不定积分的基本公式和直接积分法(教学内容)
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
第五章_不定积分
微积分
（三）不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
O
x0
x
微积分
例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
sin x 2、设 f x ，则 x
f x dx
sin x x
x2
3、 f x dx e
x2
C，
则 f x 2 xe
微积分
5.3、 基本积分表
x x 1 x x dx 实例 C. 1 1 ( 1)
(也称配元法 , 凑微分法)
微积分
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注意换回原变量
注: 当
时
微积分
例2. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
e xd x e x C
ax x C (7 ) a d x ln a
微积分
dx (8) sec 2 xd x tan x C cos 2 x dx (9) 2 csc 2 xd x cot x C sin x (10) sec x tan xdx sec x C
（二）不定积分的运算性质
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x ) g ( x )] dx f ( x )dx g ( x ) d x
高等数学第五章 不定积分
例 6 求下列积分：
(1)
x2
1
a2
dx；(2)
3 x dx；(3) 4 x2
1 1 ex
dx；
(4) sin 2
xdx；
(5)
1
1 cos
x
dx；(6)
sin
5x
cos
3xdx．
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形．
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
x
1
a
x
1
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
2 sin xdx 3 cos xdx
2cos x 3sin x C (C 为任意常数).
例 9 求下列不定积分:
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x2 x2
1dx 1
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
f (u )du
回代
F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．
不定积分
的原函数, 且 求
解: 由题设 F ( x) f ( x) , 则 F ( x) F ( x) sin 2 2 x , 故 即
1 cos 4 x F ( x) F ( x)d x sin 2 xd x 2 d x
2
F 2 ( x) x 1 sin 4 x C 4
2a
1 (a 2t 2 1) 2
3 2
d(a 2t 2 1)
(a t 1) C 2 3a
2 2
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
4. 分部积分法：
udv uv vdu
(1) 使用原则 : v 易求出, u v dx 易积分
(2) 题目类型 : •直接用公式: 选择u的一般次序—反对幂三指 •循环解出:分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
R( x , n ax b , m ax b ) dx ,
令 t p a x b , p 为m , n 的最小公倍数 .
例. 求
1 1 x x x dx .
1 x ,则 解: 令 t x
2t dt 原式 (t 1) t 2 2 (t 1)
2
t 1 2 2 dt 2 t ln C t 1 t 1
原式 =
1 sin 2 x 2 sin 2 x
d (1 sin 2 x)
令 t 1 sin 2 x
2t 2 d t 2 (1 1 2 ) d t 1 t 1 t2
2t 2arctan t C
2 1 sin 2 x arctan 1 sin 2 x C
2. 第一换元法:
拆、拼、凑 g ( x)dx f ( ( x)) ' ( x)dx = f (u)du 基本积分表 F (u ) C F ( ( x)) C
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案一、教学目标1. 理解不定积分的概念和物理意义。
2. 掌握基本积分公式和积分方法。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
二、教学内容1. 不定积分的定义和性质。
2. 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分。
3. 换元积分法：代数换元、三角换元。
4. 分部积分法。
5. 积分在物理、经济学等领域的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：不定积分的概念、性质和基本积分公式。
2. 难点：换元积分法、分部积分法的运用。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解不定积分的概念、性质和积分方法。
2. 利用多媒体课件，展示积分过程和应用实例。
3. 引导学生通过讨论、练习，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍不定积分的定义、性质和基本积分公式。
2. 第二课时：讲解换元积分法。
3. 第三课时：讲解分部积分法。
4. 第四课时：举例分析不定积分在实际问题中的应用。
5. 第五课时：课堂练习和总结。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的不定积分题目，检查学生对基本积分公式和积分方法的掌握程度。
2. 课后作业：布置综合性的不定积分题目，要求学生在课后完成，以检验学生对课堂内容的理解和应用能力。
3. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，评估学生对不定积分概念的理解和分析问题的能力。
七、教学资源1. 教材：选用权威的微积分教材，提供系统的理论知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过图像、动画等形式展示积分过程，增强学生的直观理解。
3. 练习题库：整理一套丰富的练习题库，包括不同难度层次的题目，以满足不同学生的学习需求。
4. 应用案例：收集一些实际问题，用于讲解不定积分在实际中的应用。
八、教学建议1. 强化基础知识：在学习不定积分之前，确保学生掌握了函数、极限、导数等基本概念，以便能够顺利理解不定积分的性质和计算方法。
2. 逐步引导：从简单的积分公式开始，逐步引导学生掌握更复杂的积分方法，避免一开始就给出复杂的公式和方法，让学生能够逐步建立信心。
基本积分公式直接积分法
1 arctan x C x
“拆项” （2）（把分母分解因式后）按分母的因式拆项
课堂练习
习题3.2 1， 2（1）（3）（5）（7）（9）（11） 1．选择题： 3，4 （1）下列式子正确的是（ D ） ． P123
x x A． 2 dx 2 C
x x x x B． 2 e dx ( 2 dx )( e dx )
1
C
( 1)
( x) 1
( x )
1
1 x
x
2 x 1 2 x
x
1 d x 2 x C x
(a ) a ln a
特别地：
1 1 x2 d x x C 1 x x a d x a C ln a
(e ) e
1 x x 2 2 e C e C e
e 1 x dx 2 dx 2 e dx e e
x
x x 11 dx (11) 2 dx 2 x 1 x 1 1 dx 2 dx x arctan x C x 1
2 2
dy x 2 ，且 y x2 5 ，求函数 y ． 3．已知 dx
1 (ln x 1) x x
(ln x 1) 1 ln x
所以 x(ln x 1) 是 ln x 的一个原函数．
3.2.1
基本求导公式
基本积分公式
基本积分公式
C 0
( x ) x
特别地：
1
0d x C 1 x d x 1 x d x xC
（1）化 x 型
（4）三角恒等变形 （5）拆项：①假分式=整式+真分式 ②按分母的因式拆项
不定积分的基本公式和直接积分法
第二节不定积分旳基本公式和直接积分法（ＢasiｃＦoｒｍula of UndefiｎｅdInteｇral ａnｄDirecｔＩnteｇral）课题：1.不定积分旳基本公式2．不定积分旳直接积分法课堂类型：讲授教学目旳：纯熟掌握不定积分旳基本公式,对简朴旳函数能用直接积分法进行积分。
教学重点:不定积分旳基本公式教学难点: 直接积分法教具:多媒体课件教学措施:教学内容：一、不定积分旳基本公式由于不定积分是求导旳逆运算，因此由导数旳基本公式相应地可以得到不定积分旳基本公式。
二、不定积分旳直接积分法运用不定积分旳性质和基本公式，可以求出某些简朴函数旳不定积分,一般把这种求不定积分旳措施叫做直接积分法。
例1 求32x dx ⎰导数旳基本公式()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x x x e e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分旳基本公式()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x xxxdx C dx x Cx x dx C a e dx eCa a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例2求(23cos x x dx -+⎰解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例3 求dx x x ⎰-23)1(解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例5 求2x x e dx ⎰ 解()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例6 求2sin 2x dx ⎰解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例7 求()221dxx x +⎰解()222211111x xx x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例8 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时,物体通过旳路程为3m ，求物体旳运动方程。
不定积分直接积分法
不定积分直接积分法一、不定积分的概念和基本性质1.1 不定积分的定义不定积分是导数的逆运算，即对于函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。
1.2 不定积分的基本性质（1）线性性：若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则有∫[a,b]αF(x)+βG(x)dx=α∫[a,b]F(x)dx+β∫[a,b]G(x)dx，其中α、β为任意常数。
（2）换元法：若u=u(x)可导且具有连续导数，则有∫f(u)du=∫f(u(x))u'(x)dx。
（3）分部积分法：若u=u(x)和v=v(x)都可导且具有连续导数，则有∫u'vdx=uv-∫uv'dx。
二、直接求解不定积分的方法2.1 一般（初等）函数的不定积分对于一些常见的初等函数，可以通过直接求解来得到它们的不定积分。
例如：（1）幂函数：对于n≠-1，有∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C。
（2）指数函数：有∫e^x dx=e^x+C。
（3）三角函数：有∫s in(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C，等等。
2.2 有理函数的不定积分对于有理函数，即多项式除以多项式的形式，可以通过分式分解来将其化为一些基本的初等函数之和的形式。
例如：（1）若f(x)=(x^2+1)/(x-1)，则可以进行部分分式分解得到f(x)=x+1+(2/(x-1))，因此有∫f(x)dx=∫(x+1+(2/(x-1)))dx=(1/2)x^2+x+2ln|x-1|+C。
（2）若f(x)=(3x^3+x)/(x^4+x^2+1)，则可以进行部分分式分解得到f(x)=(3/4)(1/(x^2-x+1))+(5/4)(1/(x^2+1))，因此有∫f(x)dx=(3/4)∫(1/(x^2-x+1))dx+(5/4)∫(1/(x^2+1))dx=(3/8)ln|x^2-x+1|+(5/4)arctan x+C。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined
Integral and Direct Integral）
课题：1.不定积分的基本公式
2.不定积分的直接积分法
课堂类型：讲授
教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。
教学重点：不定积分的基本公式
教学难点: 直接积分法
教具：多媒体课件
教学方法：
教学内容：
一、不定积分的基本公式
由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。
二、不定积分的直接积分法
利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。
例１ 求32x dx ⎰
解 313
3
3
41
2222312
x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰ 导数的基本公式 ()122222()01
()1()()ln 1
(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )11
(arctan )1(arccos )11
(cot )1x x
x x C x x x e e a a a
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='=
'='=-'='=-'='=-'=
-'=
+'=-'=-
+21
(log )ln a x x x a
'=
不定积分的基本公式
()
1
22
2
2011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin 1arctan 1x x x
x
dx C dx x C
x x dx C a e dx e C a a dx C a dx
x C
x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C
x C
x
dx
x C x αα
α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+-=++⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰22arccos 1arc cot 11
log ln a x C x dx
x C x dx x C
x a =-+-=-++=+⎰⎰⎰。