概率论与数理统计第三章习题及答案
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概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布
习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.
（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=
35147
2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356
47
221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=
3564
7
1
2
2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353
472
223=C C C P {X=2, Y=1 }=
35124
712
1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353
47
2
223=C C C P {X=3, Y=0 }=
35247
1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352
47
1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0
习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<<<--=其它
,
0,
42,20),
6(),(y x y x k y x f
（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1< ⎰⎰⎰⎰⋂=o D G G dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中 ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵⎰⎰⎰ ⎰ +∞∞-+∞ ∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1= k （2）8 3 )6(8 1)3,1(32 1 ⎰ ⎰= --= < Y X P （3）32 27 )6(81),5.1()5.1(4 25.10 = --=∞<≤=≤⎰ ⎰ dy y x dx Y X P X P （4）3 2 )6(81)4(40 20 =--= ≤+⎰ ⎰ -dy y x dx Y X P x 习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。 习题3-4 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ⎩⎨ ⎧≤≤=其它 , 0,1, ),(22y x y cx y x f （1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 解: （1）l= ⎰⎰ ⎰ ⎰⎰ ∞+∞ -+-∞+∞ -= ⇒=== 4 21 21432),(10 25 2 10 c c dy y c ydx cx dy dxdy y x f y y （2）⎪⎩ ⎪⎨⎧ --==⎰,0),1(8 21421)(~4212 2x x ydy x x f X x X ⎪⎩ ⎪⎨⎧≤≤==⎰+-其它 01027421)(~252y y ydx d y f Y y y Y 习题3-5 在第7题中，（1）求条件概率密度)|(|y x f Y X ，特别，写出当21 =Y 时X 的条件概率密度；（2）求条件概率密度)|(|x y f X Y ，特别，分别写出当2 1 ,31==X X 时Y 的 条件概率密度；（3）求条件概率⎭⎬⎫⎩⎨⎧ =≥ 21|41X Y P ，⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧ =≥21|43X Y P (注：上面提到的 7 题应为下面补充的 9 题） 习题3-6 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它 , 0, 10,||,1),(x x y y x f 求条件概率密度)|(),|(||x y f y x f X Y Y X . 习题3-7 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概 率密度为⎪⎩ ⎪⎨⎧≤>=-.0,0, 0,21)(2 y y e y f y Y （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程022 =++Y Xa a ，试求a 有实根的概率。 解：（1）X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 ,0) 1,0(,1)(x x f X Y 的概率密度为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧≤>=-.0,00 ,21)(y y e y f y Y 且知X , Y 相互独立， 于是（X ，Y ）的联合密度为 ⎪⎩⎪ ⎨⎧><<==-其它 0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X （2）由于a 有实跟根，从而判别式0442 ≥-=∆Y X 即：2X Y ≤ 记}0,10|),{(2 x y x y x D <<<<= dx e de dx dy e dx dxdy y x f X Y P x x y y D x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ----=-=== ≤10102022 1 2 2 22 12 1),()( 1445 .08555.013413.05066312.21) 5.08413.0(21))2()1((2121 210 2 2=-=⨯-=--=Φ-Φ-=⋅ -=⎰ - πππ πdx e x 习题3-8 设X 和Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ⎩⎨ ⎧≤>=-0, 0, 0, )(x x e x f x X λλ ⎩⎨⎧≤>=-0 , 0,0, )(y y e y f x Y μμ 其中0,0>>μλ是常数，引入随机变量⎩⎨ ⎧>≤=Y X Y X Z 当当, 0,, 1 （1）求条件概率密度)|(|y x f Y X ；（2）求Z 的分布律和分布函数 .