一元高次方程的求解
一元多次方程式的解法
一元多次方程式的解法下面将详细介绍一元多次方程式各个次数的解法。
一次方程式解法：一元一次方程式的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，而x为未知数。
解一次方程式的步骤如下：1. 将方程式转化为标准形式，即将常数项移到等式的右边，得到ax = -b。
2.如果a不为0，则可通过除以a，得到x=-b/a。
例如，解方程式3x+4=7：首先将方程式转化为标准形式，得到3x=3、然后通过除以3，得到x=1、因此，方程式的解为x=1二次方程式解法：一元二次方程式的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，而x为未知数。
解二次方程式的步骤如下：1. 使用二次方程式的求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
2. 计算∆= b² - 4ac，其中∆被称为判别式。
a)如果∆>0，方程式有两个不同的实根。
b)如果∆=0，方程式有一个重根。
c)如果∆<0，方程式没有实根，但可能有两个虚根。
例如，解方程式x²+3x+2=0：根据求根公式，计算∆=3²-4(1)(2)=1、因为∆大于0，方程式有两个不同的实根。
x=(-3±√(3²-4(1)(2)))/2(1)=(-3±√(1))/2化简得到x=(-3±1)/2，即x=-2或x=-1、因此，方程式的解为x=-2和x=-1三次方程式解法：一元三次方程式的一般形式为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知数，而x为未知数。
解三次方程式的步骤如下：1. 使用三次方程式的求根公式或者Horner法则来寻找一个实根。
这个实根可以通过试探的方法找到，然后使用合成除法概念，将原方程除以(x - r)，其中r是找到的实根，然后求得一个二次方程。
2.通过使用已知的二次方程求根公式来找出这个二次方程的解。
习题范例解一元高次方程的方法总结
习题范例解一元高次方程的方法总结一元高次方程是数学中常见的问题，解决这类方程可以采用多种方法。
本文将总结并介绍解一元高次方程的几种常见方法。
1. 因式分解法因式分解法适用于一元高次方程可以被因式分解的情况。
具体步骤如下：（1）将方程转化为标准形式，确保方程左边等于零；（2）对方程进行因式分解；（3）令每个因式等于零，求解得到方程的根；（4）将得到的根代入方程进行验证。
例如，解方程 x^2 + 6x + 8 = 0：（1）转化为标准形式：x^2 + 6x + 8 = 0；（2）因式分解：(x + 2)(x + 4) = 0；（3）令(x + 2) = 0 和 (x + 4) = 0，解得 x = -2 和 x = -4；（4）代入原方程验证，左边等于右边（0 = 0），所以解正确。
2. 全平方公式全平方公式适用于一元二次方程。
具体步骤如下：（1）将方程转化为标准形式，确保方程左边等于零；（2）根据公式 x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2，将方程进行变形；（3）令变形后的方程等于零，解出未知数；（4）代入原方程验证。
例如，解方程 x^2 + 4x + 4 = 0：（1）转化为标准形式：x^2 + 4x + 4 = 0；（2）根据公式 (x + 2)^2 = 0，得到变形方程 (x + 2)^2 = 0；（3）令 (x + 2) = 0，解得 x = -2；（4）代入原方程验证，左边等于右边（0 = 0），所以解正确。
3. 二次根式法二次根式法适用于一元二次方程的平方项系数为奇数的情况。
具体步骤如下：（1）将方程转化为标准形式，确保方程左边等于零；（2）对方程的平方项系数进行修正，使其变为偶数；（3）引入一个新的未知数，利用完全平方公式将方程转化为新未知数的平方；（4）令新未知数的平方等于一个已知数，解出新未知数；（5）代入原方程验证，并求解得到方程的根。
例如，解方程 3x^2 + 10x + 7 = 0：（1）转化为标准形式：3x^2 + 10x + 7 = 0；（2）对平方项系数进行修正，将方程变为 3(x^2 + (10/3)x + 7/3) = 0；（3）引入新的未知数，令 x + t = 0，其中 t = 10/6；（4）利用完全平方公式 (x + t)^2 = x^2 + 2xt + t^2，将方程转化为：3(x + t)^2 - 10(x + t) - 7 = 0；（5）令方程右侧的数值等于一个已知数，解得 x + t = 7/3 或 x + t= -1；（6）代入原方程验证，并解得 x = 1/3 或 x = -11/3。
高次方程的求解方法
高次方程的求解方法在数学中，高次方程是指其最高次数大于等于2的多项式方程。
对于高次方程的求解是数学中的重要课题之一。
本文将介绍几种常见的高次方程求解方法。
一、一元高次方程的求解方法一元高次方程是指只含有一个未知数的高次方程。
下面将介绍二次方程和三次方程的求解方法。
1. 二次方程的求解方法二次方程是指最高次数为2的一元方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
求解二次方程的一种常见方法是使用求根公式。
根据二次方程的解法，可以得到求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。
当求根公式中的判别式(b^2-4ac)大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
2. 三次方程的求解方法三次方程是指最高次数为3的一元方程。
一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
求解三次方程的一种常见方法是使用牛顿迭代法。
该方法通过不断逼近，寻找多项式的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))，其中x(n+1)为下一个近似解，x(n)为当前的近似解，f(x(n))为方程的多项式函数值，f'(x(n))为多项式函数的导数值。
二、多元高次方程的求解方法多元高次方程是指含有多个未知数的高次方程。
下面将介绍二元高次方程和三元高次方程的求解方法。
1. 二元高次方程的求解方法二元高次方程是指含有两个未知数的高次方程。
一般形式为：f(x, y) = 0。
求解二元高次方程可以采用消元法或者代入法。
消元法是通过将一个未知数用另一个未知数表示，从而减少方程的未知数个数。
代入法是将一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而求解方程的解。
2. 三元高次方程的求解方法三元高次方程是指含有三个未知数的高次方程。
高次方程及解法
高次方程及解法✍✍✍✍✍✍✍✍✍江苏省通州高级中学✍徐嘉伟一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双1-6=-5）÷原高次方程:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2=-1;当(x-2)=0时，有x3=2;当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出因式P x-Q,Q（Ｐ、Q是互质整数），那么，即方程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根PＰ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。
“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。
对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。
依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。
432 62+x+1x －解：将原方程化为３（x 3-32x 2＋３x-２）＝０此时，“常数项”为-2，它的约数为±1，2±，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，或P Q =-32f (32)=3⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛3232332323223⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22278278=3⨯0=0 所以原方程中有因式（3X -2）。
卡西欧计算器解高次方程
卡西欧计算器解高次方程作为一种经典的科学计算工具，卡西欧计算器在解高次方程方面有着独特的优势。
无论是一元高次方程还是多元高次方程，卡西欧计算器都能提供简便、准确的解题方法，为数学学习者提供了很大的便利。
本文将以“卡西欧计算器解高次方程”为中心，介绍卡西欧计算器在解高次方程中的功能和应用。
一、卡西欧计算器解一元高次方程在解一元高次方程时，卡西欧计算器可以使用求根功能来快速计算方程的解。
具体步骤如下：1.输入方程首先，在卡西欧计算器上输入方程，确保使用正确的语法。
例如，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以输入“solve(ax²+bx+c,x)”来表示求解方程。
2.求解方程根据输入的方程，卡西欧计算器会自动计算出方程的根。
如果方程有实根或复根，计算器会给出根的精确值或近似值。
在一元方程的解中，卡西欧计算器提供了多种表示方式，如小数形式、分数形式或根号形式，方便学习者根据需要选择合适的表达方式。
3.检验解为了验证计算结果的准确性，卡西欧计算器还可以提供方程的图像以及方程的解集。
通过观察图像和解集，学习者可以更直观地理解方程的性质和解的特点，有助于加深对高次方程的理解。
二、卡西欧计算器解多元高次方程对于多元高次方程，卡西欧计算器也提供了强大的求解功能，可以帮助学习者更轻松地解决复杂的数学问题。
具体步骤如下：1.输入方程组首先，在卡西欧计算器上输入多元高次方程组，确保使用正确的语法。
例如，对于二元二次方程组{ax²+by²+cx+dy+e=0{fx²+gy²+hx+iy+j=0可以输入“solve({ax²+by²+cx+dy+e,fx²+gy²+hx+iy+j},{x,y})”来表示求解方程组。
2.求解方程组根据输入的方程组，卡西欧计算器会自动计算出方程组的解。
与一元方程类似，计算器会给出根的精确值或近似值，并提供多种表达方式。
一元高次方程求根公式
⎨ 1 2 一元高次方程求根公式A 、一元二次方程求解1. ax 2+ bx + c = 0, a ≠ 0,⇒ xB 、一元三次方程求解2. x 3+ ax 2+ bx + c = 0a其中 a ,b ,c 是任意复数③ 若令 x = y − ，则三次方程简化为 3 y 3+ py + q = 0④a 3ab2a 3其中 p = b − ， q = c − + ，3 3 27设 y 1 , y 2 , y 3 表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得 y 1 + y 2 + y 3 = 0 。
⎧u = −4 p 3 − 27q 2 ⎪⎧ = + 2 +若令 ⎪ ， ⎨z 1 y 1 v y 2 vy 3 。
⎪v = − ⎪z = y + vy + v 2 y ⎩ 2 ⎩ 2 1 2 3对于适当确定的立方根，卡当公式是 z 1 z 2⎧ y = 1 (z + z ) ⎪ 1 1 2 ⎧ y 1 + y 2 + y 3 = 0 ⎪3 求解线性方程组 ⎪ y + v 2 y + vy = z ，得到 ⎪ y1 −2 −1= (v z + v z ) ，⎨ 1 2 3 1⎨ 2 1 2⎪ y + vy + v 2 y = z ⎪ 3 ⎩ 1 2 3 2⎪ ⎪ y 3 ⎩= 1(v −1z + v −2 z ) 3于是，原三次方程的三个根为 y 1y = ω y = ω 2 3q 2 p 3 1 其中 ∆ =+ ，ω = − +（ i 。
4 27 2 C 、一元四次方程求解3. x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．设方程为x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．(4) 移项，得 x4＋b x3=-cx2-d x-e，右边为 x 的二次三项式，若判别式为0，则可配成x 的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为 y0，代入(5)，由于两边都是 x 的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于 x 的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．附：一元三次方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0的解法先把方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0化为x3 + px +q = 0的形式：2 3 2 2 3 23 2 2 2 令 x = y − b，则原式变成3aa ( y −b ) 3 + b ( y − b ) 2 +c ( y − b) + d = 03a 3a 3aa ( y 3− by b 2 y + − b ) + b ( y 2− 2by + b ) + c ( y − b ) + d = 0 a 3a 2 27a 3 3a 9a 2 3aay 3− by 2+ b y − b + by 2 − 2b y + b + cy − bc + d = 0 3a 27a 2 3a 9a 2 3aay 3+ (c − b ) y + (d + 2b 3 − bc ) = 0 3a 27a 2 3ay 3+ ( c − b ) y + ( d + 2b 3 − bc) = 0 a 3a 2 a 27a 33a 2如此一来二次项就不見了，化成 y 3 + py + q = 0 ，其中 p = c b 2− ，a 3a 2q = d + a 2b 3 27a 3 −bc 。
论一元高次方程的近似求解
论一元高次方程的近似求解作者：姜海馨姜玉秋来源：《文存阅刊》2017年第01期摘要：学习过一元一次方程和一元二次方程的基础知识，掌握了求解精确解的基本方法，研究一元高次方程的近似解问题成为现代高等数学的主要内容之一。
求解一元高次方程的近似解方法主要有二分法、牛顿切线法、牛顿割线法、林士谔—赵访熊法等方法。
面对不同的一元高次方程，选择恰当的方法将高次转为低次进行求解，是求一元高次方程解的重要思想。
关键词：一元高次方程；近似解；二分法；牛顿切线法中图分类号：G634.6如果一个整式方程只含有一个未知数，并且其最高次数大于2，那么，这样的方程称为一元高次方程，其一般形式为。
在根存在的前提下，将一元高次方程转化为次数较低的方程求解是解法思路，简单的一元高次方程可以运用韦达定理，因式分解法，倒数方程求根法[1]，卡丹公式法[2]等方法求解。
面对一元四次方程根式可解的突破，当时许多的数学家都相信任意的五次方程也可以由根式求解，但是所做的尝试都没有成功。
直到鲁非尼证明这种方法是行不通的。
19世纪，伽罗华避开了拉格朗日的预解式而巧妙地应用置换群，证明了一般的代数方程时不可能用根号求解，并在数学系数代数方程的基础上建立了根号求解的判别准则。
虽然伽罗华给出了能否根式求解的判别方法，但是并没有给出具体的求解方法。
通常情况下，精确解的求解方法比较困难，所以在生活和应用中只要求得近似解即可。
一、方程根的近似计算方程实根的近似计算在实际应用中具有重要的意义，计算机的广泛应用也使得方程实根的近似计算更加重要。
对于方程的根的近似计算，连续函数的零点存在定理具有基础的地位。
所谓的零点存在定理是指若在区间上连续，且，则在区间上至少存在一点，使得。
如果知道方程存在根，该怎样寻找和计算方程的根呢？一般地，求精确解比较困难，工程上只需要求解近似解便可。
常用的求解近似解的方法有二分法，牛顿切线法，牛顿割线法，林士谔—赵访熊法等。
（一）二分法对于区间上的连续函数，如果与异号，那么在上一定有根[3]。
数学方程解答技巧整理方法
数学方程解答技巧整理方法数学是一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，而方程解答则是数学中最基础也是最重要的一部分。
解方程的过程可以锻炼我们的思维能力和逻辑思维能力，培养我们的分析和解决问题的能力。
在这篇文章中，我将整理几种常见的数学方程解答技巧，希望能对广大学生有所帮助。
一、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式，通常可以表示为ax + b = 0。
解这类方程的基本思路是将未知数移项，使得方程变为x = c的形式。
具体的解题步骤如下：1. 将方程中的常数项移到等号右边，得到ax = -b；2. 将方程两边同时除以a，得到x = -b/a。
需要注意的是，如果方程中的系数a为0，则方程无解或有无穷多解。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数且a ≠ 0。
解这类方程的方法有多种，下面介绍两种常用的解法。
1. 因式分解法如果一元二次方程可以因式分解，那么解方程就变得相对简单。
假设方程为(x - m)(x - n) = 0，其中m、n为已知常数，那么方程的解为x = m或x = n。
2. 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
需要注意的是，根的个数和判别式Δ = b^2 - 4ac的正负有关。
如果Δ > 0，则有两个不相等的实根；如果Δ = 0，则有两个相等的实根；如果Δ < 0，则无实根，但有两个共轭复根。
三、一元高次方程一元高次方程是指次数大于2的方程，如三次方程、四次方程等。
解这类方程的方法有很多，下面介绍两种常用的解法。
1. 因式分解法如果一元高次方程可以因式分解，那么解方程就变得相对简单。
通过观察方程中的因式，将方程分解为若干个一元一次方程，然后分别解这些一元一次方程，最后得到方程的解。
2. 代换法对于一元高次方程，有时候可以通过代换的方法将其转化为一元一次方程。
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一元高次方程的求解
求解一元高次方程曾是数学史上的难题。
让你去求解一个一元一次，二次方程方程也许是简单的，但三次，四次或者更高次的方程呢？为了解决这一问题，数学家们奋斗了几个世纪。
让我们一起来看一下数学努力的成果。
n 次方程的一般表达式是
101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠
而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。
当系数01,,a a 1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。
如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。
1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。
根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。
这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。
”
代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。
要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程
1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++=①
的求解公式，如二次方程20(0)ax bx c a ++=≠②的求根公式那样。
众所周知，方程②的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式。
一个n 次方程①的求根公式是指，①的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解。
三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是说，是否有求根公式？经过漫长的研究之路，直到16世纪，意大利数学家卡当及其助手才先后给出了三次和四次方程的根式解。
由四次方程根式可解的突破，使当时许多著名的数学家几乎都相信任意的五次方程也一定可以根式求解，并以极大的热情和自信寻找五次或更高次数方程的求根公式。
从16世纪中叶到19世纪初，为了获得五次方程解的类似结果，最杰出的数学家，如欧拉、拉格朗日，都曾做过一些尝度，但都没有成功。
1771年，拉格朗日，才开始怀疑这种求根公式的存在性。
他通过分析发现，次数低于5
的代数方程求根，都可以经过变量替换，先解一个次数较低的预解式，再代入求原方程的解。
到了五次方程，情况完全变了，预解式的次数不是降低了，而是升高了。
1801年，高斯也意识到这个问题也许是不能解决的。
直到1813年，拉格朗日的学生鲁非尼终于证明了，通过找预解式的办法来求解五次方程是行不通的。
鲁非尼的结果只是说用拉格朗日的办法解五次方程是不可能的，并不能说不存在其他的解决办法。
1826年阿贝尔发表了《五次方程代数解法不可能存在》一文，第一个正式从否定的角度来谈求根公式的存在。
他证明了“具有未定系数的、高于4次的方程是不能用根式求解的”。
不过他的思想当时是有很多人（包括高斯在内）表示不理解，而且他的证明也还不很清楚，有一些漏洞。
他也没有给出一个准则来判定一个给定的高次代数方程是否可以根式求解。
阿贝尔的结论具有广泛性，但并不排除对一些特殊的5次和5次以上方程具有根式解，例如，50
x a
-=就有根式解。
于是更深刻的问题被提出了：一个方程有根式解的充要条件是什么？这个在代数方程中至关重要的问题被法国青年数学家伽罗华彻底解决（但伽罗华理论在他死后约15年，1846年才发表）。
伽罗华的天才思想促使了今天我们称之为抽象代数这门学科的蓬勃发展。
要了解伽罗华的理论，需要群、环和域等抽象代数的理论知识。
伽罗华的思想就是把方程()0
f x=的求解问题转化为确定对应的伽罗华群是否为所谓的可解群的
问题。
当对应的伽罗华群是可解群，则方程就是可以根式求解的，否则就不可以根式求解。
可解群是群的理论中一个重要内容，也有许多方法来确定一个群是否为可解群。
曾经有一个著名的猜测，叫做伯恩赛猜测，它说有奇数个元素的有限群是可
解群。
这个问题在1963年已被数学家费特与汤卜松解决，证明很长，太平洋数学杂志用了整整一期来发表他们的研究结果，不可解群也有很多，例如5
n≥时，n个文字的对称群就是不可解群。
对5
n≥，我们完全可以构造一个n次多项式，使得它所对应的伽罗华群不是可解群。
因此对每个5
n≥，都存在一个不是根式可解的n次多项式。
这样就彻底解决了一般五次以上方程的根式不可解性。
4
n≤，根式可解，5
n≥一般就不可解了，真是“一步之遥，天壤之别”。