i− j ds dh ds
dES αQ dA αQ B = 1− = 1− dh gA 3 dh gA 3
2 2
αQ B αv = ≈ Fr 2 gA / B gA 3
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h zb
hcosθ
dE S =i −J ds
均匀流： i = J ， dES /ds = 0 ，ES 沿程不变； 非均匀流：i > J 时 ES 沿程增加；i < J 时ES 沿程减少。
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以下分析和推导仅限于棱柱形明槽和小底坡的情况。 小底坡时，cosθ≈1，
三．临界水深
h ~ ES曲线图 临界水深（Critical depth） ＝ 给定流量，同一个断面 上断面比能为最小值的水 深。 （1）h > hK时（曲线上支）， dES /dh > 0，Fr <1，明 槽流态为缓流； （2）h < hK时（曲线下支），dES /dh < 0，Fr>1，流态为急流； （3）h = hK时（极值点），dES /dh = 0，Fr =1，流态为临界流。 ◆一个ES值对应缓流、急流两个水深: 交替水深（Alternate depths）
2 2
棱柱形明槽恒定渐变流的基本微分方程式
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dh i−J = ds 1 − Fr 2
hK满足方程
1−
αQ 2 B K =0 或 3 gA K
3 AK αQ 2 = BK g
（4）矩形断面 B = b，A = hb （单宽流量q = Q / b） 且 h = hK时
得
hK = 3
αq 2 g
（ AK=A(hK)，BK=B(hK) ） 已知Q、断面形状尺寸、α，求解hK （1）迭代法或二分法，计算机程序（第六节）或Excel （2）试算法（手算） （3）梯形断面的情况，迭代计算式可用（手算或Excel）
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四．临界坡度 已知流量、糙率和断面形状尺寸，正 常水深h0随着底坡i的增大而减小。
当i＝iK时，h0＝hK ，A＝AK、C=CK、R=RK、χ=χK、B=BK ， 同时满足
Q = AK C K R K i K
3 AK αQ 2 = BK g
顺坡渠道(i > 0)的底坡有三种情况： （1）临界坡（Critical slope）： i = iK，此时h0=hK ，均匀流流态 为临界流。 （2）缓坡（Mild slope）：i < iK，此时h0>hK ，均匀流流态为缓流； （3）陡坡（Steep slope）：i > iK，此时h0<hK ，均匀流流态为急流；
h K = 3 αq 2 g = 3 1.0 × (30 5) 9.8 = 1.543 m > h
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顺 坡 明 槽 （ i > 0） 的 底 坡 类 型 与 流 态
判别指标 正 常 水 深 h0 底坡 i 均匀流流态 非均匀流流态 缓坡 h0 > hK i < iK 缓流 临界坡 h0 = hK i = iK 临界流 均有可能 陡坡 h0 < hK i > iK 急流
(
)
Fr =
dh 1 i −J = ⋅ ds cos θ 1 − Fr 2
cos θ − αQ 2 B k
3 gAk
v A cos θ g B
临界水深满足的关系式
=0
矩形断面临界水深
hK = 3
αq 2 g cos θ
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ES = ES min = h K +
αv 2 αq 2 h3 3 = hK + = h K + K2 = h K 2 2g 2gh K 2h K 2
2 E S min 3
所以矩形断面明槽 h K = 反之
hK
(n +1)
⎡ αQ 2 (n ) ⎤ =⎢ b + 2mh K ⎥ g ⎣ ⎦
(
)
1
3
1 (n ) b + mh K
z
z1 +
αv αv = z 2 + 2 + h w1− 2 2g 2g
2 1 1 2 2
可以用来求解水位z的沿程变化。 两个断面应是渐变流断面，但断面1、2之间可以有急变流段。 z = z b + h cosθ 定义：断面比能 ( Specific energy) ES = 总水头－zb (槽底为基准面的总水头）