高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第一章 1.2

§1.2充分条件与必要条件充分条件、必要条件与充要条件的概念概念方法微思考若条件p,q以集合的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.提示若A B,则p是q的充分不必要条件；若A⊇B,则p是q的必要条件；若A B,则p是q的必要不充分条件；若A＝B,则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分又不必要条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(√)(2)已知集合A,B,则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(3)q不是p的必要条件时,“p⇏q”成立.(√)(4)若p⇒q,则p是q的充分不必要条件.(×)题组二教材改编2.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要3.“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分4.函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.答案m＝－2题组三易错自纠5.设x＞0,y∈R,则“x＞y”是“x＞|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析 由x ＞y 推不出x ＞|y |,由x ＞|y |能推出x ＞y ,所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要不充分条件. 6.(多选)设x ∈R ,则x ＞2的一个必要不充分条件是( ) A.x ＜1 B.x ＞1 C.x ＞－1 D.x ＞3 答案 BC7.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<3x <27，x ∈R ,B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1,m ∈R },若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是____________. 答案 (2,＋∞)解析 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<3x <27，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3},x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,所以A B ,所以m ＋1＞3,即m ＞2.充分、必要条件的判定1.设命题p :x ＞4；命题q :x 2－5x ＋4≥0,那么p 是q 的______________条件.(选填“充分不必要”必要不充分“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 由x 2－5x ＋4≥0得x ≤1或x ≥4,可知{x |x ＞4}是{x |x ≤1或x ≥4}的真子集,∴p 是q 的充分不必要条件.2.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( ) A.充要条件 B.既不充分又不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件答案 D解析 非有志者不能至,是必要条件；但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件. 3.设p :⎝⎛⎭⎫12x＜1,q :log 2x ＜0,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x ＜1知x ＞0,所以p 对应的集合为(0,＋∞),由log 2x ＜0知0＜x ＜1,所以q 对应的集合为(0,1),显然(0,1)(0,＋∞),所以p 是q 的必要不充分条件.4.若集合A ＝{x |x 2－6x ＋5＜0},B ＝{x ||x －a |＜1},则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 A ＝{x |1＜x ＜5},B ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}.∵B ⊆A ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤5，即2≤a ≤4,∵(2,3)[2,4],∴“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的充分不必要条件. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p ,q 对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.充分、必要条件的应用例1 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0},非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0,得－2≤x ≤10, ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件, 即所求m 的取值范围是[0,3].若本例条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P是x ∈S 的充要条件.解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P ＝S ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解, 即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.跟踪训练1 (1)已知p :1≤x ≤2,q :(x －a )(x －a －1)≤0,若p 是q 的充要条件,则实数a 的值为________. 答案 1解析 q :(x －a )(x －a －1)≤0,∴a ≤x ≤a ＋1.由p 是q 的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，a ＋1＝2，∴a ＝1.(2)设p :|2x ＋1|＜m (m ＞0)；q :x －12x －1＞0.若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围为__________. 答案 (0,2]解析 由|2x ＋1|＜m (m ＞0),得－m ＜2x ＋1＜m , ∴－m ＋12＜x ＜m －12,且－m ＋12＜0,由x －12x －1＞0,得x ＜12或x ＞1.∵p 是q 的充分不必要条件, ∴m －12≤12,∴0＜m ≤2.充要条件的探求例2 已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,求两方程的根都是整数的充要条件.解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程, 所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,且两方程都要有实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数, 故其根的和与积也为整数,所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数. 又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1, 所以m ＝－1或1.当m ＝－1时,第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时,两方程的根均为整数,所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.思维升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性,解题时要考虑条件包含的各种情况,保证条件的充分性和必要性.跟踪训练2 (1)命题“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a ≥4 B.a ＞4 C.a ≥1 D.a ＞1答案 B解析 要使“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题,只需要a ≥4,所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件.(2)(2020·武汉质检)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________. 答案 ac ＜0解析 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac >0，c a <0.即ac ＜0.1.“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)＜1⇔0＜2x －3＜2⇔32＜x ＜52,4x ＞8⇔2x ＞3⇔x ＞32,所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件,故选A. 2.设a ,b ∈R ,则“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2＜0可知a 2≠0,则一定有a －b ＜0,即a ＜b ；但是a ＜b 即a －b ＜0时,有可能a ＝0,所以(a －b )a 2＜0不一定成立,故“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件,故选A. 3.“|x －1|＜2”是“x ＜3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 由|x －1|＜2,可得－1＜x ＜3,∵{x|－1＜x＜3}{x|x＜3},∴“|x－1|＜2”是“x＜3”的充分不必要条件.4.(2019·东莞模拟)若实数a,b满足a＞0,b＞0,则“a＞b”是“a＋ln a＞b＋ln b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析设f (x)＝x＋ln x,显然f (x)在(0,＋∞)上单调递增,∵a＞b,∴f (a)＞f (b),∴a＋ln a＞b＋ln b,充分性成立；∵a＋ln a＞b＋ln b,∴f (a)＞f (b),∴a＞b,必要性成立,故“a＞b”是“a＋ln a＞b＋ln b”的充要条件,故选C.5.若“x＞1”是“不等式2x＞a－x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.a＞3B.a＜3C.a＞4D.a＜4答案 A解析若2x＞a－x,即2x＋x＞a.设f (x)＝2x＋x,则函数f (x)为增函数.由题意知“2x＋x＞a成立,即f (x)＞a成立”能得到“x＞1”,反之不成立.因为当x＞1时,f (x)＞3,∴a＞3.6.已知p:x≥k,q:(x＋1)(2－x)＜0,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.[2,＋∞)B.(2,＋∞)C.[1,＋∞)D.(－∞,－1]答案 B解析由q:(x＋1)(2－x)＜0,得x＜－1或x＞2,又p是q的充分不必要条件,所以k＞2,即实数k 的取值范围是(2,＋∞),故选B.7.(多选)若x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件,则实数a的值可以是()A.1B.2C.3D.4答案BCD解析由x2－x－2＜0,解得－1＜x＜2.∵x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件,∴(－1,2)(－2,a),∴a≥2.∴实数a的值可以是2,3,4.8.(多选)下列叙述中不正确的是()A.若a,b,c∈R,则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”B.若a,b,c∈R,则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C.“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D.“a ＞1”是“1a ＜1”的充分不必要条件答案 AB解析 A 错误,当a ＝0,b ＝0,c ＜0时,满足b 2－4ac ≤0,但此时ax 2＋bx ＋c ≥0不成立,故若a ,b ,c ∈R ,则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”错误； B 错误,若a ,b ,c ∈R ,“a ＞c ”且b ＝0时,推不出“ab 2＞cb 2”,故错误；C 正确,若方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根,则Δ＝1－4a ＞0,x 1x 2＝a ＜0,则a ＜0,又“a ＜1”是“a ＜0”的必要不充分条件,故正确；D 正确,“a ＞1”⇒“1a ＜1”但是“1a＜1”推不出“a ＞1”,故正确.9.已知命题p :1a ＞14,命题q :∀x ∈R ,ax 2＋ax ＋1＞0,则p 成立是q 成立的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 命题p 等价于0＜a ＜4.命题q :对∀x ∈R ,ax 2＋ax ＋1＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a ＜4,所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件. 10.(2019·福州模拟)已知 f (x )是R 上的奇函数,则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数,∴若x 1＋x 2＝0,则x 1＝－x 2,则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2),即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立,即充分性成立；若f (x )＝0,满足f (x )是奇函数,当x 1＝x 2＝2时,满足f (x 1)＝f (x 2)＝0,此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0,但x 1＋x 2＝4≠0,即必要性不成立.故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件.11.若x ∈{－1,m }是不等式2x 2－x －3≤0成立的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－1，32 解析 不等式可转化为(x ＋1)(2x －3)≤0,解得－1≤x ≤32,由于x ∈{－1,m }是－1≤x ≤32的充分不必要条件,结合集合元素的互异性,得到m ∈⎝⎛⎦⎤－1，32. 12.设p :实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0(其中a ＞0),q :实数x 满足x －3x －2≤0.若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.解 设A ＝{x |a ＜x ＜3a },B ＝{x |2＜x ≤3},p 是q 的必要不充分条件,则B A ,则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，3a >3，则1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2].13.(2020·深圳模拟)对于任意实数x ,〈x 〉表示不小于x 的最小整数,例如〈1.1〉＝2,〈－1.1〉＝－1,那么“|x －y |＜1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 B解析 令x ＝1.8,y ＝0.9,满足|x －y |＜1,但〈1.8〉＝2,〈0.9〉＝1,〈x 〉≠〈y 〉,可知充分性不成立.当〈x 〉＝〈y 〉时,设〈x 〉＝x ＋m ,〈y 〉＝y ＋n ,m ,n ∈[0,1),则|x －y |＝|n －m |＜1,可知必要性成立.所以“|x －y |＜1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件.故选B. 14.求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.解 (1)当a ＝0时,为一元一次方程,其根为x ＝－12,符合题目要求.(2)当a ≠0时,为一元二次方程,它有实根的充要条件是判别式Δ≥0,即4－4a ≥0,从而a ≤1. 又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根为x 1,x 2,则x 1＋x 2＝－2a ,x 1x 2＝1a .①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0，得a ＜0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0，得0＜a ≤1.综上,ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.15.已知集合2613x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭≤1 ,B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1},若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞,0]解析 由2613x x x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭≤1 ,得x 2－x －6≥0,解得x ≤－2或x ≥3,则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}.由log 3(x ＋a )≥1,得x ＋a ≥3,即x ≥3－a ,则B ＝{x |x ≥3－a }.由题意知B A ,所以3－a ≥3,解得a ≤0.16.已知ab ≠0,求证:a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明 (1)必要性:因为a ＋b ＝1,所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)·(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性:因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0, 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0, 又ab ≠0, 所以a ≠0且b ≠0.因为a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2＞0, 所以a ＋b －1＝0,即a ＋b ＝1.综上可得当ab ≠0时,a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.。