与内切球外接球半径相关的问题

与内切球外接球半径相关的问题有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。

我们就这部分问题，尽量总结全面。

1． 内切球和外接球的基本定义;立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。

基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。

立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。

基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。

2.长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2222c b a R ++=3.正方体的外接球：正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。

4.正四面体的内切球、外接球（1）正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。

（2）正四面体的高若为h ，则外接球半径34R h =，内切球半径14r h = 5. 直棱柱的外接球：直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。

（1） 直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。

（2） 直棱柱的体对角线2=底面图形的外接圆直径2+侧棱（即高）26.正棱锥的外接球：正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是外接球半径，列出关于半径的方程。

我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来，构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出关于半径的方程。

一般来说这个方程是：222()h R a R -+=或222()R h a R -+=，这里的h 是指正棱锥的高，a 是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a 是指正三角形中线长的23，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。

7.补体法：（1）补体法是用于求锥体的外接球半径的一种简洁方法，而且如果不使用该方法，会使问题变得非常难于解决。

（2）使用条件：一是由三条两两垂直的棱构成的锥体，可以使用补体法，这时候往往会补成长方体或正方体；二是有一条棱与底面垂直的锥体，可以将其先补成直棱柱，然后直接求棱柱的外接球，参看第5条。

（3）补体法一般是将锥体补成柱体，这样的柱体多为长方体或正方体，我们一般是先画出补成之后的图形，然后在补成之后的图形中标注出题目中所说的锥体，这样，就更清晰，即所求的锥体的外接球也就是补成之后立体图形的外接球。

8.体积分割法体积分割法是用于求锥体或柱体（多为求锥体的）内切球半径的一种非常简单的方法 对于锥体来说，1S hr S=,r 为内切球半径，1S 为锥体的底面积，h 为该锥体的高，为该锥体的全面积。

对于该公式的由来，可以类比我们初中讲过的三角形中求内切圆半径的面积分割法。

对于柱体的内切球半径求法，13S hr S=，但是这时候往往因为柱体的全面积求解比较麻烦而采取其他思路，我们需要注意，柱体的内切球必然要与上下底面相切，那么该柱体的高也就等于球的直径。

这一点很重要。

1. 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若球的体积为92π，则正方体的体积为____。

2. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α为___3. 已知底面边长为1的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为___4. 若所有侧棱长均为1的正四面体的内切球与外接球半径分别为.r R ，求它们的比值为___5. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3时，其高的值为_____6. 已知正四棱柱的侧棱与底面的边长都为___7. 一个三棱柱的底面为正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面都相切，那么这个三棱柱的表面积为___8. 在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π,则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积_____________。

9. 正四棱锥S ABCD -点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .10. 正四棱锥S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .11. 正四棱锥O ABCD -的体积2O 为球心，为OA 半径的球的表面积___12. 三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BC ⊥，3AB =，4BC =，5CD =则三棱锥A BCD -外接球的表面积为____13. 四面体ABCD 的外接球为O ，AD 与平面ABC 垂直，2AD =，Rt ABC #中，,2ACB AB π∠=则球O 的表面积为__________.14.四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形。

ABCD PD ⊥,PD=AB=2,则ABCD P -的内切球与外接球半径分别为、。

15.已知三棱锥ABC P -,点C B A P ,,,都在半径为3的球面上，若PC PB PA ,,两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为。

16.三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上。

若12,,4,31=⊥==AA AC AB AC AB ,则球O 的半径为。

17.H 为球O 的直径AB 上一点，2:1:=HB AH ,⊥AB 平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为。

18.球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于。

19.A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为______________.20.三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球o 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为______.21.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,1,AC BC AC BC PA ⊥===锥外接球的表面积为__________.22.边长为ABC 内接于体积是的球O ,则球面上的点到该三角形所在平面最大的距离是_________.23.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_________。

24. 三棱柱侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_____________.25.___________。

26.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ）（A ）433 (B)33 (C) 43 (D) 12327.如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm 、42cm 和32cm ，那么它的外接球的体积是 。

参考答案1.分析：设出正方体棱长，利用正方形的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长.解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a ，所以正方体的.（1）球的体积为：34932ππ⨯=⎝⎭，解得a =2.解：因为平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α=体积易求为.3.试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故2=，即得1R =，所以该球的体积224441333V R πππ===.4.每个正三棱锥体积113V Sr =，而正四面体PABC 体积()213V S R r =⨯⨯+，根据前面的分析，124V V ⨯=，()1114333r S r S R r R ∴⨯⨯⨯=⨯⨯+∴=.6.正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径3r =，球的表面积2436S r ππ==，因此，本题正确答案是：36π.7.解：此棱柱为正棱柱，体积43π的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面三角形内切圆的半径为1，故底面三角形高为3，边长为，所以表面积123322S =⨯⨯+⨯=因此，本题正确答案是：8.由213O ABCD V AB ON -=∙可得，2ON =，在ONA ∆中，2226OA ON NA =+=.故球的表面积2424S OA ππ=∙=.由已知条件可知，以,,PA PB PC 为棱的正三棱锥可以补充成球的内接正方体，故而()22222PA PB PC R ++=，由已知PA PB PC ==,得到2PA PB PC ===.因为?1133P ABC ABC PBC A PBCV V h S PA S -∆∆-=∙=∙，得到23h =故而球心到截面ABC 的距离为3R h -=. 如图所示，球心o 即为侧面11BCC B 对角线的交点。

设BC 的中点为M ，连接OM ，AM ，即可知OM ⊥平面ABC ，连接AO ，则可知6OM =，52AM =，在Rt AOM ∆中，由勾股定理得球O 的半径132R =. 14.又由题意得2rππ=，则1r =，故22113RR ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即298R =.由球的表面积公式，得2942S Rππ==.15.如图，2.DE 为两圆的公共弦，点B 为弦的中点，因为OD 与OE 均为球的半径，所以OD =2，所以OB DE ⊥，因为2DE =，所以OB ==所以AB BC ⊥，四边形OABC 是矩形，所以圆心距AC OB ==3.16.ABC ∆中，AB BC ==2AC =,222AC AB BC =+,2ABC π∠=，截面小圆的半径112r AC ==，四面体A B C 体积的最大值为23，1112223323D ABCV S ABC h h h -=∆*=***=∴=。

设球的半径为R ，球心为O ，O 到截面的距离为d 。

当D 到底面ABC 距离最远，即h R d =+时，四面体ABCD 体积的最大值。

d == 22R R==-，22144R R R -=-+，解得54R =∴这个球的表面积为2252544164R πππ=*=。

4.17.分析试题：几何问题的解决一般依赖于图形，作出三棱锥S ABC -，如下图，O 是SC 中点，由于SC 是球的直径，A 、B 在球面上，故SB BC ⊥，SA AC ⊥.设H 是等边ABC∆的中心，则OH ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为1的正三角形，则S ABC ∆=CH =，又1OC =，则OH ===,O 是SC 的中点，∴点S 到平面ABC 的距离为23OH =11233436S ABCV S ABC OH -=∆∙=∙∙=。