九年级数学二次函数与圆综合复习练习

九年级数学二次函数与圆综合复习练习学习目标：能利用二次函数的有关知识解决二次函数与圆的综合性问题 学习过程： 展示讨论：例1.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最小值．⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【巩固练习1】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

例2.如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．【巩固练习2】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段tan x CA α=⋅为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x 轴交于M N ，两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F M N ，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？例3.如图1,⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为()50，，顶点D 在⊙O 上运动． ⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切； ⑵ 当直线CD 与⊙O 相切时，求OD 所在直线对应的函数关系式；⑶ 设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．【巩固练习3】已知⊙O 的半径为1，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD ，顶点B的坐标为()0，顶点A 在x 轴上方，顶点D 在⊙O 上运动．⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在一条直线上时，CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；⑵ 设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．图1例4.已知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M ⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．【巩固练习4】如图，已知点A 的坐标是()10-，，点B 的坐标是()90，，以AB 为直径作O '，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 点E 是AC 延长线上一点，BCE ∠的平分线CD 交O '于点D ，连结BD ，求直线BD 的解析式；⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得PDB CBD ∠=∠？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．E课后思考：1.已知：抛物线2:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于12(0)(0)A x B x ，，，两点，且12x x <． （Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式； （Ⅱ）若1211x x <>，，求m 的取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ，，若存在，求出2:(1)(2)M y x m x m =+-+-的值；若不存在，试说明理由；（Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使12PF FQ =，求直线l 的解析式．2.如图，将AOB ∆置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为()30，，60ABO ∠=︒． ⑴ 若AOB ∆的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标．⑵ 若点C 的坐标为()10-，，试猜想过D C ，的直线与AOB ∆的外接圆的位置关系，并加以说明． ⑶ 二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，求此函数的解析式．3.如图，直角坐标系中，已知两点()00O ，，()20A ，，点B 在第一象限且OAB ∆为正三角形，OAB ∆的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ． ⑴ 求B C ，两点的坐标； ⑵ 求直线CD 的函数解析式；⑶ 设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF ∆的最大面积？4.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l 经过点()20A -，和点0B ⎛⎝，直线2l的函数表达式为y =，1l 与2l 相交于点P ．C ⊙是一个动圆，圆心C 在直线1l 上运动，设圆心C 的横坐标是a ．过点C 作CM x ⊥轴，垂足是点M ．⑴ 填空：直线1l 的函数表达式是 ，交点P 的坐标是 ，FPB ∠的度数是 ；⑵ 当C ⊙和直线2l 相切时，证明点P 到直线CM 的距离等于C ⊙的半径R ，并写出2R = 时a 的值． ⑶ 当C ⊙和直线2l 不相离时，已知C ⊙的半径2R =，记四边形NMOB 的面积为S (其中点N 是直线CM 与2l 的交点)．S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a 的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，抛物线233y x x =--+x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，⊙M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）． （1）求抛物线的顶点E 的坐标； （2）求⊙M 的面积；（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．6.如图，已知二次函数2(3)3y mx m x =+-- (m ＞0) 【例1】 求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点,【例2】 这条抛物线与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x （1x ＜2x ），与y 轴交于点C ，且AB=4，⊙M 过A ，B ，C 三点，求扇形MAC 的面积S 。

【例3】 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，PD ⊥x 轴于D,使△PBD 被直线BC 分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出PO xy NCDE F BMA (0, )7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．8..如图，已知抛物线y = ax 2+ bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）判断△OBD 与△CEB 是否相似,并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABCxOy l PP 1QQ 19.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是⊙C 的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．(1)当t ＝1时，得到P 1、Q 1两点，求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ； (2)当t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； (3)在(2)的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP ＋NQ 最小，求出点N 的坐标并说明理由．10.在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ．（1）求直线CB 的解析式；（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C 是否在抛物线上？（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC 相似？直接写出两组这样的点．11.如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于7.A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ． 1. 求抛物线对应的函数表达式；2.经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； 3.设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；4. 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．12.如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。