2020届天津市南开中学2017级高三上学期12月月考数学试卷及解析
2020届天津市南开区南开中学2017级高三下学期第五次月考数学试卷及解析
2020届天津市南开中学2017级高三下学期第五次月考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.设集合{}11A x x =-<,{}1B x x =<,则() R B A 等于（ ） A. {}1x x ≥ B. {}01x x << C. {}12x x ≤< D. {}12x x <≤【答案】C【解析】解出集合A ,B ,然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}02A x x =<<,{}1B x x =<；{|1}R B x x ∴=≥； (){} 12R B A x x ∴⋂=≤<．故选：C ．2.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 先由两直线垂直求出m 的值,再由充分条件与必要条件的概念,即可得出结果.【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直,则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ,即(2)(42)0+-=m m ,解得2m =-或12m =； 因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”,反之不能推出,所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件.故选B3.已知直线l m 、,平面αβ、,且,l m αβ⊥⊂,给出下列四个命题：（1）若//αβ,则l m ⊥ （2）若l m ⊥,则//αβ（3）若αβ⊥,则//l m （4）若//l m ,则αβ⊥其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理,对四个命题逐一分析,由此得出正确选项.【详解】对于命题（1）,由于,//l ααβ⊥,所以l β⊥,进而l m ⊥,故（1）正确.对于命题（2）,如图所示,,l m αβ⊥⊂,l m ⊥,但α与β相交,故（2）错误。
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(理)试题(解析版)
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =--，集合{}2|4B x Z x x =∈≤，则R A B ⋂=ð（ ）A. {}|03x x ≤≤B. {}0,1,2,3C. {}10,1,2,3-，D. {}1,2 【答案】B【解析】因为{}()()()2230={|(310},13,A x x x x x x =---+>=-∞-⋃+∞，{}(){}2|4{Z |40}0,1,2,3,4B x Z x x x x x =∈≤=∈-≤=，所以()1,3R A =-ð，{}0,1,2,3R A B ⋂=ð；故选B.点睛：在利用描述法表示集合时，要注意代表元素的限制条件，以免导致错误，如本题中{}(){}2Z|4{Z |40}0,1,2,3,4B x x x x x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的整数解， {}()[]2R|4{|40}0,4B x x x x R x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的实数解.2．设变量,x y 满足约束条件20{2360,3290x y x y x y -+≥+-≥+-≤则目标函数2z x y =-的最大值是（ ）A. -2B. 2C. -6D. 6 【答案】D【解析】将2z x y =-化为2y x z =-，作出可行域和目标函数基准直线2y x =，当直线2y x z =-向左上方平移时，直线2y x z =-在y 轴上的截距z -增大，即z 减小，由图象，得当直线2y x z =-过点()3,0A 时， z 取得最大值236⨯=；故选D.3．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】试题分析：输入1=a ，则0=k ，1=b ； 进入循环体，21-=a ，否，1=k ，2-=a ，否，2=k ，1=a ，此时1==b a ，输出k ，则2=k ，选B. 【考点】算法与程序框图4．在6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中， 3x 项的系数为（ ）A. 540B. -540C. 20D. -20【答案】B 【解析】6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()()6216123166313kk kkkk k k T C xx C x----+=⋅-=-⋅，令1233k -=，得3k =，则3x 项的系数为()333613540C -⋅=-；故选B.5．已知,m n 是两条互相垂直．．．．的直线， α是平面，则//n α是m α⊥的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】D【解析】若,//m n n α⊥，则,m α可能垂直、平行、在面内或相交，即n // α不是m⊥ α的充分条件，若,m n m α⊥⊥，则,n α可能平行、线在面内，即n // α不是m ⊥ α的必要条件，即n // α是m ⊥ α的既不充分也不必要条件；故选D.6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，， ,A B 为双曲线的左右顶点，若点M 在双曲线上，且满足ABM ∆为一个顶角为120︒的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. =y x ±B. =yC. =2y x ±D. =y x ± 【答案】A【解析】由题意，设()()(),0,,0,,A a B a M x y -，则0tan 30{tan 60AM BM y k x ay k x a==+==-，则2221y x a=-，即双曲线的方程为222x y a -=，其渐近线方程为y x =±；故选A.7．设实数,,a b c 分别满足2322,log 1a a b b +==， 5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >> 【答案】C【解析】令()322f x x x =+-，则()322f x x x =+-在R 上单调递增，且()()012110f f ⋅=-⨯=-<，即()0,1a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题.8．若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. ()0,+∞ C. ()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】显然，当1x =时，()3112x k x x -=-+成立，若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则()3112x k x x -=-+有且只有一个不为1的根，当1x >时， ()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x -=-+，即()()2112x x k=-+，令()()()212h x x x =-+，则()()()3110h x x x =+->'在()1,+∞成立，即10k->，解得0k >；当1x <时，()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x --=-+，即()()2112x x k-=-+，令()()()212h x x x =-+，令()()()3110h x x x =+->'，则1x <-或1x >，则()()()212h x x x =-+在(),1-∞-单调递增，在()1,1-上单调递减，则()114h k-<-=， 解得14k <-，即实数k 的取值范围是()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；故选C. 点睛：处理两函数图象的交点个数问题，往往将函数的零点、方程的解联系在一起进行处理，如本题中将问题转化为()3112x k x x -=-+的根的个数问题.二、填空题9．设i 为序数单位，则()211ii i+--=-__________． 【答案】1522i -+ 【解析】()()()()(2i)1i 2i 13151i 1i i 1i=i 1i (1i)1i 2222+++--=--=+-+-+--+. 10．已知抛物线的参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若EF MF =，点M 横坐标为6，则p =__________．【答案】4【解析】参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数）的抛物线的标准方程为22y px =（如图所示），设(M ，因为EF MF =62p=+，截得4p =.点睛：在处理涉及抛物线的焦点弦或焦半径的大小时，往往利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.【答案】1π【解析】由三视图，可知该几何体是由两个共底面的正四棱锥组合而成的正八面体，其底面边长为1，四棱锥的高为2，则该几何体的体积为121323V =⨯⨯=，而该几何体的外接球的球心为底面的中心，半径为2，体积为324π3V =⨯=⎝⎭则这个几何体的体积与其外接球体积之比为121:πV V =.12．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a =__________． 【答案】3【解析】设等差数列的公差为()0d d ≠，则112141,2,46S a S a d S a d==+=+，因为124,,S S S 成等比数列，所以()()2111246a d a a d +=+，即()120d d a -=，解得12d a =，则211111123a a d a a a a a ++===. 13．函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线与函数()2g x x =围成的图形的面积等于__________． 【答案】43【解析】因为()321f x x x x =-++，所以()2321f x x x '=-+， ()12f '=，则函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线为()221y x -=-，即2y x =，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为()2223200142d |33S x x x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.14．已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=，则co s C =__________．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=，所以456OA OB OC +=-，则222162540c o s 36R R R A O B R ++∠=，即8c o s A O B ∠=-，即()282cos 11C -=-，解得cos C =.三、解答题15．已知函数()()2f x xcosx cos x m m R =-+∈的图象过点,0.12M π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,.a b c 若cos cos 2cos ,c B b C a B +=求()f A 的取值范围.【答案】（Ⅰ）12m =; （Ⅱ）1,1]2-（. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，代点求m 值；（Ⅱ）利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，进而求出π3B =，再利用角A 的范围和三角函数的性质进行求解.试题解析：（Ⅰ）由()()111cos2sin 2262f x x x m x m π⎛⎫=-++=-+- ⎪⎝⎭ 因为点,012M π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以11sin 20,12622m m ππ⎛⎫⋅-+-== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）因为cos cos 2cos ,c B b C a B += 所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B +=所以()sin 2sin cos ,B C A B +=即sin 2sin cos A A B = 又因为()0,,A π∈所以sin 0A ≠ ,所以1cos 2B = 又因为()0,,B π∈所以2,33B A C ππ=+=所以270,23666A A ππππ<<-<-<；令2623A A πππ-==，得()0,,3f A π⎛⎤∴↑ ⎥⎝⎦， ()2,,33f A ππ⎛⎫↓ ⎪⎝⎭， ()1210,1,2332f f f ππ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1sin 2,162A f A π⎛⎫⎛⎤-∈-∴ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的取值范围是1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦. 16．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级. 【答案】（Ⅰ）13; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）一年中平均有120天的空气质量达到一级. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用频率来估计概率即可；（Ⅱ）利用超几何分布的概率公式进行求解，再列表得到分布列；（Ⅲ）利用二项分布的特点和期望公式进行判定. 试题解析：（Ⅰ）设B =这天空气质量为1级， ()51153P B == （Ⅱ）1553N M n ===，，， ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：()()35103150,1,2,3.k kC C P k k C ξ-===（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为,η则1360,3B η⎛⎫- ⎪⎝⎭， 13601203E η∴=⨯=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级.17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 11,1,2AC BC AC BC AA D ⊥===是棱1AA 上的点， 1.DC BD ⊥（Ⅰ）求证： D 为1AA 中点；（Ⅱ）求直线1BC 与平面BDC 所成角正弦值大小；（Ⅲ）在ABC ∆边界及内部是否存在点M 使得1B M ⊥面,BDC 存在，说明M 位置，不存在，说明理由【答案】（Ⅰ）见解析; （2；（3）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用共线向量进行判定；（Ⅱ）求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用夹角公式进行求解；（Ⅲ）先根据题意设出点的坐标，再利用该直线的方向向量和平面的法向量平行进行求解.试题解析：（1）根据题意以1,,AC BC CC 所在直线为,,x y z 轴()()()()11,0,,0,0,2,0,1,0,0,1,2D h C B B ∴ ()()11,0,2,1,1,DC h BD h ∴=--=-()1201h h h ∴-+-=⇒= D ∴为1AA 中点. （2）()10,1,2BC =-设面BDC 法向量()1111,,n x y z =1111100{{00n CB x z y n CD ⋅=+=∴⇒=⋅=，设()1111,0,1x n =⇒=-11cos ,BC n ∴==（3）设(),,0,01,01,1M x y x y x y ≤≤≤≤+≤()()111,1,21,0,1B M x y B M BDC B M λ∴=--⊥∴=-2{10{112x x y x y λλ==⇒-=⇒⇒>=-=-M ∴不存在18．设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点(),P a b 满足212PF F F =．(Ⅰ) 求椭圆的离心率e ；(Ⅱ) 设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，若直线2PF 与圆()(22116x y ++=相交于M ，N 两点，且58MN AB =，求椭圆的方程．【答案】(Ⅰ) 12e =(Ⅱ) 2211612x y +=【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用|PF 2|=|F 1F 2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）先把直线PF 2与椭圆方程联立求出A ，B 两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程试题解析：(Ⅰ)设()1,0F c -，()2,0F c ． 因为212PF F F =2c =，222240a ac a c -+-=，由c e a =，有24220e e +-=，即2210e e +-=，1e =-（舍去）或12e =． 所以椭圆的离心率为12e =．(Ⅱ) 解．因为12e =，所以2a c =，b =．所以椭圆方程为2223412x y c +=．直线2PF 的斜率bk a c==-，则直线2PF 的方程为)y x c =-． ,A B 两点的坐标满足方程组)2223412,.x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理得2580x cx -=．则10x =，285x c =． 于是110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 228,5.x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,B ．所以165AB c ==．于是528MN AB c ==．圆心()1,3-到直线2PF的距离d ==，因为22242MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()2232164c c ++=，即2712520c c +-=， 解得2607c =-<（舍去），或2c =．于是24a c==，b ==． 所以椭圆的方程为2211612x y +=． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质19．记{}1,2,100U = ，对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集,T 若T =∅，定义0T S =，若{}12,,,,k T t t t = 定义12k T t t t S a a a =++ 例如： {}1,3.66T =时，1366.r S a a a =++现设{}()•n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时,30T S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,,,T k ⊆ 求证： 1T k S a +<； （Ⅲ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,T k = ，记数列1T S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为H ，求证： 32H <【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈; （2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先由数列为等比数列和当{}2,4T =时, 30T S =求出1a ，再进一步求出数列的通项公式；（Ⅱ）利用等比数列的通项公式和前n 项和公式以及放缩法进行证明；（Ⅲ）利用裂项抵消法和放缩法进行证明. 试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈， 于是当{}2,4T =时， 2411132730.T S a a a a a =+=+=又30,T S =故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{}1*1,2,,,30,n n T k a n N -⊆=>∈ ，所以()11211333132k kk T k S a a a -≤+++=+++=-< . 因此， 1T k S a +＜. （3）1312kT k S a a -=++=()()()1123112313131k k k k T S ++-⇒==--- ()()1112311331313131k k k k k +++⋅⎛⎫<=- ⎪----⎝⎭1111111332882631312k k H +⎛⎫∴-+-++-< ⎪--⎝⎭ ＜法二： ()()111112123312310313331331k k k kk k k k k -----⋅-+-⋅+-==<---11311212313k T k k k T S a a S --=++=⇒=<- 111331213k H ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭∴<<-点睛：对于新定义型数列问题，首先要理解所给新定义和所学知识的联系，能准确利用所学知识解释新定义，是解决此类问题的关键. 20．已知函数32(),()ln f x x x b g x a x =-++=. （1）若()f x 在1[,1)2x ∈-上的最大值为38，求实数b 的值；（2）若对任意[1,]x e ∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（1）的条件下，设(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由。
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(文)试题(解析版)
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（文）试题一、选择题1．复数z 满足: ()()25z i i --=，则z =（ ） A. 22i -- B. 22i -+ C. 22i - D. 22i + 【答案】D【解析】试题分析：因为()()25z i i --=，所以【考点】复数的运算2．函数()log f x x x=-+21的零点所在区间是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,3 （D ）()3,4 【答案】B【解析】试题分析：不难知，当x ＞0时f （x ）为增函数，且f （1）＝－1＜0，f （2）＝－12＋1＝12＞0所以零点一定在（1，2）内.选B 【考点】函数的零点3．若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >> 【答案】A【解析】因为00.31,1e <，所以0.3l o g 0c e =<，由于.30.3031,130l o g 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A 。
4．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A.23 B. 1 C. 12 D. 34【答案】B【解析】因为22243a b c +=，所以圆心()0,0O 到直线0ax by c ++=的距离d ==1212l =⨯=，应选答案B 。
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：左视图是从左往右看，将几何体上的点往右面做投影，看到的是一个长方形，连从右上角到左下角的对角线 【考点】本题考查三视图点评：考察学生的空间想象能力，此题比较简单，能直接想象出来6．如图， 12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点， ,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A.B. C.32 D. 2【答案】D【解析】因为2,1a b c ==⇒=22212||412AF AF c +==，由椭圆定义可得1224AF AF a +==，所以12216124AF AF ⋅=-=，又因为12AF AF -==a '=，所以双曲线的离心率c e a ===D 。
2020届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题Word版含解析
2020届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题一、单选题1．设U ∈R ，{}2,1,0,1,2A =--，{}1B x x =≥，则U A B =I ð（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,0--D ．{}2101--,,, 【答案】C【解析】先根据补集的定义求出U B ð，再由交集的定义可得结果. 【详解】因为{}1U R B x x ∈=≥，，{}|1U B x x ∴=<ð， 又因为{}2,1,0,1,2A =--，(){}2,1,0U A B ∴=--I ð，故选C ． 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且不属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2．若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个开放区域，如图其中(4,4),(2,2)B C ，所以直线2z x y =+过点C 时取最小值6，选B.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3．设0.10.3a =，131log 5b =，4log 25c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】D【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果 . 【详解】因为0.100.3100.3a <==<，113333111log log log 592,og 53l b =<==<= 244log 25log 42c =>=，c b a ∴>>，故选D. 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看三个区间()()()0,1,1,2,2,+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4．下列选项中说法正确的是（ ）A ．若非零向量a r ，b r 满足0a b ⋅>r r ，则a r 与b r的夹角为锐角B ．“0x ∃∈R ，2000x x -≤”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≥”C ．直线1:210l ax y ++=，2:220l x ay ++=，12l l //的充要条件是12a =D ．在ABC ∆中，“若sin sin A B >，则A B >”的逆否命题是真命题 【答案】D【解析】利用a v ，b v同向的情况判断A ；利用特称命题的定义判断B ；利用12//l l 等价于12a =±判断C ；利用正弦定理边角互化以及原命题与其逆否命题的等价性判断D . 【详解】对于A ，a v ，b v 同向时， a v 与b v 的夹角为0，不是锐角，故不正确； 对于B ， “0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定应该是“x R ∀∈，20x x ->”，故不正确；对于C ， 12//l l 等价于241a =，即12a =±，得12//l l 的充要条件是12a =± ，故不正确； 对于D ，Q sin sin A B >，∴由正弦定理可得ab >，由于大边对大角，A B ∴>，即原命题正确，∴逆否命题是真命题 ，故正确，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角、特称命题的否定、两直线平行的充要条件以及正弦定理边角互化的应用，属于中档题.做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 5．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D.【考点】1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和. 【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若FOM ∆5O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22415y x -= B ．222125x y -= C ．22145x y -=D ．2211620x y -=【答案】C【解析】运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F 到渐近线的距离为b ，由勾股定理可得OM a =，运用三角形的面积公式，结合,,a b c 的关系，解得,a b ，即可求出双曲线方程． 【详解】由题意可得 32c e a ==①， 可得2251b c a a =-= ，设 (),0F c ， 渐近线为by x a=， 可得 F 到渐近线的距离为22MF b a b==+ ，由勾股定理可得 2222||||OM OF MF c b a =-=-= ，因为FOM ∆的面积为5，所以152ab = ② ，又 222+=a b c ③，由①②③ 解得5,2,3b a c === ，所以双曲线的方程为22145x y -= ,故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7．已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】作出的函数图象如图所示：令得或或设直线与在上从左到右的第4个交点为，第5个交点为，、则∵方程在（上有且只有四个实数根， 即解得.故选B ．8．已知定义在R 上的函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=,若方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．1111,,3443⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】C【解析】由()()2f x f x +=可得函数周期为2，结合函数在[]1,1-上的解析式，利用周期作出()f x 的函数图象,根据()y f x =和2y kx =+图象交点个数判断k 的范围. 【详解】方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根， 等价于()y f x =和2y kx =+图象有三个不同交点，因为()()2f x f x +=,所以()f x 的周期为2，由函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，利用周期性作出()f x 的函数图象，如图所示: 不妨设0,k >当直线2y kx =+过()()3,1,1,1--时，k 的值分别为13与1，由图可知，113k <<时直线2y kx =+与()f x 的图象有三个交点，113k ∴<<时, 方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根, 同理,若k 0<,可得113k -<<-时，方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根,所以实数k 的取值范围是111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.二、填空题 9．已知复数z 满足1i 1zz-=-+，则z =________. 【答案】1【解析】化简原式，利用复数的乘法运算法则求得z i =，利用复数模的计算公式即可得结果. 【详解】Q 复数z 满足11zi z-=-+， (1)1i z i ∴-=+，(1)(1)(1)(1)i i z i i ∴+-=++，即22z i =，z i ∴=， 则1z =，故答案为1. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．在()621x -的展开式中，含3x 项的系数是________（请用数字作答）. 【答案】160-【解析】先求出二项式()621x -的展开式的通项公式，令x 的指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数. 【详解】6(21)x -的展开式的通项公式为666166(2)(1)2(1)r r r r r r r r C x C T x ---+⨯=-=⨯-，令633r r -=⇒=，所以含3x 的项是3336(2)(1)C x ⨯-336542(1)321x ⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯3160x =-，∴含3x 项的系数是160-，故答案为160-.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11．已知直线()600,0ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为则ab 的最大值为________. 【答案】92【解析】再由弦长为,可得到a 与b 满足的关系式,再利用基本不等式即可得到结论. 【详解】圆22240x y x y +--=可化为22(1)(2)5x y -+-=,则圆心为()1,2,半径为r =又因为直线()+6=00,0ax by a b ->>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为2r =,所以直线()+6=00,0ax by a b ->>过圆心,即260a b +-=, 化为26,0,0a b a b +=>> ,62a b ∴=+≥当且仅当2a b =时取等号,9,2ab ab ∴≤∴的最大值为92,故答案为92.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.12．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________. 【答案】20π【解析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC V 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积。
2017年高三天津市南开中学数学(理)试卷
天津市南开中学2018届高三第一次月考数学试卷（理科） 1-5 7.8 15-19一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知全集}5,4,3,2,1,0{=U ，集合}5,3,2,1{=A ，}4,2{=B 则B A C U ⋃)(为（ ）.A.}4,2,1{B.}4{C.}4,2,0{D.}4,32,0{，2. 设R x ∈，则”“12<-x 是”“022>-+x x 的（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3. 设π2log =a ，π21log =b ，2-=πc ，则（ ）.A.c a b >>B.c b a >>C.b c a >>D.a b c >> 4. 在下列区间中34)(-+=x e x f x 的零点所在区间为（ ）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛410， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， D.⎪⎭⎫⎝⎛4321， 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是（ ）.A.奇函数，且在()10，上是增函数 B.奇函数，且在()10，上是减函数 C.偶函数，且在()10，上是增函数 D.偶函数，且在()10，上是减函数 6. 已知函数x x x f 2ln )(+=，若2)4(2<-x f ,则实数x 的取值范围是（ ）.A.)2,2(-B.)5,2(C.)2,5(--D.)2,5(--)52(，⋃ 7. 若)53(log 231+-=ax x y 在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）.A.)6,(--∞B.)0,6(-C.]6,8(--D.[]6,8--8.已知)(x f 为偶函数，当0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ，若函数))((x f f 恰有4个零点，则m 的取值范围是（ ）.A.)3,1(B.)1,0(C.],1(+∞D.[]∞+，3二、填空题（每小题5分，共30分）9. 已知复数i z -=1，则=-22z z .10. 不等式2)1(52≥-+x x 的解集是 . 11. 已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 . 12. 函数2x y =与函数x y 2=的图象所谓封闭图形的面积是 . 13. 函数3()12f x x x =-在区间[]3,3-的最小值是 .14. 若函数a x a x x x f --+=)2(2)(2在区间[)1,3-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共80分）15. 在锐角△ABC 中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对应的边，且A c a sin 23= （1）确定角C 的大小； （2）若7=c ，且△ABC 的面积为233，求b a +的值.16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为525354，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件A 发生的概率. （2）设X 为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件X 发生的概率.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ,1=AB ,31==AA AC ,︒=∠60ABC . （1）证明C A AB 1⊥;（2）求异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值; （3）求二面角B C A A --1的平面角的余弦值.19. 已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点. （1）求a ；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b 的取值范围.20. 设函数.21ln )(2bx ax x x f --= （1）当2,3==b a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）令),30(21)()(2≤<+++=x xabx ax x f x F 其图象上任意一点),(00y x P 处切线的斜率81≤k 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0==b a 时，令,)(,1)()(mx x G xx f x H =-=若)(x H 与)(x G 的图象有两个交点),(11y x A ,),(22y x B ,求证：.2221e x x >AC1C 1A 1B B参考答案1-4 CACC 5-8 ADCB 9.i +1 10.]3,1()1,21[ - 11.2 12.3413.16- 14.)2,6(-15.解：（1）根据正弦定理，2sin c A =2sin sin A C A =，于是sin 2C =，由于是锐角三角形，故3C p =（2）()22222cos 3c a b ab C a bab =+-=+-，()262sin 737373725sin sin s ab C a b ab C C +=+=+=+==，故5a b +=。
2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案
2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（ ）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（ ）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（ ）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（ ）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（ ）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2； （3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。
2020届天津市南开中学2017级高三上学期统一模拟考试数学试卷(五)及解析
2020届天津市南开中学2017级高三上学期统一模拟考试数学试卷（五）★祝考试顺利★一、选择题1.设命题2:,2n P n N n ∃∈>,则P ⌝为（ ）A. 2,2n n N n ∀∈>B. 2,2n n N n ∃∈≤C. 2,2n n N n ∀∈≤D. 2,2n n N n ∃∈= 【答案】C【详解】特称命题的否定为全称命题,所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤,即本题的正确选项为C.2.设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则A. 2x <3y <5zB. 5z <2x <3yC. 3y <5z <2xD. 3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y z k k ===>,则2log x k =,3log =y k ,5log =z k ∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>,则23x y >, 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<,则25x z <,故选D. 点睛:对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的,,x y z ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ,y ,z ,且x y z <<,三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ,b ,c ,且a b c <<．在不同的方案中,最低的总费用（单位：元）是（ ）A. ax by cz ++B. az by cx ++C. ay bz cx ++D. ay bx cz ++【答案】B【解析】由x y z <<,a b c <<,所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->,故ax by cz az by cx ++>++；同理,()ay bz cx ay bx cz ++-++ ()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<,故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<,故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.4.已知函数32()1f x x ax bx =+++,函数(1)1y f x =+-为奇函数,则函数()f x 的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】试题分析：32(1)1(3)(32)1f x x a x a b x a b +-=++++++++Q 为奇函数,3a ∴=-,2b =,32()321f x x x x ∴=-++,2()362f x x x '∴=-+,则()0f x '=的两根为131x =-,231x =+,所以,()f x 的极小值为2()0f x >．又(0)10f =>Q ,(1)50f -=-<,∴存在0(1,0)x ∈-,使0()0f x =．综上,函数()f x 的零点个数为1,故应选B ．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先求出函数的解析表达式,运用题设中的(1)1y f x =+-是奇函数,求出函数解析式中的参数的值,进而运用导数求得函数的两个极值点,通过计算分析算得2()0f x >和,(1)50f -=-<,从而判定函数的零点在区间内．从而使得问题获解,本题具有一定的难度,难点在于如何判定函数的图象的走向,这里求导计算分析函数。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
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2020届南开中学2017级高三上学期12月月考
数学试卷
★祝考试顺利★
一、选择题(共9小题;共45分)
1.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则
A. 0a b ab +<<
B. 0ab a b <+<
C. 0a b ab +<<
D. 0ab a b <<+
【答案】B 【详解】分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==,得到11a b +的范围,进而可得结果． 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==Q
0.2211log0.3,0.3log a b
∴== 0.3110.4log a b
∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab
+<< 又a 0,b 0><Q
ab 0∴<即ab a b 0<+<
故选B.
2.设()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,∞+单调递减,则（ ） A. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C. 23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D. 23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】C
【分析】
由已知函数为偶函数,把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,转化为同一个单调区间上,再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数,()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝
⎭． 2
2
3
3
03322
333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q , 又()f x 在(0,+∞)单调递减,
∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,故选C ． 3.已知a,b,c,d 是四个互不相等的正实数,满足a+b>c+d ,且a b <c d --,则下列选项正确的是
A. 2222a + b > c + d
B. 2222a b c d -<-
<
【答案】D
分析】
通过取特殊值,依次排除,,A B C 选项,得到结果.
【详解】A 选项：取2a =,4b =, 4.5c =,1d =
则2220a b +=,2221.25c d +=,可知A 错误；
B 选项：取0.5a =, 2.5b =,0.1c =, 2.4d = 则226a b -=,22 5.75c d -=,可知B 错误；
C 选项：取2a =,9b =,0.25c =,8d =。