等比数列的通项公式
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
等比数列通项公式为an=a1*q^（n－1)(1,n-1均为下标)。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。
等比数列的通项公式形式可类比成为指数函数，故在进行增减性讨论时，可以借助指数函数的增减性，加之系数的正负，确定最终等比数列的增减性问题。
还应注意：
1、等比数列所有的奇数项同号。
2、等比数列所有的偶数项同号。
3、因为偶次方根有正负两解，所以已知等比数列的任意两项，等比数列并不确定。
等差和等比数列公式大总结
等差和等比数列公式大总结
等差数列是指每一项与前一项之差相等的数列，而等比数列是指每一项与前一项之比相等的数列。
在数学中，我们经常遇到各种各样的数列问题，因此了解等差和等比数列的公式是非常重要的。
等差数列的公式：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d
其中，a1为首项，d为公差，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=[n(2a1+(n-1)d)]/2
其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为前n项和。
等比数列的公式：
1.通项公式：an=a1*r^(n-1)
其中，a1为首项，r为公比，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)
其中，a1为首项，r为公比，n为项数，Sn为前n项和。
以上是等差和等比数列的公式大总结。
通过掌握这些公式，我们可以更加轻松地解决各种数列问题。
同时，也可以通过这些公式发现数列的规律，进一步深入了解数学知识。
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高中等比数列公式大全
高中等比数列公式大全高中数列公式如下：一、等比数列：a（n+1）/an=q（n∈N）。
二、通项公式：an=a1×q^（n-1）；推广式：an=am×q^（n-m）。
三、求和公式：Sn=n×a1（q=1）Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=（a1-an ×q）/（1-q）（q≠1）（q为公比，n为项数）。
四、性质：1、若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。
2、在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
3、若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2五、“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”。
六、在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等差数列的定义以及证明方法：一、定义1、如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．2、求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有3、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为增数列；当d<0时，数列为递减数列；4、是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；5、证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
二、等差数列求解与证明的基本方法：1、学会运用函数与方程思想解题。
2、抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键。
3、等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称“知三求二’）。
等比数列首项与末项公式
等比数列首项与末项公式
等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与它前面的一项的比值都相等。
等比数列的首项通常用a表示，公比通常用r表示，而末项则可以通过数列的前几项以及公比来计算得出。
首先，等比数列的通项公式为，an = a1 r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
根据通项公式，等比数列的首项a1与末项an的关系可以通过将n代入通项公式中得到。
当n为1时，即为首项，a1 = a1
r^(1-1) = a1 r^0 = a1。
当n为数列的项数时，即为末项，an = a1 r^(n-1)。
因此，等比数列的首项与末项的公式可以表示为：
首项，a1。
末项，an = a1 r^(n-1)。
这两个公式可以帮助我们计算等比数列中的首项和末项。
通过首项和公比，我们可以轻松地计算出任意项数的数列中的任意项。
等比数列通项推导
等比数列通项推导
等比数列是一种以相同比率累加的数列，其中每一项都是前一项的等比倍数。
也可以称作几何级数，在数学中，它有着重要的意义，许多史前文明也曾经发现过它。
公式形式表示为：
an=arr/a1
其中，a1为等比数列中的第一项；r为等比倍数。
等比数列通项推导
等比数列通项指的是等比数列中任意项的表达式，可以用以下公式推导：
an=αrn-1
其中，a1为等比数列中的第一项，r为等比倍数，n为等比数列中的项数，α为一个任意数。
将上述公式带入等比数列定义式中，可以得出：
αrn-1=arr/a1
由此可以得到：
α=a1r1-n
综上，可以得出等比数列通项的推导公式：
an=a1r1-nrn-1
应用
等比数列的通项推导的应用很多，比如：
（1）在求解等比数列的和时，可以利用等比数列的通项推导来计算出数列的和；
（2）在求解等比数列的极限时，可以利用等比数列的通项推导来计算数列的极限；
（3）在解决多项式恒等式时，可以利用等比数列的通项推导来解答恒等关系；
（4）在计算给定项数等比数列的值时，可以利用等比数列的通项推导来计算数列的值；
（5）在计算等比数列的平均值时，可以利用等比数列的通项推导计算等比数列的平均值。
总结
等比数列是一种以相同比率累加的数列，它有着重要的意义，在数学中有着广泛的应用。
本文详细介绍了等比数列通项推导的推导公式，以及它的应用，以期为读者提供一种便捷有效的方法来处理等比数列上的问题。
可见，等比数列通项推导与其他数学知识之间有着联系，所以，在学习数学的时候，应当重视等比数列的知识，多多加以练习，对于日后的数学学习和用处都有非常重要的作用。
等比数列公式_公式总结
等比数列公式_公式总结如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时，Sn=n×a1（q=1）记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
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等比数列的通项公式
教学重难点： 1、等比数列的概念和性质
2、如何判断一个等比数列
3、构造辅助数列转化为等比数列
授课内容：
一、 知识点
1、 等比数列的概念
（1） 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它前面相邻的一项之
比为常数，则这个数列为等比数列
（2） 数列{}n a 中，1n n
a q a +=（常数），则称n a 为等比数列 注：等比数列中不能出现0
2、 通项公式
(1) 通项公式：11n n m n m a a q a q --==
(2) 等比中项：a,G,b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，此时
G=
注意：①在a,b 同号时，a,b 的等比中项有两个；异号时，没有等比中
项
②在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项）
都是它的前一项与后一项的等比中项
③ “a,G,b 成等比数列” ⇔ “2(,0)G ab a b =均不为”，可以
用它来判断或证明三数成等比数列
（3） 通项公式的应用： 32324123112-1
+++++n n n n a a a a a a a q a a a a a a a -+⋯⋯====⋯⋯==⋯⋯
例1、 已知等比数列{}n a 中，5a =7，8a =56，求数列{}n a 的通项公式n a
例2、在等比数列{}n a 中，已知36471+=36+=18=2
n a a a a a ，，，求n
3、 性质
（1）若(,,,),n m p q m n p q m n p q N a a a a *+=+∈⨯=⨯则
（2）若等比数列{}n a 的公比为q,则11q n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以为公比的等比数列 （3）一组等比数列{}n a 中，下标称等差数列的向成等比数列
（4）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列
（5）从数列的分类来说：
{}110,10,01n a q a q a 〉〉〈〈〈当或时的数列的递增数列
{}110,010,1n a q a q a 〉〈〈〈〉当或时的数列的递减数列
当q=1时，数列{}n a 为常数数列
当q 〈0时，数列{}n a 为摆动数列
例、实数等比数列{}n a 中，37112712++=28=512n a a a a a a a ，，求
4、 方法和题型
1、 如何判断或证明一个数列为等比数列
（1） 定义法：即验证+1n n
a q a =（常数）是否成立，但应注意必须从第2项起所有项都满足此等式
（2） 递推法：即验证212n n n a a a ++=是否成立，但应注意这里
0()n a n N *≠≠
（3） 通项法：即验证11n n a a q -=是否成立，但注意这里00n a q ≠≠且
（4） 前n 项和法：{}n a 为等比数列(001)n n s Aq A A q q ⇔=-≠≠≠且且 例、a,b,c 成等比数列，a+b ，b+c ，c+d 均不为0，求证：a+b ，b+c ，c+d 成等
比数列（3种）
2、 等比数列的设项法：一般设其通项
例：有四个数，期中前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个
数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求此四个数。
3、 构造辅助数列
观察数列的递推公式，并对它进行适当的变形，构造辅助数列，使问题
转化为熟悉问题
例、若数列{}n a ，满足关系112,32n n a a a +==+，求数列的通项公式
注：一般的，对递推公式为+1=(1)n n a pa q p +≠的递推公式{}n a ，都可通过构造辅助数列1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩
⎭，从而转化为等比数列的问题 4、 等差数列与等比数列的比较：
利用等差数列与等比数列之间的关系，可对他们进行相互转化，从而使问题得以解决。
例、已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，数列{}n b 满足
n b =[]1211lg lg lg lg()n n a a a ka n
-++⋯++，问是否存在正数k ，使得{}n b 成等差数列若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
5、 等比数列的综合问题:
解等差数列与等比数列的问题时，关键是抓住他们的相关概念，公式性质进行分析、推理、变形。
例、已知()log ()log ()log 0m m m b c x c a y a b z -+-+-=
（1）若a ，b ，c 依次成等差数列且公差不为0，求证x,y,z 成等比数列
（2）若正数x,y,z 依次成等比数列，公比不为1，求证a ，b ，c 成等差数
列。