2019届高三数学函数与方程.ppt.ppt
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2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
a>0， ff（（kk12））><00，， f（k3）>0.
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
3.2+函数与方程、不等式之间的关系+第1课时课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
则函数y = f x − 2x的零点是(
−2x + 1, x ≤ 0,
A.1
1
4
B.
[解析] 当x > 0时，由f x − 2x =
1
4
C.1，
1
0，得
x
A
)
D.1，−1
= x，即x 2 = 1，解得x = −1（舍去）
1
4
或x = 1；当x ≤ 0时，由f x − 2x = 0，得4x = 1，解得x = （舍去）.所以函
a = 5.故选B.
课堂评价
−∞, 1
4.若函数y = x 2 − 2x + a有2个零点，则a的取值范围是_________.
[解析] 由已知得 = 4 − 4a > 0，所以a < 1，故a的取值范围是 −∞, 1 .
课堂评价
5.函数f
x = x2 − x −
1
− ,0
a有4个零点，则a的取值范围为________.
根，即函数f x 有2个零点.
课中探究
∣ x + 1 ∣, x ≤ 3,
变式 已知函数f x = −x 2 + 6x − 5, x > 3, 若函数g x = f x − a有3个不同
的零点，则a的取值范围是( A )
A. 0,4
B. 0, +∞
C. 0,3
D. 3,4
[解析] 作出f x 的图象，并在同一坐标系内作出直线y = a,如图所示.由图知当
α 为函数y = f x 的零点.
课前预习
【诊断分析】
（1）函数的“零点”是一个点吗？
解:不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y = f x 的图象与x轴交点的横
−2x + 1, x ≤ 0,
A.1
1
4
B.
[解析] 当x > 0时，由f x − 2x =
1
4
C.1，
1
0，得
x
A
)
D.1，−1
= x，即x 2 = 1，解得x = −1（舍去）
1
4
或x = 1；当x ≤ 0时，由f x − 2x = 0，得4x = 1，解得x = （舍去）.所以函
a = 5.故选B.
课堂评价
−∞, 1
4.若函数y = x 2 − 2x + a有2个零点，则a的取值范围是_________.
[解析] 由已知得 = 4 − 4a > 0，所以a < 1，故a的取值范围是 −∞, 1 .
课堂评价
5.函数f
x = x2 − x −
1
− ,0
a有4个零点，则a的取值范围为________.
根，即函数f x 有2个零点.
课中探究
∣ x + 1 ∣, x ≤ 3,
变式 已知函数f x = −x 2 + 6x − 5, x > 3, 若函数g x = f x − a有3个不同
的零点，则a的取值范围是( A )
A. 0,4
B. 0, +∞
C. 0,3
D. 3,4
[解析] 作出f x 的图象，并在同一坐标系内作出直线y = a,如图所示.由图知当
α 为函数y = f x 的零点.
课前预习
【诊断分析】
（1）函数的“零点”是一个点吗？
解:不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y = f x 的图象与x轴交点的横
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
2019/11/28
29
解： 由于x的任意性，则只有当 T1的时候可能恒成立 ①当 T1时，sik ( n x 1 ) sik n x k () sik nx 恒成立 k2m ，mZ
②当T1时，
sik (n x 1 ) sik n x k () sikn 恒x 成立
20
解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
2019/11/28
21
解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
abc2c，且 ab1c
2019/11/28
11
解： 即a,b是一元二次方程 x2(1c)xc2c0的两个不相等 的根，且两根都大于c，令 f(x)x2(1c)xc2c，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内， 又图像开口向上
2019/11/28
12
解：
函数、方程、不等式 以及它们的图像
2019/11/28
1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
2019/11/28
2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
2
f(x)f(y)f1xxyy 。（1）证明： f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
2019/11/28
32
（2）对于数列 {x n } ，若
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
函数的零点与方程的解课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
(4)若函数 f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式优秀课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )． 解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； 当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； 当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}． 综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
范围是________．
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
高考数学高中复习2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》知识点讲解PPT课件
类题通法 解分式不等式的基本方法就是利用符号法则，将分式不等式转化 为两个整式不等式组或转化为与其同解的整式不等式(组).
二、易错易混 3．当 x∈{x|1<x<2}时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立，则实数 m 的 取值范围是( ) A．{m|－5≤m≤－4} B．{m|m≤－4} C．{m|m≤－5} D．{m|m<－5}
答案：C 解析：令 y＝x2＋mx＋4，由题意知 x＝1 与 x＝2 时，y 的值恒小 于等于 0，即 1＋m＋4≤0 且 4＋2m＋4≤0，所以 m≤－5 且 m≤－4. 所以 m≤－5.故选 C.
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4a0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有 两 个 _不__相__等___ 有 两 个相__等__ 的 实
答案：{x|x<2 或 x≥5} 解析：移项得xx－＋21－2≤0，整理得xx－ －52≥0， 不等式等价于(x－5)(x－2)≥0 且 x－2≠0， 解得 x<2 或 x≥5， 故原不等式的解集是{x|x<2 或 x≥5}．
(2)不等式x2＋x＋x＋2 1>1 的解集为________．
答案：{x|－1<x<1} 解析：∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0 ∴原不等式化为 x＋2>x2＋x＋1 即 x2－1<0，解得－1<x<1 故原不等式的解集为{x|－1<x<1}.
答案：C 解析：M＝{x|4x2－4x－15>0}＝{x|x>52或 x<－32} N＝{x|x2－5x－6>0}＝{x|x>6 或 x<－1} ∴M∩N＝{x|x>6 或 x<－32}．
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3.(2009·北京)已知函数
f
(
x)
3x
,
x 1, 若f(x)=2,
x, x 1,
则x=_l_o_g_32_.
解析
①
x 1 3x 2 x log3 2,
②
x
1 x
2
x
无解. 2
4.若函数f(x)为奇函数,当x＜0时,f(x)=-lg(-x)+x+3, 已知f(x)=0有一个根为x0，且x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n的值为__2__.
由题意可知:g(x)是开口向上的二次函数,
又g(x1)=
1 2
[f(x1)-f(x2)],
g(x2)=
1 2
[f(x2)-f(x1)],
且x1<x2,f(x1)≠f(x2),
所以g(x1)g(x2)=
1 4
[f(x1)-f(x2)]2<0,
则方程g(x)=0在有一实根属于(x1,x2),由二次函数的
解析 当a=0时，f(x)=2x-3, 其根 x 3 不在区间[-1，1]上. 2 当a≠0时,函数f(x)在区间[-1,1]分为两种情况：
①方程在区间[-1,1]上只有一个根，
此时
f
4 (1) f
8a(3 a) 0 (1) (a 5)(a
1)
0
或14281aa(13
a)
0 ,
解得1 a 5或a 3 7 2
性质可知必有另一实根.
【探究拓展】二次函数问题通常利用二次方程、二次 不等式之间的关系来处理,从而使方程问题函数化, 函数问题方程化，体现了函数与方程的思想.
变式训练2 已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如 果方程2ax2+2x-3-a=0在区间[-1，1]上有根，则实
数a的取值范围是____________________.
| x2|
所以x12 x22 x32 14.
题型二 函数思想的应用
【例2】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,
(1)若a>b>c,且a+b+c=0,试证明f(x)=0必有两个实根;
(2)若对x1，x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2),试证明方程
f(x)=
1 2
[f(x1)+f(x2)]有两不等实根,且必有一个实根
②方程在区间［-1，1］上有两个根，此时
a 0
a 0
8a2 24a 4 0 8a2 24a 4 0
1
1 2a
1
或1
1 2a
1
f (1) 0
学案7 函数与方程及函数的实际应用
1.函数与方程的关系(会借助图象解决有关根的个数 的问题).
2.数学建模(把实际问题转化成数学问题). 3.数形结合思想在解答数学问题中的应用.
1.(2009·福建)函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于 直线 x b 对称.据此可推测，对任意的非零实数
变式训练1
设定义域为R的函数
f
(x)
|
x
1 2
(x |
2) ,
1
(x 2)
若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实根x1,
x2,x3,则 x12 x22 x32的值为__1_4__.
解析 由图象可知若方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同
的实根只须f(x)=1,所以必有一根为2,另两根是方程 1 1的根,这两根分别是1和3.
解析 设x＞0,则-x＜0,所以f(-x)=-lg x-x+3,又因为 函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),则x＞0时, f(x)=lg x+x-3,又f(x)在(0,+∞)上是增函数, 由f(2)=lg 2-1＜0,f(3)=lg 3＞0, 所以x0∈(2,3)，则n=2.
题型一 方程根的有关问题
【例1】(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)， 且满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若 方程f(x)=m (m＞0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____.
解析 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所 以f(x-4)=f(-x),所以函数图象关于直线x=-2对称且 f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以 8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增 函数,所以f(x)在区间[-2，0]上也是增函数.
属于(x1,x2).
证明 (1)若a＞b＞c,a+b+c=0,
则a＞0,c＜0,且b=-(a+c),所以方程f(x)=0可化为:
ax2-(a+c)x+c=0,
即a(x-1)(x - c )=0,
a
则f(x)=0有两根x1=1,x2=
c. a
(2)令g(x)=f(x)-
1 2
[f(x1)+f(x2)],
2a
a,b,c,m,n,p关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集
不可能是 A.{1,2}
B.{1,4}
（ D）
C.{1,2,3,4}
D.{1,4,16,64}源自解析 本题用特例法解决简洁快速,对方程m[f(x)]2+
nf(x)+p=0中m,n,p分别赋值求出f(x)代入f(x)=0求出
检验即得.
2.(2008·安徽)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函
数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex，则有 （ D ）
A.f(2)＜f(3)＜g(0)
B.g(0)＜f(3)＜f(2)
C.f(2)＜g(0)＜f(3)
D.g(0)＜f(2)＜f(3)
解析 由题意得f(-x)-g(-x)=e-x，又f(x)为奇函数，
如图所示，那么方程f(x)=m (m＞0)在区间[-8,8]上 有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1＜x2＜x3＜x4， 由对称性知，x1+x2=-12,x3+x4=4, 所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案 -8 【探究拓展】由函数图象解答方程问题,可运用数形 结合的思想和函数的思想.
g(x)为偶函数,所以上式可化为-f(x)-g(x)=e-x,与已
知f(x)-g(x)=ex联立得 f (x) ex ex , g(x) ex ex ,
2
2
而f '(x) 1 (ex ex ) 0恒成立, 所以f(x)在定义域R上
2
为增函数,所以0=f(0)＜f(2)＜f(3).
又g(0)=-1＜0,所以g(0)＜f(2)＜f(3）.