排列知识要点梳理
排列组合知识梳理
排列组合知识梳理1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一、选择题1．下面问题中，是排列问题的是( )A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B ．从40人中选5人组成篮球队C ．从100人中选2人抽样调查D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 2．乘积m (m ＋1)(m ＋2)(m ＋3)…(m ＋20)可表示为( )A ．A 2m B ．A 21m C ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋203．已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于( )A ．5B ．7C ．10D ．144．给出下列4个等式：①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A mn ＝n ！(n －m )！；④A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45.A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．366．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )A ．24个B ．30个C ．40个D ．60个一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:1.种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习题:1.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为2.要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1 440种B．960种C．720种D．480种三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为2．三位老师和三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为()A．720 B．144C．36 D．12四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习题:1.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346例2.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列知识点归纳总结
排列知识点归纳总结一、排列的定义排列是指将n个不同的元素从中选取r个元素进行排列的方式。
其表示形式为P(n, r)，表示n个元素中选取r个元素进行排列的方式的个数。
排列的顺序很重要，不同的排列顺序会产生不同的排列组合。
例如，对于三个元素a、b、c，从中选取两个元素进行排列的方式有6种，分别为ab、ac、ba、bc、ca、cb。
二、排列的性质1. 排列的个数当从n个元素中选取r个元素进行排列时，排列的个数可以表示为：P(n, r) = n! / (n−r)!其中，“!”表示阶乘。
这个公式表示了从n个元素中选取r个元素进行排列的方式的个数。
2. 全排列当不限定选取元素的个数时，可以将所有的元素进行排列，这就是全排列。
全排列的个数为n!，其中n为元素的个数。
三、排列的计算方法在实际计算中，计算排列的个数常常涉及到阶乘的计算。
阶乘的计算可以通过递归或者循环的方法进行。
在计算排列的个数时，可以使用数学公式进行计算，也可以将问题转化为图形的排列方式进行计算。
四、常见问题1. 从n个元素中选取r个元素进行排列的方式的个数。
这是排列问题中最基本的问题之一，计算排列的个数可以通过公式进行计算。
2. 排列的性质排列的性质包括排列的定义、性质、计算方法以及常见问题等内容。
3. 复杂排列问题在实际问题中，涉及到排列的问题往往是复杂的，需要利用排列的性质和计算方法进行解答。
总结排列是一种重要的组合方式，它在数学中有着重要的应用，也是解决实际问题中的重要数学工具。
通过排列的定义、性质、计算方法以及常见问题的总结，我们可以更好地理解排列的概念，提高解决排列问题的能力。
希望本文所总结的内容能够对读者有所帮助。
排列组合基础知识
排列组合基础知识排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 中不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法......第n 类方法中n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= (21)种不同的方法。
（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。
（3）特点：分成几类，就有几项相加。
2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 中不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法......做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ...21=种不同的方法。
（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。
（3）特点：分成几步，就有几项相乘。
二、排列组合1.排列（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个排列，排列数记为m n P ，或记为m n A 。
（2）使用排列的三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③讲究顺序。
（3）计算公式)!(!)1)....(2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---= 尤其：!,,110n P n P P n n n n ===2.组合（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素并为一组，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个组合，组合数记为m n C 。
（2）使用三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③并为一组，不讲顺序。
（3）计算公式12)...1()1)...(1()!(-+--=-==m m m n n n m n m n P P C m m m n mn尤其：m n n m n n n n n C C C n C C -====,1,,110例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.288解析：由于首位和末位有特殊要求，应优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，末位有13C 种选择，然后排首位，有14C 种选择，左后排剩下的三个位置，有34A 种选择，由分步计数原理得：13C 14C 34A =288例2.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。
排列部分知识点总结
排列部分知识点总结一、排列的基本概念1. 排列的定义排列是指由n个不同元素按一定顺序排成的一种方式，称为n个元素的排列。
设A={a1,a2,…,an}是n个不同元素构成的集合，从中抽取出r个不同的元素按一定顺序排列，共有多少种不同的排列方式？这就是排列问题。
通常用P(n,r)表示n个元素中取r个元素的排列数，即排列的总数。
2. 排列的表示方法通常，排列的总数可以用排列数公式计算得出：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×…×2×1，0的阶乘为1。
3. 排列与组合的区别排列和组合都是从n个元素中取r个元素，但排列要求元素之间有顺序，即考虑每个元素的位置，而组合只要求元素之间的组合方式，不考虑元素的顺序。
因此，排列数通常大于组合数。
二、排列的性质1. 排列数的性质（1）P(n,n) = n!（2）P(n,0) = 1（3）P(n,1) = n2. 排列数的计算（1）全排列：对于n个不同元素，全部按照顺序排列的方式数为n!。
（2）循环排列：n个不同元素按照循环方式排列，总数为(n-1)!。
（3）重复排列：n个元素中取r个元素排成一排，其中有重复元素的情况，排列数为n^r。
3. 排列的互补关系P(n,r) = n × P(n-1,r-1)P(n,r) = r × P(n-1,r)这两个互补关系可以用来简化排列数的计算。
三、排列的应用1. 排列的概念在实际生活中有着广泛的应用，比如数学竞赛、物理实验、计算机程序设计等方面都经常需要用到排列知识。
2. 在排列问题中，有一些特殊的情形需要特别注意，如循环排列、重复排列、不同元素的排列等。
在解决排列问题时，要灵活地运用排列的性质和互补关系，采用合适的方法进行计算。
3. 排列问题的解法有多种多样，比如直接求解、递推公式、数学归纳法、生成函数、贪心法等。
高中数学排列数学知识点总结
高中数学排列数学知识点总结高中数学中，排列是一个重要的概念和知识点。
它涉及到数学的组合与排列问题，常出现在数学的各个领域中。
下面我将对排列相关的数学知识进行总结和归纳，以帮助你更好地理解和掌握这一部分内容。
一、排列的定义排列是指从给定的元素中选取若干个进行组合，并按照一定顺序排列的方式。
在排列中，所选元素的个数与次序是影响结果的重要因素。
二、全排列全排列是指在给定的元素中，选取全部元素进行排列的方式。
设有n个元素，则全排列的总数为n! (n的阶乘)。
全排列常用于解决具体问题中的全面安排和组合方式。
三、常见的排列问题1. 线性排列：从给定的一组元素中，按照一定的顺序对其进行排列。
比如，有5个球，按照红、黄、蓝、绿、紫的顺序排列，共有5!种排列方式。
2. 环排列：在一组元素中，将它们排成一个环，使得环的起点和终点是确定的。
比如，有5个座位，在圆桌周围进行座位安排，共有(5-1)!种排列方式。
3. 选排问题：在给定的元素中，选取若干个元素进行排列，并按照一定的规则对其进行安排。
比如，从字母A、B、C、D中选取2个字母进行排列，共有4P2 = 12种排列方式。
四、排列的计算方法1. 公式法：利用排列的计算公式进行推算。
对于从n个元素中选取m个进行排列的问题，排列的总数为P(n, m) = n! / (n-m)!。
2. 应用法：根据具体问题特点，结合组合、条件限制等因素进行排列计算。
常见的应用法有循环法、分组法等。
五、排列相关的应用领域1. 概率与统计：排列经常被用于计算和分析不同事件发生的概率。
比如，从一副扑克牌中抽取5张，计算出各种牌型的概率。
2. 组合数学：排列是组合数学中的一个重要概念，与组合、集合等相关。
在组合数学中，排列被广泛应用于组合问题的解决和证明过程中。
3. 计算机科学：排列在计算机算法、数据结构等领域有广泛的应用。
例如，在编程中，需要对一组数据进行全排列或按一定规则进行排序等操作。
总结起来，高中数学中的排列是一个重要的数学知识点，涉及到全排列、线性排列、环排列、选排问题等内容。
一年级排列知识点归纳总结
一年级排列知识点归纳总结在一年级数学学习中，排列是一个重要的知识点。
它涉及到物体的摆放、人员的排序以及数的排列组合等。
通过掌握排列的相关知识，可以帮助孩子培养逻辑思维能力和组织能力，打好数学基础。
1. 什么是排列排列是指将一组元素按照一定的顺序进行摆放的方式。
可以简单地理解为“排队”，每个元素占据一个位置，且不重复。
举个例子，一年级的小朋友站成一排，每个小朋友站在不同的位置，这就是一个排列。
2. 排列的组成排列由三个要素组成：元素个数、选取个数和顺序。
元素个数指的是参与排列的元素的总个数，选取个数是指从中选择出多少个元素进行排列，顺序则表示元素的位置必须按照一定的先后顺序进行排列。
3. 排列的计算方法在计算排列个数时，可以使用阶乘来进行计算。
阶乘表示从1乘到给定的数，并将每个数相乘。
例如，4的阶乘可以表示为4！= 4 × 3 ×2 × 1 = 24。
4. 从一组元素中选取排列当从一组元素中选取出特定个数进行排列时，可以使用以下的计算方法：- 选取的元素个数等于总元素个数时，排列个数为n!，其中n表示元素的个数。
- 选取的元素个数小于总元素个数时，排列个数为n! / (n-k)!，其中n表示总元素个数，k表示选取个数。
5. 不重复元素的排列在计算不重复元素的排列个数时，可以直接使用排列计算的方法。
例如，由3个不重复的元素选取2个进行排列，排列个数为3! / (3-2)! = 6。
6. 重复元素的排列如果在一组元素中存在重复的元素，那么计算排列个数时需要额外考虑重复元素的情况。
例如，有3个元素中包含2个相同的元素进行排列，排列个数为3! / (2!·1!) = 3。
7. 题目应用排列的知识在日常生活中有很广泛的应用，例如：- 安排座位：在学校活动或者聚会时，需要将同学或者朋友按照一定的顺序进行排队就座。
- 赛跑名次：在田径比赛中，选手的名次就是通过跑步耗时的长短来决定的，需要按照跑步速度进行排名。
排列组合基础知识点
排列组合基础知识点排列组合是组合数学的重要组成部分，它研究的是如何根据特定的规则从一个集合中选择或排列对象。
它不仅在数学中有广泛的应用，在计算机科学、统计学、金融学等领域也扮演着重要角色。
本篇文章将详细介绍排列组合的基础知识，包括其定义、性质，以及相关的公式和应用示例。
一、排列的概念排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出r个元素，所形成的不同序列。
排列强调顺序，因此a和b的排列与b和a是不同的。
排列的公式为：[ A(n, r) = ]其中，n!（n的阶乘）表示从1到n所有整数的乘积。
1. 阶乘的定义阶乘是一个自然数n的连续乘积，记作n!，其定义为：n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1，当n ≥ 1;0! = 1。
2. 排列示例设有5种不同颜色的球（红、蓝、绿、黄、白），要从中选取3种颜色并进行排列。
根据排列公式，计算方法如下：[ A(5, 3) = = = = 60 ]此时，我们可以得出60种不同的颜色排列方式，例如（红、蓝、绿）、（蓝、绿、黄）等。
二、组合的概念组合是从n个不同元素中，选择r个元素而不考虑顺序的方法。
组合只关注所选元素，不关心它们的排列顺序。
例如，从a、b、c三种元素中选出两种元素，组合为(ab, ac, bc)。
组合的公式为：[ C(n, r) = ]1. 组合示例继续使用上面的例子，即有5种颜色的球，从中选择3种颜色组合。
根据组合公式进行计算：[ C(5, 3) = = = = 10 ]此时，可以得出10种颜色组合方式，如（红、蓝、绿）、（红、蓝、黄）等。
三、排列与组合之间的联系与区别虽然排列和组合都是从一个集合中选择元素，但它们有本质上的区别。
顺序：排列关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为两种不同情况。
组合不关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为相同情况。
计算方法：排列使用的是A(n, r)公式。
排列组合知识总结+经典题型
(1)知识梳理1．分类计数原理（加法原理）:完成一件事,有几类办法,在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
2．分步计数原理（乘法原理）:完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类"与“类"之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步"有关，要注意“步"与“步"之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏.3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 4．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5．排列数公式：特别提醒：（1）规定0！= 1（2)含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,….。
.an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于。
例如:已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.6．组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
7．组合数公式：8．两个公式：①②特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素。
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组"，前者有顺序关系，后者无顺序关系。
（2）典型例题考点一：排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1）甲不站两端；（2)甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；(4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；(6）甲不站左端，乙不站右端。
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排列知识要点梳理
知识点一：排列的概念
从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
说明：
1．一个排列中的元素不能重复，否则只能用分步记数原理求解；
2．排列的定义包括两个方面：
①先取出元素；
②再按一定的顺序排列，即先取再排；
3．两个排列相同的条件：
①元素完全相同；
②元素的排列顺序也相同.
知识点二：排列数
1．排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出
元素的排列数，用符号表示.
2．排列数公式
公式一：连乘表示式
公式特征：
第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。
公式推导：
①的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填
一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。
第一步：在第一个空位填一个元素，有种方法；
第二步：在第二个空位填一个元素，有种方法；
由分步计数原理完成上述填空共有种填法，
∴=.
②求可以理解为：从个元素中任取个不同的元素去填空（不能重复），
第一步：在第一个空位填一个元素，有种方法；
第二步：在第二个空位填一个元素，有种方法；
第三步：在第三个空位填一个元素，有种方法；
…
第步：在第个空位填一个元素，有种方法；
依据分步记数原理，共有种方法。
公式二：阶乘表示式
推导：
即=.
知识点四：n的阶乘
1．全排列：
个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列。
全排列.
2．阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.
规定：．
规律方法指导
1．排列和排列数的区别
排列与排列数是两个不同的概念.“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，是具体的形式，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，
任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.
2．如何选择运用排列数的两个公式？
对于排列数的两个形式的公式，连乘表示式常用于计算具体的含有数字的排列数的值；阶乘表示式则常用于汉字母的排列数的变形和有关等式的证明。
3．排列的常见类型与处理方法
①捆绑法：相邻或者要求几个元素必须在一起的排列，常用捆绑法；
②插空法：不相邻排列，常用插空法；
③排除法：直接考虑情况较多，但其对立面情况较少，先不考虑附加条件，计算出排列数，再减去不合
要求的排列数。
④元素分析法：以元素为主考虑，即先满足特殊（受限）元素的要求，再处理其他元素，有两个以上的
约束条件，往往是考虑一个元素的同时要兼顾其他元素。
⑤位置分析法：以位置为主考虑，先满足特殊（受限）位置的要求，再处理其他位置，有两个以上的约
束条件，往往是考虑一个条件的同时要兼顾其他条件。