压缩迭代序列的极限及其应用[1]
序对称压缩算子方程的迭代求解及其应用
注 2 若将定理 1 的条件换为 u + Β( v - u ) ≤ A ( u , v ) , A ( v , u ) ≤ v , 或 u ≤ A ( u , v ) , A ( v , u ) ≤ v - Β( v - u ) , 其中 Β ≥ 0, 则其结论仍成立, 而且有 ( i) Π w 0 , z 0 ∈ [ u , v ], 作对称 - 1 - 1 迭代 w n = [A (w n- 1 , z n- 1 ) + Β w n- 1 ] ( 1 + Β) , z n = [A ( z n- 1 , w n- 1 ) + Βz n- 1 ] ( 1 + Β) , 都 有 w n ( 或 z n ) - x 3 → 0 ( n → ∞) , 且有误差估计 w n ( 或 z n ) - x 3 ≤ 2N [ ( Α+ Β) ( 1 + Β) - 1 ] n u - v , n = 1, 2, 3, …; ( ii) 当 Α+ Β < 1 时, 对 u 0 = u , v 0 = v 作非对称迭代[ 2 ] u n = A ( u n - 1 , v n - 1 ) - Β( v n - 1 - u n - 1 ) , v n = A ( v n - 1 , u n - 1 ) , 或 u n = A ( u n - 1 , v n - 1 ) , v n = A ( v n - 1 , u n - 1 )
v n ≤ v , n = 1, 2, 3, …, 由 A 序对称压缩及归纳法可得
n ( v - u ) , n , p = 1, 2, 3, …, Η≤ u n+ p - u n , v n - v n+ p ≤ v n - u n ≤ Α 再由 Α∈ [ 0, 1) 及 P 正规不难推得, {u n } 与{v n } 依范数收敛于同一极限 x 3 ∈ E。 由 u n ≤ u n+ p 3 3 3 ( ) ≤ v n 令 p → ∞ 得 u n ≤ x ≤ v n , 从而 u n+ 1 ≤ A x , x ≤ v n+ 1 , 令 n → ∞ 得 x 3 ≤ A ( x 3 ,
压缩数列
第26讲:压缩数列 217第26讲:压缩数列压缩映射(函数)是高等数学中的重要函数,它在数学分析、微分方程、积分方程、代数方程的研究中都有重要作用. 压缩函数定义:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈[a,b],∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1 -x 2|,则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,λ叫做压缩系数.判定定理:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x ∈[a,b],|f '(x)|≤k<1,则f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f '(x)|max .证明:由拉格朗日中值定理:∀x 1,x 2∈[a,b],x 1≠x 2,∃ξ∈[a,b],使得:2121)()(x x x f x f --=f '(ξ)⇒|f(x 1)-f(x 2)|=|f '(ξ)||x 1-x 2|<|x 1-x 2|⇒f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f '(x)|max . 性质定理:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,则f(x)=x 有且只有一个解.证明:存在性:构造函数g(x)=f(x)-x,由|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|⇒|f(a)-f(b)|<b-a ⇒a-b<f(a)-f(b)<b-a ⇒0< g(a)-g(b)<2(b-a)⇒g(a)>g(b)⇒g(a)≥0,g(b)≤0,由连续函数的介值性定理知必存在一点x 0∈[a,b]满足g(x 0)=0,即f(x 0)=x 0;唯一性:假设存在两点x 1,x 2满足:f(x 1)=x 2,f(x 2)=x 2,则由已知条件有|x 1-x 2|=|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|<|x 1-x 2|,矛盾. 压缩函数可以用于迭代求方程的根、研究数列的极限等.证明数列的极限存在,常采用两种方法:①利用单调有界原理; ②利用压缩函数原理.压缩数列定义:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,数列{x n }满足:初始值x 1∈[a,b],x n+1=f(x n )(n ∈N +),则称数列{x n }是压缩数列.性质定理:如果数列{x n }是压缩数列,则:①|x n+1-x n |≤λn-1|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |≤λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 11||<λ-11|x 2-x 1|; ④若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λn-1|x 1-x 0|;⑤若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λλ-1n|x 1-x 0|. 证明:①由|x n+1-x n |=|f(x n )-f(x n-1)|≤λ|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤λn-1|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+ (x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤λn+k-2|x 2-x 1|+λn+k-3|x 2-x 1|+…+λn-1|x 2-x 1|=λn-1|x 2-x 1|(1+λ+…+λk-2)<λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 11||<|x 2-x 1|(1+λ+…+λk-2)<λ-11|x 2-x 1|;④由|x n -x 0|=|f(x n-1)-f(x 0)|≤λ|x n-1-x 0|⇒|x n -x 0|≤λn-1|x 1-x 0|;⑤由|x n+k -x n |≤λλ--11n |x 2-x 1|⇒|x n+k -x n |≤λλ-1n |x 1-x 0|,令k →+∞,则x n+k →x 0⇒|x n -x 0|≤λλ-1n|x 1-x 0|;例1:压缩数列的初始例子.[始源问题]:(2006年广东高考试题)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数f(x)组成的集合:①对任意的x ∈[1,2],都有f(2x)∈(1,2);②存在常数L(0<L<1)使得对任意的x 1,x 2∈[1,2],都有|f(2x 1)-f(2x 2)|≤L|x 1-x 2|. (Ⅰ)设f(x)=31x +,x ∈[2,4],证明:f(x)∈A;(Ⅱ)设f(x)∈A,如果存在x 0∈(1,2),使得x 0=f(2x 0),那么这样的x 0是唯一的;(Ⅲ)设f(x)∈A,任取x 1∈(1,2),令x n+1=f(2x n ),n=1,2,…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|x k+p -x k |≤LL k --11|x 2-x 1|. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=31x +⇒f(2x)=321x +,x ∈[1,2]⇒f(2x)∈[f(2),f(4)]=[33,35]⊂(1,2);当x 1≠x 2时,|||)2()2(|2121x x x f x f --=|||2121|223231x x x x -+-+=2323231231)21(2121)21(2x x x x +++⋅+++<23)3(32<1⇒f(x)∈A; (Ⅱ)反证:假设存在x 1,x 2∈(1,2),x 1≠x 2,使得x 1=f(2x 1),x 2=f(2x 2),则|x 1-x 2|=|f(2x 1)-f(2x 2)|≤L|x 1-x 2|⇒L ≥1,矛盾.故结论成立;218 第26讲:压缩数列(Ⅲ)由f(x)∈A,任取x 1∈(1,2),x n+1=f(2x n )⇒|x n+1-x n |=|f(2x n )-f(2x n-1)|≤L|x n -x n-1|⇒|x n -x n-1|≤L n-2|x 2-x 1|⇒|x k+p -x k |= |(x k+1-x k )+(x k+2-x k+1)+…+(x k+p -x k+p-1)|≤|x k+1-x k |+|x k+2-x k+1|+…+|x k+p -x k+p-1|≤L k-1|x 2-x 1|(1+L+…+L p-1)<LL k --11|x 2-x 1|. 本题是2006年广东高考数学压轴题,高考数学压轴题,总给人一种望而生畏的感觉.很多考生一看这个题目,就被它“复杂”的形式吓倒了,望而却步,乖乖缴“械”;而不少考生压根儿就没去看这道题.本题满分12分,全省仅有3人获得满分,10分以上也才区区几十号人,平均分只有分,得分率(难度)为.[原创问题]:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈[a,b],∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数.给出函数f(x)=321+x .(Ⅰ)求证:f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;(Ⅱ)数列{x n }满足:x 1=3,x n+1=f(x n ),求证:|x k+p -x k |≤(21)k+1. [解析]:(Ⅰ)当x 1≠x 2时,|||)()(|2121x x x f x f --=|||11|22322321x x x x -+-+=2322322321232121)1(11)1(||+++⋅++++x x x x x x <23)2(34<1⇒∀x 1,x 2∈[1,2],|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,其中,λ=23)2(34<1⇒f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;(Ⅱ)由f(x)=321+x ⇒f '(x)=3)1(2322-+x x >0⇒f ''(x)=92(x 2+1)35-(3-x 2)⇒0<f '(x)≤f '(3)=3231⋅<21⇒|f(x 1)-f(x 2)|≤21|x 1-x 2|⇒|x n+1-x n |=|f(x n )-f(x n-1)|≤21|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤(21)n-1|x 2-x 1|⇒|x k+p -x k |=|(x k+1-x k )+(x k+2-x k+1)+… +(x k+p -x k+p-1)|≤|x k+1-x k |+|x k+2-x k+1|+…+|x k+p -x k+p-1|≤(21)k-1|x 2-x 1|[1+21+…+(21)p-1]<(21)k|x 2-x 1|=(21)k|2-3|<(21)k+1.例2:压缩数列的另一例子.[始源问题]:(2011年年广州一模数学试题)已知函数y=f(x)的定义域为R ,且对于任意x 1,x 2∈R ,存在正实数L,使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤L|x 1-x 2|都成立. (Ⅰ)若f(x)=21x +,求L 的取值范围;(Ⅱ)当0<L<1时,数列{a n }满足a n+1=f(a n ),n=1,2,…. (i)证明:∑-=+ni i i a a 11||<L-11|a 1-a 2|; (ii)令A k =k a a a k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),证明:∑-=+n i i i A A 11||<L -11|a 1-a 2|.[解析]:(Ⅰ)对任意x 1,x 2∈R ,有|f(x 1)-f(x 2)|=|211x +-221x +|=32212111||x x x x ++++|x 1-x 2|;由|f(x 1)-f(x 2)|≤L|x 1-x 2|⇒32212111||x x x x ++++|x 1-x 2|≤L|x 1-x 2|⇒32212111||x x x x ++++≤L;又由211x +>|x 1|,221x +>|x 2|⇒211x ++221x +>|x 1|+|x 2|≥|x 1+x 2|⇒32212111||x x x x ++++<1⇒L ≥1⇒L 的取值范围是[1,+∞);(Ⅱ)(i)由|a n -a n+1|=|f(a n-1)-f(a n )|≤L|a n-1-a n |⇒|a n -a n+1|≤L n-1|a 1-a 2|⇒∑-=+ni i i a a 11||≤(1+L+…+L n-1)|a 1-a 2|<L-11|a 1-a 2|; 第26讲:压缩数列 219(ii)由A k =k a a a k +⋅⋅⋅++21⇒|A k -A k+1|=|k a a a k +⋅⋅⋅++21-1121+++⋅⋅⋅+++k a a a a k k |=)1(1+k k |(k+1)(a 1+a 2+…+a k )-k(a 1+a 2+…+a k +a k+1)|=)1(1+k k |a 1+a 2+…+a k -ka k+1|=)1(1+k k |(a 1-a 2)+2(a 2-a 3)+3(a 3-a 4)+…+k(a k -a k+1)|≤)1(1+k k (|a 1-a 2|+2|a 2-a 3|+3|a 3-a 4|+…+k|a k -a k+1|)⇒∑-=+ni i i A A 11||=|A 1-A 2|+|A 2-A 3|+…+|A n -A n+1|≤211⋅|a 1-a 2|+321⋅(|a 1-a 2|+2|a 2-a 3|)+…+)1(1+n n (|a 1-a 2|+2|a 2-a 3|+3|a 3-a 4|+…+n|a n -a n+1|)=|a 1-a 2|[211⋅+321⋅+…+)1(1+n n ]+2|a 2-a 3|[321⋅+…+)1(1+n n ]+3|a 3-a 4|[431⋅+…+)1(1+n n ]+…+n|a n -a n+1|⋅)1(1+n n =|a 1-a 2|(1-11+n )+|a 2-a 3|(1-12+n )+|a 3-a 4|(1-13+n )+…+|a n -a n+1|(1-1+n n )<∑-=+n i i i a a 11||<L-11|a 1-a 2|. 本题揭示了压缩函数的根本问题:如何求压缩系数的最小值常采用两种方法:①利用不等式放缩,求|||)()(|2121x x x f x f --的最大值;②利用导数,求|f '(x)|的最大值.本题的亮点是由A k =ka a a k +⋅⋅⋅++21到|A k -A k+1|=)1(1+k k |(a 1-a 2)+2(a 2-a 3)+3(a 3-a 4)+…+k(a k -a k+1)|的变换.由|a n -a n+1|≤L n-1|a 1-a 2|⇒|A k -A k+1|≤)1(1+k k |a 1-a 2|(1+2L+3L 2+…+kL k-1)<)1(1+k k 221)1(||L a a --.[原创问题]:如果在区间D 上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈D,∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,则区间D 叫做函数f(x)的压缩区间,λ叫做函数f(x)的压缩系数. (Ⅰ)若f(x)=21+x 的压缩区间为(0,+∞),求f(x)压缩系数λ的最小值; (Ⅱ)若数列{x n }满足x 1=2,x n+1=21+n x ,令a k =k x x x k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),证明:∑-=+n i i i a a 11||<73. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=21+x ⇒|f(x 1)-f(x 2)|=|211+x -212+x |=)2)(2(121++x x |x 1-x 2|;而)2)(2(121++x x <41⇒λ≥41⇒λ的最小值=41; (Ⅱ)由|x n -x n+1|=|f(x n-1)-f(x n )|≤41|x n-1-x n |⇒|x n -x n+1|≤(41)n-1|x 1-x 2|=(41)n-1|2-(1-22)|<3(41)n ;又由a k =k x x x k +⋅⋅⋅++21⇒|a k -a k+1|=|k x x x k +⋅⋅⋅++21-1121+++⋅⋅⋅+++k x x x x k k |=)1(1+k k |(k+1)(x 1+x 2+…+x k )-k(x 1+x 2+…+x k +x k+1)|=)1(1+k k |x 1+x 2+…+x k -kx k+1|=)1(1+k k |(x 1-x 2)+2(x 2-x 3)+3(x 3-x 4)+…+k(x k -x k+1)|≤)1(1+k k (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+k|x k -x k+1|)⇒∑-=+ni i i a a 11||=|a 1-a 2|+|a 2-a 3|+…+|a n -a n+1|≤211⋅|x 1-x 2|+321⋅(|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|)+…+)1(1+n n (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+n|x n -x n+1|)=|x 1-x 2|[211⋅+321⋅+…+)1(1+n n ]+2|x 2-x 3|[321⋅+…+)1(1+n n ]+3|x 3-x 4|[431⋅+…+)1(1+n n ]+…+n|x n -x n+1|⋅)1(1+n n=|x 1-x 2|(1-11+n )+|x 2-x 3|(1-12+n )+|x 3-x 4|(1-13+n )+…+|x n -x n+1|(1-1+n n )<13+n [n(41)1+(n-1)(41)2+…+(41)n ]=nn 4)1(3+ (1+2×4+3×42+…+n ×4n-1)=nn 4)1(3+[(143n+211)4n-211]=7723++n n -n n 4)1(71+<7723++n n <73.例3:压缩数列的应用.220 第26讲:压缩数列 [始源问题]:(2009年陕西高考试题)己知数列{x n }满足:x 1=21,x n+1=nx +11,n ∈N *. (Ⅰ)猜想数列{x 2n }的单调性,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:|x n+1-x n |≤61(52)n-1. [解析]:(Ⅰ)数列{x 2n }的单调递减;由x 1=21,x n+1=nx +11⇒x n >0,且x 2n+2=1211++n x =nx 21111++=n n x x 2221++⇒x 2n -x 2n+2=222221--++n n x x -n n x x 2221++=)2)(2(222222n n n n x x x x ++---,由x 2=32>85=x 4,用数学归纳法即证; (Ⅱ)由x n+1=n x +11⇒|x n+1-x n |=|n x +11-111-+n x |=)1)(1(11-++n n x x |x n -x n-1|,而当n ≥2时,0<x n-1<1⇒1+x n-1<2⇒x n =111-+n x >21⇒(1+x n )(1+x n-1)=(1+111-+n x )(1+x n-1)=2+x n-1≥25⇒|x n+1-x n |≤52|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤|x 2-x 1|(52)n-1=61(52)n-1.该题脱去了压缩函数的外衣,利用压缩函数在,第(Ⅱ)问还有如下解法:压缩函数f(x)=x +11(x ≥32)⇒f '(x)=-2)1(1x +⇒|f '(x)|=2)1(1x +≤259⇒压缩系数λ=259⇒|x n+1-x n |≤259|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤|x 2-x 1|(259)n-1=61(259)n-1<61(52)n-1. [原创问题]:己知数列{x n }满足:x 1=2a(a>0),x n+1=41(3x n +34nx a ),n=1,2,3,….(Ⅰ)求证:对任意的正整数k,|x n+k -x n |<825a (43)n-1; (Ⅱ)求证:|x n -a|≤a(43)n-1. [解析]:(Ⅰ)考察压缩函数f(x)=41(3x+34xa )(x ≥a)⇒f '(x)=43(1-44x a )⇒|f '(x)|=43|1-44xa |<43⇒压缩系数λ= 43;用初等方法证:|f(x 1)-f(x 2)|=41|3(x 1-x 2)+a 4(311x -321x )|=41|x 1-x 2||3-32312221214)(x x x x x x a ++|≤43|x 1-x 2|⇒|x n+1-x n |≤43|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤|x 2-x 1|(43)n-1=3225a (43)n-1⇒|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+(x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤(43)n+k-2|x 2-x 1|+(43)n+k-3|x 2-x 1|+…+(43)n-1|x 2-x 1|=(43)n-1|x 2-x 1|[1+43+…+(43)k-2]<825a (43)n-1;λλ--11n |x 2-x 1|; (Ⅱ)由f(a)=a ⇒|x n -a|=|f(x n-1)-f(a)|≤43|x n-1-a|⇒|x n -a|≤(43)n-1|x 1-a|=a(43)n-1. 例4:压缩数列的解法程序.[始源问题]:(2009年重庆高考试题)已知a 1=1,a 2=4,a n+2=4a n+1+a n ,b n =nn a a1+,n ∈N*.(Ⅰ)求b 1、b 2、b 3的值;(Ⅱ)设c n =b n b n+1,S n 为数列{c n }的前n 项和,求证:S n ≥17n. (Ⅲ)求证:|b 2n -b n |<6412171-⋅n . 第26讲:压缩数列 221 [解析]:(Ⅰ)由a 1=1,a 2=4,b n =nn a a1+⇒b 1=4;又由a n+2=4a n+1+a n ⇒12++n n a a =4+1+n n a a ⇒b n+1=4+n b 1⇒b 2=417,b 3=1772;(Ⅱ)由b n+1=4+nb 1⇒b n ≥4⇒c n =b n b n+1=4b n +1≥17⇒S n =c 1+c 2+…+c n ≥17n; (Ⅲ)因|b n+1-b n |=|(4+n b 1)-(4+11-n b )|=n n b b 11-|b n -b n-1|≤171|b n -b n-1|⇒|b n+1-b n |≤(171)n-1|b 2-b 1|=41(171)n-1⇒|b 2n -b n |=|(b n+1-b n )+(b n+2-b n+1)+…+(b 2n -b 2n-1)|≤|b n+1-b n |+|b n+2-b n+1|+…+|b 2n -b 2n-1|≤41(171)n-1[1+171+…+(171)n-1]<6412171-⋅n . 我们知道,如果数列{x n }是压缩数列,则:①|x n+1-x n |≤λn-1|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |≤λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 11||<λ-11|x 2-x 1|; ④若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λn-1|x 1-x 0|;⑤若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λλ-1n|x 1-x 0|.⑥若a k =kx x x k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),则∑-=+ni i i a a 11||<λ-11|x 1-x 0|.其中,①是基本不等式,即其他不等式均由①式导出;不等式①的构造程序是:首先由x 1= a,x n+1=f(x n ),确定x n 的取值范围D,然后确定λ:当x ∈D 时,|f '(x)|≤λ,最后利用不等放缩证明:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,由此即得不等式①.[原创问题]:己知数列{x n }满足:x 1=2a ,a ∈[0,1],x n+1=2a -22nx ,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求证:|x n+k -x n |≤a -21(2a )n+1; (Ⅱ)令a k =k x x x k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),证明:∑-=+n i i i a a 11||<a a 482-.[解析]:(Ⅰ)由x 1=2a ,a ∈[0,1],x n+1=2a -22n x ⇒0≤x n ≤2a ;我们在区间[0,2a ]上考虑函数f(x)=2a -22x ⇒|f '(x)|=|-x|=x ∈[0,2a ]⇒λ=2a ;以下用初等方法:|f(x 1)-f(x 2)|=2||21x x +|x 1-x 2|≤2a |x 1-x 2|⇒|x n+1-x n |≤(2a )n-1|x 2-x 1|=21(2a )n+1⇒|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+(x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤(2a )n+k-2|x 2-x 1|+(2a )n+k-3|x 2- x 1|+…+(2a )n-1|x 2-x 1|=(2a )n-1|x 2-x 1|(1+2a +…+(2a )k-2)<a -21(2a )n+1;(Ⅱ)由a k =kx x x k +⋅⋅⋅++21⇒|a k -a k+1|=|k x x x k +⋅⋅⋅++21-1121+++⋅⋅⋅+++k x x x x k k |=)1(1+k k |(k+1)(x 1+x 2+…+x k )-k(x 1+x 2+…+x k +x k+1)|=)1(1+k k |x 1+x 2+…+x k -kx k+1|=)1(1+k k |(x 1-x 2)+2(x 2-x 3)+3(x 3-x 4)+…+k(x k -x k+1)|≤)1(1+k k (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+k|x k -x k+1|)⇒∑-=+ni i i a a 11||=|a 1-a 2|+|a 2-a 3|+…+|a n -a n+1|≤211⋅|x 1-x 2|+321⋅(|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|)+…+)1(1+n n (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+n|x n -x n+1|)=|x 1-x 2|[211⋅+321⋅+…+)1(1+n n ]+2|x 2-x 3|[321⋅+…+)1(1+n n ]+3|x 3-x 4|[431⋅+…+)1(1+n n ]+…+n|x n-x n+1|⋅)1(1+n n =|x 1-x 2|(1-11+n )+|x 2-x 3|(1-12+n )+|x 3-x 4|(1-13+n )+…+|x n -x n+1|(1-1+n n )<|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+|x 3-x 4|+…+|x n -x n+1|<21∑=+n i i a 11)2(<a a 482-. 例5:压缩数列的极限.222 第26讲:压缩数列 [始源问题]:(2005年辽宁高考试题)己知函数f(x)=13++x x (x≠-1).设数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=f(a n ),数列{b n }满足:b n =|a n -3|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N*).(Ⅰ)证明:b n ≤12)13(--n n; (Ⅱ)证明:S n <332. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=x ⇒13++x x =x ⇒x=±3.所以,b n+1=|a n+1-3|=|13++n n a a -3|=|113+-n a ||a n -3|,又因a n ≥1,所以,|113+-n a |≤213-⇒b n+1<213-b n ⇒b n ≤12)13(--n n ; (Ⅱ)由b n ≤12)13(--n n ⇒S n <2131|31|---=332.数列{a n }满足:a 1=a,a n+1=f(a n ),其函数f(x)的一个不动点为α,要证|a n -α|<|a-α|M n-1.分三步:一是由a n+1=f(a n )得|a n+1-α|=g(a n )|a n -α|;二是证明0<g(a n )<M;三是利用|a n+1-α|<M|a n -α|递推,即得|a n -α|<|a-α|M n-1.[原创问题]:己知数列{x n }满足:x 0=a>0,x n+1=1+nx 1,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求证:当n ≥4时,|x n+1-x n |≤32|x n -x n-1|; (Ⅱ)证明:对任意正整数n,存在正常数M,使得:|x n -215+|<M(32)n. [解析]:(Ⅰ)由x 0=a>0,x n+1=1+n x 1⇒当n ≥1时,x n >1⇒x n+1=1+n x 1<2⇒x n+2=1+11+n x ≥1+21=23⇒当n ≥4时,|x n+1-x n |=|(1+n x 1)-(1+11-n x )=n n x x 11-|x n -x n-1|≤(32)2|x n -x n-1|≤32|x n -x n-1|;(Ⅱ)当n=1,2,3时,显然成立;当n ≥4时,|x n -215+|=12151-+n x |x n-1-215+|<)15(34+|x n-1-215+|<32|x n-1-215+| ⇒|x n -215+|<|x 4-215+|(32)n-4;令M=|x 4-215+|(23)4⇒|x n -215+|<M(32)n.例6:压缩数列的变式.[始源问题]:(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知数列{a n }中,a 1>0,且a n+1=23na +. (Ⅰ)试求a 1的取值范围,使得a n+1>a n 对任何正整数n 都成立;(Ⅱ)若a 1=4,设b n =|a n+1-a n |(n=1,2,3,…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和,证明:S n <25. [解析]:(Ⅰ)研究函数f(x)=23x +(x>0),则f(x)>x ⇔0<x<23.且当0<x<23时,0<f(x)<23.由a n+1>a n ⇒a 2>a 1⇒0<a 1< 23,以下用数学归纳法证; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a 1=4时,a n+1<a n ⇒b n =|a n+1-a n |=a n -a n+1⇒S 4=a 1-a n+1,(a n+1>23)<4-23=25. [原创问题]:已知函数f(x)=44716++x x ,数列{a n },{b n }满足a 1>0,b 1>0,a n =f(a n-1),b n =f(b n-1),n=2,3,….(Ⅰ)求a 1的取值范围,使得对任意的正整数n,都有a n+1>a n ; (Ⅱ)若a 1=3,b 1=4,求证:0<b n -a n ≤181-n ,n=1,2,3,….[解析]:(Ⅰ)f(x)>x ⇔0<x<27.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a 1=3时,3≤a n <27;当b 1=4时,4≥b n >27⇒0<b n -a n ;b n+1-a n+1=49)1)(1(1++n n b a (b n -a n )<81(b n -a n ).。
压缩迭代序列的极限与压缩函数映射的不动点原理
lim xn . x0 = 1 ， xn = axn−1 ， n=1 ,2 ," ，求 n → ∞
,2 ," a ， n=1 ；
− xn |=| axn − axn−1 |
| x n − x n −1 | ≤ 1 | x − x | n n −1 ， n = 2,3," ， 2
=
a x n + x n −1
则 n→∞
lim xn = x *
存在.
证明 由条件，得 |
x2i +1 − x2i |≤ k i | x1 − x0 | ， i = 1, 2, " ；
| x2i + 2 − x2i +1 |≤ k i | x2 − x1 | ， i = 1, 2, " ，
从而， |
xn+1 − xn |≤ k a ， n = 2,3, " ， a = max{| x 2 − x1 |, | x1 − x0 |} ；
{ x n } 满足条件：存在正常数 0 < k < 1 ，使得
| xn +1 − xn |≤ k | xn − xn −1 | ， n = 1,2," ，
则 n→∞ 收稿日期： 基金项目：北京市级精品课程建设项目基金资助， 北京航空航天大学校级精品课程建设项目基金资助. 河南省软科学基金资助项目（0513011110） 作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,副教授,博士， 从事偏微分方程研究和教学工作.
2009-6-13
压缩迭代序列的极限与压缩函数映射的不动点原理
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由定理1,于是得 { x n } 是收敛的，设 n →∞
lim xn = A
1.3序列的极限
用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：
r r 1 3 r
A1 2r sin
2
2
2
A2 4r 2 sin
A3 8r 2 sin
4
8
四边形 八边形 十六边形
．．．．．．
An 2nr sin
2
2
2n ．．．．．．
序列： 如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n 有一个确定的 数xn ，则得到一列有次序的数 x1，x2，x3，… ，xn ，…
lim xn a．
n
如果序列没有极限，就说序列是发散的． 例如
lim n 1, lim 1 0, n n n 1 2n
n -1 n (-1) lim ． n n
而序列{2n}，{ (-1)n1}，是发散的．
6
对无限接近的刻划：
“当n无限增大时，xn无限接近于a”
ln , 证明：因为对于任意给定的>0， 存在 N 1 ln | q | 使当n>N时，有
的极限是0．
|qn-1-0| = |q|n-1< ，
所以 lim q n 0.
n
也可写成:
ln 0, 令N 1 ln q
, 则当n N时,
n n
bn - l , 只要n N1,
即
cn - l , 只要n N2 ,
l - bn l , 只要n N1, l - cn l , 只要n N2 ,
取N max N0 , N1, N2 , 则当n N时， l - cn an bn l ,
序列与极限在数学分析中的应用
序列与极限在数学分析中的应用序列与极限是数学分析中非常重要的概念，它们在解决数学问题、推导理论和应用实际问题中起着关键的作用。
在本文中，我们将探讨序列与极限的定义、性质及其在数学分析中的应用。
首先，我们来介绍序列的概念。
在数学中，序列是指按照一定规则排列的一系列数的集合。
我们可以将序列表示为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中的a₁, a₂, a₃是序列中的第一、第二、第三个数，以此类推。
序列可以是有限的，也可以是无限的。
序列的极限是序列中的数趋向于某个确定值的概念。
设有序列{a₁, a₂, a₃, ...}，如果对于给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|aₙ-L|<ε，那么称数L为序列的极限，记为limᵣaₙ=L。
极限的存在性是序列理论的一个重要问题。
当一个序列存在极限时，我们称其为收敛序列；当一个序列不存在极限时，我们称其为发散序列。
收敛序列通常具有很多有趣的性质，而发散序列则具有特殊的行为。
在数学分析中，序列与极限的应用非常广泛。
下面我们将介绍几个典型的应用领域。
1. 无穷级数求和无穷级数是指由序列的和构成的级数，其中每一项的值是序列的各个数的和。
通过对序列的极限进行求和，我们可以计算出无穷级数的和。
这在金融数学、物理学等领域中有着广泛的应用。
2. 极限在函数连续性中的应用在函数连续性的研究中，序列与极限的概念是必不可少的。
通过判断函数在某个点上的极限是否存在，我们可以确定函数在该点上的连续性。
这在微积分学中有着重要的应用。
3. 极限在微分学中的应用微分学研究的是函数的导数与变化率。
通过定义导数为某点的极限，我们可以求取函数的导数，并进一步应用于曲线的切线、最值以及解方程等问题。
4. 极限在数学推导中的应用在数学推导中，序列与极限的性质常常被用来证明定理和推导公式。
通过处理序列的极限，我们可以得到很多重要的数学结论。
除了上述应用之外，序列与极限还在其他数学领域中发挥重要作用。
序列极限和数列极限的基本概念及其应用
序列极限和数列极限的基本概念及其应用作为数学学科的重要分支，更新迭代的发展让人们在了解自然世界和现实生活中问题的本质时有了更为清晰的认识。
数列是数学中一个非常重要的概念，而其中的两个重要概念——序列极限和数列极限——则在很多领域都有着广泛的应用，接下来让我们一起来探讨一下它们的基本概念以及应用。
一、序列极限与数列极限的定义1. 序列极限序列，是指按照一定规律排列成的一些数的集合。
比如说，一个序列可以由某个公式给出：$a_n=\dfrac{n+2}{2n+3}$，其中$n$为一个大于等于$1$的整数。
这个序列为：$a_1=\dfrac{3}{5}$，$a_2=\dfrac{4}{7}$，$a_3=\dfrac{5}{9}$……等等。
那么，序列极限就是指当$n$趋近于正无穷时，$a_n$的极限值，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$。
在上述序列中，$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$等于$\dfrac{1}{2}$，也就是说，当$n$趋近于正无穷时，序列$a_n$越来越靠近$\dfrac{1}{2}$。
2. 数列极限数列，指的是按照一定规律排列成的数字的集合。
比如，$1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dots$就是一个数列。
数列极限就是指当$n$趋近于正无穷时，数列的某一项的极限值。
与序列不同，数列极限只考虑数列中某一项的极限值，而不是整个数列在极限情况下的值。
比如，数列$\{a_1=\dfrac{1}{2},a_2=\dfrac{1}{4},a_3=\dfrac{1}{8},\dots,a_n=\d frac{1}{2^n},\dots\}$的第$n$项就是$a_n=\dfrac{1}{2^n}$。
那么，该序列的数列极限为$0$。
二、序列极限与数列极限的性质序列极限和数列极限都有以下几个基本性质：1. 极限唯一序列极限和数列极限都是唯一的。
Banach压缩映射原理的应用
Banach压缩映射原理的应用杨海鹏【摘要】Banach压缩映射原理保证了完备的度量空间中压缩映射的不动点的存在性和唯一性.主要研究了Banach压缩映射原理在分析和各种方程解的存在唯一性的一些应用,所得结果拓宽和丰富了压缩映射原理的应用.【期刊名称】《湖南工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(028)001【总页数】4页(P53-56)【关键词】压缩映射;不动点;应用【作者】杨海鹏【作者单位】运城师范高等专科学校数学与计算机系,运城 044000【正文语种】中文【中图分类】O174.40 引言Banach压缩映射原理是波兰数学家巴拿赫1922年在完备度量空间中将压缩映射逐次迭代所获得的结果. 该原理证明了完备的度量空间中压缩映射的不动点的存在性和唯一性.由于理论和实际需要的推动，Banach压缩映射原理已被越来越多的数学工作者研究，并已经取得重要的进展. 2008年，肖翔等人[4]研究了压缩映射原理在求一些特殊迭代数列极限中的应用；2011年，张玲[5]讨论了压缩映射原理在数列求极限、矩阵的可逆性判断及微分方程的解的应用；2012年，徐丽君等人[6]探讨了压缩映射原理在隐函数存在定理、微分方程和积分方程解的存在唯一性以及整式方程的解等方面的某些应用. 本文在前人的研究成果基础上进一步研究了压缩映射原理在数学分析、泛函分析和一般抽象方程、多项式方程、积分方程等解的存在唯一性的一些应用，所得结果拓宽和丰富了压缩映射原理的应用.1 预备知识定义1 设X是一个非空集合，如果存在一个从X×X={(x,y)|x,y∈X}到实数集R的二元函数d满足：对∀x,y,z∈X，有(1)d(x,y)≥0，而且d(x,y)=0当且仅当x=y(非负性)；(2)d(x,y)=d(y,x)(对称性)；(3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(三角不等式)；则称d是X上的距离函数，d(x,y)称为x与y之间的距离. 配备了距离d的集合X称为距离空间(也称度量空间)，简记作(X,d).在不至引起混淆的情形下可记作X.定义2[1] 如果度量空间X中的每个基本点列(Cauchy点列){xn}都收敛，则称(X,d)为完备的度量空间.定义3[2] 设X是度量空间，映射T:X→X，如果存在非负常数α∈[0,1)，使得对∀x,y∈X有d(Tx,Ty)≤αd(x,y)，则称T是X上的一个压缩映射，并称α是T的压缩常数.定义4[2] 设X为一集合，T是X到自身的映射，如果∃x*∈X，使得Tx*=x*，则称x*是T的一个不动点.引理1[3](Banach压缩映射原理) 设(X,d)是完备的度量空间，若T:X→X是压缩映射，则T存在唯一的不动点.引理2[4] 设f(x)是[a,b]上的一个压缩映射，且xn=f(xn-1),n=1,2,3…,x0∈[a,b]，若对于任意的n∈N，有xn∈[a,b]，则f(x)在[a,b]上存在唯一的不动点c，且2 压缩映射原理的应用2.1 在分析中的应用在处理数学分析和泛函分析中一些序列求极限和证明的问题时，通过构造映射，然后利用微分中值定理证明所构造的映射为压缩映射，再利用压缩映射原理来解决这类问题.定理1 设(X,d)是完备的度量空间，T为X→X的映射，(1)若T为压缩映射，则Tn(n∈N+)为压缩映射；(2)若对∀n∈N+且n>1，Tn为压缩映射，则T不一定为压缩映射.证明(1)因为T为压缩映射，则∃α∈[0,1)，使得对∀x,y∈X有d(Tx,Ty)≤αd(x,y)，从而有d(Tnx,Tny)=d(T(Tn-1x),T(Tn-1)y)≤αd(Tn-1x,Tn-1y)≤…≤αnd(Tx,Ty),0≤α<1，所以Tn为压缩映射.(2)设T:R2→R2，且Tx=(0,x1)(∀x=(x1,x2)∈R2)，则对∀x,y∈R2有d(Tx,Ty)=d((0,x1),(0,y1))=|x1-y1|≤故T不是压缩映射，又T2:(x1,x2)→(0,0)，则对∀x,y∈R2，∀α∈[0,1)有d(T2x,T2y)=d((0,0),(0,0))=0≤αd(x,y)，此时T2为压缩映射.定理2 设(X,d)是完备的度量空间，T为X→X的映射，且满足：在开球内有且T 在闭球上连续且求证：T在开球内存在唯一的不动点.证明先证明存在性：因为所以又d(x0,T2x0)≤d(x0,Tx0)+d(Tx0,T2x0)<所以⊂又对∀n∈N+，有d(x0,Tnx0)≤d(x0,Tx0)+d(Tx0,T2x0)+…+d(Tn-1x0,Tnx0)<d(x0,Tx0)+所以⊂又对∀m,n∈N+(不妨设n>m)有d(Tmx0,Tnx0)≤d(Tmx0,Tm+1x0)+d(Tm+1x0,Tm+2x0)+…+所以{Tnx0}是中的一个基本点列，又因为为X的完备子空间，所以∃x*⊂使得从而点列{x0,Tx0,…,Tnx0}为中有界闭集，且此点列在T的作用下仍为此点列本身，因此Tx0=x0.下证唯一性：假设∃且则有d(x*,矛盾. 故T在开球内存在唯一的不动点.定理3 设数列证明：数列{xn}收敛并求极限.证明由数列迭代公式构造函数其中x∈[0,3]，因为f(x)在[0,3]上连续且单调递增，则f(x)∈[0,3]，∀x∈[0,3]. 又因为<1，对f(x)由微分中值定理有∀x,y∈[0,3]，ξ=αx+(1-α)y,α∈(0,1).所以f是[0,3]→[0,3]的一个压缩映射. 由引理1.6有数列{xn}收敛，且故有解得c=3，即数列{xn}的极限为3.定理4 设X是赋范线性空间，D⊂X是有界闭凸集，F:D→D满足(∀x,y∈D)，则∃xn∈D，使得xn-Fxn→0(n→∞).证明任取x0∈D，令因为D为凸集，所以Fnx∈D. 又(∀x,y∈D).所以Fn是D上的一个压缩映射，又因D是X上的有界闭集，所以D 完备，由引理1得∃xn∈D，使得Fnxn=xn，即所以又因为D有界，所以即xn-Fxn→0(n→∞).2.2 在方程中的应用在处理一些抽象方程、多项式方程和积分方程等方程问题时，主要通过构造函数，然后利用微分中值定理和相关定义等方法来证明函数为压缩映射，再利用压缩映射原理来证明方程存在解甚至求出方程的解.2.2.1 在一般抽象方程中的应用定理5 设f:R1→R1，而且f′(x)≤α<1(∀x∈R1)，证明：方程f(x)=x在R1中有唯一解.证明对f(x)由微分中值定理有f(x)-f(y)=f′(ξ)x-y≤αx-y，∀x,y∈R1，ξ=λx+(1-λ)y,λ∈(0,1). 所以f是R1→R1的一个压缩映射，又因为R1完备，由引理1有存在唯一x∈R1，使得f(x)=x，即方程f(x)=x在R1中有唯一解.2.2.2 在多项式方程中的应用定理6 求证：方程x3+6x-4=0在[0,1]上有实根，并用迭代法求出方程在[0,1]上的近似解.证明由x3+6x-4=0，得作映射则∀x,y∈[0,1]，有从而T是的一个压缩映射，又因为[0,1]是完备空间，所以由引理1有T在[0,1]上存在唯一的不动点，即存在唯一的ξ∈[0,1]，使得Tξ=ξ，故ξ是方程x3+6x-4=0在[0,1]上的唯一解.令x0=0，取解得原方程在[0,1]上的近似解，且有误差估计2.2.3 在积分方程中的应用定理7 设函数K(x,s)定义为K(x,s)则存在唯一的φ∈C[0,1]适合方程φ(x)证明在C[0,1]上定义映射F：Fφ(x)则∀φ1,φ2∈C[0,1]有则F为C[0,1]上的压缩映射，又因为C[0,1]是完备空间，由引理1.5有存在唯一的φ∈C[0,1]，使得Fφ=φ，即方程φ(x)(s)ds存在唯一的解φ∈C[0,1].3 结论压缩映射原理在解决数学分析中迭代数列的收敛与极限、泛函分析中的不动点以及一些抽象方程、多项式方程和积分方程甚至微分方程和矩阵方程等方程解的问题时，是一个非常重要的工具，已经被越来越多的学者运用，其应用已经渗透到数学的各个分支，为解决许多数学问题带来了方便.参考文献【相关文献】[1] 赵焕光. 泛函分析入门[M]. 四川：四川大学出版社，2005.[2] 夏道行. 实变函数论与泛函分析(下)[M]. 北京：高等教育出版社，2010.[3] 胡适耕. 实变函数与泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社，2003.[4] 肖翔，许伯生. 不动点在求迭代数列极限中的应用[J]. 上海工程技术大学学报，2008,22(3): 265-267.[5] 张玲. 关于压缩映射原理的某些应用[J]. 科技通报，2011,27(4): 474-478.[6] 徐丽君，林宗兵. 压缩映射原理的几个应用 [J]. 攀枝花学院学报，2012,29(1): 97-101.。
压缩映射法求数列极限
压缩映射法求数列极限压缩映射法的概念是一种数学工具，它常常被应用于求解数列的极限问题。
通过不断压缩并映射数列中的元素，我们能够找到数列的极限值。
在数学中，数列是一串按照特定规律排列的数字。
求解数列的极限，则是要找到这个数列在无限项情况下的趋势或终极结果。
压缩映射法就是一种帮助我们求解数列极限的工具。
压缩映射法的基本思想是，将数列中的元素通过一个函数映射到另一个数列中，并通过不断迭代这个过程，逐步逼近数列的极限值。
具体步骤如下：1. 第一步是选择一个合适的映射函数。
这个函数应该能够将数列中的每个元素映射到另一个数列中，并且能够保持数列的递增或递减特性。
2. 接下来，我们需要对数列中的元素进行压缩。
这就是将选择的映射函数应用到数列的每个元素上，得到一个新的数列。
3. 然后，我们需要分析这个新的数列的特性。
我们可以观察数列的增减情况、极限值的趋势等等。
4. 根据前一步的分析，我们可以调整映射函数的选择或者调整压缩步骤的策略。
目的是逼近数列的极限值。
5. 通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐接近数列的极限值。
举个例子来说明压缩映射法的应用。
考虑数列 {an} = {1/n}，我们希望求解这个数列的极限值。
首先，我们选择映射函数 f(x) = 1/(x+1)，然后将数列中的每个元素映射到新的数列 {bn} = {f(an)} = {1/(n+1)} 上。
接下来，我们观察新数列的特性。
可以发现新数列 {bn} 也是递减的，并且极限值为 0。
然后，我们可以进一步调整映射函数的选择，比如选择 f(x) = 1/(2x+1)，再次将数列中的每个元素映射到新的数列上。
通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐逼近数列的极限值。
在这个例子中，我们发现数列的极限值是 0。
压缩映射法在数列极限的求解中具有广泛的应用。
通过选择合适的映射函数和采取适当的压缩步骤，我们能够更好地理解数列的性质，并找到数列的极限值。
这种方法在数学领域中的数列问题求解中是非常有用的，同时也提供了一种思路和工具，用于解决其他相关的数学问题。
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解
令
ｙｎ
＝ｌｎ
ｘｎ，ｎ＝
０，１，２，…，则有
ｙ０
＝
０，ｙ１
＝ｌｎ
ａ，ｙｎ＋１
＝
１ ２
（ｙｎ＋
ｙｎ－
１），于是ｌｉｍ ｎ→∞
ｙｎ
＝
２ ３
２
ｌｎａ，故ｌｉｍ ｘｎ ＝ ａ ３ ｎ→∞
．
例 １０
设数列｛ａ１，ｎ｝，｛ａ２，ｎ｝，｛ａ３，ｎ｝，满足：ａ１，ｎ
＝
１ ２
（ａ２，ｎ－
１＋ａ３，ｎ－ １），ａ２，ｎ
＝
１ ２
（ａ１，ｎ－ １＋ａ３，ｎ－ １），ａ３，ｎ＝
１ ２
（ａ１，ｎ－
１＋ａ２，ｎ－
１），ｎ＝
２，３，…，求ｌｉｍ ａｉ，ｎ，ｉ＝１，２，３． ｎ→∞
解 设 ａ１，１＋ａ２，１＋ａ３，１＝Ａ，因为 ａ１，ｎ＋ａ２，ｎ＋ａ３，ｎ＝ａ１，ｎ－１＋ａ２，ｎ－１＋ａ３，ｎ－１，ｎ＝２，３，…，所以 ａ１，ｎ＋ａ２，ｎ＋ａ３，ｎ＝Ａ，ｎ＝１，２，３，…；由
例 １１ 设 ｆ（ｘ）＝ ｃ（１＋ｘ），ｘ∈Ｉ＝［０，＋∞），其中常数 ｃ＞１ ． ｃ＋ｘ
因为
０＜
ｆ（′ｘ）＝（ｃ（ｃ＋ｃ－ｘ）１）２ ≤
ｃ（ 是 Ｉ 上的压缩函数 ．
例 １２ 设 ｆ（ｘ）＝ｍ＋" ｓｉｎ ｘ，ｘ∈Ｒ，其中常数 ｍ，│"│＜１，则 ｆ 是 Ｒ 上的压缩函数 ．
ｘｎ
＝
１＋
’ ２
５
．
利用上面的方法，类似的可解决下列问题 ．
例３
设
ｘ１≥０，ｘｎ＋１
＝１＋
ｘｎ １＋ｘｎ
，ｎ ＝１，２，…，证明ｌｉｍ ｘｎ存在 ． ｎ→∞
例４
设
ｘ０≥０，ｘｎ＋１
＝
１ １＋ｘｎ
，ｎ＝ ０，１，２，…，则ｌｉｍ ｘｎ＝ ｎ→∞
’５ ２
－
１
．
例５
设
ｘ０≥０，ｘｎ＋１
＝１＋
１ １＋ｘｎ
，ｎ＝ ０，１，２，…，则ｌｉｍ ｘｎ＝’ ２ ｎ→∞
Ａ＝ａ＋ １ Ａ
，所以
Ａ＝
ａ＋’ａ２＋４
２
；
’ 故 ｌｉｍ ｘｎ＝ ａ＋ ｎ→∞
ａ２＋４ ２
．
例２
设
ｘ０ ＞０，ｘｎ＋１＝１＋
１ ｘｎ
（ｎ＝０，１，２，…），求证：ｌｉｍ
ｎ→∞
ｘｎ
存在，并求其值
．
解 显然有
ｘｎ＞１，ｘｎ＋１＝１＋
１ ｘｎ
≤２， ｘｎ＋２＝１＋
１ ｘｎ＋１
≥１＋ １ ２
＝ ２ （ｎ＝１，２，…）； ３
ｋ│ｘｎ－
ｘｎ－│１ ，ｎ ＝１，２，… ．
证明 由条件
│ｘｎ＋１ － ｘｎ│≤ｋ│ｘｎ－ ｘｎ－│１ ，ｎ ＝１，２，…，
得出成立
从而
│ｘｎ＋１－ ｘ│ｎ ≤ｋ│ｘｎ－ ｘｎ－│１ ≤…≤ｋｎ│ｘ１ － ｘ０│，ｎ ＝０，１，２，…，
│ｘｎ＋ｐ －
ｘｎ│≤ｋｎ
１ １－
ｋ│ｘ１
－
ｘ０│（$ｎ∈Ｎ＊，$ｐ∈Ｎ＊）．
由０＜ｋ ＜１，易得｛ｘｎ｝是基本列，由柯西收敛准则，得｛ｘｎ｝是收敛的，设则ｌｉｍ ｘｎ＝ｘ＊；在│ｘｎ＋ｐ－ ｎ→∞
ｘ│ｎ ≤ｋｎ
１－ ｋｐ １－ ｋ
│ｘ１－
ｘ０│
中，令 ｐ→∞取极限，就得到
│ｘｎ －
ｘ│＊ ≤ ｋｎ １－ ｋ
│ｘ１ －
ｘ０│，ｎ ＝１，２，…，
因为 所以
│ｘｎ＋ｉ － ｘｎ＋ｉ－１│≤ｋｉ│ｘｎ － ｘｎ－１│，ｉ＝１，２，…，
．
例６
设
ａ
＞
１ ４
，ｘ１＞０，ｘｎ＋１ ＝’ａ＋ｘｎ
，ｎ＝１，２，…，证明ｌｉｍ ｘｎ存在 ． ｎ→∞
例 ７ 设 ａ＞１，ｘ０ ＝ １，ｘｎ＝’ａｘｎ－１ ，ｎ＝１，２，…，证明ｌｉｍ ｘｎ存在 ． ｎ→∞
例８
设
ｘ０
＝
０，ｘ１
＝ａ
，ｘｎ＋１
＝
１ ２
（ｘｎ＋ｘｎ－
１），证明ｌｉｍ ｎ→∞
ｘｎ
存在
．
解 由条件，得
ｘｎ
＝ｃ，且
ｃ
满足
（ｆ ｃ）＝ｃ．
定理 ８ 设 ｆ∈Ｃ（Ｒ），如果 ｆ（ ｆ（ｘ））有不动点，则 ｆ（ｘ）至少有一个不动点 ．
３ 压缩函数映射的不动点原理
设函数 ｆ：Ｘ→Ｒ，满足条件：存在正常数 ０＜ｋ＜１，使得│ｆ（ｘ）－ ｆ（ｙ）│≤ｋ│ｘ－ ｙ│，对任何 ｘ，ｙ∈Ｘ 成立，则称 ｆ
是 Ｘ 上的压缩函数 ．
１）ｎ－
１
１ ２ｎ－
１
ａｉ，１
１－（－ １ ）ｎ－１
＝
１ ２
Ａ
２ １－（－ １
）
＋（－
１）ｎ－
１
１ ２ｎ－
１
ａｉ，１→
１ ３
Ａ，（ｎ→∞），于是ｌｉｍ
ｎ→∞
ａｉ，ｎ
＝
１ ３
Ａ．
２
２ 函数映射的不动点
设 Ｘ 是某一数集 ． 给定函数 ｆ：Ｘ→Ｘ，如果存在 ｘ０∈Ｘ，使得 ｆ（ｘ０）＝ｘ０ ，称 ｘ０为 ｆ 的一个不动点，称 ｆ 有不 动点 ．
定理 ７ 设 Ｉ＝［ａ，ｂ］，ｆ ：Ｉ→Ｉ，且对任何 ｘ，ｙ∈Ｉ 成立│ｆ（ｘ）－ ｆ（ｙ）│≤│ｘ－ ｙ│，则（１）ｆ∈Ｃ［ａ，ｂ］；（２）Ｆ（ｘ）＝
１［ｘ＋（ｆ ｘ）］是单调递增函数；（３）任取 ２
ｘ０∈［ａ，ｂ］，令
ｘｎ＝
１ ２
［ｘｎ－
１＋（ｆ ｘｎ－
１）］，ｎ＝１，２，…，则有ｌｉｍ ｎ→∞
件：存在正常数 ０＜ ｋ＜１，使得对任何 ｘ，ｙ∈Ｉ 成立│ｆ（ｘ）－ ｆ（ｙ）│≤ｋ│ｘ－ ｙ│．
任取 ｘ０∈Ｉ，构造迭代序列如下：ｘｎ＋１＝ ｆ（ｘｎ）∈Ｉ，ｎ＝０，１，２，…；则有ｌｉｍ ｘｎ ＝ｘ＊ 存在，满足 ｘ＊＝ ｆ（ｘ＊），且成立先验 ｎ→∞
误差估计：│ｘｎ －
ｘ＊│≤
ｋｎ １－ ｋ
ｘｎ＋１－
ｘｎ
＝
１ ２
（ｘｎ＋
ｘｎ－
１）－
ｘｎ ＝（－
１ ２
）（ｘｎ－
ｘｎ－ １），
反复使用此结果，得
ｘｎ＋１－
ｘｎ ＝（－
１ ２
）ｎ（ｘ１ － ｘ０）＝（－
１ ２
）ｎ ａ，（ｎ＝１，２，…），
１－（－ １ ）ｎ＋１
于是
ｘｎ＋１＝（ｘｎ＋１－ ｘｎ）＋（ｘｎ－ ｘｎ－１）＋ … ＋（ｘ１－
ｘ０ ）＋ｘ０＝（－
１ ２
）ｎ ａ＋（－
１ ２
）ｎ－１ ａ＋…＋（－
１ ２
）ａ＋ａ＝ａ
２ →２ １－（－ １ ） ３
ａ，（ｎ→∞），
２
故ｌｉｍ
ｎ→∞
ｘｎ
＝
２ ３
ａ．
－ ６３８ －
河南科学
第 ２６ 卷 第 ６ 期
例 ９ 设 ｘ０ ＝ １，ｘ１ ＝ ａ ＞ ０，ｘｎ＋１ ＝!ｘｎｘｎ－１ ，ｎ ＝１，２，…，求ｌｉｍ ｘｎ． ｎ→∞
存在，设ｌｉｍ
ｎ→∞
ａｉ，ｎ ＝
ａｉ，则有
ａｉ＝
１ ２
（Ａ－
ａｉ），从而
ａｉ＝
１ ３
Ａ，ｉ＝１，２，３，故ｌｉｍ
ｎ→∞
ａｉ，ｎ
＝
１ ３
Ａ．
或者
ａｉ，ｎ＝
１ ２
Ａ－
１ ２
ａｉ，ｎ－
１＝
１ ２
Ａ－
１ ２２
Ａ＋
１ ２２
ａｉ，ｎ－
２＝…＝
１ ２
Ａ－
１ ２２
Ａ＋
１ ２３
Ａ＋…＋（－
１）ｎ－
２
１ ２ｎ－
１
Ａ＋（－
ａ１，ｎ－ １＋ａ２，ｎ－ １＋ａ３，ｎ－ １＝Ａ，得
ａ２，ｎ－ １＋ａ３，ｎ－ １＝Ａ－
ａ１，ｎ－ １，ａ１，ｎ－ １＋ａ３，ｎ－ １＝Ａ－
ａ２，ｎ－ １，ａ１，ｎ－ １＋ａ２，ｎ－ １＝Ａ－
ａ３，ｎ－ １，于是成立
ａｉ，ｎ＝
１ ２
（Ａ－
ａｉ，ｎ－ １），ｎ＝
２，３，…，由此而来得ｌｉｍ ａｉ，ｎ ｎ→∞
│ｘｎ＋１ －
ｘｎ│＝│（１＋
１ ｘｎ
）－（１＋
１ ｘｎ－ １
）│≤（ ２ ３
）２│ｘｎ－
ｘｎ－ １│（ｎ＝４，５，…）．
由定理
１，于是得｛ｘｎ｝是收敛的，设ｌｉｍ ｘｎ＝Ａ，显然 ｎ→∞
Ａ≥１；在
ｘｎ＋１
＝１＋
１ ｘｎ
两边令
ｎ→∞ 取极限，得到
Ａ＝１＋
１ Ａ
，
所以 Ａ＝ １＋’ ５ ２
；故ｌｉｍ
ｎ→∞
ｎ→∞
ｎ→∞
有 ! 成立 ａ＊≤!≤ａ＊．
定理 ６ 设 ｆ∈Ｃ［ａ，ｂ］，Ｉ＝［ａ，ｂ］，且 ｆ：Ｉ→Ｉ，若 ｆ 是单调递增函数，对任意 ｘ０∈［ａ，ｂ］，记 ｘｎ＝ ｆ（ｘｎ － １），ｎ＝１，
２，…，则｛ｘｎ｝是单调数列，ｌｉｍ ｘｎ ＝ｃ，且 ｃ 满足 ｆ（ｃ）＝ｃ ． ｎ→∞
定理 ５、定理 ６ 的理论后来发展为单调算子理论的上、下解方法 ．
２００８ 年 ６ 月
邢家省等：压缩迭代序列的极限及其应用
－ ６３７ －
│ｘｎ＋２ － ｘｎ＋１│≤ｋ│ｘｎ － ｘｎ－│１ ，ｎ ＝１，２，…，
则ｌｉｍ ｘｎ＝ ｘ＊ 存在 ． ｎ→∞
证明 由条件，得 │ｘ２ｉ＋１ － ｘ２ｉ│≤ｋｉ│ｘ１ － ｘ０│，ｉ＝１，２，…；│ｘ２ｉ＋２ － ｘ２ｉ＋│１ ≤ｋ│ｉ ｘ２ － ｘ１│，ｉ＝１，２，…，
摘 要：引述压缩迭代序列的极限理论，利用它可系统地解决一大批问题，形成一套具体的理论方法，并指出它的