不对称信息动态博弈

不对称信息动态博弈第一节 不对称信息动态博弈的描述5.1.1 精炼贝叶斯纳什均衡在不对称信息博弈中，如果考虑博弈的动态性质，就会带来一些新的考量。

下面看看一个例子：例子5.1恋爱博弈在人生中，也许婚姻是最具代表性的不对称信息博弈，并且还是动态的博弈。

结婚的男女双方都不知道对方是否在未来的婚姻生活中是适合自己的。

为了简化分析，我们假定恋爱的一方（譬如男方）知道自己是否适合自对方的，但是对方（女方）并不知道男方是否适合她。

在图5.1中给出的一个不对称信息动态博弈中，“自然”N 首先选择参与人1(男方)的两种类型{}1112=,=θθ适合女方的男方不适合女方的男方中的某一种(当然，对于女方来说，是不是适合自己有多种含义，可以是是不是真心爱自己，也可以是不是能够挣钱，或者两者都有要求)，参与人2（女方）对N 的选择具有不对称信息，她只知道男方适合或者不适合自己的可能性各占一半，我们称参与人2的先验概率为211212()()0.5P P θθ==，参与人2的类型是对称的。

（在现实中，可能男方自己也不知道自己是不是适合对方，譬如自己是否真心爱女方，或者是否能够挣钱；也就是说，男方自己对于自己的类型也是不清楚的；在这里，我们作简化的假定，即男方自己是知道自己的类型的 ）男方有两个行动可以选择，一个是主动追求女孩L （L 在这里可以表示“爱”（Love ），也表示图中的左边（Left ），一个是不主动追求女孩R （表示“拒绝（refuse ）”或者右边（right ））；女孩也有两个行动可以选择，一个是向男孩示好l ，一个是不向男孩示好r （在这里的大小写没有男权主义的意思）；N图5.1 恋爱博弈我们来分析这样的博弈是如何达到均衡的。

当女方看见男孩追求自己的时候，她不知道男孩子是否是适合自己的，连接两个L 点的虚线就表示女孩子不知道她位于哪一个点上，这两个点都是可能的，它们构成一个“信息集”h ；类似地，连接两个R 点的虚线表示女孩子看见男孩子没有主动追求自己的时候，她不知道她位于哪一个点上，这两个点都是可能的，它们构成一个“信息集”f 。

我们假定策略的选择是“类型依存”的。

当女方选择某个策略时，就规定了她在任意决策结上面的行动选择。

而这样的行动选择可以带来什么样的支付，是取决于男孩子的类型，将这样的依存于男孩子类型的女方支付对男孩子类型进行加权平均，权重就是先验概率，就可以获得女孩子在特定行动选择下的“期望支付”。

譬如，我们假定男孩子的类型依存策略)(1*1θS 为 R S =)(11*1θL S =)(12*1θ（男孩子能够挣钱的时候，很高傲，拒绝女孩子；而他不能够挣钱的时候，就主动追求她）女孩子在信息集h 选择l 的期望支付是0.540.502⨯+⨯=她在信息集f 选择l 的期望支付是0.520.501⨯+⨯=类似地，女孩子在信息集h 选择r 的期望支付是0.530.52 2.5⨯+⨯=她在信息集f 选择r 的期望支付是0.510.52 1.5⨯+⨯=是不是女孩子在信息集f 上面应该选择r 吗？看起来好像应该是这样的，但是，给定男孩子的类型依存策略，女孩子事实上知道她在信息集f 上的时候，她的位置是在左端而不是右端的决策结上，而此时她应该选择的行动是l 而不是r 。

问题出在哪里呢？问题出在我们没有考虑当博弈进行到信息集f 的时候，女孩子观察到男孩子没有向自己示爱（譬如，情人节没有收到男孩子的鲜花），这样的观察是有信息价值的，而不使用这个信息就是不合理的。

当博弈进行到信息集f 的时候，女孩子观察到男孩子没有向自己示爱的时候，女孩子知道自己的位置在左端的决策结。

这意味着，在这里我们没有考虑博弈的“动态”性质。

“动态”性质意味着我们在博弈每进行到下一个信息集的时候，参与人会根据观察到的其他参与人的行动而修正自己关于其他参与人类型的先验概率，从而获得所谓的“后验概率”。

也就是说，在信息集f ，女孩子的后验概率是211212()1,()0P f P f θθ==。

一般地，参与人从先验概率出发，会根据观察到的新的信息获得“后验概率”的方法来自基本的概率论中著名的“贝叶斯公式”.如果参与人i 在其信息集h 上观察到了其他局中人的行动组合h i a -（hi a -的下标i -表示除了第i 位参与人外的其他所有参与人），则根据概率论中的贝叶斯公式：)()|()()|(),(h i h i i i i h i i h i a prob a prob prob a prob a prob --------==θθθθ得到∑-----------==ii i h i i h i h i i h i hi i prob a prob a prob a prob a prob a prob θθθθθθ)()|(),()(),()|( 式中的prob 表示概率。

这个公式就是“贝叶斯公式”或“贝叶斯法则”（Bayes Law ），它将条件概率)|(h i i a prob --θ与先验概率)(i prob -θ联系起来。

这里，在均衡路径上，条件概率)|(h i i a prob --θ就是前述信念)(~i ih P -θ。

这是因为，在均衡路径上，0)(>-h i a prob ，但是，在非均衡路径上，0)(=-h i a prob ，贝叶斯公式的分母为零，贝叶斯公式的分子也为零，因而贝叶斯公式在非均衡路径上给出的条件概率是00型的数，是不确定的。

所以，在非均衡路径，信念形成不受贝叶斯法则的制约，但也不是任意的，因为对于精炼贝叶斯均衡来说，非均衡路径上的信念与均衡路径上按贝叶斯法则决定的信念一起共同决定局中人在每一个信息集上的行动选择所构成的战略组合是精炼贝叶斯均衡。

正是在均衡路径上我们按贝叶斯法则决定信念，所以称这种精炼均衡概念为贝叶斯纳什均衡。

NL R L R图5.1 恋爱博弈同样，在信息集h ，女孩子知道自己在右端的决策结，而她此时选择行动r 。

也就是说，在信息集h ，女孩子的后验概率是211212()0,()1P h P h θθ==；这样，男孩子在右端的决策结就不会选择行动L ，而是选择R 。

所以，原来给出的男孩子策略就不会是均衡。

如果我们改变男孩子的策略，假定是*111()S L θ=*112()S R θ=显然，在信息集h ，女孩子选择行动l ，在信息集f ，她选择行动r 。

给定女孩子的策略，显然男孩子在右端的决策结会选择行动L 而不是R 。

因此这个男孩子策略也不是均衡。

下面我们假定男孩子的策略是L S S ==)()(12*111*1θθ；N图5.1 恋爱博弈那么，女孩子在信息集h 上面没有任何新的信息，后验信息就与先验信息一样；211212()()0.5P h P h θθ==；她选择行动l 和r 的期望支付分别是0.540.5020.530.52 2.5⨯+⨯=⨯+⨯=所以她会选择行动r ；给定男孩子的策略，信息集f 是达不到的，但是，尽管如此，也需要规定女孩子在这个信息集上面的后验概率即“信念”。

这些达不到的信息集被称为“非均衡路径”上面的信息集，非均衡路径上面的信念会影响均衡，非均衡路径上面不同的信念将导致不同的均衡。

假定女孩子在非均衡路径上面的信息集f 上的信念是211212(),()1P f x P f x θθ==-；则她在这个信息集上面选择行动l 和行动r 的期望支付分别是20(1)22(1)2x x x x x x+⨯-=+-=- 如果有2223x xx ≥-≥即则女孩子选择行动l ，否则选择行动r 如果23x ≥，则女孩子选择行动l ，而此时男孩子在任何类型下都选择行动R 。

所以不是均衡。

如果23x <，则女孩子选择行动r ，显然是均衡。

这样一种“均衡”，被称为“精炼贝叶斯纳什均衡”。

显然，这样的“精炼贝叶斯纳什均衡”存在无限多个，因为满足条件23x <的x 存在无限多个。

所以，不仅仅是策略，不同的信念也对应于不同的均衡。

最后我们假定男孩子的策略是**111112()()S S R θθ==；N图5.1 恋爱博弈此时信息集f是均衡路径上的，而信息集h是非均衡路径上的。

在信息集f上，女孩子选择行动r；在信息集h上，假定女孩子的信念是y女孩子选择行动l的期望支付是40(1)4y y y+⨯-=她选择行动r的期望支付是32(1)2y y y+-=+当4223 y y y≥+≥即女孩子选择行动l，否则选择行动r。

如果23y≥，显然右端决策结的男孩子会选择行动L，而不是R，所以，这种情形没有均衡.如果23y<，女孩子选择行动r。

显然是均衡。

这个恋爱博弈的结果都是女孩子拒绝男孩子。

如果我们修改这个博弈中的支付，就可以获得男方求婚成功的均衡。

N在上图中，我们将支付作的修改是：如果男孩子并不喜欢女孩子，即男孩子的类型是12θ，而且在这里，男孩子的类型的含义就是是否爱女孩子。

那么，当男孩子选择的行动是L ，并且女孩子的行动是l 时，男孩子的支付比较小，为1，小于当男孩子选择行动R 并且女孩子选择行动r 时的支付2.这意味着不喜欢这个女孩子的男孩子在与女孩子谈恋爱中获得的效用小于他不与这个女孩子恋爱的效用。

假定男孩子的策略是*111()S L θ=*112()S R θ=显然，这时候博弈的分离均衡是：男孩子按照上述类型依存策略选择行动，而女孩子在信息集h 上选择行动l ，而在信息集f 上选择行动r 。

这个精炼贝叶斯纳什均衡意味着爱女孩子的男孩子获得了女孩子的爱情，可谓“有情人终成眷属”，而不爱女孩子的男孩子与女孩子什么都没有发生。

下面，我们考虑一个类似的博弈，见下图：例5.2 在图5.2中给出的一个不对称信息动态博弈中，“自然”N 首先选择参与人1的两种类型{}1211,θθ中的某一种，但参与人2对N 的选择具有不对称信息，他只知道先验概率为5.0)|()|(21222112==θθθθP P ，参与人2的类型是对称的。

2 2图5.2 一个不对称信息动态博弈如果参与人1的类型依存策略)(1*1θS 为 R S =)(11*1θL S =)(12*1θ试找出与此策略相对应的参与人2的一个类型依存策略)(2*2θS ，使))(),((2*21*1*θθs s S =成为一个精炼贝叶斯均衡。

1， 解： 参与人2的类型是对称的。

给定)(1*1θS ，参与人2的2个信息集h 和f 都是均衡路径上的。

根据贝叶斯法则，在信息集h 上，参与人的后验概率为211(|)0P h θ= ，212(|)1P h θ= ；同样，在信息集f 上，有211(|)1P f θ= ，212(|)0P f θ= 。

给定这种信念，参与人2在h 上的最优行动是a ，在f 上的最优行动是a 。