2009【考研数二】真题及解析
考研数学二历年真题(2000-2012)
2 2
的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 A B 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分 xy d ，其中区域 D 为曲线 r 1 cos 0 与极轴围成.
D
(19)(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足方程 f ( x ) f ( x ) 2 f ( x ) 0 及 f ( x ) f ( x ) 2 e x , (I) 求 f ( x ) 的表达式; (II) 求曲线 y f ( x 2 ) f ( t 2 )d t 的拐点.
(6) 设区域 D 由曲线 y sin x , x
, y 1 围成，则 ( x y 1)d x d y
5 D
( (A) (B) 2 (C) -2 (D) -
)
0 0 1 1 (7) 设 α 1 0 , α 2 1 , α 3 1 , α 4 1 ,其中 c1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量 c c c c 2 3 4 1
*
1 T （8）设 A ， P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P A P = 0 0
T
0 1 0
0 0 ，若 2
）
T ，则 Q A Q 为（ P= （ 1， 2， 3） ， Q = （ 1 + 2， 2， 3）
2 A . 1 0 2 C . 0 0
2009年考研数学二试题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==-()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-= 【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x ax g x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点 ()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||12(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009—数二真题、标准答案及解析
工
( B ) ∫1 dx ∫x
2
f ( x, y )dy .
研
( C ) ∫1 dy ∫1
【答案】C 【解析】
4− y
f ( x, y )dx .
2 2
( D ) . ∫1 dy ∫y f ( x, y )dx
2
翔 考
∫
2
1
dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx 的积分区域为两部分：
( A ) 不是 f ( x, y ) 的连续点. ( C ) 是 f ( x, y ) 的极大值点.
【答案】 D 【解析】因 dz = xdx + ydy 可得
( B ) 不是 f ( x, y ) 的极值点. ( D ) 是 f ( x, y ) 的极小值点.
AC − B 2 = 1 > 0
故（0，0）为函数 z = f ( x, y ) 的一个极小值点.
sin 4 x
梦
飞
∫
1+ x )dx ( x > 0) . x
（17） （本题满分 10 分）
∂2 z . 设 z = f ( x + y , x − y, xy ) ，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 ∂x∂y
（18） （本题满分 10 分）设非负函数 y = y ( x
曲线 y = y ( x ) 过原点时， 其与直线 x = 1 及 y = 0 围成平面区域 D 的面积为 2， 求D绕 y轴 旋转所得旋转体体积.
.
16
∫ −∞e
+∞
kx
dx = 1 ,则 k =
.
59
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2009-1987年考研数学二真题及答案
历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）（１９８７－２００９）考研数学命题研究组㊀编世纪高教编辑部１９８７年全国硕士研究生招生考试试题ʌ编者注ɔ１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋ａｘ），其中ａ为非零常数，则ｙᶄ＝，ｙᵡ＝．（２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是；法线方程是．（３）积分中值定理的条件是，结论是．（４）ｌｉｍｎңɕｎ－２ｎ＋１()ｎ＝．（５）ʏｆᶄ（ｘ）ｄｘ＝，ʏｂａｆᶄ（２ｘ）ｄｘ＝．二㊁（本题满分６分）求极限ｌｉｍｘң０１ｘ－１ｅｘ－１()．三㊁（本题满分７分）设ｘ＝５（ｔ－ｓｉｎｔ），ｙ＝５（１－ｃｏｓｔ），{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．四㊁（本题满分８分）计算定积分ʏ１０ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ．五㊁（本题满分８分）设Ｄ是由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ＋１与三条直线ｘ＝０，ｘ＝π，ｙ＝０围成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一周所生成的旋转体的体积．六㊁证明题（本题满分１０分）（１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆᶄ（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加．（２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇᶄ（ｃ）＝０，ｇᵡ（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值．七㊁（本题满分１０分）计算不定积分ʏｄｘａ２ｓｉｎ２ｘ＋ｂ２ｃｏｓ２ｘ，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数．１１９８７年真题八㊁（本题满分１０分）（１）求微分方程ｘｄｙｄｘ＝ｘ－ｙ满足条件ｙｘ＝２＝０的特解．（２）求微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ的通解．九㊁选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘｅｃｏｓｘ（－ɕ＜ｘ＜＋ɕ）是（㊀㊀）（Ａ）有界函数．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）单调函数．（Ｃ）周期函数．（Ｄ）偶函数．（２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（㊀㊀）（Ａ）当ｘңɕ时为无穷大．（Ｂ）在（－ɕ，＋ɕ）内有界．（Ｃ）在（－ɕ，＋ɕ）内无界．（Ｄ）当ｘңɕ时有有限极限．（３）设ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导，则ｌｉｍｘң０ｆ（ａ＋ｘ）－ｆ（ａ－ｘ）ｘ等于（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ａ）．（Ｂ）２ｆᶄ（ａ）．（Ｃ）０．（Ｄ）ｆᶄ（２ａ）．（４）设Ｉ＝ｔʏｓｔ０ｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）连续，ｓ＞０，ｔ＞０，则Ｉ的值（㊀㊀）（Ａ）依赖于ｓ，ｔ．（Ｂ）依赖于ｓ，ｔ，ｘ．（Ｃ）依赖于ｔ，ｘ，不依赖于ｓ．（Ｄ）依赖于ｓ，不依赖于ｔ．十㊁（本题满分１０分）在第一象限内求曲线ｙ＝－ｘ２＋１上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．２历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８８年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）设ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ａ，ｘɤ０，ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），ｘ＞０{在（－ɕ，＋ɕ）内连续，则ａ＝．（２）设ｆ（ｔ）＝ｌｉｍｘңɕｔ１＋１ｘ()２ｔｘ，则ｆᶄ（ｔ）＝．（３）设ｆ（ｘ）连续，且ʏｘ３－１０ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ，则ｆ（７）＝．（４）ｌｉｍｘң０＋１ｘæèçöø÷ｔａｎｘ＝．（５）ʏ４０ｅｘｄｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）ｆ（ｘ）＝１３ｘ３＋１２ｘ２＋６ｘ＋１的图形在点（０，１）处的切线与ｘ轴交点的坐标是（㊀㊀）（Ａ）－１６，０()．（Ｂ）（－１，０）．（Ｃ）１６，０()．（Ｄ）（１，０）．（２）若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上皆可导，且ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ），则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＞ｇ（－ｘ）．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜ｇᶄ（ｘ）．（Ｃ）ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＜ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）．（Ｄ）ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＜ʏｘ０ｇ（ｔ）ｄｔ．（３）若函数ｙ＝ｆ（ｘ），有ｆᶄ（ｘ０）＝１２，则当Δｘң０时，该函数在ｘ＝ｘ０处的微分ｄｙ是（㊀㊀）（Ａ）与Δｘ等价的无穷小．（Ｂ）与Δｘ同阶的无穷小．（Ｃ）比Δｘ低阶的无穷小．（Ｄ）比Δｘ高阶的无穷小．（４）由曲线ｙ＝ｓｉｎ３２ｘ（０ɤｘɤπ）与ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）４３．（Ｂ）４３π．（Ｃ）２３π２．（Ｄ）２３π．（５）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）是微分方程ｙᵡ－２ｙᶄ＋４ｙ＝０的一个解，且ｆ（ｘ０）＞０，ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在点ｘ０处（㊀㊀）（Ａ）有极大值．（Ｂ）有极小值．（Ｃ）某邻域内单调增加．（Ｄ）某邻域内单调减少．３１９８８年真题三㊁（本题共３小题，每小题５分，满分１５分）（１）已知ｆ（ｘ）＝ｅｘ２，ｆ［φ（ｘ）］＝１－ｘ且φ（ｘ）ȡ０，求φ（ｘ）并写出它的定义域．（２）已知ｙ＝１＋ｘｅｘｙ，求ｙᶄｘ＝０，ｙᵡｘ＝０．（３）求微分方程ｙᶄ＋１ｘｙ＝１ｘ（ｘ２＋１）的通解（一般解）．四㊁（本题满分１２分）作函数ｙ＝６ｘ２－２ｘ＋４的图形，并填写下表．单调增加区间单调减少区间极值点极值凹（ɣ）区间凸（ɘ）区间拐点渐近线五㊁（本题满分８分）将长为ａ的一段铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六㊁（本题满分１０分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）满足微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝２ｅｘ，且其图形在点（０，１）处的切线与曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋１在该点处的切线重合，求函数ｙ＝ｙ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设ｘȡ－１，求ʏｘ－１（１－ｔ）ｄｔ．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有连续导数，且ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ．（１）求ｌｉｍａң０＋１４ａ２ʏａ－ａ［ｆ（ｔ＋ａ）－ｆ（ｔ－ａ）］ｄｔ；（２）证明：１２ａʏａ－ａｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）ɤＭ－ｍ（ａ＞０）．４历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８９年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共７小题，每小题３分，满分２１分）（１）ｌｉｍｘң０ｘｃｏｔ２ｘ＝．（２）ʏπ０ｔｓｉｎｔｄｔ＝．（３）曲线ｙ＝ʏｘ０（ｔ－１）（ｔ－２）ｄｔ在点（０，０）处的切线方程是．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２） （ｘ＋ｎ），则ｆᶄ（０）＝．（５）设ｆ（ｘ）是连续函数，且ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ʏ１０ｆ（ｔ）ｄｔ，则ｆ（ｘ）＝．（６）设ｆ（ｘ）＝ａ＋ｂｘ２，ｘɤ０，ｓｉｎｂｘｘ，ｘ＞０{在ｘ＝０处连续，则常数ａ与ｂ应满足的关系是．（７）设ｔａｎｙ＝ｘ＋ｙ，则ｄｙ＝．二㊁（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）已知ｙ＝ａｒｃｓｉｎｅ－ｘ，求ｙᶄ．（２）求ʏｄｘｘｌｎ２ｘ．（３）求ｌｉｍｘң０（２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）１ｘ．（４）已知ｘ＝ｌｎ（１＋ｔ２），ｙ＝ａｒｃｔａｎｔ，{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．（５）已知ｆ（２）＝１２，ｆᶄ（２）＝０及ʏ２０ｆ（ｘ）ｄｘ＝１，求ʏ１０ｘ２ｆᵡ（２ｘ）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三㊁选择题（本题共６小题，每小题３分，满分１８分）（１）当ｘ＞０时，曲线ｙ＝ｘｓｉｎ１ｘ（㊀㊀）（Ａ）有且仅有水平渐近线．（Ｂ）有且仅有铅直渐近线．（Ｃ）既有水平渐近线，也有铅直渐近线．（Ｄ）既无水平渐近线，也无铅直渐近线．（２）若３ａ２－５ｂ＜０，则方程ｘ５＋２ａｘ３＋３ｂｘ＋４ｃ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有唯一实根．（Ｃ）有三个不同实根．（Ｄ）有五个不同实根．（３）曲线ｙ＝ｃｏｓｘ(－π２ɤｘɤπ２)与ｘ轴所围成的图形，绕ｘ轴旋转一周所成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）π２．（Ｂ）π．（Ｃ）π２２．（Ｄ）π２．５１９８９年真题（４）设两函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都在ｘ＝ａ处取得极大值，则函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在ｘ＝ａ处（㊀㊀）（Ａ）必取极大值．（Ｂ）必取极小值．（Ｃ）不可能取极值．（Ｄ）是否取极值不能确定．（５）微分方程ｙᵡ－ｙ＝ｅｘ＋１的一个特解应具有形式（式中ａ，ｂ为常数）（㊀㊀）（Ａ）ａｅｘ＋ｂ．（Ｂ）ａｘｅｘ＋ｂ．（Ｃ）ａｅｘ＋ｂｘ．（Ｄ）ａｘｅｘ＋ｂｘ．（６）设ｆ（ｘ）在点ｘ＝ａ的某个邻域内有定义，则ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导的一个充分条件是（㊀㊀）（Ａ）ｌｉｍｈң＋ɕｈ［ｆ（ａ＋１ｈ）－ｆ（ａ）］存在．（Ｂ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋２ｈ）－ｆ（ａ＋ｈ）ｈ存在．（Ｃ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋ｈ）－ｆ（ａ－ｈ）２ｈ存在．（Ｄ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ）－ｆ（ａ－ｈ）ｈ存在．四㊁（本题满分６分）求微分方程ｘｙᶄ＋（１－ｘ）ｙ＝ｅ２ｘ（０＜ｘ＜＋ɕ）满足ｙ（１）＝０的特解．五㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ʏｘ０（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ，其中ｆ为连续函数，求ｆ（ｘ）．六㊁（本题满分７分）证明方程ｌｎｘ＝ｘｅ－ʏπ０１－ｃｏｓ２ｘｄｘ在区间（０，＋ɕ）内有且仅有两个不同实根．七㊁（本题满分１１分）对函数ｙ＝ｘ＋１ｘ２填写下表．单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八㊁（本题满分１０分）设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ过原点，当０ɤｘɤ１时，ｙȡ０．又已知该抛物线与ｘ轴及直线ｘ＝１所围图形的面积为１３．试确定ａ，ｂ，ｃ的值，使此图形绕ｘ轴旋转一周而成的旋转体的体积Ｖ最小．６历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９０年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｃｏｓ３ｔ，ｙ＝ｓｉｎ３ｔ{上对应于ｔ＝π６处的法线方程是．（２）设ｙ＝ｅｔａｎ１ｘｓｉｎ１ｘ，则ｙᶄ＝．（３）ʏ１０ｘ１－ｘｄｘ＝．（４）下列两个积分的大小关系是：ʏ－１－２ｅ－ｘ３ｄｘʏ－１－２ｅｘ３ｄｘ．（５）设函数ｆ（ｘ）＝１，ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则函数ｆ［ｆ（ｘ）］＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ２ｘ＋１－ａｘ－ｂ()＝０，其中ａ，ｂ是常数，则（）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝１．（Ｂ）ａ＝－１，ｂ＝１．（Ｃ）ａ＝１，ｂ＝－１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ｄʏｆ（ｘ）ｄｘ[]等于（）（Ａ）ｆ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｄｘ．（Ｃ）ｆ（ｘ）＋Ｃ．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）ｄｘ．（３）已知函数ｆ（ｘ）具有任意阶导数，且ｆᶄ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］２，则当ｎ为大于２的正整数时，ｆ（ｘ）的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（ｘ）是（㊀）（Ａ）ｎ！［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｂ）ｎ［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｃ）［ｆ（ｘ）］２ｎ．（Ｄ）ｎ！［ｆ（ｘ）］２ｎ．（４）设ｆ（ｘ）是连续函数，且Ｆ（ｘ）＝ʏｅ－ｘｘｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｂ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（Ｃ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｄ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（５）设Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ，ｘʂ０，ｆ（０），ｘ＝０，{其中ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，ｆᶄ（０）ʂ０，ｆ（０）＝０，则ｘ＝０是Ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）连续点．（Ｂ）第一类间断点．（Ｃ）第二类间断点．（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ＋ａｘ－ａ()ｘ＝９，求常数ａ．（２）求由方程２ｙ－ｘ＝（ｘ－ｙ）ｌｎ（ｘ－ｙ）所确定的函数ｙ＝ｙ（ｘ）的微分ｄｙ．７１９９０年真题（３）求曲线ｙ＝１１＋ｘ２（ｘ＞０）的拐点．（４）计算ʏｌｎｘ（１－ｘ）２ｄｘ．（５）求微分方程ｘｌｎｘｄｙ＋（ｙ－ｌｎｘ）ｄｘ＝０满足条件ｙｘ＝ｅ＝１的特解．四㊁（本题满分９分）在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中ａ＞０，ｂ＞０）．五㊁（本题满分９分）证明：当ｘ＞０时，有不等式ａｒｃｔａｎｘ＋１ｘ＞π２．六㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｌｎｔ１＋ｔｄｔ，其中ｘ＞０，求ｆ（ｘ）＋ｆ１ｘ()．七㊁（本题满分９分）过点Ｐ（１，０）作抛物线ｙ＝ｘ－２的切线，该切线与上述抛物线及ｘ轴围成一平面图形．求此平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积．八㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋４ｙᶄ＋４ｙ＝ｅａｘ的通解，其中ａ为实数．８历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９１年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋３－ｘ），则ｄｙ＝．（２）曲线ｙ＝ｅ－ｘ２的凸区间是．（３）ʏ＋ɕ１ｌｎｘｘ２ｄｘ＝．（４）质点以速度ｔｓｉｎ（ｔ２）米／秒作直线运动，则从时刻ｔ１＝π２秒到ｔ２＝π秒内质点所经过的路程等于米．（５）ｌｉｍｘң０＋１－ｅ１ｘｘ＋ｅ１ｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若曲线ｙ＝ｘ２＋ａｘ＋ｂ和２ｙ＝－１＋ｘｙ３在点（１，－１）处相切，其中ａ，ｂ是常数，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝－３．（Ｃ）ａ＝－３，ｂ＝１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀０ɤｘɤ１，２－ｘ，１＜ｘɤ２，{记Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ，０ɤｘɤ２，则（㊀㊀）（Ａ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，１３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï㊀㊀（Ｂ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，－７６＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｃ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，ｘ３３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｄ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀０ɤｘɤ１，２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（３）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内有定义，ｘ０ʂ０是函数ｆ（ｘ）的极大值点，则（㊀㊀）（Ａ）ｘ０必是ｆ（ｘ）的驻点．（Ｂ）－ｘ０必是－ｆ（－ｘ）的极小值点．（Ｃ）－ｘ０必是－ｆ（ｘ）的极小值点．（Ｄ）对一切ｘ都有ｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ０）．（４）曲线ｙ＝１＋ｅ－ｘ２１－ｅ－ｘ２（㊀㊀）（Ａ）没有渐近线．（Ｂ）仅有水平渐近线．（Ｃ）仅有铅直渐近线．（Ｄ）既有水平渐近线又有铅直渐近线．（５）如图，ｘ轴上有一线密度为常数μ，长度为ｌ的细杆，若质量为ｍ的质点到杆右端的距离为ａ，已知引力系数为ｋ，则质点和细杆之间引力的大小为（㊀㊀）９１９９１年真题（Ａ）ʏ０－ｌｋｍμ（ａ－ｘ）２ｄｘ．０ｋｍμ（ａ－ｘ）２ｘ．（Ｃ）２ʏ０－ｌ２ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．（Ｄ）２ʏｌ２０ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）{求ｄ２ｙｄｘ２．（１）设ｘ＝ｔｃｏｓｔ，ｙ＝ｔｓｉｎｔ，（２）计算ʏ４１ｄｘｘ（１＋ｘ）．（３）求ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｘ２（ｅｘ－１）．（４）求ʏｘｓｉｎ２ｘｄｘ．（５）求微分方程ｘｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ满足ｙ（１）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）利用导数证明：当ｘ＞１时，ｌｎ（１＋ｘ）ｌｎｘ＞ｘ１＋ｘ．五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ｙ＝ｘ＋ｃｏｓｘ的通解．六㊁（本题满分９分）曲线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）和ｘ轴围成一平面图形，求此平面图形绕ｙ轴旋转一周所成的旋转体的体积．七㊁（本题满分９分）如图，Ａ和Ｄ分别是曲线ｙ＝ｅｘ和ｙ＝ｅ－２ｘ上的点，ＡＢ和ＤＣ均垂直ｘ轴，且ＡＢʒＤＣ＝２ʒ１，ＡＢ＜１，求点Ｂ和Ｃ的横坐标，使梯形ＡＢＣＤ的面积最大．八㊁（本题满分９分）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上满足ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－π）＋ｓｉｎｘ，且ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘɪ［０，π）．计算ʏ３ππｆ（ｘ）ｄｘ．０１１９９２年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘ＝ｆ（ｔ）－π，ｙ＝ｆ（ｅ３ｔ－１），{其中ｆ可导，且ｆᶄ（０）ʂ０，则ｄｙｄｘｔ＝０＝．（２）函数ｙ＝ｘ＋２ｃｏｓｘ在[０，π２]上的最大值为．（３）ｌｉｍｘң０１－１－ｘ２ｅｘ－ｃｏｓｘ＝．（４）ʏ＋ɕ１ｄｘｘ（ｘ２＋１）＝．（５）由曲线ｙ＝ｘｅｘ与直线ｙ＝ｅｘ所围成的图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，ｘ－ｓｉｎｘ是ｘ２的（㊀㊀）（Ａ）低阶无穷小．（Ｂ）高阶无穷小．（Ｃ）等价无穷小．（Ｄ）同阶但非等价的无穷小．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２＋ｘ，㊀ｘ＞０，{则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＝－ｘ２，㊀㊀㊀ｘɤ０，－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＞０．{（Ｂ）ｆ（－ｘ）＝－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＜０，－ｘ２，㊀㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２－ｘ，㊀ｘ＞０．{（Ｄ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２－ｘ，㊀ｘ＜０，ｘ２，㊀㊀ｘȡ０．{（３）当ｘң１时，函数ｘ２－１ｘ－１ｅ１ｘ－１的极限（㊀㊀）（Ａ）等于２．（Ｂ）等于０．（Ｃ）为ɕ．（Ｄ）不存在但不为ɕ．（４）设ｆ（ｘ）连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０ｆ（ｔ２）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｂ）ｘ２ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｃ）２ｘｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｄ）２ｘｆ（ｘ２）．（５）若ｆ（ｘ）的导函数是ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）有一个原函数为（㊀㊀）（Ａ）１＋ｓｉｎｘ．（Ｂ）１－ｓｉｎｘ．（Ｃ）１＋ｃｏｓｘ．（Ｄ）１－ｃｏｓｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）求ｌｉｍｘңɕ３＋ｘ６＋ｘ()ｘ－１２．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｙ－ｘｅｙ＝１所确定，求ｄ２ｙｄｘ２ｘ＝０的值．１１（３）求ʏｘ３１＋ｘ２ｄｘ．（４）求ʏπ０１－ｓｉｎｘｄｘ．（５）求微分方程（ｙ－ｘ３）ｄｘ－２ｘｄｙ＝０的通解．四㊁（本题满分９分）{求ʏ３１ｆ（ｘ－２）ｄｘ．设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ２，㊀ｘɤ０，ｅ－ｘ，㊀㊀ｘ＞０，五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝ｘｅｘ的通解．六㊁（本题满分９分）计算曲线ｙ＝ｌｎ（１－ｘ２）上相应于０ɤｘɤ１２的一段弧的长度．七㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝ｘ的一条切线ｌ，使该曲线与切线ｌ及直线ｘ＝０，ｘ＝２所围成的平面图形面积最小．八㊁（本题满分９分）已知ｆᵡ（ｘ）＜０，ｆ（０）＝０，证明对任何ｘ１＞０，ｘ２＞０，有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＜ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．２１１９９３年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０＋ｘｌｎｘ＝．（２）函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）＋ｅｘ－ｘｙ２＝０所确定，则ｄｙｄｘ＝．（３）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１２－１ｔæèçöø÷ｄｔ（ｘ＞０），则函数Ｆ（ｘ）的单调减少区间是．（４）ʏｔａｎｘｃｏｓｘｄｘ＝．（５）已知曲线ｙ＝ｆ（ｘ）过点(０，－１２)，且其上任一点（ｘ，ｙ）处的切线斜率为ｘｌｎ（１＋ｘ２），则ｆ（ｘ）＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，变量１ｘ２ｓｉｎ１ｘ是（㊀㊀）（Ａ）无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）无穷大．（Ｃ）有界的，但不是无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）无界的，但不是无穷大．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２－１ｘ－１，㊀ｘʂ１，２，㊀㊀㊀㊀ｘ＝１，{则在点ｘ＝１处函数ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）不连续．（Ｂ）连续，但不可导．（Ｃ）可导，但导数不连续．（Ｄ）可导，且导数连续．（３）已知ｆ（ｘ）＝ｘ２，０ɤｘ＜１，１，１ɤｘɤ２，{设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ（０ɤｘɤ２），则Ｆ（ｘ）为（㊀㊀）（Ａ）１３ｘ３，㊀０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｂ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｃ）１３ｘ３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，１ɤｘɤ２．{（Ｄ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，㊀１ɤｘɤ２．{（４）设常数ｋ＞０，函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘｅ＋ｋ在（０，＋ɕ）内的零点个数为（㊀㊀）（Ａ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０．（５）若ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ），在（０，＋ɕ）内ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆ（ｘ）在（－ɕ，０）内（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．（Ｃ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０．３１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｓｉｎ［ｆ（ｘ２）］，其中ｆ具有二阶导数，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）求ｌｉｍｘң－ɕｘ（ｘ２＋１００＋ｘ）．（３）求ʏπ４０ｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．（４）求ʏ＋ɕ０ｘ（１＋ｘ）３ｄｘ．（５）求微分方程（ｘ２－１）ｄｙ＋（２ｘｙ－ｃｏｓｘ）ｄｘ＝０满足初值条件ｙ（０）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）设二阶常系数线性微分方程ｙᵡ＋αｙᶄ＋βｙ＝γｅｘ的一个特解为ｙ＝ｅ２ｘ＋（１＋ｘ）ｅｘ，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．五㊁（本题满分９分）设平面图形Ａ由ｘ２＋ｙ２ɤ２ｘ与ｙȡｘ所确定，求图形Ａ绕直线ｘ＝２旋转一周所得旋转体的体积．六㊁（本题满分９分）作半径为ｒ的球的外切正圆锥，问此圆锥的高ｈ为何值时，其体积Ｖ最小，并求出该最小值．七㊁（本题满分９分）设ｘ＞０，常数ａ＞ｅ．证明：（ａ＋ｘ）ａ＜ａａ＋ｘ．八㊁（本题满分９分）设ｆᶄ（ｘ）在［０，ａ］上连续，且ｆ（０）＝０，证明：ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘɤＭａ２２，其中Ｍ＝ｍａｘ０ɤｘɤａｆᶄ（ｘ）．４１１９９４年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋ｅ２ａｘ－１ｘ，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｘ＝０{在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ａ＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由参数方程ｘ＝ｔ－ｌｎ（１＋ｔ），ｙ＝ｔ３＋ｔ２{所确定，则ｄ２ｙｄｘ２＝．（３）ｄｄｘʏｃｏｓ３ｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ()＝．（４）ʏｘ３ｅｘ２ｄｘ＝．（５）微分方程ｙｄｘ＋（ｘ２－４ｘ）ｄｙ＝０的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｌｉｍｘң０ｌｎ（１＋ｘ）－（ａｘ＋ｂｘ２）ｘ２＝２，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝－５２．（Ｂ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｃ）ａ＝０，ｂ＝－５２．（Ｄ）ａ＝１，ｂ＝－２．（２）设ｆ（ｘ）＝２３ｘ３，ｘɤ１，ｘ２，㊀ｘ＞１，{则ｆ（ｘ）在点ｘ＝１处的（㊀㊀）（Ａ）左㊁右导数都存在．（Ｂ）左导数存在，但右导数不存在．（Ｃ）左导数不存在，但右导数存在．（Ｄ）左㊁右导数都不存在．（３）设ｙ＝ｆ（ｘ）是满足微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ－ｅｓｉｎｘ＝０的解，且ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在（㊀㊀）（Ａ）ｘ０的某个邻域内单调增加．（Ｂ）ｘ０的某个邻域内单调减少．（Ｃ）ｘ０处取得极小值．（Ｄ）ｘ０处取得极大值．（４）曲线ｙ＝ｅ１ｘ２ａｒｃｔａｎｘ２＋ｘ＋１（ｘ－１）（ｘ＋２）的渐近线有（㊀㊀）（Ａ）１条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４条．（５）设Ｍ＝ʏπ２－π２ｓｉｎｘ１＋ｘ２ｃｏｓ４ｘｄｘ，Ｎ＝ʏπ２－π２（ｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，Ｐ＝ʏπ２－π２（ｘ２ｓｉｎ３ｘ－ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，则有（㊀㊀）（Ａ）Ｎ＜Ｐ＜Ｍ．（Ｂ）Ｍ＜Ｐ＜Ｎ．（Ｃ）Ｎ＜Ｍ＜Ｐ．（Ｄ）Ｐ＜Ｍ＜Ｎ．５１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｆ（ｘ＋ｙ），其中ｆ具有二阶导数，且其一阶导数不等于１，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）计算ʏ１０ｘ（１－ｘ４）３２ｄｘ．（３）计算ｌｉｍｎңɕｔａｎｎπ４＋２ｎ()．（４）计算ʏｄｘｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘ．（５）如图，设曲线方程为ｙ＝ｘ２＋１２，梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ，曲边梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ１，点Ａ的坐标为（ａ，０），ａ＞０．证明：ＤＤ１＜３２．四㊁（本题满分９分）设当ｘ＞０时，方程ｋｘ＋１ｘ２＝１有且仅有一个解，求ｋ的取值范围．五㊁（本题满分９分）设ｙ＝ｘ３＋４ｘ２，（１）求函数的增减区间及极值；（２）求函数图形的凹凸区间及拐点；（３）求其渐近线；（４）作出其图形．六㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ａ２ｙ＝ｓｉｎｘ的通解，其中常数ａ＞０．七㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续且递减，证明：当０＜λ＜１时，ʏλ０ｆ（ｘ）ｄｘȡλʏ１０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝３－ｘ２－１与ｘ轴围成的封闭图形绕直线ｙ＝３旋转所得的旋转体体积．６１１９９５年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｃｏｓ（ｘ２）ｓｉｎ２１ｘ，则ｙᶄ＝．（２）微分方程ｙᵡ＋ｙ＝－２ｘ的通解为．（３）曲线ｘ＝１＋ｔ２，ｙ＝ｔ３{在ｔ＝２处的切线方程为．（４）ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎ()＝．（５）曲线ｙ＝ｘ２ｅ－ｘ２的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）和φ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有定义，ｆ（ｘ）为连续函数，且ｆ（ｘ）ʂ０，φ（ｘ）有间断点，则（㊀㊀）（Ａ）φ［ｆ（ｘ）］必有间断点．（Ｂ）［φ（ｘ）］２必有间断点．（Ｃ）ｆ［φ（ｘ）］必有间断点．（Ｄ）φ（ｘ）ｆ（ｘ）必有间断点．（２）曲线ｙ＝ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）与ｘ轴所围图形的面积可表示为（㊀㊀）（Ａ）－ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｂ）ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ－ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｃ）－ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ＋ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｄ）ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（３）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内可导，且对任意ｘ１，ｘ２，当ｘ１＞ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则（㊀㊀）（Ａ）对任意ｘ，ｆᶄ（ｘ）＞０．（Ｂ）对任意ｘ，ｆᶄ（－ｘ）ɤ０．（Ｃ）函数ｆ（－ｘ）单调增加．（Ｄ）函数－ｆ（－ｘ）单调增加．（４）设函数ｆ（ｘ）在［０，１］上ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆᶄ（１），ｆᶄ（０），ｆ（１）－ｆ（０）或ｆ（０）－ｆ（１）的大小顺序是（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）＞ｆ（１）－ｆ（０）．（Ｂ）ｆᶄ（１）＞ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（０）．（Ｃ）ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）．（Ｄ）ｆᶄ（１）＞ｆ（０）－ｆ（１）＞ｆᶄ（０）．（５）设ｆ（ｘ）可导，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）（１＋ｓｉｎｘ）．若Ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）＝０．（Ｂ）ｆᶄ（０）＝０．（Ｃ）ｆ（０）＋ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）ｆ（０）－ｆᶄ（０）＝０．７１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求ｌｉｍｘң０＋１－ｃｏｓｘｘ（１－ｃｏｓｘ）．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｘｅｆ（ｙ）＝ｅｙ确定，其中ｆ具有二阶导数，且ｆᶄʂ１，求ｄ２ｙｄｘ２．（３）设ｆ（ｘ２－１）＝ｌｎｘ２ｘ２－２，且ｆ［φ（ｘ）］＝ｌｎｘ，求ʏφ（ｘ）ｄｘ．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘａｒｃｔａｎ１ｘ２，ｘʂ０，０，㊀㊀㊀ｘ＝０，{试讨论ｆᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．（５）求摆线ｘ＝１－ｃｏｓｔ，ｙ＝ｔ－ｓｉｎｔ{一拱（０ɤｔɤ２π）的弧长Ｓ．（６）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ｖｔ＝０＝ｖ０．已知阻力与速度成正比（比例常数为１），问ｔ为多少时此质点的速度为ｖ０３？并求到此时刻该质点所经过的路程．四㊁（本题满分８分）求函数ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０（２－ｔ）ｅ－ｔｄｔ的最大值和最小值．五㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｅｘ是微分方程ｘｙᶄ＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｘ的一个解，求此微分方程满足条件ｙｘ＝ｌｎ２＝０的特解．六㊁（本题满分８分）如图，设曲线Ｌ的方程为ｙ＝ｆ（ｘ），且ｙᵡ＞０．又ＭＴ，ＭＰ分别为该曲线在点Ｍ（ｘ０，ｙ０）处的切线和法线．已知线段ＭＰ的长度为（１＋ｙᶄ２０）３２ｙᵡ０（其中ｙᶄ０＝ｙᶄ（ｘ０），ｙᵡ０＝ｙᵡ（ｘ０）），试推导出点Ｐ（ξ，η）的坐标表达式．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｓｉｎｔπ－ｔｄｔ，计算ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分８分）设ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝１，且ｆᵡ（ｘ）＞０，证明ｆ（ｘ）ȡｘ．８１１９９６年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝（ｘ＋ｅ－ｘ２）２３，则ｙᶄｘ＝０＝．（２）ʏ１－１（ｘ＋１－ｘ２）２ｄｘ＝．（３）微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋５ｙ＝０的通解为．（４）ｌｉｍｘңɕｘｓｉｎｌｎ１＋３ｘ()－ｓｉｎｌｎ１＋１ｘ()[]＝．（５）由曲线ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｘ＝２及ｙ＝２所围图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设当ｘң０时，ｅｘ－（ａｘ２＋ｂｘ＋１）是比ｘ２高阶的无穷小，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１２，ｂ＝１．㊀㊀（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝１．㊀㊀（Ｃ）ａ＝－１２，ｂ＝－１．㊀㊀（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝１．（２）设函数ｆ（ｘ）在区间（－δ，δ）内有定义，若当ｘɪ（－δ，δ）时，恒有ｆ（ｘ）ɤｘ２，则ｘ＝０必是ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）间断点．（Ｂ）连续而不可导的点．（Ｃ）可导的点，且ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）可导的点，且ｆᶄ（０）ʂ０．（３）设ｆ（ｘ）处处可导，则（㊀㊀）（Ａ）当ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ．（Ｂ）当ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ．（Ｃ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ．（Ｄ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ．（４）在区间（－ɕ，＋ɕ）内，方程ｘ１４＋ｘ１２－ｃｏｓｘ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有且仅有一个实根．（Ｃ）有且仅有两个实根．（Ｄ）有无穷多个实根．（５）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）＜ｍ（ｍ为常数），由曲线ｙ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ及ｘ＝ｂ所围平面图形绕直线ｙ＝ｍ旋转而成的旋转体体积为（㊀㊀）（Ａ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｂ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｃ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｄ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．９１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）计算ʏｌｎ２０１－ｅ－２ｘｄｘ．（２）求ʏｄｘ１＋ｓｉｎｘ．（３）设ｘ＝ʏｔ０ｆ（ｕ２）ｄｕ，ｙ＝［ｆ（ｔ２）］２，{其中ｆ（ｕ）具有二阶导数，且ｆ（ｕ）ʂ０，求ｄ２ｙｄｘ２．（４）求函数ｆ（ｘ）＝１－ｘ１＋ｘ在点ｘ＝０处带拉格朗日型余项的ｎ阶泰勒展开式．（５）求微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ＝ｘ２的通解．（６）设有一正椭圆柱体，其底面的长㊁短轴分别为２ａ，２ｂ，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角０＜α＜π２()的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积Ｖ．四㊁（本题满分８分）计算不定积分ʏａｒｃｔａｎｘｘ２（１＋ｘ２）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀五㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）＝１－２ｘ２，ｘ＜－１，㊀㊀ｘ３，㊀㊀－１ɤｘɤ２，１２ｘ－１６，ｘ＞２．㊀㊀ìîíïïï（１）写出ｆ（ｘ）的反函数ｇ（ｘ）的表达式；（２）ｇ（ｘ）是否有间断点㊁不可导点，若有，指出这些点．六㊁（本题满分８分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｙ３－２ｙ２＋２ｘｙ－ｘ２＝１所确定，试求ｙ＝ｙ（ｘ）的驻点，并判别它是否为极值点．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上具有二阶导数，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，ｆᶄ（ａ）ｆᶄ（ｂ）＞０．证明：存在ξɪ（ａ，ｂ）和ηɪ（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０及ｆᵡ（η）＝０．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）为连续函数，（１）求初值问题ｙᶄ＋ａｙ＝ｆ（ｘ），ｙｘ＝０＝０{的解ｙ（ｘ），其中ａ是正常数；（２）若ｆ（ｘ）ɤｋ（ｋ为常数），证明：当ｘȡ０时，有ｙ（ｘ）ɤｋａ（１－ｅ－ａｘ）．０２１９９７年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知函数ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓｘ）ｘ－２，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀ｘ＝０{在ｘ＝０处连续，则ａ＝．（２）设ｙ＝ｌｎ１－ｘ１＋ｘ２，则ｙᵡｘ＝０＝．（３）ʏｄｘｘ（４－ｘ）＝．（４）ʏ＋ɕ０ｄｘｘ２＋４ｘ＋８＝．（５）已知向量组α１＝（１，２，－１，１），α２＝（２，０，ｔ，０），α３＝（０，－４，５，－２）的秩为２，则ｔ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘң０时，ｅｔａｎｘ－ｅｘ与ｘｎ是同阶无穷小，则ｎ为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４．（２）设在闭区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）＞０，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．记Ｓ１＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｓ２＝ｆ（ｂ）（ｂ－ａ），Ｓ３＝１２［ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）］（ｂ－ａ），则（㊀㊀）（Ａ）Ｓ１＜Ｓ２＜Ｓ３．（Ｂ）Ｓ２＜Ｓ１＜Ｓ３．（Ｃ）Ｓ３＜Ｓ１＜Ｓ２．（Ｄ）Ｓ２＜Ｓ３＜Ｓ１．（３）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）对一切ｘ满足ｘｆᵡ（ｘ）＋３ｘ［ｆᶄ（ｘ）］２＝１－ｅ－ｘ，若ｆᶄ（ｘ０）＝０（ｘ０ʂ０），则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）（ｘ０，ｆ（ｘ０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（ｘ０）不是ｆ（ｘ）的极值，（ｘ０，ｆ（ｘ０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（４）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ＋２πｘｅｓｉｎｔｓｉｎｔｄｔ，则Ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）为正常数．（Ｂ）为负常数．（Ｃ）恒为零．（Ｄ）不为常数．（５）设函数ｇ（ｘ）＝２－ｘ，㊀ｘɤ０，ｘ＋２，㊀ｘ＞０，{ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀ｘ＜０，－ｘ，㊀ｘȡ０，{则ｇ［ｆ（ｘ）］＝（㊀㊀）（Ａ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｂ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｄ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求极限ｌｉｍｘң－ɕ４ｘ２＋ｘ－１＋ｘ＋１ｘ２＋ｓｉｎｘ．１２（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由ｘ＝ａｒｃｔａｎｔ，２ｙ－ｔｙ２＋ｅｔ＝５{所确定，求ｄｙｄｘ．（３）计算ʏｅ２ｘ（ｔａｎｘ＋１）２ｄｘ．（４）求微分方程（３ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２）ｄｘ＋（ｘ２－２ｘｙ）ｄｙ＝０的通解．（５）已知ｙ１＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ，ｙ２＝ｘｅｘ＋ｅ－ｘ，ｙ３＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ－ｅ－ｘ是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．（６）已知矩阵Ａ＝１１－１０１１００－１æèççöø÷÷，且Ａ２－ＡＢ＝Ｅ，其中Ｅ是３阶单位矩阵，求矩阵Ｂ．四㊁（本题满分８分）λ取何值时，方程组２ｘ１＋λｘ２－ｘ３＝１，λｘ１－ｘ２＋ｘ３＝２，４ｘ１＋５ｘ２－５ｘ３＝－１ìîíïïï无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．五㊁（本题满分８分）设曲线Ｌ的极坐标方程为ｒ＝ｒ（θ），Ｍ（ｒ，θ）为Ｌ上任一点，Ｍ０（２，０）为Ｌ上一定点．若极径ＯＭ０，ＯＭ与曲线Ｌ所围成的曲边扇形面积值等于Ｌ上Ｍ０，Ｍ两点间弧长值的一半，求曲线Ｌ的方程．六㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内大于零，并满足ｘｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋３ａ２ｘ２（ａ为常数），又曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝１，ｙ＝０所围的图形Ｓ的面积值为２，求函数ｙ＝ｆ（ｘ），并问ａ为何值时，图形Ｓ绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．七㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）连续，φ（ｘ）＝ʏ１０ｆ（ｘｔ）ｄｔ，且ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝Ａ（Ａ为常数），求φᶄ（ｘ）并讨论φᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．八㊁（本题满分８分）就ｋ的不同取值情况，确定方程ｘ－π２ｓｉｎｘ＝ｋ在开区间(０，π２)内根的个数，并证明你的结论．２２１９９８年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０１＋ｘ＋１－ｘ－２ｘ２＝．（２）曲线ｙ＝－ｘ３＋ｘ２＋２ｘ与ｘ轴所围成的图形的面积Ａ＝．（３）ʏｌｎ（ｓｉｎｘ）ｓｉｎ２ｘｄｘ＝．（４）设ｆ（ｘ）连续，则ｄｄｘʏｘ０ｔｆ（ｘ２－ｔ２）ｄｔ＝．（５）曲线ｙ＝ｘｌｎｅ＋１ｘ()（ｘ＞０）的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设数列｛ｘｎ｝与｛ｙｎ｝满足ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ＝０，则下列断言正确的是（㊀㊀）（Ａ）若｛ｘｎ｝发散，则｛ｙｎ｝必发散．（Ｂ）若｛ｘｎ｝无界，则｛ｙｎ｝必有界．（Ｃ）若｛ｘｎ｝有界，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（Ｄ）若１ｘｎ{}为无穷小，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（２）函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ｘ－２）ｘ３－ｘ的不可导点的个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（３）已知函数ｙ＝ｙ（ｘ）在任意点ｘ处的增量Δｙ＝ｙΔｘ１＋ｘ２＋α，其中α是比Δｘ（Δｘң０）高阶的无穷小，且ｙ（０）＝π，则ｙ（１）＝（㊀㊀）（Ａ）πｅπ４．（Ｂ）２π．（Ｃ）π．（Ｄ）ｅπ４．（４）设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ的某个邻域内连续，且ｆ（ａ）为其极大值，则存在δ＞０，当ｘɪ（ａ－δ，ａ＋δ）时，必有（㊀㊀）（Ａ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ȡ０．（Ｂ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ɤ０．（Ｃ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ȡ０（ｘʂａ）．（Ｄ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ɤ０（ｘʂａ）．（５）设Ａ是任一ｎ（ｎȡ３）阶方阵，Ａ∗是其伴随矩阵，又ｋ为常数，且ｋʂ０，ʃ１，则必有（ｋＡ）∗＝（㊀㊀）（Ａ）ｋＡ∗．（Ｂ）ｋｎ－１Ａ∗．（Ｃ）ｋｎＡ∗．（Ｄ）ｋ－１Ａ∗．三㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）ｘｔａｎ（ｘ－π４）在区间（０，２π）内的间断点，并判断其类型．３２四㊁（本题满分５分）确定常数ａ，ｂ，ｃ的值，使ｌｉｍｘң０ａｘ－ｓｉｎｘʏｘｂｌｎ（１＋ｔ３）ｔｄｔ＝ｃ（ｃʂ０）．五㊁（本题满分５分）利用代换ｙ＝ｕｃｏｓｘ将方程ｙᵡｃｏｓｘ－２ｙᶄｓｉｎｘ＋３ｙｃｏｓｘ＝ｅｘ化简，并求出原方程的通解．六㊁（本题满分６分）计算积分ʏ３２１２ｄｘｘ－ｘ２．七㊁（本题满分６分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度ｙ（从海平面算起）与下沉速度ｖ之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为ｍ，体积为Ｂ，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为ｋ（ｋ＞０）．试建立ｙ与ｖ所满足的微分方程，并求出函数关系式ｙ＝ｙ（ｖ）．八㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｆ（ｘ）是区间［０，１］上的任一非负连续函数．（１）试证存在ｘ０ɪ（０，１），使得在区间［０，ｘ０］上以ｆ（ｘ０）为高的矩形面积，等于在区间［ｘ０，１］上以ｙ＝ｆ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积；（２）又设ｆ（ｘ）在区间（０，１）内可导，且ｆᶄ（ｘ）＞－２ｆ（ｘ）ｘ，证明（１）中的ｘ０是惟一的．九㊁（本题满分８分）设有曲线ｙ＝ｘ－１，过原点作其切线，求由此曲线㊁切线及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．十㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｙ（ｘ）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（ｘ，ｙ）处的曲率为１１＋ｙᶄ２，且此曲线上点（０，１）处的切线方程为ｙ＝ｘ＋１，求该曲线的方程，并求函数ｙ＝ｙ（ｘ）的极值．十一㊁（本题满分８分）设ｘɪ（０，１），证明：（１）（１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）＜ｘ２；４２（２）１ｌｎ２－１＜１ｌｎ（１＋ｘ）－１ｘ＜１２．十二㊁（本题满分５分）设（２Ｅ－Ｃ－１Ｂ）ＡＴ＝Ｃ－１，其中Ｅ是４阶单位矩阵，ＡＴ是４阶矩阵Ａ的转置矩阵，Ｂ＝１２－３－２０１２－３００１２０００１æèççççöø÷÷÷÷，㊀㊀Ｃ＝１㊀２㊀０㊀１０㊀１㊀２㊀００㊀０㊀１㊀２０㊀０㊀０㊀１æèççççöø÷÷÷÷．求Ａ．十三㊁（本题满分６分）已知α１＝（１，４，０，２）Ｔ，α２＝（２，７，１，３）Ｔ，α３＝（０，１，－１，ａ）Ｔ，β＝（３，１０，ｂ，４）Ｔ，问：（１）ａ，ｂ取何值时，β不能由α１，α２，α３线性表示？（２）ａ，ｂ取何值时，β可由α１，α２，α３线性表示？并写出此表示式．５２１９９９年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｅｔｓｉｎ２ｔｙ＝ｅｔｃｏｓｔ{在点（０，１）处的法线方程为．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｌｎ（ｘ２＋ｙ）＝ｘ３ｙ＋ｓｉｎｘ确定，则ｄｙｄｘｘ＝０＝㊀㊀㊀．（３）ʏｘ＋５ｘ２－６ｘ＋１３ｄｘ＝．（４）函数ｙ＝ｘ２１－ｘ２在区间１２，３２[]上的平均值为．（５）微分方程ｙᵡ－４ｙ＝ｅ２ｘ的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１－ｃｏｓｘｘ，ｘ＞０，ｘ２ｇ（ｘ），ｘɤ０，{其中ｇ（ｘ）是有界函数，则ｆ（ｘ）在ｘ＝０处（㊀㊀）（Ａ）极限不存在．（Ｂ）极限存在，但不连续．（Ｃ）连续，但不可导．（Ｄ）可导．（２）设α（ｘ）＝ʏ５ｘ０ｓｉｎｔｔｄｔ，β（ｘ）＝ʏｓｉｎｘ０（１＋ｔ）１ｔｄｔ，则当ｘң０时，α（ｘ）是β（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）高阶无穷小．（Ｂ）低阶无穷小．（Ｃ）同阶但不等价的无穷小．（Ｄ）等价无穷小．（３）设ｆ（ｘ）是连续函数，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函数，则（㊀㊀）（Ａ）当ｆ（ｘ）是奇函数时，Ｆ（ｘ）必是偶函数．（Ｂ）当ｆ（ｘ）是偶函数时，Ｆ（ｘ）必是奇函数．（Ｃ）当ｆ（ｘ）是周期函数时，Ｆ（ｘ）必是周期函数．（Ｄ）当ｆ（ｘ）是单调增函数时，Ｆ（ｘ）必是单调增函数．（４） 对任意给定的εɪ（０，１），总存在正整数Ｎ，当ｎȡＮ时，恒有ｘｎ－ａɤ２ε 是数列｛ｘｎ｝收敛于ａ的（㊀㊀）（Ａ）充分条件但非必要条件．（Ｂ）必要条件但非充分条件．（Ｃ）充分必要条件．（Ｄ）既非充分条件又非必要条件．（５）记行列式ｘ－２ｘ－１ｘ－２ｘ－３２ｘ－２２ｘ－１２ｘ－２２ｘ－３３ｘ－３３ｘ－２４ｘ－５３ｘ－５４ｘ４ｘ－３５ｘ－７４ｘ－３为ｆ（ｘ），则方程ｆ（ｘ）＝０的根的个数为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀（Ｄ）４．６２三㊁（本题满分５分）求ｌｉｍｘң０１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘｘｌｎ（１＋ｘ）－ｘ２．四㊁（本题满分６分）计算ʏ＋ɕ１ａｒｃｔａｎｘｘ２ｄｘ．五㊁（本题满分７分）求初值问题（ｙ＋ｘ２＋ｙ２）ｄｘ－ｘｄｙ＝０（ｘ＞０），ｙｘ＝１＝０{的解．六㊁（本题满分７分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深３０ｍ，抓斗自重４００Ｎ，缆绳每米重５０Ｎ，抓斗抓起的污泥重２０００Ｎ，提升速度为３ｍ／ｓ．在提升过程中，污泥以２０Ｎ／ｓ的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①１Ｎˑ１ｍ＝１Ｊ；ｍ，Ｎ，ｓ，Ｊ分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．）七㊁（本题满分８分）已知函数ｙ＝ｘ３（ｘ－１）２，求（１）函数的增减区间及极值；（２）函数图形的凹凸区间及拐点；（３）函数图形的渐近线．八㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［－１，１］上具有三阶连续导数，且ｆ（－１）＝０，ｆ（１）＝１，ｆᶄ（０）＝０，证明：在开区间（－１，１）内至少存在一点ξ，使ｆ‴（ξ）＝３．九㊁（本题满分８分）设函数ｙ（ｘ）（ｘȡ０）二阶可导，且ｙᶄ（ｘ）＞０，ｙ（０）＝１．过曲线ｙ＝ｙ（ｘ）上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）作该曲线的切线及ｘ轴的垂线，上述两直线与ｘ轴所围成的三角形的面积记为Ｓ１，区间［０，ｘ］上以ｙ＝ｙ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积记为Ｓ２，并设２Ｓ１－Ｓ２恒为１，求此曲线ｙ＝ｙ（ｘ）的方程．７２十㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）是区间［０，＋ɕ）上单调减少且非负的连续函数，ａｎ＝ ｎｋ＝１ｆ（ｋ）－ʏｎ１ｆ（ｘ）ｄｘ（ｎ＝１，２， ），证明数列｛ａｎ｝的极限存在．十一㊁（本题满分６分）设矩阵Ａ＝１１－１－１１１１－１１æèççöø÷÷，矩阵Ｘ满足Ａ∗Ｘ＝Ａ－１＋２Ｘ，其中Ａ∗是Ａ的伴随矩阵，求矩阵Ｘ．十二㊁（本题满分８分）设向量组α１＝（１，１，１，３）Ｔ，α２＝（－１，－３，５，１）Ｔ，α３＝（３，２，－１，ｐ＋２）Ｔ，α４＝（－２，－６，１０，ｐ）Ｔ．（１）ｐ为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α＝（４，１，６，１０）Ｔ用α１，α２，α３，α４线性表示；（２）ｐ为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．８２２０００年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０ａｒｃｔａｎｘ－ｘｌｎ（１＋２ｘ３）＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｘｙ＝ｘ＋ｙ所确定，则ｄｙｘ＝０＝．（３）ʏ＋ɕ２ｄｘ（ｘ＋７）ｘ－２＝．（４）曲线ｙ＝（２ｘ－１）ｅ１ｘ的斜渐近线方程为．（５）设Ａ＝１０００－２３０００－４５０００－６７æèççççöø÷÷÷÷，Ｅ为４阶单位矩阵，且Ｂ＝（Ｅ＋Ａ）－１（Ｅ－Ａ），则（Ｅ＋Ｂ）－１＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设函数ｆ（ｘ）＝ｘａ＋ｅｂｘ在（－ɕ，＋ɕ）内连续，且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝０，则常数ａ，ｂ满足（㊀㊀）（Ａ）ａ＜０，ｂ＜０．（Ｂ）ａ＞０，ｂ＞０．（Ｃ）ａɤ０，ｂ＞０．（Ｄ）ａȡ０，ｂ＜０．（２）设函数ｆ（ｘ）满足关系式ｆᵡ（ｘ）＋［ｆᶄ（ｘ）］２＝ｘ，且ｆᶄ（０）＝０，则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）点（０，ｆ（０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（０）不是ｆ（ｘ）的极值，点（０，ｆ（０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（３）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是大于零的可导函数，且ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＜０，则当ａ＜ｘ＜ｂ时，有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ）ｇ（ｂ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｇ（ａ）＞ｆ（ａ）ｇ（ｘ）．（Ｃ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｂ）．（Ｄ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ａ）ｇ（ａ）．（４）若ｌｉｍｘң０ｓｉｎ６ｘ＋ｘｆ（ｘ）ｘ３＝０，则ｌｉｍｘң０６＋ｆ（ｘ）ｘ２为（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀（Ｂ）６．㊀㊀（Ｃ）３６．㊀㊀（Ｄ）ɕ．（５）具有特解ｙ１＝ｅ－ｘ，ｙ２＝２ｘｅ－ｘ，ｙ３＝３ｅｘ的３阶常系数齐次线性微分方程是（㊀㊀）（Ａ）ｙ‴－ｙᵡ－ｙᶄ＋ｙ＝０．（Ｂ）ｙ‴＋ｙᵡ－ｙᶄ－ｙ＝０．（Ｃ）ｙ‴－６ｙᵡ＋１１ｙᶄ－６ｙ＝０．（Ｄ）ｙ‴－２ｙᵡ－ｙᶄ＋２ｙ＝０．三㊁（本题满分５分）设ｆ（ｌｎｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）ｘ，计算ʏｆ（ｘ）ｄｘ．９２四㊁（本题满分５分）设ｘＯｙ平面上有正方形Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）０ɤｘɤ１，０ɤｙɤ１｝及直线ｌ：ｘ＋ｙ＝ｔ（ｔȡ０）．若Ｓ（ｔ）表示正方形Ｄ位于直线ｌ左下方部分的面积，试求ʏｘ０Ｓ（ｔ）ｄｔ（ｘȡ０）．五㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２ｌｎ（１＋ｘ）在ｘ＝０处的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（０）（ｎȡ３）．六㊁（本题满分６分）设函数Ｓ（ｘ）＝ʏｘ０ｃｏｓｔｄｔ，（１）当ｎ为正整数，且ｎπɤｘ＜（ｎ＋１）π时，证明：２ｎɤＳ（ｘ）＜２（ｎ＋１）；（２）求ｌｉｍｘң＋ɕＳ（ｘ）ｘ．七㊁（本题满分７分）某湖泊的水量为Ｖ，每年排入湖泊内含污染物Ａ的污水量为Ｖ６，流入湖泊内不含Ａ的水量为Ｖ６，流出湖泊的水量为Ｖ３．已知１９９９年底湖中Ａ的含量为５ｍ０，超过国家规定指标．为了治理污染，从２０００年初起，限定排入湖泊中含Ａ污水的浓度不超过ｍ０Ｖ．问至多需经过多少年，湖泊中污染物Ａ的含量才可降至ｍ０以内？（注：设湖水中Ａ的浓度是均匀的）．八㊁（本题满分６分）设函数ｆ（ｘ）在［０，π］上连续，且ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，ʏπ０ｆ（ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝０．试证明：在（０，π）内至少存在两个不同的点ξ１，ξ２，使ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．九㊁（本题满分７分）已知ｆ（ｘ）是周期为５的连续函数，它在ｘ＝０的某个邻域内满足关系式ｆ（１＋ｓｉｎｘ）－３ｆ（１－ｓｉｎｘ）＝８ｘ＋α（ｘ），其中α（ｘ）是当ｘң０时比ｘ高阶的无穷小，且ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（６，ｆ（６））处的切线方程．十㊁（本题满分８分）设曲线ｙ＝ａｘ２（ａ＞０，ｘȡ０）与ｙ＝１－ｘ２交于点Ａ，过坐标原点Ｏ和点Ａ的直线与曲线ｙ＝ａｘ２围成一平面图形．问ａ为何值时，该图形绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一㊁（本题满分８分）函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝１，且满足等式０３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）ｆᶄ（ｘ）＋ｆ（ｘ）－１ｘ＋１ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０．（１）求导数ｆᶄ（ｘ）；（２）证明：当ｘȡ０时，不等式ｅ－ｘɤｆ（ｘ）ɤ１成立．十二㊁（本题满分６分）设α＝１２１æèççöø÷÷，β＝１１２０æèççççöø÷÷÷÷，γ＝００８æèççöø÷÷，Ａ＝αβＴ，Ｂ＝βＴα，其中βＴ是β的转置，求解方程２Ｂ２Ａ２ｘ＝Ａ４ｘ＋Ｂ４ｘ＋γ．十三㊁（本题满分７分）已知向量组β１＝０１－１æèççöø÷÷，β２＝ａ２１æèççöø÷÷，β３＝ｂ１０æèççöø÷÷与向量组α１＝１２－３æèççöø÷÷，α２＝３０１æèççöø÷÷，α３＝９６－７æèççöø÷÷具有相同的秩，且β３可由α１，α２，α３线性表示，求ａ，ｂ的值．１３２０００年真题２００１年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң１３－ｘ－１＋ｘｘ２＋ｘ－２＝．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）由方程ｅ２ｘ＋ｙ－ｃｏｓ（ｘｙ）＝ｅ－１所确定，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，１）处的法线方程为．（３）ʏπ２－π２（ｘ３＋ｓｉｎ２ｘ）ｃｏｓ２ｘｄｘ＝．（４）过点(１２，０)且满足关系式ｙᶄａｒｃｓｉｎｘ＋ｙ１－ｘ２＝１的曲线方程为．（５）设方程组ａ㊀１㊀１１㊀ａ㊀１１㊀１㊀ａæèççöø÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝１１－２æèççöø÷÷有无穷多解，则ａ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝等于（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）１．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１．{㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０，㊀ｘɤ１，１，㊀ｘ＞１．{（２）设当ｘң０时，（１－ｃｏｓｘ）ｌｎ（１＋ｘ２）是比ｘｓｉｎｘｎ高阶的无穷小，ｘｓｉｎｘｎ是比ｅｘ２－１高阶的无穷小，则正整数ｎ等于（㊀㊀）（Ａ）１．（Ｂ）２．（Ｃ）３．（Ｄ）４．（３）曲线ｙ＝（ｘ－１）２（ｘ－３）２的拐点个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（４）已知函数ｆ（ｘ）在区间（１－δ，１＋δ）内具有二阶导数，ｆᶄ（ｘ）严格单调减少，且ｆ（１）＝ｆᶄ（１）＝１，则（㊀㊀）（Ａ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＜ｘ．（Ｂ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｃ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＜ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｄ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＞ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＜ｘ．（５）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数ｙ＝ｆᶄ（ｘ）的图形为（㊀㊀）２３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）三㊁（本题满分６分）求ʏｄｘ（２ｘ２＋１）ｘ２＋１．四㊁（本题满分７分）求极限ｌｉｍｔңｘｓｉｎｔｓｉｎｘ()ｘｓｉｎｔ－ｓｉｎｘ，记此极限为ｆ（ｘ），求函数ｆ（ｘ）的间断点并指出其类型．五㊁（本题满分７分）设ρ＝ρ（ｘ）是抛物线ｙ＝ｘ上任一点Ｍ（ｘ，ｙ）（ｘȡ１）处的曲率半径，ｓ＝ｓ（ｘ）是该抛物线上介于点Ａ（１，１）与Ｍ之间的弧长，计算３ρｄ２ρｄｓ２－ｄρｄｓ()２的值．（在直角坐标系下曲率公式为Ｋ＝ｙᵡ（１＋ｙᶄ２）３２．）六㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝０，且其反函数为ｇ（ｘ）．若ʏｆ（ｘ）０ｇ（ｔ）ｄｔ＝ｘ２ｅｘ，求ｆ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆᶄ（ｘ）＝ｇ（ｘ），ｇᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－ｆ（ｘ），且ｆ（０）＝０，ｇ（０）＝２，求ʏπ０ｇ（ｘ）１＋ｘ－ｆ（ｘ）（１＋ｘ）２[]ｄｘ．八㊁（本题满分９分）设Ｌ是一条平面曲线，其上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）（ｘ＞０）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在ｙ轴上的截距，且Ｌ经过点(１２，０)．（１）试求曲线Ｌ的方程；（２）求Ｌ位于第一象限部分的一条切线，使该切线与Ｌ以及两坐标轴所围图形的面积最小．九㊁（本题满分７分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积Ｓ成正比，比例常数Ｋ＞０．假设在融化过程３３２００１年真题。
2009年数二真题、标准答案及解析
B 不是 f x, y 的极值点.
D 是 f x, y 的极小值点.
dx f x, y dy dy
x 1 2 2 4 y y
2
1
f x, y dx （
）
A 1 dx 1
2
2
4 x
f x, y dy . f x, y dx .
a 3 6b
故排除 B, C .
lim
a 2 sin ax a3 1 x 0 6b 6b ax a
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另外 lim
1 a cos ax 存在，蕴含了 1 a cos ax 0 x 0 故 a 1. 排除 D . x 0 3bx 2
（10）已知
.
e
1 x
+
kx
dx 1 ,则 k
.
y
.
（11） lim
n 0
e
sin nxdx
2 y （12）设 y y ( x ) 是由方程 xy e x 1 确定的隐函数，则 2 x
（13）函数 y x 在区间 0， 1 上的最小值为
2x
B 2.
C 3.
2
D 无穷多个.
）
（2）当 x 0 时， f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 是等价无穷小，则（
A a 1, b
1 . 6
B a 1, b
1 . 6
C a 1, b
故可去间断点为 3 个，即 0, 1 （2）当 x 0 时， f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 是等价无穷小，则（
2009年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
,
) 的光滑曲线，当
22
x 0 时，曲线上任一点处的发现都过原点，当 0 x 时，函数 y(x)满足
y y x 0 。求 y(x)的表达式。
（21）（本题满分 11 分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 f (x) 在[a,b]上连续，在（a,b）
可导，则存在 (a,b) ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) 。（II）证明：若函数 f (x) 在 x=0
（A）
0 2 A
3B
0
（B）
0 3 A
2B
0
（C）
0 2B
3A
0
（D）
0 3B
2 A
0
100
（8）设
A，P
均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
PT
AＰ＝
010
，若
002
P (1,2,3),Q (1 2,2,3) ，则 QT AQ 为（）
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tan
x)]
（16）（本题满分 10 分）计算不定积分 ln(1 1 x )dx(x 0)
x
（17）（本题满分 10 分）设 z f (x y, x y, xy) ，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与
2z xy
（18）（本题满分 10 分）设非负函数 y=y(x)(x 0)，满足微分方程 xy y 2 0 ，当曲线
（23）（本题满分 11 分）设二次型 f (x1, x2, x3) ax12 ax22 (a 1)x32 2x1x3 2x2x3
（I）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（II）若二次型 f 的规范形为 y12 y22 ，求 a 的值。
1987-2009考研数学二真题【共58页】(可直接打印)
）
(A)
lim
h---++oo
h
[J(a
+ — 1h )
-f(a)]存在．
(B) lim J(a 曰
+ 2h) -f(a
1
+ h)存在．
(C) 四 f(a + h)�勹 f(a - h)存在．
(D) 四f(a) -�(a - h)存在．
四、（本题满分6分） 求微分方程xy'+ (1 - X)y=产(O <x <+oo)满足y(l)=0的特解
+
2 l
=
，结论是
．
(5) ff'(x)dx =
, ff'(2x)dx =
.
二、（本题满分6分）
1). 求极限lim( x----t()
1 了-
ex
1
-
三、（本题满分7分）
设{ x =
y=
5 5
(t (1
-
sin t), cos t),
求d少x'心 dx2 ·
r。 四、（本题满分8分）
计算定积分 xarcsin xdx.
1987年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷皿）
-、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
(1)设y= In(1 + ax),其中a为非零常数，则y'=
,y"=
(2)曲线y= arctan x在横坐标为1的点处的切线方程是
；法线方程是
．
r (3)积分中值定理的条件是
(4)
lim
n--+oc
(nn
(2)求山方程 2y -x=(x -y)ln(x -y)所确定的 函数y=y(x)的微分 dy. 7
2009考研数学二真题及答案
2009考研数学二真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。
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2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中 合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .3X _ X函数f (X )=—的可去间断点的个数为sin Ji x设函数Z = f (X, y )的全微分为 dz = xdx + ydy ,则点(0,0 )设函数 f (X, y )连续,则[dx Jx f (X,y dy +[ dy. f (x,y )dx = ()"(X )不变号,且曲线y = f (X )在点(1,1)处的曲率圆为X 2+y 2=2,则函数f ( X )在区间(1,2 )内(A)有极值点，无零点. (B) (C)有极值点,有零点.(D)设函数y = f (X )在区间［-1,3 ］上的图形为(A)1.(B) 2. 当 X T 0 时,f (x ) = x —sinax 与 g(x ) = x(C) 3.2(D )In (1-bx )是等价无穷小无穷多个.1(A) a =1,b =——.6 1(C) a = —1,b =6(B )(D )a = 1,b =—.6a = -1,b =J 6(A)不是f (x,y )的连续点. (B)不是f (x,y )的极值点.(C)是f (x,y )的极大值点.(D) 是f (X, y )的极小值点. (A) (C )24 _x—dx — f (x,y dy .2 4今—dy — f (X, y dx . (D )(B ) 24_xf dx f H X, y dy .1 X 22[dyj y f (x’yjdx .,只有一项是符 2 4_y无极值点，有零点. 无极值点，无零点.x⑺ 设A, B 均为2阶矩阵，A * ,B *分别为A, B 的伴随矩阵，()则函数F (X )= L f (t p t 的图形为若A =2, B =3,则分块矩阵f O A 、1的伴随矩阵为 ()I B 0丿'o3B *〕(02B* "(A)*|. (B)12A 0丿V 3A0丿 (C)‘0 3A * ](D)f 02A*' *12B|.1 *0丿13B 0丿0 设A,P 均为 3阶矩阵， P T为P 的转置矩阵 ,且P TAP = 0 1、0 若 P =(%,勺,—)2 = (% +02,02,03)，则 Q TAQ 为 ‘21 0、‘11 0"1 1 0 (B)1 2 0 .0 0 2>.0 0 2丿100 (82 ,(A2,52,1lim fe 」sinnxdx =n 卡cd 2y设y = y(x)是由方程xy + e y =x+1确定的隐函数，则一ydx(17)(本题满分10分)设z =f(x + y,x-y,xy),其中f 具有二阶连续偏导数，求dz 与dx 讪(18)(本题满分10分)设非负函数y = y (x )(x >0 )满足微分方程xy” —y' + 2 = 0 .当曲线y=y(x )过原点 时,其与直线X =1及y = 0围成的平面区域 D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体"2 0 0 ^"10 0"0 1 01 (D)0 2 01° 0 2丿 0 2丿二、填空题: (9)I x 曲线｛ [y -r 丄"U2d=」0 e U ，在点(0,0)处的切线方程为 =t 2ln(2 -t 2)(10)” 乂 k x已知L edx=1,则“(11) (12) (13) 函数y =x 2x在区间(0,1 ］上的最小值为(14) 设a , P 为3维列向量，P T为P 的转置，若矩阵up T相似于|0 1。
0"0 ,则 P T三、解答题：15- 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上 明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分).解答应写出文字说求极限 limU —cosxZW+tanx)]X T.4Sin x(16)(本题满分10分)计算不定积分Jin[+鬥x (x>0).(C9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上积.(19)(本题满分10分)计算二重积分 JJ(x — y )dxdy,其中 D ={(x, y j(x -1 f +(y — 1, < 2, y > x }.D(20)(本题满分12分)设y=y(x)是区间(心)内过点(p ,方的光滑曲线，当八x <0时,曲线上 任一点处的法线都过原点；当0<x v;i 时，函数y(x)满足y ” + y +x = 0.求函数y(x)的表达式.(21)(本题满分11分) (I )证明拉格朗日中值定理：若函数 f (X )在［a,b ］上连续，在(a,b)可导，则存在(a,b ),使得 f (b )-f (a )=f '(© X b -a ).(n )证明：若函数 f (x 在 x=0处连续,在(0,6卩:>0 )内可导，且lim f'(x )=A ,则f ：(0 )存在，且 f ；(0)= A .(22)(本题满分11分)设(n )对(I)中的任意向量 J J 证明：耳上2上3线性无关.f (X i ,X 2,X 3 )=ax 2+ax ； +(a —1 )x 1 中Zx* —2X 2X 3n-1 -1=\-1 1 11V 0 -4 -2 *2$7, A J 3 -~1 r-^3 ；(23)(本题满分 设二次型11分)(I )求二次型 f 的矩阵的所有特征值;(n )若二次型 f 的规范形为y i 2+y |,求a 的值./(I )求满足A JA2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1〜8小题，每小题 4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.3X _ X—一的可去间断点的个数为( nx(D )无穷多个. 【答案】C【解析】3X —xf(X )=s i nx(1)函数 f (X )= sin(B )2.则当x 取任何整数时, f (X )均无意义|iX-X 3lim X T 0sin 兀X 3X -X lim ----- T sin 兀X3.. X -Xlim ---- x -A 1sin 兀 X ,1-3x 2= lim ------ T 兀cos 兀X 1 - __ JI= lim x T 兀cos 兀X ,1 -3x 2=lim -------- x —A 1 兀 cos=2 JI 2 JI故可去间断点为3个，即0, ±1(2)当 X T 0时，f (X )=x —sinax 与 g (x ) = x 21n (1 —bx )是等价无穷小，则((A )a =1,b = —(B )a=1,b=6•(C )a = -1,b = 1 16.(D )a = T,b = 6【答案】A【解析】f(x)=x-si nax,g(x)=x 2l n(1-bx)为等价无穷小，贝Ulim 他=|imX-sinaXT g(x) x T x 2]n(1 -bx) a 2sin ax= limX^ 洛 limS 警洛 lim T X 2(-bx) = T -3bx 2= 1° -6bx2 .a sin ax = lim -------- X T 6b-—axa3=-—=1 6b 「•a 3=-6b 故排除 B,C .故f (X )的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是3X - X =0的解X l,2,3=0, ±11 _a cosax另外lim ：存在，蕴含了1-acosaxT 0(X T 0 )故a=1.排除D .x-0 -3bx2* 丿所以本题选A.(3)设函数z = f(X, y)的全微分为dz = xdx + ydy，则点(0,0 )()(A)不是f (x,y )的连续点. (B )不是f (x,y )的极值点.(C是f (X, y )的极大值点. (D )是f (x,y )的极小值点.故(0，0)为函数Z = f(X, y)的一个极小值点.2 2(4)设函数 f(x, y )连续，则 f dxj f(x,ydy + IX24』t dyjy f (x,y )dx=()24_x(A )1 dx 1 f (x,y dy .24T(C )1 dy 』f (x,y dx .【答案】C2 224丄(B )J i dx J x2 2(D ).] dyj y f(x,ydxf (X, ydy .【解析】f dx J f (x, y)dy + J dy J f (x, y)dx 的积分区域为两部分:x,y)|l <x<2,x<y <2}，D 2 ={(x,y)|l < y <2,y < x 乞 4- y } 将其写成一块 D =Vx,y)1<y<2,1<x<4-y24T故二重积分可以表示为[dy [ f (x, y)dx ，故答案为C.【答案】 DF z 【解析】因dz=xdx + ydy 可得 — e xcz=x,——=yL 2L 2-.2c z c z D Z , ---= =0, C = ------ 2 —1 ■- ■- 创exey cycx 处,& -<z 0,— =>0又在(0, 0)2AC -B =1区间(1,2 )内()【答案】 B【解析】由题意可知，f(X)是一个凸函数，即「'McO ,且在点(1,1)处的曲率P = —，而 f '(1) = -1,由此可得， 「'(1)=—2(1+(y')2)23在［1,2］上，f'(X)< f '⑴二―1 <0，即f(x)单调减少，没有极值点.对于f(2) - f(1) = f '(匚)1 、匚<^(1,2)，(拉格朗日中值定理) 二 f(2) <0而 f(1)=1A0 由零点定理知，在［1,2］上，f (X)有零点. 故应选(B ).(6)设函数y = f (X )在区间［-1,3 ］上的图形为f(x)"X则函数F (x )= ( f (t )dt 的图形为(1…I'Z :Z ：八12」 >(5)若f "(X 环变号，且曲线y = f (X )在点(1,1)上的曲率圆为X 2+ y 2=2，则f (x )在(A )有极值点，无零点. (B )无极值点，有零点. (C 有极值点，有零点.(D )无极值点，无零点.-2二o 4x(B ).f(x)，/f(x)'J1,/ 「-1123X-2 / 2 3-1【答案】X =X 0所围的图形的代数面积为所求函数 F(x)，从而可得出几个方面的特征:A y的伴随矩阵为(0丿【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y = f(x)的图形可见，其图像与 X 轴及y 轴、 0,1］时,F(x) <0,且单调递减.1,2］时, F(x)单调递增. ［2,3 ］时, F(x)为常函数. [-1,0 ]时，F(x)<0为线性函数,单调递增F(x)为连续函数 ⑤由于 结合这些特点，可见正确选项为 D . (7)设A , B 均为2阶矩阵，A ,分别为 A ，B 的伴随矩阵.若 |A =2,|B | = 3，则分\ O g 〔2A *(B J 3O V 3A2BO 丿块矩阵卩I B01(C )l2B O丿 (D ).l 3B【答案】B 【解析】根据 CC* = C E 若 C* = 分块矩阵 f oA 、 的行列式 2A *)。