三要素法分析一阶电路

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τ
τ 要由换路后的电路结构和参数计算
τ
τ = R eq C
RL电路
L τ= R eq
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例1
t<0时电路处于稳态，t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1 5Ω i1 5Ω 解一 三要素为： iL + − + + i L ( 0 ) = i L ( 0 ) = 10 / 5 = 2 A 20V 10V 0.5H – – i ( ∞ ) = 10 / 5 + 20 / 5 = 6 A
应用三要素公式
i L ( t ) = i L (∞ ) + [i L (0 ) − i L (∞ )]e
+
−
t τ
di L uL ( t ) = L = 0 .5 × ( − 4 e − 5 t ) × ( − 5 ) = 10 e − 5 tV t > 0 dt −5 t i1 ( t ) = ( 10 − u L ) / 5 = 2 − 2e A t > 0
−
t τ
f (∞ ) 三要素 f (0 + ) τ
直流激励时： f (∞ ) 0+ = f (∞ )
稳态解 初始值 时间常数
分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题
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“三要素”的计算
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3、时间常数 的计算: 一阶电路只有一个时间常数，同一电路中各响 应的 是一样的。 电路: 步骤: 对于只含一个R和C的简单电路， τ = RC 对于较复杂的一阶RC电路，求从电容所在端 口看进去的戴维宁等效电阻 Req。则:
2.0A 6.0A 10V 10
i L ( t ) = 6 + ( 2 − 6 )e − 5 t = 6 − 4e − 5 t A
t≥0
i1
5Ω + 10V –
5Ω
iL u t()t ) u(L L( t )
+ 20V –
iL
0.5H
iL i1 ( t )( t )
1.0A 4.0A 5V 5
i1 ( t )
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3、三要素法求解一阶电路有两种思路。 其一，先用三要素法求换路后状态量的表达式， 再用元件约束和拓扑约束求其它响应。 其二，直接求各待求量的初值、稳态值和电路的时 间常数，再套用三要素法公式。 4、应用的关键：三要素的求解。
f ( t ) = f ( ∞ ) + [ f ( 0+ ) −
+
t − f ( ∞ )] e τ
, t>0 ,t >0 ,t >0
f ( t ) = f ( ∞ ) + [ f ( 0 ) − f ( ∞ ) 0+
t − ]e τ − t τ
f ( t ) = f p ( t ) + [ f ( 0 + ) − f p ( t ) 0+ ] e
2.0A 0V 0 0A 0.5s 0.5s 0.5s 0.5s I(R1) I(R1) -I(L1) -I(L1) V(L1:2) 1.0s 1.0s 1.0s 1.0s V(R1:2) 1.5s 1.5s 1.5s Time Time Time Time 2.0s 2.0s 2.0s
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R US +u –
R
C
uC
–
+
duC RC + uC = U S （1） dt
uC ( 0 − ) = U 0
若以非状态量i 为变量：
Ri + uC = U S di 1 R + i = 0 （2） dt C
di duC 方程求导： R + =0 dt dt
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电阻电路
+
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2、稳态值
f (∞ )
的计算
步骤: (1) 画出换路后t=∞ 的等效电路 （注意:在直流 激励的情况下,令C开路, L短路）； (2) 根据电阻电路的解题规律， 求未知量u或i 的稳态值。
1、初始值
f (0 )
+
的计算:
−
(1)根据t=0- 的等效电路，求换路前的 uC (0 (2)根据换路定律得出：
)、iL (0 )
பைடு நூலகம்
−
uC ( 0 + ) = uC ( 0 − ) i L (0 + ) = i L (0 − )
+
(3)根据换路后t=0+ 的等效电路，求未知的 u ( 0 ) 或
i (0 )
0＋等效电路
i1 ( ∞ ) 5Ω
(10 − 20 ) i1 ( 0 ) = + 1 = 0A 10
+
5Ω
iL( ∞ )
i1 ( ∞ ) = 10 / 5 = 2 A
+ 10V –
+ 20V –
t = ∞等效电路
i L ( t ) = 6 + ( 2 − 6 )e − 5 t = 6 − 4 e − 5 t t ≥ 0
解二
−
三要素为：
+
i1 ( 0 + )
5Ω + 10V –
5Ω 2A + 20V –
i L ( 0 ) = i L ( 0 ) = 10 / 5 = 2 A i L ( ∞ ) = 10 / 5 + 20 / 5 = 6 A
τ = L / R = 0 .6 /( 5 // 5 ) = 1 / 5 s
df a + bf = c( t ) dt
其解答一般形式为：
f ( t ) = 特解+对应齐次方程的通解
直流或正弦激励时，特解取电路的稳态解 f ( ∞ ) 。
f ( t ) = f ( ∞ ) + Ae pt 1 定义时间常数：τ = − 。 p t f ( t ) = f ( ∞ ) + Ae
i1 ( t ) = 2 + ( 0 − 2 )e
−5 t
= 2 − 2e
−5 t
A
t>0
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“三要素法”小结
1、三要素法只适用于一阶电路。 2、三要素法公式。 直流激励： 正弦激励： 一般情况：
令t= 0+
f (0 ) = f (∞ ) 0+ + A
+
−
τ
（3）
A = f (0 + ) − f (∞ ) 0+
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一阶电路的三要素法公式
f ( t ) = f (∞ ) + [ f (0 + ) − f (∞ ) 0 + ]e
L
τ = L / Req = 0 .5 /( 5 // 5 ) = 1 / 5 s
5Ω + 10V –
i L ( 0− ) i1 ( ∞ ) 5Ω
5Ω
iL( ∞ )
5Ω
5Ω
+ 10V –
+ 20V –
t = 0 − 等效电路
t = ∞等效电路
求Req
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§6.4 三要素法分析一阶电路
重点
ü三要素法公式及其适用范围。 ü应用三要素法求解一阶电路。
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6.4 三要素法分析一阶电路
df + bf = c( t ) 一阶电路的数学模型是一阶微分方程： a dt 以RC 电路为例: uC 列方程： S (t=0) 关于状态量 i