剖析函数yfx与yftx的奇偶性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).，则T＝2a(a≠0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a≠0).③若f(x＋a)＝－1f（x）④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).函数图象的对称性①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)＝( )A ．20232B ．1C ．0D ．－1 答案 D解析 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，因为f (x )为R 上的奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选D.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－3x 2＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝( )A ．－103 B ．103 C ．－23 D ．23答案 B解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，∴f ((x ＋1)＋1)＝－f (－(x ＋1)＋1)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (－x )，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)＝－f (－x ).令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，∴f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，∴f (x ＋4)＝f (x ).故函数f (x )的周期为4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝103.故选B.例3 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 B ．f (sin 1)>f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 D ．f (sin 2)>f (cos 2)答案 C解析 ∵当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，f (x ＋2)＝f (x )，∴当x ∈[－1，1]时，f (x )＝f (x＋2)＝f (x ＋4)＝1－|x |，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x ，∴函数f (x )在[0，1]上为减函数，又0<cos π3<sin π3<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，A 错误；0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，C 正确；f (sin 2)＝1－sin 2，f (cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 2π3<sin 2<1，cos 2π3<cos 2<0，∴0<1－sin 2<1－32，12<1＋cos 2<1，∴f (sin 2)<f (cos 2)，D 错误．故选C.例4 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．答案 52解析 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 例5 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是( )A ．f (－1)<f (9)<f (13)B ．f (13)<f (9)<f (－1)C ．f (9)<f (－1)<f (13)D ．f (13)<f (－1)<f (9) 答案 C解析 ∵f (5＋t )＝f (5－t )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，∴f (－1)＝f (11)，∵函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，∴f (x )在(5，＋∞)上单调递增．∴f (9)＜f (11)＜f (13)，即f (9)＜f (－1)＜f (13).例6 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )得f (x )的图象关于(0，1)对称，而y ＝x ＋1x ＝1＋1x 也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .例7 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1).若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞)D ．(0，1)∪(1，4) 答案 C解析 当－4≤x ＜0时，函数y ＝|x ＋3|关于原点对称的函数为－y ＝|－x ＋3|，即y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)，因为函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a ＞1，则f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x ＝4时，y ＝－|4－3|＝－1，若0＜a ＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f (4)＜－1，即log a 4＜－1，得14＜a ＜1.综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞).故选C.例8 已知函数g (x )的图象与f (x )＝x 2－mx 的图象关于点(－1，2)对称，且g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，则实数m ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－1 答案 C解析 设(x ，y )是函数g (x )的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x ，4－y )，因此点(－2－x ，4－y )在f (x )的图象上，所以4－y ＝(－2－x )2－m (－2－x )，整理得y ＝－x 2－mx －4x －2m ，即g (x )＝－x 2－mx －4x －2m ，又g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，所以方程－x 2－mx －4x －2m ＝－4x －4，即x 2＋mx ＋2m －4＝0有两个相等的实数根，则m 2－4(2m －4)＝0，可得m ＝4.故选C.例9 定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，若对任意的x ∈[t ，t ＋1]，不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－1B ．－23 C ．－13 D ．13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，当1≤x ＜4时，f (x )＝3－x 为减函数，且f (x )∈(－1，2]；当x ≥4时，f (x )＝1－log 2x 为减函数，且f (x )∈(－∞，－1]，∴f (x )在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，由对称性可得|2－x －1|≥|x ＋1＋t －1|对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，即有|x －1|≥|x ＋t |⇔－2x ＋1≥2tx ＋t 2⇔(2t ＋2)x ＋t 2－1≤0对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，令g (x )＝(2t ＋2)·x ＋t 2－1，则⎩⎨⎧g （t ）≤0，g （t ＋1）≤0，即⎩⎨⎧2（t ＋1）t ＋t 2－1≤0，2（t ＋1）（t ＋1）＋t 2－1≤0，即⎩⎨⎧3t 2＋2t －1≤0，3t 2＋4t ＋1≤0，解得－1≤t ≤－13，∴实数t 的最大值为－13.故选C. 轴对称(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称(当a ＝0时，恰好就是偶函数). (2)f (a －x )＝f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2轴对称．(3)f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，进而可得到f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称． 中心对称(1)f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称(当a ＝0时，恰好就是奇函数). (2)f (a －x )＝－f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0中心对称．(3)f (a －x )＋f (b ＋x )＝2c ⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 中心对称．。
函数的奇偶性(讲义)
函数的奇偶性【知识要点】1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数〔even function 〕. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫奇函数〔odd function 〕.2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比拟法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系；〔1〕奇函数⇔)0)((1)()(0)()()()(≠-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f x f ； 〔2〕偶函数()()()()()()()()0 10≠=-⇔=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f x f . 4．函数奇偶性的几个性质：〔1〕奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域； 〔2〕奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； 〔3〕假设奇函数()x f 在原点有意义，那么()00=f ；〔4〕根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；〔5〕在公共的定义域内：两个奇〔偶〕函数的和与差仍是奇〔偶〕函数；两个奇〔偶〕函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； 〔6〕函数()x f 与函数()x f 1有相同的奇偶性. 5．奇偶性与单调性：〔1〕奇函数在两个关于原点对称的区间[][]b a a b ,,,--上有相同的单调性； 〔2〕偶函数在两个关于原点对称的区间[][]b a a b ,,,--上有相反的单调性.【典例精讲】类型一 函数奇偶性的判断 例1 判断以下函数的奇偶性： 〔1〕()x x x f -+-=22； 〔2〕()1122-+-=x x x f ；〔3〕()()0≠⋅--+=b a b ax b ax x f ； 〔4〕()⎪⎭⎫⎝⎛+-=21121xx x f ； 〔5〕⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>++-=； ，0,10,1)(22x x x x x x x f 〔6〕⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=.0,320,00,32)(22x x x x x x x x f ， ，变式 判断以下函数的奇偶性：(1)f (x )=x 4； (2)f (x )=x 5； (3)f (x )=x +21x ； (4)f (x )=21x. 〔5〕x x x f 2)(3-= 〔6〕2442)(x x x f +=〔7〕)0,0(>>+=b a x bax y 〔8〕)0(2>-=k kx x y例2 ()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()1223-+=x x x f ，求()x f 的表达式。
函数的奇偶性(精辟讲解)
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
函数的奇偶性
2.1.4函数的奇偶性一、知识梳理：1.奇、偶函数的定义：（1）设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的 ，都有 ， 且 ，则这个函数叫做奇函数。
（2）设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的 ，都有 ， 且 ，则这个函数叫做偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域D 内的任意一个x ，则x -也一定是定义域D 内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．2.奇、偶函数的图像特征：（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是 ； 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
（2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是 ； 反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数。
3.奇、偶函数的性质：（1）奇函数在[],a b 和[],b a --上有相同的单调性；偶函数在[],a b 和[],b a --上有相反的单调性。
（2）在定义域的公共部分内，两奇函数之积（商）为偶函数，两偶函数之积（商）也为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数。
（注意：取商时分母不为零）4.奇偶性的判定方法：利用定义判断函数()f x 的奇偶性主要分三步进行：①判断函数()f x 的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；②化简函数()f x 的解析式（注意定义域）；③求出()f x -，根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性。
二、典型例题：类型1用定义判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性。
23(1)()2;1(2)();(3)()(4)()2.f x x x f x x xf x f x x =-=+==-变式训练：判断下列函数的奇偶性。
论文-浅议函数的奇偶性
浅议函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一。
它在代数，三角函数以及高等数学中有着广泛的应用。
一、关于函数的奇偶性的定义高中代数新教材（上册）（以下称教材）第61页，定义如下：⑴一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有，)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就称偶函数；⑵一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就称奇函数；定义说明：上述定义可等价地叙述为：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；理解定义是应用概念的前提，在教学中应注意引导学生认识以下两点：⑴、定义中要求“对于函数)(x f 的定义域内任意一个，都有0)()(=±-x f x f ”成立，可见)(x f 必有意义，即x -也属于)(x f 的定义域，即自变量x 的取值要保持任意性。
于是有，奇（偶）函数的定义域是一个对称数集（在数轴上表示为关于原点对称的点集）。
如果将教材中函数1)(2+=x x f ，x x f =)(的定义域分别改为+R 与]3,3(-，学生能很快判断出它们为非奇非偶函数。
也就是说：若一个函数的定义域不对称，则此函数不是奇（偶）函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
⑵、定义中的等式)()(x f x f -=-（或)()(x f x f =-）是定义域上的恒等式，而不是对部分x 成立。
如：函数尽管当11+x (1≤x )(1>x )f(x)=1≤x 时，都有)()(x f x f =-,但它并是非偶函数。
二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；④、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
函数的奇偶性 - 中等难度 -讲义
函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 2.图象法 3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =I 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数； 3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数； 4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+；②y=（x＞0 ）；③y=x3+1；④y=．其中是奇函数的有（填序号）．2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=．3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较()/()_D_Dd__________ʔˁϨϨ__4．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f（a﹣2）＜f（4﹣a2），求a的取值范围．5．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），则a的取值范围=．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b=．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则++…+=．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（）+2的解集是．12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=3，x∈R；（2）f（x）=5x4﹣4x2+7，x∈[﹣3，3]；（3）f（x）=|2x﹣1|﹣|2x+1|；（4）f（x）=．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a （a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=．17．已知函数是奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．18．已知f（x）=．（1）求f（x）+f（）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（）+…+f（）的值．。
函数的对称性和奇偶性
函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中的重要概念，可以帮助我们研究函数的性质和特点。
在本文中，我们将探讨函数的对称性和奇偶性，并讨论它们在解题中的应用。
一、函数的奇偶性在数学中，如果对于函数 f(x)，满足 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
换句话说，函数的图像关于 y 轴对称。
相反地，如果对于函数f(x)，满足 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
也就是说，函数的图像关于原点对称。
函数的奇偶性可以通过解方程 f(x) = 0 来判断。
如果解方程 f(-x) = f(x) = 0，则函数是偶函数；如果解方程 f(-x) = -f(x) = 0，则函数是奇函数。
此外，对于一些简单的函数，我们也可以通过观察函数的表达式来判断其奇偶性。
比如，多项式函数 f(x) = x^n（n为正整数）是奇函数当且仅当 n 是奇数，是偶函数当且仅当 n 是偶数。
奇偶函数的性质也非常有趣。
如果函数 f(x) 是奇函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = -f(-a)。
这意味着奇函数在原点对称，即通过原点的直线上的函数值相等。
相反地，如果函数 f(x) 是偶函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = f(-a)。
这意味着偶函数在 y 轴上的函数值相等。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他种类的对称性。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和旋转对称。
1. 轴对称如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有轴对称性。
这条直线称为对称轴。
对称轴可以是 x 轴、y 轴，也可以是其他直线。
在解题中，我们可以根据函数的性质和方程来确定函数的对称轴。
比如，对于一般函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，则对称轴为直线 x = a。
2. 中心对称如果函数的图像关于某个点对称，则称该函数具有中心对称性。
这个点称为中心点。
常见的中心对称函数有圆和椭圆。
在解题中，我们可以通过观察函数的表达式和图形来确定函数的中心对称性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
剖析函数y=f(x)与y=f[t(x)]的奇偶性函数的奇偶性是高中数学的重要内容，它与函数的单调性，周期性一起构成研究函数性质的三把钥匙。
函数的奇偶性是教学过程中的一个难点，笔者现就教学过程中遇到的问题加以探讨。
教材中奇偶性的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)则称f(x)为这一定义域内的奇函数。
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)则称f(x)为这一定义域内的偶函数。
在函数的奇偶性定义中，若函数y=f（x）的定义域I是关于原点对称（即xÎI，则-xÎI）且f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）则函数叫偶（或奇）函数。
由此可知：函数的定义域关于原点对称是该函数为奇（或偶）函数的必要条件。
本文主要谈谈函数y=f（x）与函数y=f(kx+b)(k¹0)在奇偶性方面的不同表现形式。
例1：y=f(x)是单调递增的奇函数，它的定义域为[-1，1]，求已知函数1y.2y=f(x) 的定义域为[-1,1]解：Q1x-?\ -1£231-1£x+1£1f(23x-)³-f(x+1)y=f(x)是奇函数Q1\ 2£2x£4-2£x£0x-)³f(-x-1)f(23y=f(x)是单调递增函数Q1\ -2£x£23x-³-x-1\ -2£x £x £-2 或 x ³ 1\x Î{}2-故2y 的定义域为x Î{}2-此时2y =0\ 值域: 2y Î{}0点评：y=f(x)(x ÎR)为奇函数Þf(-x-1)=-f(x+1) (x ÎR)例2：若函数y=f(2x+1)为奇函数，则f(-2x+1)=___________若函数y=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=_____________解：由于对应法则后边不是x ，而换成了2x+1,学生无从下手，其实，此题是把自变量x 换成了2x+1后的函数，在运算后的自变量仍然是x ，f(2x+1)是奇函数实质上还是对x 而言的。
故y=f(2x+1)是奇函数\f(-2x+1)=-f(2x+1)同理：若函数y=f(2x+1)为偶函数\ f(-2x+1)=f(2x+1)点评：若函数y=f(2x+1)为偶函数\ f(-2x+1)=f(2x+1)，即f(1+2x)=f(1-2x)，这表明函数y=f(a+x) 的图象与y=f(a-x)的图象关于y 轴对称。
应注意：y=f(a+x) 的图象与y=f(a-x)的图象关于y 轴对称，这里是两个函数图象间的对称;而函数y=f(a+x)为偶函数，它的图象关于y 轴对称,这里是一个函数图象内部之间的自身的对称。
例3：（2003年安徽三市联考）已知f(2x+1)为偶函数，那么函数f(2x)图像的对称轴方程为_____________解法1：Q y=f(2x+1)=f[2(x+12)]的图像向右平移12个单位得到函数y=f[2(x)]=f(2x)的图像, Q y=f(2x+1)是偶函数\它的图像关于y 轴对称，即x=0是函数f(2x+1)的图象的对称轴，直线x=0也向右平移12个单位得直线方程为x=12，故直线x=12是函数f(2x)的图象的对称轴。
解法2：Q f(2x+1)为偶函数\y=f(-2x+1)=f(2x+1),即f(1-2x)=f(1+2x),Q 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x) (x ÎR)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称\函数y=f(x)的对称轴方程为x=1,故函数y=f(2x)的对称轴方程为x=12. 点评：y=f(2x+1)为偶函数Þf(-2x+1)=f(2x+1).例4：（2006年湖北省八校第一次联考）已知函数f(x)是R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数且g(x)=f(x-1),若f(2)=2则f(2006)的值为______A. 2B. 0C. -2D. ±2解法1：Q g(x)=f(x-1)\f(x)=g(x+1)Q g(x)为奇函数\g(x+1)=-g(-x-1)=-f(-x-2),又f(x)为偶函数\f(x)=g(x+1)=-g(-x-1)=-f(-x-2)=-f(x+2)\f(x+2)=-f(x), \f(x+4)=f(x) (x ÎR)\T=4 \ f(2006)=f(4×501+2)=f(2)=2故选A解法2：Q g(x)是R 上的奇函数且g(x)=f(x-1)，即f(x-1) 是R 上的奇函数\f(-x-1)=-f(x-1) Q 函数f(x)是R 上的偶函数\f(x+1)=f(-x-1)=-f(x-1),\f(x+1)=-f(x-1) 令x-1=t (t ÎR)则x=t+1\f(t+2)=-f(t)\f(t+4)=-f(t+2)=-[-f(t)]=f(t) ，周期为 T=4\ f(2006)=f(4×501+2)=f(2)=2故选A点评：y=f(x) 是R 上的偶函数Þf(-x-2)=f(x+2)y=g(x) 是R 上的奇函数Þg(-x-1)=-g(x+1)y=f(x-1) 是R 上的奇函数Þf(-x-1)=-f(x-1)例5：（黄冈中学2006年三月检测）已知定义在R 上的函数y=f(x)满足以下三个条件：（1）对任意的x ÎR 都有f(x+4)=f(x);（2）对任意的1x , 2x ÎR 且0£1x <2x £2都有f(1x )<f(2x );（3）函数y=f(x+2)的图像关于y 轴对称.则a=f(4.5), b=f(6.5), c=f(7)从小到大的关系是__________解法1：由（1）（2）知y=f(x)的周期为T=4且在0£x £2上是增函数Q 函数y=f(x+2)的图像关于y 轴对称\y=f(x+2)是偶函数，f(2+x)=f(2-x) (x ÎR)\f(x)=f[2-(2-x)]=f[2+(2-x)] =f(4-x)\ f(x)=f(4-x) (x ÎR) Q a=f(4.5)=f(0.5);b=f(6.5)=f(2.5)=f(4-2.5)=f(1.5);c=f(7)=f(3)=f(4-3)=f(1)又Q f(0.5) <f(1) <f(1.5) \a<c<b解法2：由（1）（2）知y=f(x)的周期为T=4且在0£x£2上是增函数Q函数y=f(x+2)的图像关于y轴对称\y=f(x+2)是偶函数，f(2+x)=f(2-x) (xÎR)\f(x)=f[2-(2-x)]=f[2+(2-x)] =f(4-x)\ f(x)=f(4-x) (xÎR)Q y=f(x)的周期为T=4，\ f(x)=f(4-x)=f(-x)\y=f(x)是偶函数∴a=f(4.5)=f(0.5);b=f(6.5)=f(8-1.5) =f(-1.5)=f(1.5);c=f(7)=f(8-1)=f(-1)=f(1)又Q f(0.5) <f(1) <f(1.5)\a<c<b解法3：由y=f(x+2)的图像向右平移2个单位得y=f(x)的图像Q函数y=f(x+2)的图像关于y轴对称\直线x=0是y=f(x+2)图象的对称轴,又直线x=0向右平移2个单位得到直线x=2.故直线x=2是函数y=f(x)的图象的对称轴，则有f(2+x)=f(2-x) (xÎR) （以下同解法2）点评：函数y=f(x+2)的图像关于y轴对称Þy=f(x+2) 是偶函数Þf(2+x)=f(2-x) (xÎR)例6：已知奇函数f(x), xÎR满足f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2) 则f(3)=________A. 0B. 1C. 32D. 5解法1：Q f(x+2)=f(x)+f(2)令x=1得f(3)=f(1)+f(2)=1+f(1) ①令 x=-1得f(-1+2)=f(-1)+f(2)\ f(1)=f(-1)+f(2)Q y=f(x)为奇函数\ 2f(1)=f(2)=1 \f(1)= 12代入①得 f(3)=32故选 C解法2：Q f(x+2)=f(x)+f(2) ①又f(x)为奇函数令x=-1得f(1)=f(-1)+f(2) f(2)=2f(1)=1 f(1)= 1 2又Q f(x+2)=f(x)+f(2) 用-x代换 x, 得f(-x+2)=f(-x)+f(2)=-f(x)+f(2)\f(x)+f(-x+2)=f(2) 代入①得 f(x)= 12[f(2+x)-f(2-x)] Q f(x)是奇函数\f(x)= 12[f(x+2)+f(x-2)] (x ÎR) 令x=1得 f(1)= 12[f(3)+f(-1)] \ f(3)=f(1)+2f(1)=3f(1)= 32选C点评：y=f(x) (x ÎR)是奇函数Þ f(-x-2)=-f(x+2) (x ÎR)y=f(x+2) (x ÎR)奇函数Þ f(-x+2)=-f(x+2) (x ÎR)例7：（2005年«数学天地»函数单元练习第8题）函数的定义域为R ，已知f(x+1)为奇函数，当x ＜1时f(x)=2 2x -x+1,那么当x ＞1时f(x)的递减区间为________A.[ 54,+∞)B.(1, 54]C. (1, 74]D.[ 74,+∞) 解：∵f(x+1)为奇函数∴f(-x+1)=- f(x+1)，设x+1＜1 ∴x ＜0 ,-x+1＞1∵x ＜1时f(x)=2 2x -x+1,∴f(-x+1)=- f(x+1)=-[2 2(1)x +-(x+1)+1]=-2(2x +32x)-2=-2(x+34)2-78令t=-x+1(x ＜0) ∴ x=-t+1（t ＞1） ∴f(t)=-227()4t -+-78=-2(t-74)2-78(t ﹥1) 当x ＞1时f(x)的递减区间为[ 74,+∞) 故选D 练习1.(2005年黄冈中学)函数y=f(x)在(0,2)上为增函数，函数y=f(x+2)为偶函数，则有________ A. f(72)<f(52)<f(1) B. f(1) <f(52)<f(72) C. f(52)<f(1) <f(72) D. f(72)<f(1) < f(52)2．已知函数f(x)是R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数,且g(x)=f(x-1)， 若f(1)=0则g(2006)的值为______3.（2006年华师一附中适应性试题）已知y=f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=f(x-1). 当x Î(0,1)时，f(x)= ㏒211x- 则y=f(x)在(1,2)内是________ A. 单调递增函数且f(x)＜0 B. 单调递减函数且f(x)＞0C. 单调递增函数且f(x)＞0D. 单调递减函数且f(x)＜04．定义在R上的偶函数f(x)在区间[-2，0]上是单调递减函数，且y=f(x+2)也是偶函数，设a=f(-1.5),b=f(),c=f(5)则a,b,c的大小顺序是__________A. b<c<aB. c<b<aC. a<b<cD.b<a<c由于点p(x,f(-kx+b))与点'p(-x,f(-kx+b)) (xÎR) 关于y轴对称,所以函数y=f(kx+b) 为偶函数Þ f(-kx+b)=f(kx+b) (k¹0， xÎR) 由于点M(x,f(-kx+b))与点'M(-x,-f(-kx+b)) (xÎR) 关于原点对称, 所以函数y=f(kx+b)为奇函数Þ f(-kx+b)=- f(kx+b) (k¹0， xÎR) 一般地；当xÎ（- ¥，+¥）时：y=f(kx+b) 为偶函数Þ f(-kx+b)=f(kx+b) (k¹0)y=f(kx+b) 为奇函数Þ f(-kx+b)=- f(kx+b) (k¹0)y=f(x) 为偶函数Þ f(-kx-b)=f(kx+b) (k¹0)y=f(x) 为奇函数Þ f(-kx-b)=-f(kx+b) (k¹0)进而推广，已知f(x)的奇偶性，如何求f[-t(x)]或f[t(-x)]；或者已知f[t(x)]的奇偶性，如何求f[-t(x)]或f[t(-x)]这样两个问题。