范后宏教授报告--一元高次方程的根式解
一元高次方程的计算机程序的求根研究
一元高次方程的计算机程序的求根研究一元高次方程的求根是数学中一个重要的问题，在实际生活中也有着广泛的应用。
为了解决这个问题，研究人员们不断提出新的方法和算法。
在计算机科学领域，利用计算机程序求解一元高次方程的根也成为了一个热门的研究课题。
本文将针对一元高次方程的求根问题展开研究，并设计一份关于一元高次方程的计算机程序，希望能够对该问题有更深入的了解。
一元高次方程是指形如ax^n + bx^(n-1) + ... + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，n为自然数，且n大于1。
求解一元高次方程的根是一个古老而又复杂的数学问题，研究人员们提出了许多不同的方法来解决这个问题。
在计算机程序的研究中，我们通常使用数值计算的方法来求解一元高次方程的根，其中包括了一些著名的算法，如二次方程求根公式、牛顿迭代法、二分法等。
二次方程求根公式是求解一元二次方程的经典方法，它可以直接得到方程的两个根。
但是对于高次方程而言，很多时候并没有类似于二次方程求根公式的普遍解法，我们可能需要通过数值计算的方法来逼近方程的根。
在这里，我们介绍一种常见的求解一元高次方程的根的算法——牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种用于逼近方程根的数值算法，它通过不断地迭代来逼近方程的根。
该方法的核心思想是先猜测一个根的初始值，然后通过不断迭代来逼近方程的根。
具体过程如下：1. 选择一个初始值作为猜测的根；2. 根据选定的初始值，通过迭代公式来逼近方程的根；3. 重复上述步骤，直到得到满足精度要求的近似根。
在具体的计算机程序中，我们可以采用如下的伪代码来实现牛顿迭代法：```function Newton_iteration(a, b, c, initial_guess, tolerance):x = initial_guesswhile abs(a*x^2 + b*x + c) > tolerance:x = x - (a*x^2 + b*x + c) / (2*a*x + b)return x```在这段伪代码中，a、b、c分别表示一元高次方程的系数，initial_guess表示初始的猜测值，tolerance表示迭代的精度要求。
高次方程及其解法
高次方程及其解法2009-12—06 11：35：27｜分类：学生园地| 标签：|字号大中小订阅1.一元n次方程：（1）标准形式： a0x n+a1x n—1+a2x n-2+…+a n—1x+a n=0（a0≠0),当n≥3时叫做高次方程.（2）解法思想:高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.2。
高次方程根的存在定理设多项式f(x）=a0x n+a1x n—1+a2x n-2+…+a n—1x+a n(a0≠0)(1）因式定理：多项式f(x）含有因式x—a的充要条件是f（a)=0。
(2）实系数方程虚根成对定理：如果方程f（x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0），那么它必定还有另一个根a—bi.（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f（x）=0的系数都是有理数，①若a+√b是方程的根,那么a—√b 必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）;②若√a+√b是方程的根,那么√a—√b，—√a+√b，—√a-√b必也是它的根（其中,√a、√b都是无数）;③若方程有一个虚根√a+√bi（a，b∈R且b≠0），那么√a—bi,—√a+√bi，—√a-√bi必也是它的根(其中，√a、√b都是无理数).(4）整系数方程有理根存在定理:①如果方程f(x）=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；②在整系数方程f(x)=0中,如果α是方程的整数根，那么二比值f(1）/（α—1)和f（-1）/（α+1)都是整数；③在整系数方程f(x）=0中，如果f(0）与f（1)都是奇数，那么该方程无整数根；④最高次项的系数为1的整系数方程f（x）=0的有理根都是整数。
如果方程没有整数根，那么它也没有有理根。
3。
一元n次方程的解法:（1）一元n次方程a0x n+a1x n-1+a2x n—2+…+a n—1x+a n=0(a0≠0）的解法通常用验根法、因式分解法和换元法。
一元高次方程求解方法
一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为2b x a-±=。
若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。
于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。
有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。
当系数01,,a a1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。
如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。
1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。
根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。
这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。
”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。
要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。
高考数学中的一元高次方程求根
高考数学中的一元高次方程求根在高中数学中，一元高次方程是一个不可避免的难点。
而对于高考生来说，如何求解一元高次方程的根也是必须要熟练掌握的。
今天我们将全面介绍一元高次方程的求根方法及其应用。
一、一元高次方程的定义及性质一元高次方程是指一个未知量的最高指数大于或等于2的代数方程。
例如：x²+3x+5=0就是一个一元二次方程。
一元高次方程的一些基本性质：1. 一元高次方程的最高项系数不为零。
否则它将变成一个低于该方程次数的新方程。
例如：x³-3x²+3x=0, 可以转化为x²-3x+3=0。
2. 一元高次方程的次数，即未知量的幂次必须是一个整数。
3. 一元高次方程有一个或者多个根。
根是指方程中未知量的值，使得该方程等于0。
例如：x²-5x+6=0，该方程的根为2和3.4. 一元高次方程的根是唯一的。
二、一元高次方程的求根方法一、一元一次方程求根一元一次方程是一元高次方程中最简单的一种，一般形式为ax+b=0，其中a,b均为实数。
方程根（x的值）可以通过移项、化简等方法求解。
例如：3x-9=0，解得x=3。
二、一元二次方程求根一元二次方程是高中数学中最常见的一种，一般表示为ax²+bx+c=0，其中a,b,c均为实数，且a≠0。
求解一元二次方程的方法主要有以下两种：1. 二次公式法利用特定的公式求根，一元二次方程有两个解，在求解时分别取正号和负号，即：x1 = (-b+√(b²-4ac))/2a;x2 = (-b-√(b²-4ac))/2a;例如：x²-3x+2=0, 该方程的根为x1=1, x2=2.2. 完全平方公式法将一元二次方程进行二次完全平方拆分，得到两个关于x的一元一次方程，然后再分别求解。
例如：x²-6x+9=0, 该方程等价于(x-3)²=0，于是x=3.三、一元三次及更高次方程求根一元三次及更高次方程的求根比一元二次方程要复杂。
高次函数方程的根与像
高次函数方程的根与像【高次函数方程的根与像】高次函数方程一直是数学研究的重点之一，它们与根与像之间有着密切的联系。
在本文中，我们将探讨高次函数方程的根与像的相关性，分析它们之间的数学特征以及对实际问题的应用。
1. 高次函数方程的定义与性质高次函数方程是指含有幂次大于1的项的函数方程。
常见的高次函数方程包括二次方程、三次方程、四次方程等等。
它们的一般形式可以表示为：\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\]其中，\(n\)为方程的次数，\(a_n\)到\(a_0\)为系数。
高次函数方程的根是指方程等于零的解。
根的个数与方程的次数相关，根据代数基本定理，一个\(n\)次方程最多有\(n\)个根。
高次函数方程的根可以是实数或复数，它们的存在与方程系数的特点有关。
2. 高次函数方程的根与像之间的联系高次函数方程的根与像之间存在一定的联系。
当我们求解高次函数方程的根时，实际上是在寻找方程与横轴交点的横坐标。
这些交点就是函数图像上的像点。
根的个数与方程的次数有关。
一个二次方程最多有2个根，可以分为三种情况：两个实数根、重根、两个复数根。
对于三次方程和四次方程，根的个数也是多样的。
高次函数方程的根与像之间的关系可以通过函数图像来直观地理解。
一些函数图像会经过横坐标轴，这些交点对应根。
图像的形状、斜率及交点的位置等都会影响根的特征。
3. 高次函数方程的根的求解方法为了求解高次函数方程的根，数学家们提出了一系列有效的方法。
其中最常用的方法包括因式分解法、配方法和求根公式等。
- 因式分解法是将方程进行因式分解，找到方程的根所对应的因子。
这种方法通常适用于方程有明显的因式的情况。
- 配方法是通过变量替换、配方等技巧将方程转化为一次方程或二次方程，从而求得根。
这种方法在解一些特殊形式的高次函数方程时十分有效。
- 求根公式是通过数学推导得到的具体求解各个次数方程根的公式，例如二次方程的求根公式是著名的二次根式公式。
一元高次不等式的解法ppt课件
例题：
求下列不等式的解集：
1、x2(x2 9)(2x2 x - 3) 0
2、(x -1)2(-2x 4)(x2 4x 3) 0
5
分式不等式的解法
（1） f (x) 0 f (x) g(x) 0
g(x)
（2） f (x) 0 f (x) g(x) 0
g(x)
（3）
f (x) g(x)
若不等号为<或≦,则不等式的解取数轴下方,穿根线 以内的范围. (6)写出不等式的解集
2
例题：
求下列不等式的解集：
1、x2 x 6 0
2、x2 2x 8 0
3
5、-3x2 2x 1 0
6、（ x 3)(x2 x 2) 0
一元高次（n≥2）不等式的解法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 步骤： （1）化简不等式——将不等式的一边化为零，另一边化为n 个一次因式的乘积的形式
如：将 x3 2x2 x 3 1
化为（x 2)(x 1)(x 1) 0
（2）将不等号换成等号解出方程的所有根
不等式换为方程 （x 2)(x 1)(x 1) 0
7、（2x2 x 1)(x2 x 2) 0
3
奇穿偶不穿(奇过偶不过)定律
（1）当不等式中出现 (x a)2n（偶次幂）项时,穿 根线不穿过x=a点。
（2）当不等式中出现 (x a)2n1（奇次幂）项时， 穿根线穿过x=a点。
注：1、以上x=a叫做方程的2n或2n+1次重根。 2、奇穿过，偶弹回。
0
f
(x) g(x) g(x) 0
0
（4）
f (x) g(x)
0
f
(x) g(x) g(x) 0
一元高次方程解法
公式法
总结词
通过使用一元高次方程解的公式直接求解方 程。
详细描述
公式法是一元高次方程解法中的一种简便方 法。它通过使用一元高次方程解的公式，可 以直接求解出方程的解。公式法适用于所有 一元高次方程，但需要注意的是，在使用公 式法时需要先判断一元高次方程是否有实数 解，并且对于某些特殊类型的一元高次方程
古希腊数学家欧几里得和阿拉伯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花 拉子密等都对一元高次方程的解法进行了研究。
文艺复兴时期
意大利数学家莱昂纳多·斐波那契和法国数学家弗朗索瓦·韦达 等人在文艺复兴时期开始系统研究一元高次方程的解法。
一元高次方程解法的进展
代数方法
随着代数学的发展，一元高次方程的解 法逐渐完善，出现了多种代数方法，如 因式分解法、配方法、二次公式法等。
在航空航天工程中，一元高次方程可以用于描述飞行 器的运动轨迹、气动性能等问题。
机械工程
在机械工程中，一元高次方程可以用于描述机械的运 动、振动等问题。
电子信息工程
在电子信息工程中，一元高次方程可以用于描述电路 的分析、信号处理等问题。
04 一元高次方程的解法的历 史发展
一元高次方程解法的起源
古代数学家
VS
符号计算
19世纪中叶，随着符号计算的发展，一 元高次方程的解法得到了更加精确和系统 的研究。
一元高次方程解法的现状与未来发展
数值解法
随着计算机技术的发展，一元高次方程的数 值解法得到了广泛应用，如牛顿迭代法、二 分法等。
符号解法
尽管数值解法在很多情况下已经足够，但对 于一些特殊的一元高次方程，符号解法仍然 具有重要意义。未来，符号解法的研究将更 加深入，并与其他数学领域进行交叉融合。
文章如何利用代数法解决一元高次方程
文章如何利用代数法解决一元高次方程解决一元高次方程是代数学中的一项重要内容，而文章作为一种表达方式，也可以借助代数法对一元高次方程进行解析和解决。
本文将探讨文章如何利用代数法解决一元高次方程的方法和步骤。
一、概述在开始具体分析之前，我们首先需要明确一元高次方程的定义及其解决方法。
一元高次方程是形如 ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0 的方程，其中n为自然数，a、b、c、d为实数且a不等于0。
解决一元高次方程的方法有多种，其中代数法是一种常用的方法，它通过代数运算和变量替换来求解方程的根。
二、基本步骤下面将按照一定的顺序介绍文章如何利用代数法解决一元高次方程的基本步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。
步骤一：观察方程形式首先需要观察一元高次方程的形式，确定它是否符合代数法的解决条件。
代数法主要适用于一次方程、二次方程、三次方程等高次方程。
如果方程的最高次数超过了三次，那么使用代数法就会变得复杂而困难，可能需要借助其他方法来解决。
步骤二：变量替换对于一元高次方程，可以通过变量替换来简化计算过程。
常用的变量替换方法有平方代换、令u = x + a或u = x - a等。
通过选择合适的替换方法，可以将原方程转化为一个新的方程，新方程中的高次项可以消去或减少，从而更易于求解。
步骤三：化简方程通过变量替换后，需要进一步化简方程，消去无关项和引入的新变量，使得方程的形式更加简洁明了。
这一步骤通常需要借助代数运算的基本法则和技巧，如合并同类项、化简复杂的系数等。
步骤四：求解方程经过变量替换和化简后，我们得到了一个更简单的一元高次方程。
接下来，需要根据方程的形式和特点选择合适的解法来求解方程的根。
常见的解法包括因式分解法、配方法、根式法等。
通过代数运算和数学推导，可以得到方程的解析解或近似解。
步骤五：验证解解得方程的根之后，为了确保解的准确性，需要将解代入原方程进行验证。
这可以通过代数运算或图像分析的方式，确保方程的两边相等。
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第一步 ：简化为 5 次 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 y ( x x 1 ) y 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 y 2 2 y 3 ( x3 3 x 3 x 1 x 3 ) x3 x 3 y 3 3 y y 4 x 4 4 x 2 6 4 x 2 x 4 x 4 x 4 y 4 4 y 2 + 2 y 5 ( x5 5x3 10 x 10 x 1 5x 3 +x 5 ) x 5 x 5 y 5 +5y3 5y y 5 y 4 4y 3 + 3y 2 + 3y 1 = 0
x 6 1 = 0 一个生成根 e
2 i 6
i sin cos 600 i sin 600 3 3 1 3 = + i 2 2
cos
x 7 1 = 0 一个生成根 e
2πi 7
2 2 3600 3600 = cos i sin cos i sin 7 7 7 7 1 6
?
在 (1, 2) ， (1,3)， （ 1，） 4 ， （ 1，）对换下 5 它 共有5个不同的值， 因此 不能用它把5次降位4次。
Vandermonde“闪光”思想 ： 应该计算 V1 = （R1 R2 ２R4 ３R3 4 R５ )5 注意 R3 ，R4 调换了 位置 ！ 为什么 ？ 要点 1： R1， R 2， R 3，R 4， R 5 除了满足根和系数通常的关系 R1 +R 2 +R 3 +R 4 +R 5 = 1 R1R 2 +R1R 3 +R1R 4 + R1R 5 + R 2 R 3 +R 2 R 4 +R 2 R 5 + R 3 R 4 + R 3 R 5 + R 4 R 5 = 4
一般一元 3次 方程：S.Ferro 1515年，N.Fontana （Tartagalia) 1535年给出了准确的根式解
x 3 px 2 rx s 0 用 平移 x t t3 b t c 0 三个解 c c b ( ) 2 ( )3 + 2 2 3 c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3 1 3 i 2 1 3 i 2 c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3 c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3 p 3 化为
( 2cos )( 2cos ) = (2cos( ) ） （ 2cos( )) 22π cos cos( ) cos( ) 11 2π 4π R12 = R 2 +2 ：( 2cos )2 = (2cos )+2 11 11 2π 4π 6π 2π R1R 2 R 3 R1 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11 2π 6π 8π 4π R1R 3 R 4 R 2 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11 2π 8π 10π 6π R1R 4 R 5 R 3 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11 2π 10π (22 10)π 8π R1R 5 R 5 R 4 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11 4π 8π R 2 2 = R 4 +2 ：( 2cos )2 = (2cos )+2 11 11 4π 6π 10π 2π R 2 R 3 R 5 R1 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11
要点 2：变换 g : 1->2->4->3->5->1 保持根 R1， R 2， R 3，R 4， R 5 上述所有“隐藏的”特殊关系： R 12 = R 2 +2 R 1R 2 R 3 R 1 R 1R 3 R 4 R 2 R 1R 4 R 5 R 3 R 1R 5 R 5 R 4 R 2 2 = R 4 +2 R 2 R 3 R 5 R1 R 2 R 4 R 5 R 2 R 2 R 5 R 4 R 3 R 32 = R 5 +2 R 3R 4 R 4 R1 R 3R 5 R 3 R 2 R 4 2 = R 3 +2 R 4 R 5 R 2 R1 R 5 2 = R 1 +2 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 R 2 2 = R 4 +2 R 2 R 4 R 5 R 2 R 2 R 5 R 3 R 4 R 2 R 3 R 1 R 5 R 2 R 1 R 1 R 3 R 4 2 = R 3 +2 R 4 R 5 R 1 R 2 R 4 R 3 R1 R 4 R 4 R 1 R 3 R 5 R 5 2 = R 1 +2 R 5 R 3 R 3 R 2 R 5 R 1 R 5 R 4 R 32 = R 5 +2 R 3R1 R 4 R 2 R 12 = R 2 +2
x11 1 = 0 有 10个根
2 i 11
rk = e
2πi k 11
, k = 1, 2,
,10
e
2 2 3600 3600 cos i sin cos i sin 11 11 11 11
x11 1 ( x 1) ( x10 x 9 x8 x 7 +x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) 0 x 1 0 , x10 x9 x8 x 7 +x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 0
它有 5 个根 R k = (e
2π k ， k = 1, 2, 3，， 4 5 11 2π 4π 6π 8π 10π R1 = 2cos ， R 2 = 2cos ， R 3 = 2cos ，R 4 = 2cos ， R 5 = 2cos 11 11 11 11 11 e
1 k<j<p 5
R k R jR p = 3
R1R 2 R 3 R 4 +R1R 2 R 3 R 5 R 1R 2 R 4 R 5 R 1R 3R 4 R 5 + R 2 R 3R 4 R 5 3 R 1R 2 R 3 R 4 R 5 1 之外，还满足“隐藏的”特殊关系：
t1 =
3
3
t2 =
1 3 i 2 1 3 i 2
3
c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3
3
t3 =
3
c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3
3
注：在用上述根式公式时，注意化简。 例： 2 1+ 3 2+11 7 3 1 1 = + 2 = 2 + 1 2 7 3 1
2πi 9
)
1 3 +i 2 2
x10 1=0 一个生成根 e
2πi 10
=e
πi 5
= cos
5
i sin
5
= cos 360 i sin 360
1+ 5 10-2 5 = i 4 4 （用 cos 720 和 半角公式）
11 x 1=0 的根式解的方法 Vandermonde 求
2πi k 11
2πi k 11
) = 2cos
第二步 ： 令 e
2 i 5
,
5 ( e ) e 2 i 1
2 i 5 5
3 能否仿效 Langrange３次方程 的 (r1 r2 2 r3） , 计算
（R1 R2 ２R３ ３R４ 4 R５ )5
3
3
一般一元 4 次 方程： [1] L.Ferrari 1540 年左右 准确的根式解法。 [2] Decartes解法（1637年）更“结构化”：
x 4 bx 2 cx d ( x 2 px j ) ( x 2 px k ) y j +k 满足一个 3次方程： 第一步： 解三次 y 3 b y 2 4d y (4bd c 2 ) 0 得y1 , y2 , y3 第二步： 解二次 x
3
2πi 3
= cos
1 = + 2 x 4 1=0 一个生成根 e
2πi 4
=e =i 2 2 cos i sin = cos 72 0 i sin 72 0 5 5 =
πi 2
x 1=0 一个生成根 e
5
2πi 5
1 + 5 10+2 5 +i 2 4 （x 4 x 3 x 2 x 1 0 用 y x x 1 化为 2 次）
, ,
1+ 2 3+ 2 1- 2 3- 2
,
最简单 n 次方程
x 1=0 一个生成根 e
2 2πi 2
x n 1 = 0 的根式解
= e πi = 1 2π 2π + i sin cos120 0 i sin120 0 3 3 3 i 2
x 1=0 一个生成根 e
2
c yk 4 d
2
x x