高考真题--三角函数及解三角形真题(加答案解析)

BC BE ，即 2 BE ，解得
sin E sin C
sin 30o sin 75o
BE = 6+ 2 ，平移 AD ，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此
时与 AB 交于 F，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，
9
∠FCB=30°，由正弦定理知， BF BC ，即 BF 2 ，解得
sin FCB sin BFC
sin 30o sin 75o
BF= 6 2 ，所以 AB 的取值范围为（ 6 2 ， 6+ 2 ）.
考点：正余弦定理；数形结合思想
二、分割两个三角形的解三角形问题
6.（2016 年 3 卷 8）在 △ABC 中， B π ， BC 边上的高等于 1 BC ,则 cos A
2AB AC
2 2AD 5AD
10
定理．
7.（2017 年 3 卷 17）△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 sinA 3cosA 0， a 2 7 ， b 2 ． （1）求 c ； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求△ABD的面积．
解析 （1）由 sin A
（A） 3 2
（B） 3 （C） 1 （D） 1
2
2
2
【解析】原式= sin 20o cos10o cos 20o sin10o = sin 30o = 1 ，故选 D. 2
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
2.（2016 年 3 卷）（5）若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 （ ） 4
得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,
2cosC·sin(A+B)=sinC.因为 A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),所以
sin(A+B)=sinC>0,
所以 2cosC=1,cosC= 1 .因为 C∈(0,π),所以 C=π.
2
3
(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cosC,7=a2+b2-2ab· 1 ,(a+b)2-3ab=7,
3 2
1
，
x
0,
2
，则
cos
x
0,1
，当
cos
x
3 时，取得最大值 2
1.
6．（2015 年 1 卷 8）函数 f (x) = cos(x ) 的部分图像如图所示，则 f (x) 的单
调递减区间为（ ）
（A） (k 1 , k 3), k Z
4
4
（B） (2k 1 , 2k 3), k Z
的最大值
为
（A）11
（B）9 （C）7
（D）5
考点：三角函数的性质
三、三角函数图像变换（3 题）
9.（2016 年 2 卷 7）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 π 个单位长度，则平
12
移后图象的对称轴为
（A） x kπ π k Z
26
（C） x kπ π k Z
2 12
（B） x kπ π k Z
考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．
11.（2017 年 1 卷 9）已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π )，则下面结 3
论正确的是 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移 π 个单位长度，得到曲线 C2 6 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移 π 个单位长度，得到曲线 C2 12 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 2 向右平移 π 个单位长度，得到曲线 C2 6 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 2 向左平移 π 个单位长度，得到曲线 C2 12
6
【解析】：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。 先变周期：
y
cos
x
sin
x
2
y
sin
2x
2
y
sin
2x
2 3
sin
2
x
12
2
先变相位：
y
cos
x
sin
x
2
y
sin
x
2
6
sin
x
2 3
y
sin
2x
2 3
选 D。【考点】：三角函数的变换。
A． f (x) 的一个周期为 2π
B ． y f (x) 的 图 像 关
于直线 x 8π 对称 3
C． f (x ) 的一个零点为 x π 6
D． f (x) 在 ( π , π) 单调递减 2
【解析】函数
f
x
cos
x
π 3
的图象可由
y
cos x
向左平移
π 3
个单位得到，
2
如图可知，
2
S= 1 ab·sinC= 3 ab= 3 3 ,所以 ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,
2
4
2
所以△ABC 的周长为 a+b+c=5+ 7 .
4. （2017 年 1 卷 17）△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已 知△ABC 的面积为 a2 .
(A) 64 25
(B) 48 25
(C) 1
(D) 16 25
【解析】由 tan 3 ，得 sin 3 , cos 4 或 sin 3 , cos 4 ，所以
4
5
5
5
5
cos2 2sin 2 16 4 12 64 ，故选 A． 25 25 25
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．
4
4
4
2k 3 ， k Z ，故单调减区间为（ 2k 1 ， 2k 3 ）， k Z ，故选 D. 考点：
4
4
4
三角函数图像与性质
7. （2015 年 2 卷 10）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点， 点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP=x．将动点 P 到 A、B 两点距离之和表 示为 x 的函数 f（x），则 f（x）的图像大致为
解三角形（8 题，3 小 5 大）
一、解三角形（知一求一、知二求最值、知三可解）
1.（2016 年 2 卷 13）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
cos A 4 ， cosC 5 ， a 1，则 b
．
5
13
【解析】∵ cos A 4 ， cosC 5 ， sin A 3 ， sin C 12 ，
2 (1)求 cos B ;
(2)若 a c 6， △ABC 的面积为 2，求 b.
解析 （1）依题得 sin B 8sin2 B 8 1 cos B 4(1 cos B) ．
2
2
因为 sin2 B cos2 B 1 ，所以16(1 cos B)2 cos2 B 1 ，所以
(17cos B 15)(cos B 1) 0 ，得 cos B 1（舍去）或 cos B 15 .
4
的运动过程可以看出，轨迹关于直线 x
对称，且
f
(
)
f
(
)
，且轨迹非线
2
4
2
型，故选 B．
8.（2016 年 1 卷 12）已知函数 f (x) sin(x +)( 0， ), x 为 f (x)
2
4
的零点, x
4
为
y
f
(x) 图像的对称轴,且
f
(
x)
在
，5 18 36
单调,则
5
13
5
13
sin B sin A C sin AcosC cos Asin C 63 ，由正弦定理得： b a 解得
65
sin B sin A
b 21 ．
13
2. （2017 年 2 卷 17）△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知
sin A C 8sin2 B ．
17
7
（2）由⑴可知 sin B
8 17
，因为
S△ABC
2 ，所以
1 ac sin B 2
2 ，即
1 ac 8 2 17
2
，得
ac 17 .因为 cos B 15 ，所以 a2 c2 b2 15 ，即 a2 c2 b2 15 ，从而
2
17
2ac
17
(a c)2 2ac b2 15 ，
26
（D） x kπ π k Z
2 12
5
【解析】平移后图像表达式为
y
2
sin
2
x
π 12
，令
2
x
π 12
kπ
+
π 2
，得对称轴
方程： x kπ π k Z ，故选 B．
26
10.（2016 年 3 卷 14）函数 y sin x 3 cos x 的图像可由函数
y sin x 3 cos x 的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
2
2
sin Bsin C 2 . 3
（2）由（1）得 sin Bsin C 2 ，又 cos B cosC 1 ，因为 A B C π ，
3