标量衍射理论2013
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
3.1光波的标量衍射理论-邓冬梅
2
2
z12
= z1
( x x1 ) + ( y y1 ) +
2
2
2 z1
[( x x1 ) + ( y y1 ) ]2 + .... 3 8 z1
2 2
r ≈ z1
(x x1 )2 + ( y y1 )2 +
2 z1
C
y1 x1 Q z1 K r
y P x
近似条件: [( x x1 ) + ( y y1 ) ] z >> 4λ
一,光的衍射现象
'光线'拐弯了! 光线'拐弯了! 光线
S
?
衍射现象:光波偏离直线传播而出 衍射现象: 现光强不均匀分布的现象
E
E
S
S
圆孔衍射
Diffraction pattern of an icosahedral quasicrystal
12
光孔尺寸与衍射
衍射效应很弱,光线几乎直线传播 直线传播. 一,ρ>1000λ时,衍射效应很弱,光线几乎直线传播. λ 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 二,1000λ >ρ> λ时,衍射现象显著,出现了与光孔 衍射现象显著 现象显著, λ ρ 形状对应的衍射图样. 形状对应的衍射图样. 衍射效应过于强烈,只看到干涉 干涉. 三,ρ ~ λ 衍射效应过于强烈,只看到干涉. 过渡. 四,ρ<λ 向散射过渡. λ 散射过渡 其中:光孔线度ρ,波长λ
π
( n,l ) ( n,r ) ∑
θ
l
r P
K一般在0-1之间,特别地, 光线正入射时:
R
2
z12
= z1
( x x1 ) + ( y y1 ) +
2
2
2 z1
[( x x1 ) + ( y y1 ) ]2 + .... 3 8 z1
2 2
r ≈ z1
(x x1 )2 + ( y y1 )2 +
2 z1
C
y1 x1 Q z1 K r
y P x
近似条件: [( x x1 ) + ( y y1 ) ] z >> 4λ
一,光的衍射现象
'光线'拐弯了! 光线'拐弯了! 光线
S
?
衍射现象:光波偏离直线传播而出 衍射现象: 现光强不均匀分布的现象
E
E
S
S
圆孔衍射
Diffraction pattern of an icosahedral quasicrystal
12
光孔尺寸与衍射
衍射效应很弱,光线几乎直线传播 直线传播. 一,ρ>1000λ时,衍射效应很弱,光线几乎直线传播. λ 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 二,1000λ >ρ> λ时,衍射现象显著,出现了与光孔 衍射现象显著 现象显著, λ ρ 形状对应的衍射图样. 形状对应的衍射图样. 衍射效应过于强烈,只看到干涉 干涉. 三,ρ ~ λ 衍射效应过于强烈,只看到干涉. 过渡. 四,ρ<λ 向散射过渡. λ 散射过渡 其中:光孔线度ρ,波长λ
π
( n,l ) ( n,r ) ∑
θ
l
r P
K一般在0-1之间,特别地, 光线正入射时:
R
第二章 光的标量衍射理论
（2-1-15）
（2-1-15）式称为菲涅尔衍射积分公式 式称为菲涅尔衍射积分公式 满足菲涅耳近似条件的衍射称为菲涅耳衍射 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏， 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏，屏上显示的图 形即物体的菲涅耳衍射图形。 形即物体的菲涅耳衍射图形。 辐照度L(x,y) 为： 辐照度
• 2.1.1 惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理 • 假设：波前上的每一个面元都可以看做是一个次级扰 假设： 动中心，它们能产生球面子波． 动中心，它们能产生球面子波．后一时刻的波前位置 是所有这些子波波前的包络面。 是所有这些子波波前的包络面。 波前”即是某一时刻光波的波面(等相面 等相面)， “波前”即是某一时刻光波的波面 等相面 ， 次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。 “次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。
该近似称为夫琅和费近似 该近似下 基尔霍夫衍射积分公式化简为： 在该近似下，基尔霍夫衍射积分公式化简为：
x2 + y2 E ( x, y ) = exp j k d + jλ d 2d 1 ∞ k ∫ ∫ A(ξ ,η ) exp − j ( xξ + yη ) d ξ d η d −∞ （2-1-19） ）
（2-1-16） ）
L(x,y)等于菲涅耳衍射复振幅分布 等于菲涅耳衍射复振幅分布E(x,y)的模的平方 等于菲涅耳衍射复振幅分布 的模的平方
二、夫琅和费近似和天琅和费衍射
进一步增大观察平面∏到衍射孔径 的距离 进一步增大观察平面 到衍射孔径∑的距离 ，则衍射 到衍射孔径 的距离d， 图形将随之放大。 图形将随之放大。
第2章 标量衍射理论
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
标量衍射理论
x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
y
y0 2
z
1
x x0 z
2
y y0 z
2 2
当
cos(n, r) 1时
x
z
x0
2
和
y
y0
2
都是小量
z
r
z
1
x
x0
2
2z
2
y
y0 2
x x0 2 y
8z4
y0 2
2
r
z2
x x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
§2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
cos(n,
r
)
- cos(n, 2
r0
光波的标量衍射理论
～
E
P＝
A i
e
xpik
l
l
e
xpik
r
r
cosn,
r
2
cosn,
l
d
子波的复振幅与
K() cosn, r cosn,l
2 成正比，与波长成反比。
i 1 exp[i p]
i
2
表示子波的振动位相超前于入射波90。
6
当光线接近于正入射时 exp(ikl) exp(ikR)
l
R
cos(n, l) 1,
1 x x1 2 y y1 2
z12
z1
x
x1 2 y
2z1
y1 2
[x
x1 2 y
8z13
y1 2 ]2 ....
级数展开
r
z1
x
x1
2 y
2z1
y1 2
近似条件：
[x x1 2 y y1 2 ]2 p
z13
4
y1
Q C
K
x1 r
z1
y x
P
P0 E
11
r
z1
x
x1 2 y
2
光源S在波面ZZ '上
波阵面外任一点光振动应该是波面
上所有子波相干叠加的结果。
任意Q点产生的复振幅：
E~Q
A
exp ikR
R
Z
Q
R
Q点处d 大小的面元
r P
对P点的贡献为： S
dE~P
CK
E~Q
expik
r
r
d
Z'
子波向P点的球面波公式 子波法线方向的振幅 子波振幅随角的变化
第3章标量衍射理论
2z
光学信息技术原理与应用 光电科学分院 2013
5/64
3.1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U ( P) = a0 e jkr
r
r ≈ z + ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2
2z
jk
z
+
(
x
−
x0
)2
+(
y
−
y0
)2
U ( P) = a e = a e e 0
{ } ( ) ( ) u x, y, z, t = Re a x, y, z e− j2πνt−ϕ(x,y,z)
{ } ( ) = Re a x, y, z e e jϕ(x,y,z) − j2πνt
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
U( x, y, z) = aexp( jkzcosγ )exp jk( xcosα + ycosβ)
=aexp jkz
1−cos2
α
−
cos2
β
exp
jk
(
x
cosα
+
y
cos
β
)
= Aexp jk( xcosα + ycosβ)
其中， exp jk ( x cosα + y cos β )
称为平面波的位相因子。
其中， （1）a 是常量振幅； （2）cos α、cosβ、cosγ 为传播方向的方
向余弦，而且有
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
光学信息技术原理与应用 光电科学分院 2013
5/64
3.1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U ( P) = a0 e jkr
r
r ≈ z + ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2
2z
jk
z
+
(
x
−
x0
)2
+(
y
−
y0
)2
U ( P) = a e = a e e 0
{ } ( ) ( ) u x, y, z, t = Re a x, y, z e− j2πνt−ϕ(x,y,z)
{ } ( ) = Re a x, y, z e e jϕ(x,y,z) − j2πνt
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
U( x, y, z) = aexp( jkzcosγ )exp jk( xcosα + ycosβ)
=aexp jkz
1−cos2
α
−
cos2
β
exp
jk
(
x
cosα
+
y
cos
β
)
= Aexp jk( xcosα + ycosβ)
其中， exp jk ( x cosα + y cos β )
称为平面波的位相因子。
其中， （1）a 是常量振幅； （2）cos α、cosβ、cosγ 为传播方向的方
向余弦，而且有
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
2 标量衍射理论
把衍射过程看做线性不变系统，讨论其 脉冲响应和传递函数。
2.1 基尔霍夫衍射理论 2.2 衍射的角谱理论 2.3菲涅尔衍射和夫琅和费衍射 2.4 透镜的傅里叶变换性质
重点掌握光的传播就是光的衍射过程这一物理思想，理解 角谱概念，在傅里叶光学的角度重新理解透镜这一基本光 学元件的成像机理。
2.1
基尔霍夫衍射理论
第二章 标量衍射理论 （Scalar diffraction theory）
衍射
l Sommerfeld定义
标量衍射理论（ scalar diffraction theory）的适用范围
电场的偏振性可以忽略，（ 傍轴近似paraxial aproximation）.
以Kirchhoff衍射公式讨论衍射问题，并 利用线性系统理论赋予新的解释。
在几个波长的距离内几乎衰减为零，对应于这些传播方向波动分量称为 倏逝波．
3：
cos2 cos2 = 1
该波动分量的传播方向垂直于z轴，它在z轴方向的净能量流为零．
A(
cos cos cos cos , , z ) = A0 ( , ,0) exp jkz 1 - cos2 - cos2
三、H-F原理与叠加积分
1 e jkr h P, Q = K q j r
令
U Q = U 0 P hP, Q ds
与线性系统公式比较:
1. 叠加积分: 衍射系统与线性系统
2. h(P,Q)的物理意义
四、相干光场在自由空间传播的平移不变性 ' 1 e jkr cosn, r - cosn, r h P, Q = K q K q = j r 2 近轴条件下： K (q ) 1
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k : 传播矢量 球面波: k//r
k = | k |=2p /l , 为波数。表
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z)) y (r
k
则P点处的复振幅：
U (P) a0 e jkr r
a0: 单位距离 处的光振幅
源点S
z
0 x k: 传播矢量源自第三章 标量衍射理论§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u P,t aPcos 2πnt j P
振幅
频率 初位相
光场随时间的变化关系：由频率n表征。 可见光： n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光：n为常数
波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式； • 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发， 讨论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学
系统的脉冲响应和传递函数。
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程
2u
1 c2
2 t 2
u
0
可导出复振幅满足的方程为：
(2 k 2 )U 0 即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
k 2p l
——不含时间变量的波动方程 称为波数或传播常数， 表示单位长度上产生的相位变化。
光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同
(2) 空间各点的初位相可能不
光场变化的空间周期为l。
同，由传播引起。
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表
故引入复振幅U(P): U(P) = a(P) e jj(P)
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关；
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
会聚球面波
会聚球面波 U (P) a0 e jkr r
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S
z
0
x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U (P) a0 e jkr r
距离 r 的表达
取决于k与r是平行 还是反向平行
若球面波中心在原点:
r x2 y2 z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波在给定平面的分布
以系统的光轴为z轴，光沿 z 轴正方向传播。所 考察的平面垂直于z 轴。
场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的
传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算子
2
uv E
2
uv B
1 c2
1 c2
uv 2 E tu2v 2 B t 2
0(电场) 0(磁场)
传播速度
波动方程是线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组 合都是方程的解。可以证明，球面波和平面波都是波动方程 的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组 合表示，也都是波动方程的解。
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。
信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，必须采用矢量衍射理
示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]}
= e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于
= e{a(P) e . jj(P) e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt： n ~1014Hz
n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处。考察与 其距离为z的x - y平面上的光分布
概述
• 信息光学为什么要研究光的传播？
信息光学主要是研究光波作为载波，实现信息的 传递、变换、记录、和再现问题。这些研究问题 都涉及对光的传播规律的描述，所以要研究光的 传播规律。
• 光的传播规律应该用什么理论进行描述？
在课程范畴内，认为光属于电磁波，它的传播规 律是用电磁波理论来描述的。
概述
什么是标量衍射理论？
论。
概述
标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象； • 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加
可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波； • 1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算，满足叠加原理
• 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动：
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布：I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
j(P) = k . r
k = | k |=2p /l , 为波数。表
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z)) y (r
k
则P点处的复振幅：
U (P) a0 e jkr r
a0: 单位距离 处的光振幅
源点S
z
0 x k: 传播矢量源自第三章 标量衍射理论§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u P,t aPcos 2πnt j P
振幅
频率 初位相
光场随时间的变化关系：由频率n表征。 可见光： n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光：n为常数
波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式； • 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发， 讨论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学
系统的脉冲响应和传递函数。
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程
2u
1 c2
2 t 2
u
0
可导出复振幅满足的方程为：
(2 k 2 )U 0 即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
k 2p l
——不含时间变量的波动方程 称为波数或传播常数， 表示单位长度上产生的相位变化。
光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同
(2) 空间各点的初位相可能不
光场变化的空间周期为l。
同，由传播引起。
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表
故引入复振幅U(P): U(P) = a(P) e jj(P)
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关；
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
会聚球面波
会聚球面波 U (P) a0 e jkr r
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S
z
0
x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U (P) a0 e jkr r
距离 r 的表达
取决于k与r是平行 还是反向平行
若球面波中心在原点:
r x2 y2 z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波在给定平面的分布
以系统的光轴为z轴，光沿 z 轴正方向传播。所 考察的平面垂直于z 轴。
场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的
传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算子
2
uv E
2
uv B
1 c2
1 c2
uv 2 E tu2v 2 B t 2
0(电场) 0(磁场)
传播速度
波动方程是线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组 合都是方程的解。可以证明，球面波和平面波都是波动方程 的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组 合表示，也都是波动方程的解。
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。
信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，必须采用矢量衍射理
示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]}
= e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于
= e{a(P) e . jj(P) e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt： n ~1014Hz
n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处。考察与 其距离为z的x - y平面上的光分布
概述
• 信息光学为什么要研究光的传播？
信息光学主要是研究光波作为载波，实现信息的 传递、变换、记录、和再现问题。这些研究问题 都涉及对光的传播规律的描述，所以要研究光的 传播规律。
• 光的传播规律应该用什么理论进行描述？
在课程范畴内，认为光属于电磁波，它的传播规 律是用电磁波理论来描述的。
概述
什么是标量衍射理论？
论。
概述
标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象； • 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加
可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波； • 1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算，满足叠加原理
• 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动：
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布：I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
j(P) = k . r