11第十一次课 向量的内积与正交向量组
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向量的内积
取 1 1
2
2
[1,2 ] [1,1 ]
1
1 1 1
1 3
1 1 1
2 3
2 1 1
则向量组 1 ,2 就是与向量组1 ,2 等价的正交向量组。
设向量
3
x1 x2
与 1 ,2
都正交，即
x3
x1
x2
x3
0
4 2 2
0
3 x1 3 x2 3 x3 0
解此方程组得 3 1
4. 三角不等式：x y x y .
特别地，把长度为 1 的向量称为单位向量。
例如
01，
1
0 2 ，
1 1
0
1
2
1
3
3
都是3维单位向量。
3
对于任何向量 x 0 ，则 x0
1
x是单位向量，
x
这种把向量 x 化成单位向量的过程称为向量 x 的单位化
（或标准化）
根据向量长度的性质3，当
则称其为V 的一个规范正交基（或标准正交基）。
由定义不难得知， 向量组 1, 2 ,, r 为向量空间的一个规范正交基，当且仅当
1 当i j
[i , j ] 0 当i j
i, j 1, 2, , r.
1
0
0
例如
向量组
e1
0
，e2
1
，e3
0
与向量组
0
0
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
0， 2
0
x1
定定义义4.42.2
设
n
维向量
x
x2
，则称非负实数
xn
(完整版)[自然科学]向量的内积与向量组的正交变换
![(完整版)[自然科学]向量的内积与向量组的正交变换](https://img.taocdn.com/s3/m/6e2da9c6e53a580216fcfe7d.png)
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
思考题
求一单位向量，使它与
1 1,1,1,1, 2 1,1,1,1, 3 2,1,1,3
正交．
思考题解答
解 设所求向量为x (a, b, c, d ),则由题意可得 :
a2 b2 c2 d 2 1, a b c d 0, a b c d 0,
] ]
2
s
s
[ s [1
, ,
1] 1]
1
[ s [2
, ,
2] 2]
2
[s , [ s1
s1] , s1]
s1
s k11 k22 ks1 s1
那么1, , s两两正交, 且1, , s与1, s等价.
（2）单位化(规范化)，取
e1
1 1
,
e2
2 2
,
,es
s s
,
那么 e1,e2, ,es为Rn的一个单位(规范)正交向量组.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵
定义5.9: 若n阶方阵A满足 AT A I 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵 .
定理5.9: A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都 是单位向量且两两正交．
证明 AT A I
a11 a21 an1 a11 a12 a1n
二、向量的长度及性质
定义5.6 令 , a12 a22 an2 ,
称 为 n维向量 的长度 或范数 .
(在 R2 中向量 的长度就是对应点到原点的距离)
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 0时, 0;当 0时, 0;
思考题
求一单位向量，使它与
1 1,1,1,1, 2 1,1,1,1, 3 2,1,1,3
正交．
思考题解答
解 设所求向量为x (a, b, c, d ),则由题意可得 :
a2 b2 c2 d 2 1, a b c d 0, a b c d 0,
] ]
2
s
s
[ s [1
, ,
1] 1]
1
[ s [2
, ,
2] 2]
2
[s , [ s1
s1] , s1]
s1
s k11 k22 ks1 s1
那么1, , s两两正交, 且1, , s与1, s等价.
（2）单位化(规范化)，取
e1
1 1
,
e2
2 2
,
,es
s s
,
那么 e1,e2, ,es为Rn的一个单位(规范)正交向量组.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵
定义5.9: 若n阶方阵A满足 AT A I 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵 .
定理5.9: A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都 是单位向量且两两正交．
证明 AT A I
a11 a21 an1 a11 a12 a1n
二、向量的长度及性质
定义5.6 令 , a12 a22 an2 ,
称 为 n维向量 的长度 或范数 .
(在 R2 中向量 的长度就是对应点到原点的距离)
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 0时, 0;当 0时, 0;
向量的内积_正交矩阵
= α ′β = β ′α
α = ( α ,α ) = a1 2 + a 2 2 + + a n 2
3 、单位向量： 当 α
=1
时，称α为单位向量
*
将非零向量α单位化： 取向量 α ，
=
1
α
α
(α , β ) = 0 4 、正交： 如果向量α 与β 满足 称 α β
向量 与 正交。
，则
二、主要性质 向量内积的性质： 设 α, β , γ 均为 n 维向量， λ 为实数，则
所以， e1 , e2 , e3 , e4 是 R4 的一组标准正交基
设α1 , α 2 , , α n 是R n的一组基，
利用此组基求 Rn 的一组标准正交基的方法： 步骤一：将 α 1 ,α 2 ,,α n 正交化，得一正交基 施密特（ Schmidt ）正交化法：
( β1 ,α 2 ) 取 β 1 = α 1 , β 2 = α2 − ( β , β ) β1 , 1 1 ( β 1 ,α 3 ) ( β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) ( β2, β2 )
即
αi = (αi , αi ) = 1
n维向量组α1 , α 2 , , α m 是R n的一组标准正交基
（1） m=n (α ,α ) = 0 （2）i j
= 1
(i ≠ j) (i = j)
【例】
证明向量组
e1 =
1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 − , e = , e = , e = 2 3 2 4 2 2 2 0 1 1 0 − 0 2 2 0
向量的内积、长度及正交性
欧几里得范数
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
线性代数课件-11向量的内积
可以解释为两 个向量之间的角度。如果两个向量的 内积为0，则它们之间的夹角为90度 ；如果内积为正数，则它们之间的夹 角为锐角；如果内积为负数，则它们 之间的夹角为钝角。
长度和角度的关系
向量内积与向量的长度和角度之间有密切关系。向量的长度可以通过向量的平方 得到，即$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}}$。
实例2
设$mathbf{a} = (2,-3,4)$，$mathbf{b} = (1,2,-1)$，则$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}} = sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = 5$。
实例3
设$mathbf{a} = (1,0,0)$，$mathbf{b} = (0,1,0)$，则$mathbf{a}$和$mathbf{b}$正 交，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
线性代数课件-11向量的内积
目 录
• 向量内积的定义 • 向量内积的性质 • 向量内积的运算 • 向量内积的应用 • 总结与思考
01
向量内积的定义
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的点乘，记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 具体计算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n$，其中 $a_i$和$b_i$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的第$i$个分量。
详细描述
结合律是向量内积的重要性质之一。它表明 向量内积满足结合性，即向量的内积运算满 足结合律。这一性质确保了向量内积的运算 顺序不会影响最终的结果。结合律在证明向 量内积的一些性质和定理时非常有用，例如 证明向量的点乘满足分配律。
长度和角度的关系
向量内积与向量的长度和角度之间有密切关系。向量的长度可以通过向量的平方 得到，即$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}}$。
实例2
设$mathbf{a} = (2,-3,4)$，$mathbf{b} = (1,2,-1)$，则$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}} = sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = 5$。
实例3
设$mathbf{a} = (1,0,0)$，$mathbf{b} = (0,1,0)$，则$mathbf{a}$和$mathbf{b}$正 交，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
线性代数课件-11向量的内积
目 录
• 向量内积的定义 • 向量内积的性质 • 向量内积的运算 • 向量内积的应用 • 总结与思考
01
向量内积的定义
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的点乘，记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 具体计算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n$，其中 $a_i$和$b_i$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的第$i$个分量。
详细描述
结合律是向量内积的重要性质之一。它表明 向量内积满足结合性，即向量的内积运算满 足结合律。这一性质确保了向量内积的运算 顺序不会影响最终的结果。结合律在证明向 量内积的一些性质和定理时非常有用，例如 证明向量的点乘满足分配律。
向量的内积长度和正交性
1. 定义2 令 || x || [ x, x] x12 x22 xn2 , 称 || x || 为 n 维向量 x 旳长度 (或范数). 向量旳长度具有下述性质：
(1) 非负性: 当 x = 时, || x ||= 0;当 x 时, || x || 0. (2) 齐次性: || x ||= |||| x || ;
(2) [ x, y ]= [ x, y];
(3) [x+y, z ]= [ x, z]+ [ y, z];
(4) 当 x = 时, [ x, x ]= 0; 当 x 时, [ x, x ] 0.
施瓦茨(Schwarz)不等式: [ x, y ]2 [ x, x ] [ y, y].
二、向量旳长度及性质
(1) A1 AT ; (2) AAT E;
3 A的列向量是两两正交的 单位向量;
4 A的行向量是两两正交的 单位向量.
设1 , 2 ,, r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基 ,就是要找一组两两正交 的单
位向量e1 ,e2 ,,er ,使e1 ,e2 ,,er与1 , 2 ,, r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 ,,r 这个基规
范正交化 .
下面简介施密特正交化措施（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
例如
1, 3
1 , 3
1
T
,
3
1 ,0, 2
1 2
,0
T
,
若
,
则
1
||
||
为单位向量.
若 ,
1 || ||
称为把向量 单位化.
例如 (1,2,3)T , 单位化得 : 1 (1,2,3)T .
(1) 非负性: 当 x = 时, || x ||= 0;当 x 时, || x || 0. (2) 齐次性: || x ||= |||| x || ;
(2) [ x, y ]= [ x, y];
(3) [x+y, z ]= [ x, z]+ [ y, z];
(4) 当 x = 时, [ x, x ]= 0; 当 x 时, [ x, x ] 0.
施瓦茨(Schwarz)不等式: [ x, y ]2 [ x, x ] [ y, y].
二、向量旳长度及性质
(1) A1 AT ; (2) AAT E;
3 A的列向量是两两正交的 单位向量;
4 A的行向量是两两正交的 单位向量.
设1 , 2 ,, r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基 ,就是要找一组两两正交 的单
位向量e1 ,e2 ,,er ,使e1 ,e2 ,,er与1 , 2 ,, r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 ,,r 这个基规
范正交化 .
下面简介施密特正交化措施（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
例如
1, 3
1 , 3
1
T
,
3
1 ,0, 2
1 2
,0
T
,
若
,
则
1
||
||
为单位向量.
若 ,
1 || ||
称为把向量 单位化.
例如 (1,2,3)T , 单位化得 : 1 (1,2,3)T .
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
线性代数11.内积、特征值特征向量的计算
（3）若A、B是同阶正交阵，则AB也是正交阵；
（4）若A是正交阵，则对于线性变换(正交变换）
y Ax，有：y x ，
即正交变换保持向量长度不变
下面给出上述部分性质的证明
A是正交阵 A的列向量组是规范正交组
证明： 对A按列分块：A a1, a2, , an
则：A是正交阵 AT A E
1 1 1
取R3的一组基:
1
0
,
2
2
,
3
2
0
0
3
先正交化：
1
1
1
0
0
2
2
[2, 1] [1, 1]
1
1 1
2 0
0 0
0
2 0
1 1 0 0
3
3
[3, 1] [1, 1]
1
[3 , [2,
2 ] 2 ]
2
2
0
2
0
3 0 0 3
再单位化：
若A是正交阵，则对于线性变换y Ax，有：y x ，
证明： y yT y (Ax)T (Ax)
xT ( AT A)x xT x x
由于正交变换保持长度不变， 对于三维空间内的一个几何体，
正交变换前后任意两点的距离保持不变，
那么该几何体的几何形状必然保持不变
,
5.2 矩阵的特征值与特征向量
x1
设有向量x=
x2
，记：x
[x, x]
x12 x22
xn2
xn
称 x 为向量 x 的长度(或称为向量的模、范数).
如果 x 1，称向量 x 为单位向量.
对于非零向量 x ，显然向量 x 是与向量 x 同向的单位向量. x
（4）若A是正交阵，则对于线性变换(正交变换）
y Ax，有：y x ，
即正交变换保持向量长度不变
下面给出上述部分性质的证明
A是正交阵 A的列向量组是规范正交组
证明： 对A按列分块：A a1, a2, , an
则：A是正交阵 AT A E
1 1 1
取R3的一组基:
1
0
,
2
2
,
3
2
0
0
3
先正交化：
1
1
1
0
0
2
2
[2, 1] [1, 1]
1
1 1
2 0
0 0
0
2 0
1 1 0 0
3
3
[3, 1] [1, 1]
1
[3 , [2,
2 ] 2 ]
2
2
0
2
0
3 0 0 3
再单位化：
若A是正交阵，则对于线性变换y Ax，有：y x ，
证明： y yT y (Ax)T (Ax)
xT ( AT A)x xT x x
由于正交变换保持长度不变， 对于三维空间内的一个几何体，
正交变换前后任意两点的距离保持不变，
那么该几何体的几何形状必然保持不变
,
5.2 矩阵的特征值与特征向量
x1
设有向量x=
x2
，记：x
[x, x]
x12 x22
xn2
xn
称 x 为向量 x 的长度(或称为向量的模、范数).
如果 x 1，称向量 x 为单位向量.
对于非零向量 x ，显然向量 x 是与向量 x 同向的单位向量. x
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1
已知 R3中两个向量1
11 , 2
2 1
正交，
求一个非零向量3，使1,2 ,3为正交向量组。
2019年9月15日星期日
8
例2 (P134例5.1.3)
1
求一组非零列向量1,2与已知向量3 11正交，
并把他们化成正交规范基。
当且仅当 0时，, 0
2019年9月15日星期日
4
3.模(范数)：
, a12 a22 an2
非负性： 0
齐次性：k k
三角不等式：
4.单位向量： 1
5.夹角：cos ,
单位化：
2
,
n
0
1
0
n
,1
n ,2
n
,
n
0
0
1
i
,
j
0
i
j
, 1 i j i 201i9年9月15日星期日
1,2 ,
11
,n是正交规范向量组
例1
1
k
k
k 1
, ,
1 1
1
k 2
, ,
2 2
2
k , k 1 k 1, k 1
k 1
单位化： k
k
2019年9月15日星期k日
k 1, 2,
,m
7
标准正交向量组
例1 (P133例5.1.2) 1
b2
bn
“对乘加”
a1b1 a2b2 anbn
2019年9月15日星期日
3
2.性质
交换律：, ,
结合律：k, ,k k , 分配律： , , , ：, a12 a22 an2 0
2 2
2
k , k 1 k 1, k 1
k 1
单位化：k
k k
k 1, 2,
,m
标准正交向量组
2019年9月15日星期日
18
作业
习题5(A)：P155 7
提前预习 §5.2 矩阵的特征值与特征向量
2019年9月15日星期日
19
单位化：
0
正交：, 0
正交向量组必线性无关.
2019年9月15日星期日
17
施密特正交化方法（递推公式）：
正交化：
1 1
k 2,3, , m 正交向量组
k
k
k 1
, ,
1 1
1
k 2
, ,
2
0
已知矩阵 0 1
1
0
2
则 x _______
1
2
0 是正交矩阵，
x
9年9月15日星期日
12
例2
已知 A为正交矩阵，证明 AT , A1, A*也为正交矩阵.
2019年9月15日星期日
13
3. Def：若P为正交阵，则线性变换 y Px
称为正交变换。 (P136定义5.1.7)
0
6.正交：, 0 零向量与任意向量都正交
2019年9月15日星期日
5
二、正交向量组与施密特正交化方法
1．def：设有非零向量组1,2 m，任意两向量
i , j 0i j ， 即 ： 向 量 两 两 正 交 ， 则 称
1,2 m为正交向量组。(P132定义5.1.4) 2．def：正交向量组1,2 m，且每个向量均为 单位向量 i 1，则称1,2 m为标准正交向
k , k 1 k 1, k 1
k 1
单位化：k
k k
k 1, 2,
,m
标准正交向量组
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小结
“对乘加”
内积：, a1b1 a2b2 anbn
模(范数)：
, a12 a22 an2
量组（正交规范向量组）。 (P133定义5.1.5)
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3. 定理1：正交向量组必线性无关. (P132定理5.1.1)
4. 定理2：任一线性无关的向量组都可化为(标准) 正交向量组.
施密特正交化方法（递推公式）：
正交化：
1 1
k 2,3, , m 正交向量组
10
a11 a21
AT
A
a12
a22
a1n
a2n
an1 a11 a12
an
2
a21
a22
ann
an1
an 2
a1n
a2n
ann
1,1 1,2
1,n 1 0
0
2
,1
2 ,2
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三、正交矩阵与正交变换
1. def：如果n阶方阵 A满足 AT A E ，
则称 A为正交矩阵（简称正交阵）
2. 性质
(P135定义5.1.6)
：A1 AT
：A 1
：正交矩阵 A的行（列）向量组是正交规范向量组。 (P136定理5.1.2)
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第五章 矩阵的特征值、特征向量 和方阵的对角化
§5.1 向量的内积与正交向量组 §5.2 矩阵的特征值与特征向量 §5.3 相似矩阵与方阵的对角化 §5.4 实对称矩阵的对角化
第十一次课
教学内容
§5.1 向量的内积与正交向量组 教学目标及基本要求
了解内积、正交的概念 了解正交向量组的性质 掌握施密特(Schmidt)正交化方法 了解正交矩阵的概念及性质 重点
正交：, 0
正交向量组必线性无关.
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施密特正交化方法（递推公式）：
正交化：
1 1
k 2,3, , m 正交向量组
k
k
k 1
, ,
1 1
1
k 2
, ,
2 2
2
y yT y xT PT Px xT x x
即：正交变换不改变向量的长度
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复习
“对乘加”
内积：, a1b1 a2b2 anbn
模(范数)：
, a12 a22 an2
单位化：
0
施密特(Schmidt)正交化方法 难点 施密特(Schmidt)正交化方法
§5.1 向量的内积与正交向量组
一、向量的内积
1. def：设列向量 a1, a2 an T , b1,b2 bn T
内积 , T a1, a2
b1
an