高三数学复数测试题doc

合集下载

【新课标】高三数学二轮精品专题卷 复数及算法框图

【新课标】高三数学二轮精品专题卷 复数及算法框图

高三数学二轮精品专题卷:复数及算法框图考试范围:复数及算法框图一、选择题(本大题共15小题,每小题5分,共75分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.32111ii i +-的值等于( ) A . 1 B .1-C .iD .i -2.执行下图所示的程序框图,输出结果是( ) A .5B .3C .2D .13.(理)已知复数z 满足i iz -=+121,其中i 是虚数单位,则复数z 的共轭复数为 ( ) A .i 21-B .i 21+C .i +2D .i -2(文)若i 是虚数单位,则复数12-i i的共轭复数是 ( ) A .i +1 B .i -1 C .i +-1 D .i --14.执行下图所示的程序框图,输出结果是( ) A .5 B .8C .13D .215.若复数z 满足i z i 41=-)(,则复数z 对应的点在复平面的( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限6.下图给出的是计算39151311+⋯+++的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是 ( )A .10>iB .10<iC .20>iD .20<i第2题图 第4题图 第6题图 7.若复数iia z -+=1,且03>zi ,则实数a 的值等于 ( )A .1B .1-C .21D .21-8.下面是一个算法的程序框图,当输入的x 值为7时,输出y 的结果恰好是1-,则处理框中的关系式是 ( ) A .3x y =B .x y -=2C .x y 2=D .1+=x y9.(理)已知∈b a ,R ,且复数∈++=biia z 1R ,则ab 等于 ( ) A .0B .1-C .2D .1(文)集合{}*-∈-==N n i i x x P n n ,|的子集的个数为 ( ) A .4B .8C .16D .无数个10.如下图,若输入的x 的值分别为3π和32π时,相应输出的y 的值分别为21,y y ,则 ( )A .21y y =B .21y y >C .21y y < D .无法确定11.若复数ia z 21-=是纯虚数,其中a 是实数,则=||z ( ) A .1B .2C .21 D .41 12.下图是统计高三年级2000名同学某次数学考试成绩的程序框图,若输出的结果是560,则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是 ( ) A .0.28B .0.38C .0.72D .0.62第8题图 第10题图 第12题图13.在复平面上的平行四边形ABCD 中,向量AC 、BD对应的复数分别为i 104+、i 86+-,则向量DA 对应的复数为 ( ) A .i 182+ B .i 91+C .i 182-D .i 91-14.运行列流程图,输出结果为( ) A .5B .3C .3-D .2-14题图15.(理)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是10,则判断框内m 的取值范围是 ( ) A .(56,72] B .(72,90] C .(90,110] D .(56,90)(文)按如图所示的程序框图运算,若输出2=k ,则输入x 的取值范围是( ) A .],(2200942007 B .),[2200942007 C .),(2200942007 D .],[220094200715(文)图 15(理)图 二、填空题(本大题共15小题,每小题5分,共75分.把答案填写在题中横线上) 16.已知复数 300sin 600cos i z -=,则在复平面内,复数z1所对应的点在第 象限. 17.如下图,根据程序框图可知,输出的函数)(x f 的解析式为 .18.已知纯虚数z 满足i m z i +=+21)(,其中i 是虚数单位,则实数m 的值等于 . 19.如下图是计算3331021+⋯++的程序框图,图中的①、②分别是 和 .第17题图 第19题图 第20题图20.在流程图中(右上),若输出的函数)(x f 的函数值在区间],[3391内,则输入的实数x 的取值范围是 . 21.(理)已知∈b R 复数211+++i i b 的实部和虚部相等,则b 等于 . (文)已知复数z 的实部为2-,虚部为1,则225z i = .22.如下图是一个算法的程序框图,当输入x 的值为π433时,输出的y 的结果为 . 23.已知复数i n m z )(lg lg -=,其中i 是虚数单位,若复数z 在复平面内对应的点在直线x y =上,则mn 的值等于 ..24.阅读下面的程序框图,该程序输出的结果是 .22题图 24题图25.若复数)()(ai i z ++=212对应的点在复平面的第一象限,则实数a 的取值范围是 .26.如图所示的程序框图,若输入7=n ,则输出的n 值为 .第26题图27.若数列{}n a 满足n n a i a i i a )1()1(11+=-=+,,则=2011a . 28.如图是一个算法的程序框图,当输出结果为41时,请你写出输入的x 的的值 .第28题图29.设复数i a a z )2()4(2++-=,若02<z ,则实数a 的值为 . 30.(理)如图所示的流程图,输出的结果为 . (文)一个算法的程序框图如下,则其输出结果是 .30(理)图 30(文)图2012届专题卷数学专题五答案与解析1.【命题立意】本题考查虚数单位i 的性质及其运算.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)虚数单位i的性质:1234,1,,1i i i i i i ==-=-=;(2)复数的除法运算法则. 【答案】A 【解析】2311111111i i i i i i i -+=--+=-++=--. 2.【命题立意】本题考查对基本算法语句以及顺序结构的理解与运用.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)算法中的赋值语句;(2)算法中的输出语句.【答案】C 【解析】2352m n m n =→=→=→=.3.(理)【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)复数乘法运算法则;(2)共轭复数的概念. 【答案】A 【解析】由112z i i+=-得2(1)122112z i i i i =--=+-=+,所以12z i =-. (文)【命题立意】本题考查复数的除法运算以及共轭复数的概念.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)复数除法运算法则;(2)共轭复数的概念. 【答案】A 【解析】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===---+-,故复数21ii -的共轭复数是1i +. 4.【命题立意】本题考查算法中的循环结构以及程序框图.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)赋值语句的含义;(2)循环结构的特点. 【答案】B 【解析】执行过程为:1,1,2x y z ===→1,2,3x y z ===→2,3,5x y z ===→3,5,8x y z ===→5,8,1310x y z ===>,输出8y =.5.【命题立意】本题考查复数除法运算以及复数的几何意义.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)复数的除法运算法则;(2)复数的几何意义.【答案】B 【解析】由于(1)4i z i -=,所以4221iz i i==-+-,因此复数z 对应的点在复平面的第二象限.6.【命题立意】本题考查对算法循环结构的理解与运用.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)循环结构的基本要求;(2)算法循环结构中的计数变量的赋值规则.【答案】C 【解析】式子11113539+++⋅⋅⋅+一共有20项,所以循环体应执行20次,当计数变量i 的值大于20时跳出循环,因此应填20>i .7.【命题立意】本题考查复数的运算以及复数的有关概念.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)分母实数化方法的运用;(2)若两个复数能够比较大小,它们都是实数.【答案】A 【解析】由于331(1)(1)1111222a i ai ai i a azi i i i i +--++-=⋅===+--,依题意得1010a a -=⎧⎨+>⎩,解得1a =.8.【命题立意】本题考查算法中的循环结构及其应用.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)循环结构的执行过程特点;(2)常见函数的性质.【答案】A 【解析】依题意,输入的x 值为7,执行4次循环体,x 的值变为1-,这时,如果输出y 的结果恰好是1-,则函数关系式为3y x =.9.(理)【命题立意】本题考查复数的相关概念除法运算、分母实数化方法、【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)复数时实数的充要条件;(2)分母实数化方法.【答案】D 【解析】2()(1)()(1)1(1)(1)1a i a i bi a b ab i z bi bi bi b ++-++-===++-+,由于R ∈z ,所以10ab -=,即1ab =.(文)【命题立意】本题考查虚数单位i 幂值的周期性以及集合子集的概念.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)虚数单位i 幂值的周期性: 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=;(2)若集合有m 个元素,则有2m 个子集. 【答案】B 【解析】当1,2,3,4n =时,2,0,2,0x i i =-,因此集合P 只有3个元素:2,2,0x i i =-,故有8个子集.10.【命题立意】本题考查算法条件分支结构与三角函数的求值.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)分支结构的运行流程;(2)正弦函数与余弦函数的求值.【答案】B 【解析】输入x 的值为3π时,输出112y =,输入x 的值为23π时,输出212y =-,因此有12y y >,选B .11.【命题立意】本题考查纯虚数的概念以及复数模的求解.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)分母实数化方法的应用;(2)纯虚数的概念;(3)复数模的计算公式. 【答案】C 【解析】由于221222(2)(2)44a i a z i a i a i a i a a +===+--+++,所以204a a =+,得0a =,这时12z i =,故1||2z =. 12.【命题立意】本题考查算法循环结构以及统计中频率的计算.[来源:金太阳新课标资源网 ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)循环结构的特点;(2)频率的计算公式. 【答案】C 【解析】根据流程图可知,输出结果为数学分数低于90分的同学的人数,因此这次考试数学分数不低于90分的同学的是20005601440-=,其频率为14400.722000=. 13.【命题立意】本题考查复数的几何意义以及复数与向量的关系.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键知识点:(1)复数的几何意义;(2)复数与向量的一一对应关系.【答案】D 【解析】设平行四边形对角线交于O 点,则11,22AO AC OD BD ==,即25,34A O i O D i =+=-+,又因为DA OA OD AO OD =-=-- ,所以向量DA 对应的复数为(25)(34)19DA i i i =----+=-,选D . 14.【命题立意】本题考查算法程序框图的理解与运用以及余弦定理的应用.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)理解流程图的执行过程;(2)利用余弦定理判断三角形是钝角三角形的方法.【答案】D 【解析】程序的运行过程为:2,4,5m a b ===,以2,4,5为三边的三角形是钝角三角形,1,4n m =-=,以4,4,5为三边的三角形不是钝角三角形,6m =,以6,4,5为三边的三角形不是钝角三角形,8m =,以8,4,5为三边的三角形是钝角三角形,2n =-,109m =>,输出2n =-. 15.(理)【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)算法流程图的执行过程与特点;(2)建立不等式求参数范围.【答案】B 【解析】由于程序的运行结果是10,所以可得24681012141624681012141618mm +++++++<⎧⎨++++++++≥⎩,解得7290m <≤.(文)【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)算法流程图的执行过程与特点;(2)建立不等式求参数范围.【答案】A 【解析】由于程序的运行结果是2k =,所以可得2120102(21)12010x x +≤⎧⎨++>⎩,解得2007200942x <≤. 16.【命题立意】本题考查复数的除法运算以及几何意义.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)复数的运算方法——分母实数化.(2)复数za bi =+在复平面内对应的点为(,)ab .【答案】三【解析】 300sin 600cos i z -=001cos600sin 3002zi =-=-,于是112z ==-,所以1z对应的点在第三象限.17.【命题立意】本题考查算法的条件分支结构以及分段函数问题.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)算法条件分支结构的特点;(2)分段函数的解析式应分段求解.【答案】22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或【解析】依题意,当()x h x >,即22x x x +<,10x -<<时,2()2f x x x =+;当()x h x ≤,即22x x x +≥,0x ≥或1x ≤-时,()f x x =.因此22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或.18.【命题立意】本题考查纯虚数的概念与复数的运算.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)一个复数为纯虚数,可设其为)0,(≠∈=b b bi z R ;(2)复数的运算.【答案】12-【解析】2(2)(1)(21)(12)(1)2122m i m i i m m ii z m i z i ++-++-+=+⇒===+,因为z 为纯虚数,所以12m =-.19.【命题立意】本题考查循环结构以及循环体的补充.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)循环结构中计数变量的赋值方法;(2)循环结构中累加变量的赋值方法. 【答案】3ss i =+ 1i i =+【解析】要补充的循环体应该由计数变量i 和累加变量s 构成,根据该算法的功能,应在①处填3ss i =+,②处填1i i =+.[来源:金太阳新课标资源网]20.【命题立意】本题考查算法的条件分支结构.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)算法的条件分支结构的特点;(2)已知分段函数的函数值求自变量值时应分段求解.【答案】1[2,]2--【解析】若[3,3]x ∉-,则1()1[9f x =∉不合题意,当[3,3]x ∈-时,1()3[9x f x =∈,解得1[2,]2x ∈--,此即为x 的取值范围.21.(理)【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)分母实数化方法;(2)若复数),(R ∈+=b a bi a z ,则其实部与虚部分别为,a b .【答案】12-【解析】1()(1)1(1)(1)12(1)12(1)(1)22222b i b i i b b i b b i i i i ++-++-+-+=+=+=+++-,依题意有2122b b +-=,解得12b =-.(文)【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)复数实部与虚部的概念;(2)复数的乘法与除法运算法则.【答案】43i -+【解析】依题意2z i =-+,则2225252525(34)43(2)34(34)(34)i i i i i i z i i i i +====-+-+--+. 22.【命题立意】本题考查算法流图以及三角函数的周期与求值问题.[来源: ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)算法循环结构;(2)正弦函数的最小正周期为2π.33sin(8)sin 44y πππ=-=. 23.【命题立意】本题考查复数的几何意义、对数运算.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)复数的几何意义;(2)对数的运算法则. 【答案】1【解析】依题意,复数z 在复平面内对应的点是(lg ,lg )m n -,它在直线y x =上,所以0lg lg =+n m ,即0)lg(=mn ,所以1=mn .24.【命题立意】本题考查算法的循环结构及其应用【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)循环结构中循环体的执行次数;(2)赋值语句的含义.【答案】729【解析】按照程序框图,可知最后输出结果为1999729s =⨯⨯⨯=. 25.【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及复数几何意义.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)复数的乘法运算法则;(2)复数的几何意义.[来源: ]【答案】0a <【解析】2(1)(2)2(2)24z i ai i ai a i =++=+=-+,其对应的点在第一象限,则有20a ->,所以0a <.26.【命题立意】本题考查算法流程图以及幂函数的单调性.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)循环结构的执行流程;(2)幂函数的单调性. 【答案】1-【解析】执行过程53175,()3,()1,()1,()n n f x x n f x x n f x x n f x x=→==→==→==→=-=在(0,)+∞单调递减,故输出1n =-.27.【命题立意】本题考查虚数单位i 的幂值的周期性与等比数列的定义及通项公式.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)等比数列的定义及通项公式;(2)虚数单位i 的幂值的周期性.【答案】i -【解析】由1(1)(1)n n i a i a +-=+得111n n a ii a i++==-,所以数列{}n a 是公比为i 的等比数列,于是20102010201120111()()a a i i i i i =⋅=⋅==-.28.【命题立意】本题考查算法条件分支结构以及分段函数的求值问题.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)条件分支结构的特点;(2)分类讨论解决分段函数求值问题. 【答案】2-,42【解析】令124x =,得2x =-,所以当输入的2x =-时,输出结果为14;令21log 4x =,得142x =,所以当输入的42=x 时,输出结果也为14;29.【命题立意】本题考查复数的运算以及纯虚数的概念.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)若一个复数的平方是负数,则它一定是纯虚数;(2)纯虚数的概念. 【答案】2【解析】由2z<0知z 一定为纯虚数,所以得:24020a a ⎧-=⎨+≠⎩,解得2a =.30.(理)【命题立意】本题考查算法流程图以及三角函数的周期性.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)算法的循环结构;(2)sin 3n π的值具有周期性.2320112012sin sin sin sin sin33333sπππππ=+++++的值,由于23456sin0,sin0 333333ππππππ======,所以23456sin sin sin sin sin sin0333333ππππππ+++++=,因此2320112012sin sin sin sin sin033533333sπππππ=+++++=⨯=(文)【命题立意】本题考查算法流程图与三角函数周期性与求值问题.【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1)算法循环结构;(2)cos2nπ的值具有周期性.【答案】0【解析】该算法的功能是计算式子232012cos cos cos cos2222pππππ=++++的值,由于234cos0,cos1,cos0,cos1,2222ππππ==-== ,所以(0101)5030p=-++⨯=.。

2022-2024北京高三二模数学汇编:复数的四则运算

2022-2024北京高三二模数学汇编:复数的四则运算

2022-2024北京高三二模数学汇编复数的四则运算一、单选题1.(2024北京西城高三二模)在复平面内,复数z对应的点的坐标是1)-,则⋅=z z ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 2.(2024北京顺义高三二模)已知复数z 的共轭复数z 满足()1i 2i z +⋅=,则z z ⋅=( )A B .1 C .2 D .4 3.(2024北京通州高三二模)在复平面内,复数z 对应的点的坐标为1,1,则2i z =( ) A .1i -+ B .22i -+ C .1i - D .22i - 4.(2023北京昌平高三二模)已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=,则a 的值为( )A B .2 C .D .2± 5.(2023北京丰台高三二模)若复数i(i 1)z =-,则|1|z -=( )A .2i --B .i -CD .5二、填空题6.(2024北京海淀高三二模)若()2(i)2i R x x +=∈,则x = .7.(2024北京昌平高三二模)已知复数1i iz +=,则z z ⋅= . 8.(2024北京东城高三二模)若复数z 满足2i 1i z =++.则在复平面内,z 对应的点的坐标是 . 9.(2023北京海淀高三二模)在复平面内,复数z 所对应的点为(1,1),则z z ⋅= . 10.(2022北京海淀高三二模)已知,a b 均为实数.若()i i i b a +=+,则a b += . 11.(2022北京东城高三二模)已知复数z 满足(1i)3i z -=+,则z = ,||z = .参考答案1.D【分析】由复数的几何意义得出z ,再运算化简即可.【详解】复数z 对应的点的坐标是1)-,所以i z ,i z =,所以)22i i i 314z z ⋅==-=+=. 故选:D .2.C 【分析】根据复数除法运算求出z ,然后即可求解.【详解】因为()1i 2i z +⋅=, 所以()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -===+++-, 所以1i z =-,所以()()1i 1i 2z z ⋅=-+=.故选:C3.A【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.【详解】由题意可得1i z =-, 所以()()()2i 1i 2i 2i i 11i 1i 1i 1i z +===-=-+--+, 故选:A.4.D【分析】根据共轭复数的概念及复数的乘法运算得解.【详解】因为i z a =+, 所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=,解得2a =±,故选:D5.C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简,再根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为2i(i 1)i i 1i z =-=-=--,所以12i z -=--,则|1|z -故选:C6.1【分析】利用复数的四则运算,结合复数相等的性质得到关于x 的方程组,解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=,所以222i i 2i x x ++=,即212i 2i x x -+=,所以21022x x ⎧-=⎨=⎩,解得1x =. 故答案为:1.7.2【分析】由复数的运算和共轭复数的定义计算求出结果即可. 【详解】由题意可得()1i i 1i 1i iz +==-+=-, 所以1i z =+, 所以()()21i 1i 1i 2z z ⋅=-+=-=,故答案为:2.8.()1,3【分析】根据复数的乘法运算求z ,再结合复数的几何意义分析求解. 【详解】因为2i 1i z =++,可得()()2i 1i 13i z =++=+, 所以z 对应的点的坐标是()1,3.故答案为:()1,3.9.2【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+,由乘法运算即可求解.【详解】由题意可知1i z =+ ,所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=, 故答案为:210.0【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】()i i i i 1b a a ==++-,故1,1a b ==-,0a b +=. 故答案为:0.11. 12i +/2i+1 【分析】利用复数的除法化简得到z =12i +,利用复数的模长公式即得.【详解】∵(1i)3i z -=+, ∵3i 3i 1i 1()(1+i)24i 12i ()i (1i)2z +====+--+++,z =故答案为:12i +。

高三数学高考真题理科专题四向量、复数

高三数学高考真题理科专题四向量、复数

专题四 向量、复数1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)1+2i(1-i )2=( )A .-1-12iB .-1+12iC .1+12iD .1-12i解析:选B.1+2i (1-i )2=1+2i 1-2i +i 2=1+2i -2i =(1+2i )i 2=-1+12i. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3-4i)z =|4+3i|,则z 的虚部为( )A .-4B .-45C .4 D.45解析:选D.∵(3-4i)z =|4+3i|,∴z =|4+3i|3-4i =42+323-4i=5(3+4i )25=35+45i ,∴z 的虚部为45.3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)|21+i|=( )A .2 2B .2 C. 2 D .1解析:选C.由21+i =2(1-i )(1+i )(1-i )=2-2i 1-i 2=1-i ,∴|21+i |=|1-i|= 2.故选C. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=( )A .-4B .-3C .-2D .-1解析:选B.因为m +n =(2λ+3,3),m -n =(-1,-1),由(m +n )⊥(m -n ),可得(m +n )·(m -n )=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.5.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ) A .-1+i B .-1-i C .1+i D .1-i解析:选A.设z =a +b i ,则(1-i)(a +b i)=2i ,即(a +b )+(b -a )i =2i. 根据复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =0,b -a =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1, ∴z =-1+i.故选A.6.(2013·高考山东卷)复数z =(2-i )2i(i 为虚数单位),则|z |=( )A .25 B.41 C .5 D. 5解析:选C.z =(2-i )2i =4-4i +i 2i =3-4ii=-4-3i ,∴|z |=(-4)2+(-3)2=25=5.7.(2013·高考山东卷)复数z =(2-i )2i(i 为虚数单位),则|z |=( )A .25 B.41 C .5 D. 5解析:选C.z =(2-i )2i =4-4i +i 2i =3-4ii=-4-3i ,∴|z |=(-4)2+(-3)2=25=5.8.(2013·高考浙江卷)已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)=( ) A .5-5i B .7-5i C .5+5i D .7+5i解析:选C.(2+i)(3+i)=6+5i +i 2=5+5i. 9.(2013·高考大纲全国卷)(1+3i)3=( ) A .-8 B .8 C .-8i D .8i解析:选A.原式=(1+3i)(1+3i)2=(1+3i)(-2+23i)=-2+6i 2=-8.10.(2013·高考山东卷)复数z 满足(z -3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为( )A .2+iB .2-iC .5+iD .5-i解析:选D.由(z -3)(2-i)=5,得z =52-i +3=5(2+i )(2-i )(2+i )+3=5(2+i )5+3=5+i ,∴z=5-i.故选D.11.(2013·高考北京卷)在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限解析:选A.∵z =i(2-i)=2i -i 2=1+2i ,∴复数z 在复平面内的对应点为(1,2),在第一象限.12.(2013·高考福建卷)在四边形ABC D 中,AC →=(1,2),BD →=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. 5 B .2 5 C .5 D .10解析:选C.∵AC →·BD →=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,∴AC →⊥BD →,∴S 四边形ABC D =12|AC →|·|BD →|=12×5×25=5. 13.(2013·高考安徽卷)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A ,B 满足|OA →|=|OB →|=OA →·OB →=2,则点集{P |OP →=λOA →+μOB →,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R }所表示的区域的面积是( )A .2 2B .2 3C .4 2D .4 3解析:选D.由|OA →|=|OB →|=OA →·OB →=2,知 OA →,OB →=π3.当λ≥0,μ≥0,λ+μ=1时,在△OAB 中,取OC →=λOA →,过点C 作C D ∥OB 交AB 于点D ,作DE ∥OA 交OB 于点E ,显然OD →=λOA →+CD →.由于CD OB =AC AO ,CD OB =2-2λ2,∴CD →=(1-λ)OB →,∴OD →=λOA →+(1-λ)OB →=λOA →+μOB →=OP →,∴λ+μ=1时,点P 在线段AB 上, ∴λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1时,点P 必在△OAB 内(包括边界).考虑|λ|+|μ|≤1的其他情形,点P 构成的集合恰好是以AB 为一边,以OA ,OB 为对角线一半的矩形,其面积为S =4S △OAB =4×12×2×2s in π3=4 3.14.(2013·高考浙江卷) 设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B =14AB ,且对于边AB上任一点P ,恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →,则( )A .∠ABC =90°B .∠BAC =90° C .AB =ACD .AC =BC 解析:选D.不妨设AB =4,则P 0B =1,P 0A =3. 设点C 在直线AB 上的投影为点C ′.A 项,若∠ABC =90°,如图,则PB →·PC →=|PB →|·|PC →|·co s ∠BPC =|PB →|2, P 0B →·P 0C →=|P 0B →|2.当点P 落在点P 0的右侧时,|PB →|2<|P 0B →|2,即PB →·PC →<P 0B →·P 0C →,不符合;B 项,若∠BAC =90°,如图,则PB →·PC →=|PB →|·|PC →|co s ∠BPC =-|PB →||P A →|, P 0B →·P 0A →=-|P 0B →||P 0A →|=-3.当P 为AB 的中点时,PB →·PC →=-4, PB →·PC →<P 0B →·P 0C →,不符合;C 项,若AB =AC ,假设∠BAC =120°,如图,则AC ′=2,PB →·PC →=|PB →|·|PC →|co s ∠BPC =-|PB →||PC →|,P 0B →·P 0C →=|P 0B →||P 0C →|co s ∠BP 0C =-|P 0B →||P 0C →′|=-5.当P 落在A 点时,-|PB →||PC ′→|=-8,所以PB →·PC →<P 0B →·P 0C →,不符合.故选D.15.(2013·高考福建卷)复数z =-1-2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限解析:选C.z =-1-2i 在复平面内对应的点为(-1,-2),它位于第三象限.16.(2013·高考辽宁卷)已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB →同方向的单位向量为( )A .(35,-45)B .(45,-35)C .(-35,45)D .(-45,35)解析:选A.AB →=(3,-4),则与其同方向的单位向量e =AB →|AB →|=15(3,-4)=(35,-45).17.(2013·高考辽宁卷)复数z =1i -1的模为( )A.12B.22C. 2 D .2解析:选B.因为z =1i -1=-12-12i ,所以|z |=|-12-12i|=22.18.(2013·高考陕西卷)已知向量a =(1,m ),b =(m,2),若a ∥b, 则实数m 等于( ) A .- 2 B. 2 C .-2或 2 D .0解析:选C.由a ∥b ⇒m 2=1×2⇒m =2或m =- 2. 19.(2013·高考陕西卷)设z 是复数, 则下列命题中的假命题是( )A .若z 2≥0,则z 是实数 B .若z 2<0,则z 是虚数 C .若z 是虚数,则z 2≥0 D .若z 是纯虚数,则z 2<0 解析:选C.设z =a +b i(a ,b ∈R ),选项A ,z 2=(a +b i)2=a 2-b 2+2ab i ≥0,则⎩⎪⎨⎪⎧ab =0,a 2≥b 2.故b =0或a ,b 都为0,即z 为实数,正确.选项B ,z 2=(a +b i)2=a 2-b 2+2ab i<0,则⎩⎪⎨⎪⎧ab =0,a 2<b 2,则⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b ≠0,故z 一定为虚数,正确. 选项C ,若z 为虚数,则b ≠0,z 2=(a +b i)2=a 2-b 2+2ab i , 由于a 的值不确定,故z 2无法与0比较大小,错误.选项D ,若z 为纯虚数,则⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b ≠0,则z 2=-b 2<0,正确.20.(2013·高考湖南卷)已知a ,b 是单位向量,a ·b =0.若向量c 满足|c -a -b |=1,则|c |的最大值为( )A.2-1B. 2C.2+1D.2+2 解析:选C.∵a ,b 是单位向量,∴|a |=|b |=1. 又a ·b =0,∴a ⊥b ,∴|a +b |= 2. ∴|c -a -b |2=c 2-2c ·(a +b )+2a ·b +a 2+b 2=1. ∴c 2-2c ·(a +b )+1=0, ∴2c ·(a +b )=c 2+1.∴c 2+1=2|c ||a +b |co s θ(θ是c 与a +b 的夹角). ∴c 2+1=22|c |co s θ≤22|c |.∴c 2-22|c |+1≤0. ∴2-1≤|c |≤2+1.∴|c |的最大值为2+1. 21.(2013·高考湖南卷)复数z =i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析:选B.∵z =i·(1+i)=-1+i ,∴复数z 对应复平面上的点是(-1,1),该点位于第二象限.22.(2013·高考江西卷)复数z =i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限解析:选D.因为z =i(-2-i)=1-2i ,所以复数z 对应的点在第四象限.23.(2013·高考湖北卷)已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D(3,4),则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C .-322D .-3152解析:选A.由已知得AB →=(2,1),CD →=(5,5),因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|=1552=322. 24.(2013·高考四川卷)如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A .AB .BC .CD .D解析:选B.表示复数z 的点A 在第二象限,由共轭复数的定义,设z =a +b i(a ,b ∈R ),且a <0,b >0,则z 的共轭复数为a -b i ,其中a <0,-b <0,故应为B 点.25.(2013·高考浙江卷)已知i 是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=( ) A .-3+i B .-1+3i C .-3+3i D .-1+i 解析:选B.(-1+i)(2-i)=-2+3i -i 2=-1+3i. 26.(2013·高考北京卷)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析:选D.∵(2-i)2=4-4i +i 2=3-4i ,∴复数(2-i)2在复平面内对应点的坐标为(3,-4), 对应的点位于复平面内第四象限. 27.(2013·高考广东卷)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解,有如下四个命题:①给定向量b ,总存在向量c ,使a =b +c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使a =λb +μc ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a =λb +μc ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使a =λb +μc .上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4解析:选C.对于①,若向量a ,b 确定,因为a -b 是确定的,故总存在向量c ,满足c =a -b ,即a =b +c ,故正确;对于②,因为c 和b 不共线,由平面向量基本定理知,总存在唯一的一对实数λ,μ,满足a =λb +μ c ,故正确;对于③,如果a =λb +μ c ,则以|a |,|λb |,|μ c |为三边长可以构成一个三角形,如果b 和正数μ确定,则一定存在单位向量c 和实数λ满足a =λb +μ c ,故正确;对于④,如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a |,|λb |,|μ c |为三边长可以构成一个三角形”,这时单位向量b 和c 就不存在,故错误.故选C.28.(2013·高考广东卷)若i(x +y i)=3+4i ,x ,y ∈R ,则复数x +y i 的模是( ) A .2 B .3 C .4 D .5解析:选D.法一:因为i(x +y i)=3+4i ,所以x +y i =3+4i i =(3+4i )(-i )i (-i )=4-3i ,故|x+y i|=|4-3i|=42+(-3)2=5,故选D.法二:因为i(x +y i)=3+4i ,所以-y +x i =3+4i ,所以x =4,y =-3,故|x +y i|=|4-3i|=42+(-3)2=5,故选D.法三:因为i(x +y i)=3+4i ,所以(-i)i(x +y i)=(-i)·(3+4i)=4-3i ,即x +y i =4-3i ,故|x +y i|=|4-3i|=42+(-3)2=5,故选D.29.(2013·高考安徽卷)设i 是虚数单位,若复数a -103-i(a ∈R )是纯虚数,则a 的值为( )A .-3B .-1C .1D .3解析:选D.因为a -103-i =a -10(3+i )(3-i )(3+i )=a -10(3+i )10=(a -3)-i ,由纯虚数的定义,知a -3=0,所以a =3.30.(2013·高考福建卷)在四边形ABC D 中,AC →=(1,2),BD →=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. 5 B .2 5 C .5 D .10解析:选C.∵AC →·BD →=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,∴AC →⊥BD →,∴S 四边形ABC D =12|AC →|·|BD →|=12×5×25=5. 31.(2013·高考福建卷)已知复数z 的共轭复数z =1+2i(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选D.∵z =1+2i ,∴z =1-2i ,∴z 在复平面内对应的点位于第四象限. 32.(2013·高考辽宁卷)已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB →同方向的单位向量为( )A .(35,-45)B .(45,-35)C .(-35,45)D .(-45,35)解析:选A.AB →=(3,-4),则与其同方向的单位向量e =AB →|AB →|=15(3,-4)=(35,-45).33.(2013·高考辽宁卷)复数z =1i -1的模为( )A.12B.22C. 2 D .2解析:选B.因为z =1i -1=-12-12i ,所以|z |=|-12-12i|=22.34.(2013·高考陕西卷)设a ,b 为向量,则“|a·b |=|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:选C.若|a ·b |=|a ||b |,若a ,b 中有零向量,显然a ∥b ; 若a ,b 均不为零向量,则 |a ·b |=|a ||b ||co s 〈a ,b 〉|=|a ||b |, ∴|co s 〈a ,b 〉|=1,∴〈a ,b 〉=π或0, ∴a ∥b ,即|a ·b |=|a ||b |⇒a ∥b . 若a ∥b ,则〈a ,b 〉=0或π, ∴|a ·b |=||a ||b |co s 〈a ,b 〉|=|a ||b |, 其中,若a ,b 有零向量也成立, 即a ∥b ⇒|a ·b |=|a ||b |. 综上知,“|a ·b |=|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件. 35.(2013·高考陕西卷)设z 1,z 2是复数,则下列命题中的假命题是( )A .若|z 1-z 2|=0,则z -1=z -2B .若z 1=z -2,则z -1=z 2C .若|z 1|=|z 2|,则z 1·z -1=z 2·z -2D .若|z 1|=|z 2|,则z 21=z 22解析:选D.A ,|z 1-z 2|=0⇒z 1-z 2=0⇒z 1=z 2⇒z -1=z -2,真命题;B ,z 1=z -2⇒z -1=z =2=z 2,真命题;C ,|z 1|=|z 2|⇒|z 1|2⇒|z 2|2⇒z 1·z -1=z 2·z -2,真命题;D ,当|z 1|=|z 2|时,可取z 1=1,z 2=i ,显然z 21=1,z 22=-1,即z 21≠z 22,假命题. 36.(2013·高考湖南卷)已知a ,b 是单位向量,a·b =0,若向量c 满足|c -a -b |=1,则|c |的取值范围是( )A .[2-1,2+1]B .[2-1,2+2]C .[1,2+1]D .[1,2+2] 解析:选A.∵a ·b =0,且a ,b 是单位向量, ∴|a |=|b |=1.又∵|c -a -b |2=c 2-2c ·(a +b )+2a ·b +a 2+b 2=1, ∴2c ·(a +b )=c 2+1. ∵|a |=|b |=1且a ·b =0,∴|a +b |=2,∴c 2+1=22|c |co s θ(θ是c 与a +b 的夹角). 又-1≤co s θ≤1, ∴0<c 2+1≤22|c |, ∴c 2-22|c |+1≤0, ∴2-1≤|c |≤2+1. 37.(2013·高考湖南卷)复数z =i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析:选B.∵z =i·(1+i)=-1+i ,∴复数z 对应复平面上的点是(-1,1),该点位于第二象限.38.(2013·高考江西卷)已知集合M ={1,2,z i},i 为虚数单位,N ={3,4},M ∩N ={4},则复数z =( )A .-2iB .2iC .-4iD .4i解析:选C.因为M ={1,2,z i},N ={3,4},由M ∩N ={4},得4∈M ,所以z i =4,所以z =-4i.39.(2013·高考湖北卷)已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D(3,4),则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C .-322D .-3152解析:选A.由已知得AB →=(2,1),CD →=(5,5),因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|=1552=322. 40.(2013·高考湖北卷)在复平面内,复数z =2i1+i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选D.z =2i1+i =2i (1-i )(1+i )(1-i )=1+i ,所以z -=1-i ,故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限.41.(2013·高考四川卷)如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A .A B .B C .C D .D解析:选B.设z =a +b i(a ,b ∈R ),且a <0,b >0,则z 的共轭复数为a -b i ,其中a <0,-b <0,故应为B 点.42.(2013·高考重庆卷)在平面上,AB 1→⊥AB 2→,|OB 1→|=|OB 2→|=1,AP →=AB 1→+AB 2→.若|OP →|<12,则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0,52B.⎝⎛⎦⎤52,72C.⎝⎛⎦⎤52,2D.⎝⎛⎦⎤72,2 解析:选D.∵AB 1→⊥AB 2→,∴AB 1→·AB 2→=(OB 1→-OA →)·(OB 2→-OA →) =OB 1→·OB 2→-OB 1→·OA →-OA →·OB 2→+OA 2→=0, ∴OB 1→·OB 2→-OB 1→·OA →-OA →·OB 2→=-OA 2→. ∵AP →=AB 1→+AB 2→, ∴OP →-OA →=OB 1→-OA →+OB 2→-OA →, ∴OP →=OB 1→+OB 2→-OA →.∵|OB 1→|=|OB 2→|=1, ∴OP 2→=1+1+OA 2→+2(OB 1→·OB 2→-OB 1→·OA →-OB 2→·OA →)=2+OA 2→+2(-OA 2→)=2-OA 2→, ∵|OP →|<12,∴0≤|OP →|2<14,∴0≤2-OA 2→<14,∴74<OA 2→≤2,即|OA →|∈⎝⎛⎦⎤72,2. 43.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABC D 的边长为2,E 为C D 的中点,则AE →·BD →=________.解析:如图,以A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,A D 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D(0,2),E(1,2),∴AE →=(1,2),BD →=(-2,2), ∴AE →·BD →=1×(-2)+2×2=2. 答案:244.(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知OA →=(-1,t ),OB →=(2,2).若∠ABO =90°,则实数t 的值为________.解析:∵∠ABO =90°,∴AB →⊥OB →,∴OB →·AB →=0. 又AB →=OB →-OA →=(2,2)-(-1,t )=(3,2-t ), ∴(2,2)·(3,2-t )=6+2(2-t )=0. ∴t =5. 答案:5 45.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t )b ,若b ·c =0,则t =________.解析:|a |=|b |=1,〈a ,b 〉=60°. ∵c =t a +(1-t )b ,∴b ·c =t a ·b +(1-t )b 2=t ×1×1×12+(1-t )×1=t 2+1-t =1-t2.∵b ·c =0,∴1-t2=0,∴t =2.答案:246.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABC D 的边长为2,E 为C D 的中点,则AE →·BD →=________.解析:如图,以A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,A D 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D(0,2),E(1,2),∴AE →=(1,2),BD →=(-2,2), ∴AE →·BD →=1×(-2)+2×2=2. 答案:247.(2013·高考山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°,且|AB →|=3,|AC →|=2.若AP →=λAB →+AC →,且AP →⊥BC →,则实数λ的值为 ________.解析:∵AP →⊥BC →,∴AP →·BC →=0. 又AP →=λAB →+AC →,BC →=AC →-AB →,∴(λAB →+AC →)(AC →-AB →)=0,即(λ-1)AC →·AB →-λAB →2+AC →2=0,∴(λ-1)|AC →||AB →|co s 120°-9λ+4=0.∴(λ-1)×3×2×(-12)-9λ+4=0.解得λ=712.答案:71248.(2013·高考江苏卷)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,A D =12AB ,B E =23BC .若DE →=λ1AB →+λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.解析:由题意DE →=BE →-BD →=23BC →-12BA →=23(AC →-AB →)+12AB →=-16AB →+23AC →,于是λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 答案:1249.(2013·高考江苏卷)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,A D =12AB ,B E =23BC .若DE →=λ1AB →+λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.解析:由题意DE →=BE →-BD →=23BC →-12BA →=23(AC →-AB →)+12AB →=-16AB →+23AC →,于是λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 答案:1250.(2013·高考浙江卷)设e 1,e 2为单位向量,非零向量b =x e 1+y e 2,x ,y ∈R .若e 1,e 2的夹角为π6,则|x ||b |的最大值等于________.解析:根据题意,得 (|x ||b |)2=x 2(x e 1+y e 2)2=x 2(x e 1)2+(y e 2)2+2xy e 1·e 2=x 2x 2+y 2+2xy cosπ6=x 2x 2+y 2+3xy =11+(y x )2+3y x =1(y x +32)2+14.因为(y x +32)2+14≥14,所以0<(|x ||b |)2≤4,所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案:251.(2013·高考北京卷)已知点A (1,-1),B (3,0),C (2,1).若平面区域D 由所有满足AP →=λAB →+μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成,则D 的面积为________.解析:设P (x ,y ),则AP →=(x -1,y +1).由题意知AB →=(2,1),AC →=(1,2). 由AP →=λAB →+μAC →知(x -1,y +1)=λ(2,1)+μ(1,2),即⎩⎪⎨⎪⎧2λ+μ=x -1,λ+2μ=y +1. ∴⎩⎨⎧λ=2x -y -33,μ=2y -x +33,∵1≤λ≤2,0≤μ≤1, ∴⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x -y -3≤6,0≤2y -x +3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分),由图可知平面区域D 为平行四边形,可求出M (4,2),N (6,3),故|MN |= 5.又x -2y =0与x -2y -3=0之间的距离为d =35,故平面区域D 的面积为S =5×35=3.答案:3 52.(2013·高考天津卷)i 是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=________. 解析:(3+i)(1-2i)=3-5i -2i 2=5-5i. 答案:5-5i 53.(2013·高考天津卷)在平行四边形ABC D 中,A D =1,∠BA D =60°,E 为C D 的中点.若AC →·BE →=1,则AB 的长为________.解析:由已知得AC →=AD →+AB →,BE →=AD →-12AB →,∴AC →·BE →=AD →2-12AB →·AD →+AB →·AD →-12AB →2=1+12AB →·AD →-12|AB →|2=1+12|AB →|·|AD →|co s 60°-12|AB →|2=1,∴|AB →|=12.答案:1254.(2013·高考天津卷)i 是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=________. 解析:(3+i)(1-2i)=3-5i -2i 2=5-5i. 答案:5-5i 55.(2013·高考浙江卷)设e 1,e 2为单位向量,非零向量b =x e 1+y e 2,x ,y ∈R .若e 1,e 2的夹角为π6,则|x ||b |的最大值等于________.解析:根据题意,得 (|x ||b |)2=x 2(x e 1+y e 2)2=x 2(x e 1)2+(y e 2)2+2xy e 1·e 2=x 2x 2+y 2+2xy cosπ6=x 2x 2+y 2+3xy =11+(y x )2+3y x =1(y x +32)2+14.因为(y x +32)2+14≥14,所以0<(|x ||b |)2≤4,所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案:2 56.(2013·高考北京卷)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa +μb (λ,μ∈R ),则λμ=________.解析:以向量a 的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设一个小正方形网格的边长为1,则a =(-1,1),b =(6,2),c =(-1,-3).由c =λ a +μ b ,即(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),得-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,故λ=-2,μ=-12,则λμ=4.答案:4 57.(2013·高考天津卷)在平行四边形ABC D 中,A D =1,∠BA D =60°,E 为C D 的中点.若AC →·BE →=1,则AB 的长为________.解析:设AB 的长为a (a >0),又因为AC →=AB →+AD →,BE →=BC →+CE →=AD →-12AB →,于是AC →·BE→=(AB →+AD →)·⎝⎛⎭⎫AD →-12AB →=12AB →·AD →-12AB →2+AD →2=-12a 2+14a +1,由已知可得-12a 2+14a +1=1.又a >0,∴a =12,即AB 的长为12.答案:1258.(2013·高考湖北卷)i 为虚数单位,设复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于原点对称,若z 1=2-3i ,则z 2=________.解析:(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3), ∴z 2=-2+3i. 答案:-2+3i 59.(2013·高考四川卷)如图,在平行四边形ABC D 中,对角线AC 与B D 交于点O ,AB →+AD →=λAO →,则λ=________.解析:由向量加法的平行四边形法则,得AB →+AD →=AC →.又O 是AC 的中点,∴AC =2AO ,∴AC →=2AO →, ∴AB →+AD →=2AO →. 又AB →+AD →=λAO →,∴λ=2. 答案:2 60.(2013·高考天津卷)已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位.若(a +i)·(1+i)=b i ,则a +b i =________.解析:由(a +i)(1+i)=b i 可得(a -1)+(a +1)i =b i ,因此a -1=0,a +1=b ,解得a =1,b =2,故a +b i =1+2i.答案:1+2i 61.(2013·高考重庆卷)设复数z =1+2i(i 是虚数单位),则|z |=________. 解析:∵z =1+2i ,∴|z |= 12+22= 5. 答案: 5 62.(2013·高考安徽卷)若非零向量a ,b 满足|a |=3|b |=|a +2b |,则a 与b 夹角的余弦值为________.解析:由|a |=|a +2b |,两边平方,得|a |2=(a +2b )2=|a |2+4|b |2+4a ·b ,所以a ·b =-|b |2.又|a |=3|b |,所以co s 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=-|b |23|b |2=-13. 答案:-1363.(2013·高考江西卷)设e 1,e 2为单位向量,且e 1,e 2的夹角为π3,若a =e 1+3e 2,b =2e 1,则向量a 在b 方向上的射影为________.解析:由于a =e 1+3e 2,b =2e 1,所以|b |=2,a·b =(e 1+3e 2)·2e 1=2e 21+6e 1·e 2=2+6×12=5,所以a 在b 方向上的射影为|a |·co s 〈a ,b 〉=a·b |b|=52.答案:5264.(2013·高考四川卷)在平行四边形ABC D 中,对角线AC 与B D 交于点O ,AB →+AD →=λAO →,则λ=________.解析:由向量加法的平行四边形法则,得AB →+AD →=AC →.又O 是AC 的中点,∴AC =2AO ,∴AC →=2AO →, ∴AB →+AD →=2AO →. 又AB →+AD →=λAO →,∴λ=2. 答案:265.(2013·高考重庆卷)已知复数z =5i1+2i(i 是虚数单位),则|z |=________.解析:|z |=⎪⎪⎪⎪5i 1+2i =⎪⎪⎪⎪5i (1-2i )5=|i +2|= 5. 答案: 566.(2013·高考广东卷)给定区域D :⎩⎪⎨⎪⎧x +4y ≥4,x +y ≤4,x ≥0,令点集T ={(x 0,y 0)∈D|x 0,y 0∈Z ,(x 0,y 0)是z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定________条不同的直线.解析:画出平面区域D(图中阴影部分),z =x +y 取得最小值时的最优整数解为(0,1),取得最大值时的最优整数解为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0).点(0,1)与(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线,共有5条,又(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),都在直线x +y =4上,故T 中的点共确定6条不同的直线.答案:6 67.(2013·高考江苏卷)已知a =(co s α,s in α),b =(co s β,s in β),0<β<α<π. (1)若|a -b |=2,求证:a ⊥b ;(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值. 解:(1)证明:由题意得|a -b |2=2, 即(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2. 又因为a 2=b 2=|a |2=|b |2=1, 所以2-2a ·b =2,即a ·b =0,故a ⊥b .(2)因为a +b =(co s α+co s β,s in α+s in β)=(0,1),所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α+cos β=0,sin α+sin β=1,由此得,co s α=co s (π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.又0<α<π,故α=π-β.代入s in α+s in β=1,得s in α=s in β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6. 68.(2013·高考江苏卷)已知a =(co s α,s in α),b =(co s β,s in β),0<β<α<π. (1)若|a -b |=2,求证:a ⊥b ;(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值. 解:(1)证明:由题意得|a -b |2=2, 即(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2. 又因为a 2=b 2=|a |2=|b |2=1, 所以2-2a ·b =2,即a ·b =0,故a ⊥b .(2)因为a +b =(co s α+co s β,s in α+s in β)=(0,1),所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α+cos β=0,sin α+sin β=1,由此得,co s α=co s (π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.又0<α<π,故α=π-β.代入s in α+s in β=1,得s in α=s in β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6.。

高三数学复数试题

高三数学复数试题

高三数学复数试题1.复数的共轭复数等于()【答案】C【解析】依题意可得.故选C.【考点】复数的运算.2.已知复数,则的共轭复数是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】∵==,∴,故选A.【考点】1、复数的运算;2、共轭复数.3.设z=1–i(i是虚数单位),则复数+i2的虚部是A.1B.-1C.i D.-i【答案】A【解析】根据复数的四则运算可得:+i2= i,∴虚部是1.【考点】复数的概念与四则运算.4.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.【答案】-1-(-1)i【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.5.若a+bi= (i是虚数单位,a,b∈R),则ab=()A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【解析】因为a+bi==1-2i,所以a=1,b=-2,ab=-26.若复数满足,则在复平面内对应的点的坐标是()A.,B.,C.,D.,【答案】D【解析】设,,,复数的坐标,故选D.【考点】复数运算与几何意义7.已知复数,则的虚部为()A.B.C.D.【答案】【解析】,其实部为-1,虚部为0.选D.【考点】复数的基本运算及概念.8.复数的虚部为 ( )A.2B.C.D.【答案】B【解析】由复数的定义知其虚部为,选B.【考点】1.复数的定义;2.复数的计算.9.复数的虚部是()A.B.C.D.【答案】B【解析】,虚部为-1.【考点】复数的概念和运算.10.已知复数(其中是虚数单位),则_________.【答案】.【解析】.【考点】复数的四则运算11.关于复数,下列说法中正确的是()A.在复平面内复数对应的点在第一象限B.复数的共轭复数C.若复数为纯虚数,则D.设为复数的实部和虚部,则点在以原点为圆心,半径为1的圆上【答案】C【解析】由题可知,对应的点为(-1,1)为第二象限,故A错;,故B错;若为纯虚数,则,故选C;为(-1,1),在半径为的圆上,故D 错.【考点】复数的运算与性质12.=()A.-8B.8C.D.【答案】A【解析】.故选A.【考点】复数运算13.复数的模为( )A.B.C.D.【答案】B【解析】故选B【考点】本题考查复数的运算。

高三数学单元测试《平面向量及复数》

高三数学单元测试《平面向量及复数》

高三数学单元测试《平面向量及复数》一、选择题(本题每小题5分,共60分)1.设向量=⋅︒︒=︒︒=b a b a 则),37cos ,53(cos ),67cos ,23(cos ( )A .23 B .21 C .-23 D .-21 2.如果复数ibi212+-(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部是互为相反数,那么b 等于( )A .2B .32 C .2 D .- 32 3.220041i i i ++++的值是( )A .0B .-1C .1D .i4.若a =(2,-3), b =(1,-2),向量c 满足c ⊥a ,b •c =1,则c 的坐标是 ( )A .(3,-2)B .(3,2)C .(-3,-2)D .(-3,2)5.使i R i a ()(4∈+为虚数单位)的实数a 有( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.设e 是单位向量,3||,3,3=-==AD e CD e AB ,则四边形ABCD 是 ( )A .梯形B .菱形C .矩形D .正方形7.已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O (0,0),A (3,0),B (0,3),点P 在线段AB 上,且OP OA t AB t AP ⋅≤≤=则),10(的最大值为( )A .3B .6C .9D .1281,2==,a 与b 的夹角为︒60,则使向量b a λ+与b a 2-λ的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 ( )A . )31,(---∞B . ),31(∞++-C . ),31()31,(∞++----∞D . )31,31(+---9.若z 为复数,下列结论正确的是 ( )A .若212121,0,z z z z C z z >>-∈则且B .22z z =C .若,0=-z z 则z 为纯虚数D .若2z 是正实数,那么z 一定是非零实数10.若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数,则θ的值为( )A .)(42Z k k ∈-ππ B .)(42Z k k ∈+ππC .)(42Z k k ∈±ππD .)(42Z k k ∈+ππ 11.已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足AB PC PB PA =++,下列结论中正确的是( )A .P 在△ABC 内部B .P 在△ABC 外部C .P 在AB 边所在直线上D .P 是AC 边的一个三等分点12.复数z 在复平面上对应的点在单位圆上,则复数zz 12+( )A .是纯虚数B .是虚数但不是纯虚数C .是实数D .只能是零二、填空题(本题每小题4分,共16分)13.已知复数z 满足等式:i zi z 212||2+=-,则z= . 14.把函数)y =2x 2—4x +5的图象按向量a 平移后,得到y =2x 2的图象,且a ⊥b ,c =(1,-1),b ·c =4,则b =_____________。

第七章 复数 单元测试卷(解析版)

第七章 复数 单元测试卷(解析版)

第七章 复数单元测试卷一、单选题1.(辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题)已知i 为虚数单位,则复数()i 12i z =-的虚部是( ) A .i B .1 C .2 D .2i【答案】B 【分析】化简复数2i z =+即得解. 【详解】解:由题得()i i 122i z =-=+, 所以复数的虚部为1. 故选:B2.(山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题)已知复数z 满足()121i iz +=-,其中i 为虛数单位,则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【答案】A 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出55z =,最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】 221i 22|2i |2(1)5i i +=+=-=+-=,55(1i)55z +=== 则复数z 在复平面内所对应的点坐标为55⎝⎭,在第一象限.故选:A3.(山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题)已知复数z 是纯虚数,11i z+-是实数,则z =( )A .-iB .iC .-2iD .2i【答案】B 【分析】由题意设i()z b b R =∈,代入11iz+-中化简,使其虚部为零,可求出b 的值,从而可求出复数z ,进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈, 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+, 因为11iz+-是实数,所以10b +=,得1b =-, 所以i z =-, 所以i z =, 故选:B4.(2022·广东茂名·一模)已知,a b 为实数,且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位),则i a b +=( ) A .34i + B .12i + C .32i -- D .32i +【答案】A 【分析】利用复数的乘除运算化简,再利用复数相等求得,a b ,进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩,解得34a b =⎧⎨=⎩,所以i 34i a b +=+故选:A5.(2022·江苏无锡·高三期末)已知3i1ia ++(i 为虚数单位,a ∈R )为纯虚数,则=a ( ) A .1- B .1C .3-D .3【答案】C 【分析】先利用复数除法法则进行化简,结合纯虚数条件列出方程,求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数, 30a ∴+=,3a ∴=-,故选:C.6.(2022·内蒙古包头·高二期末(文))对于非零实数a ,b ,以下四个式子均恒成立,对于非零复数a ,b ,下列式子仍然恒成立的是( ) A .||||||ab a b = B .10a a+≠ C .()20a b +≥D .22a a =【答案】A 【分析】对于选项A :结合复数的乘法和模长公式即可判断;选项B :计算1a a+,然后根据复数运算结果举出反例即可;选项CD :复数的平方可能为虚部不为0的复数,而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等. 【详解】不妨令11i a x y =+,22i b x y =+,选项A :112212121221(i)(i)()i ab x y x y x x y y x y x y =++=-++,从而222222121212211122||()()||||ab x x y y x y x y x y x y a b =-++++,故A 正确; 选项B :111111222211111111i ()i i x y a x y x y a x y x y x y +=++=++-+++, 当10x =,11y =时,10a a+=,故B 错误; 因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数,而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数,故CD 错误. 故选:A7.(2022·湖北·武钢三中高三阶段练习)已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,则在复平面内,复数z 所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z ,再利用复数的几何意义求解. 【详解】21i 12i i i 1i 2+++==-,且i 的乘方运算是以4为周期的运算 所以202120222021202221i i 1i 1i i i i i z +⎛⎫=+++ ===-⎝-⎪+⎭,所以复数z 所对应的点()1,1-,在第二象限. 故选:B8.(2022·全国·高一)复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1,其中i 为虚数单位,[]0,2πθ∈,则这样的θ一共有( )个. A .9 B .10 C .11 D .无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式,求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=,接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解,结合[]0,2πθ∈,求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=,其中cos isin 1θθ+=,所以cos2isin31θθ+=,即22cos 2sin 31θθ+=,222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=,当cos2cos3θθ=时,①1232πk θθ=+,1k Z ∈,所以12πk θ=-,1k Z ∈,因为[]0,2πθ∈,所以0θ=或2π;②2232πk θθ=-+,2k Z ∈,所以22π5k θ=,2k Z ∈,因为[]0,2πθ∈,所以0θ=,2π5,4π5,6π5,8π5或2π;当cos2cos3θθ=-时,①()32321πk θθ=++,3k Z ∈,即()321πk θ=-+,3k Z ∈,因为[]0,2πθ∈,所以πθ=,②()42321πk θθ=-++,4k Z ∈,即()421π5k θ+=,4k Z ∈,因为[]0,2πθ∈,所以π5θ=,3π5,π,7π5,9π5,综上:π5mθ=,0,1,10m =,一共有11个. 故选:C二、多选题9.(2022·广东东莞·高三期末)已知复数123,,z z z ,1z 是1z 的共轭复数,则下列结论正确的是( ) A .若120z z +=,则12=z zB .若21z z =,则12=z zC .若312z z z =,则312z z z =D .若1211z z +=+,则12=z z【答案】ABC 【分析】若i z a b =+ ,则i z a b =-,22z z a b ==+,利用复数代数运算,可以判断AB ;利用复数的三角运算,可以判断C ;利用数形结合,可以判断D. 【详解】 对于A :若120z z += ,则12z z =-,故122z z z =-=, 所以A 正确; 对于B :若21z z =,则12=z z , 所以B 正确; 对于C :设11(cos i sin )z r αα=+ ,22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ,故312z z z = , 所以C 正确; 对于D :如下图所示,若11OA z =+ ,21OB z =+,则1OC z =,2OD z =,故12z z ≠ , 所以D 错误.故选:ABC10.(2022·江西·高三阶段练习(理))已知复数z 满足()12i 5z -=(其中i 为虚数单位),则下列选项正确的是( ) A .5z =B .复数z 的共轭复数为12i z =+C .复数z 在复平面表示的点位于第一象限D .复数z 的虚部为2 【答案】CD 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数z ,然后逐一核对四个选项即可得出答案. 【详解】解:因为()12i 5z -=,所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+, 所以145z +A 错误; 复数z 的共轭复数为12i z =-,故B 错误;复数z 在复平面表示的点的坐标为()1,2,位于第一象限,故C 正确; 复数z 的虚部为2,故D 正确. 故选:CD.11.(2021·福建福州·高三期中)复数132z =-,其中i 为虚数单位,则下列结论正确的有( )A .1z z ⋅=B .210z z ++=C .21z z= D .2021132z = 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念,复数的运算法则,逐一求解验证即可. 【详解】解:因为132z =-,所以132z =-,对于A : 2131313i 12244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故A 正确; 对于B :22201131313133i 222414z z ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪ ⎭⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎝+=++⎝⎭⎭ ⎪ ⎪,故B 正确; 对于C :2131132213213i i44z -===---+,2221313313i 2442z ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝=⎭, 所以21z z=,即选项C 正确;对于D :132z =-+,2132z -=,2231313131222z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-⋅-+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎭⎝,4z z =,所以20212132z z -==,故D 错误.故选:ABC .12.(2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习)欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天骄,依据欧拉公式,下列选项正确的是( ) A .复数2i e 对应的点位于第二象限 B .i 2e π为纯虚数C i 3ix +12D .i 6e π的共轭复数为132-【答案】ABC【分析】利用欧拉公式把选项A ,B ,D 化成复数的代数形式即可计算判断;利用欧拉公式把选项C 的分子化成复数的代数形式,再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A ,2i cos 2isin 2e =+,因22ππ<<,即cos20,sin20<>,复数2i e 对应的点位于第二象限,A 正确;对于B ,i2cos isini 22e πππ=+=,i 2e π为纯虚数,B 正确;对于C i (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos 3i 3i(3i)(3i)x x x x x x x+-+-+++-,于是得i 223cos sin 3sin cos 1()()4423ix x x x x +-++,C 正确; 对于D ,6i31cos isini 662e πππ=+=31i 2,D 不正确. 故选:ABC三、填空题13.(2021·天津市第四中学高三阶段练习)已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α,β,若3αβ-=,则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数,设出α的代数形式,代入计算作答. 【详解】因α,β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根,设i(,R)a b a b α=+∈,则i a b β=-,由3αβ-=得:|i (i)||2|3a b a b b +--==,解得3||2b =, 又2(i)(i)0a b a b m ++++=,即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=,因R m ∈,于是得:22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩,解得12a =-,52m =,所以m 的值是52.故答案为:5214.(2021·上海长宁·一模)在复平面xoy 内,复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、,对于下列四个式子:(1)2211 z z =;(2)1212z z z z ⋅=⋅;(3)2211OZ OZ =;(4)1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅,其中恒成立的是____________(写出所有恒成立式子的序号) 【答案】(2)(3) 【分析】结合复数运算对四个式子进行分析,由此确定正确答案. 【详解】221111i,2i,2z z z =+==,所以(1)错误.()()121,1,1,1Z Z -,12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=,所以(4)错误.设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+,()()()2212i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⋅=-++=-++22222222a c b d a d b c =+++22222222222212z z a b c d a c b d a d b c ⋅+++++2)正确.222211OZ OZ a b ==+,所以(3)正确. 故答案为:(2)(3)15.(2021·浙江·模拟预测)已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关,对于任意向量x →=(a ,b ),对应复数z =a +ib ,向量x 逆时针旋转一个角度θ,得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++,于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式,已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1,2),B (3,4),则C 的坐标是___________.(任写一个即可) 【答案】(23,33)-(答案不唯一) 【分析】首先设出C 的坐标,然后分别写出AB →,AC →,利用向量的旋转公式即可求解. 【详解】不妨设C 的坐标为00(,)x y ,且AC →是AB →逆时针旋转60得到, 因为A (1,2),B (3,4),所以(2,2)AB →=,00(1,2)AC x y →=--, 从而AB →对应的复数为22i z =+,AC →对应的复数为'(22i)(cos 60isin 60)13(13)i z =++=-,所以00(1,2)(13,13)AC x y →=--=+,解得023x =033y = 故C 的坐标是(23,33). 故答案为:(23,33).16.(2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中)若复数z 满足32i 1z -+=,则62i z --的最小值为__________. 【答案】4 【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心,半径为1的圆,然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=,则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心,半径为1的圆, 又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离, 所以62i z --的最小值为()()22163221514PC -=-++=-=.故答案为:4.四、解答题17.(2021·贵州遵义·高三阶段练习)已知复数i()z b b =∈R ,31iz +-是实数. (1)求复数z ;(2)若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限,求实数m 的取值范围. 【答案】 (1)3i z =-(2)(0,9)【分析】 (1)先将i z b =代入31iz +-化简,再由其虚部为零可求出b 的值,从而可求出复数z , (2)先对2()8m z m --化简,再由题意可得2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩从而可求得结果 (1) 因为i z b =,所以33i (3i)(1i)3(3)i 1i 1i 22z b b b b ++++-++===--, 因为31iz +-是实数,所以30b +=,解得3b =-. 故3i z =-.(2)因为3i z =-,所以()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+.因为复数2()8m z m --所表示的点在第二象限,所以2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩解得09m <<,即实数m 的取值范围是(0,9).18.(2021·全国·高一课时练习)求复数1i +,1i --2,2i -的辐角主值.【答案】π4,5π4,0,3π2 【分析】计算12r =11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩结合102πθ≤<,得到辐角主值,同理可得其他答案. 【详解】设这4个复数的模分别为1r ,2r ,3r ,4r ,辐角主值分别为1θ,2θ,3θ,4θ.因为221112r =+11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩,又102πθ≤<,故1π4θ=. 同理,可以求得:5π5π1i 2cos isin 44⎫--=+⎪⎭, )22cos0isin 0+,3π3π2i 2cos isin 22⎫-=+⎪⎭, 故4个复数的辐角主值分别为π4,5π4,0,3π2. 19.(2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中(理))已知复数11i z =+,23i z =-.(1)求21z z ; (2)若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数,求||z .【答案】(1)12i -(2)5【分析】(1)根据复数代数形式的运算法则即可求出;(2)根据纯虚数的概念即可求出参数a ,再根据复数模的计算公式即可求出.(1)213i (3i)(1i)33i i 112i 1i (1i)(1i)2z z ------====-++-. (2)因为2(3)3i z z a +=++为纯虚数,∴30a +=,∴3a =-.即34i z =-+,22||(3)45z =-+=.20.(2021·全国·高一课时练习)在复数范围内分解因式:(1)28x +;(2)223x x -+;(3)2321x x -+.【答案】(1)28(22i)(22i)x x x +=+-(2)223(12i)(12i)x x x x -+=--- (3)212123213((x x x x -+-+=) 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. (1)2228=8i (2i)(2i)x x x x +-=+- (2)()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-- (3)∵ 22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--( ∴ 212123213[()33x x x x -+=-- ∴ 212123213((x x x x -+-+=) 21.(2021·湖北·高一期末)已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根,其中i 为虚数单位. (1)求,p q 的值;(2)记复数i z p q =+,求复数1iz +的模. 【答案】(1)2,5p q =-=(258【分析】(1)由题知()()212i 12i 0p q ++++=,即()()342i 0p q p +-++=,再根据复数相等求解即可; (2)由(1)得25i z =-+,故37i 1i 2z +=+,再求模即可. (1)解:知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根, 所以()()212i 12i 0p q ++++=,即()()342i 0p q p +-++=, 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩,解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=(2)解:由(1)得复数25i z =-+, 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +9495844+= 22.(2021·全国·高一课时练习)已知复数()31i 1i z =-. (1)求1arg z 及1z ;(2)当复数z 满足1z =,求1z z -的最大值.【答案】(1)17arg 4z π=,122z = (2)221【分析】(1)化简复数为代数形式后,再化为三角形式,即可求解. (2)z 设为三角形式,和复数1z 的代数形式,共同代入1z z -,化简后可求最大值. (1)解:()31i 1i 22i z =-=-,将1z 化为三角形式,得1772cos isin 44z ππ⎫⎪=⎭+, ∴17arg 4z π=,122z = (2) 解:由于复数z 满足1z =,设cos isin z αα=+,则()()1cos 2sin 2i z z αα-=-++, ()()2221cos 2sin 2924z z πααα⎛⎫-=-++=+- ⎪⎝⎭,当sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,21z z -取得最大值942+ 所以1z z -的最大值为221.。

高考数学复数习题及答案

高考数学复数习题及答案

高考复习试卷含答案一、选择题(每小题只有一个选项是正确的,每小题5分,共100分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

)1.(2017·山东)复数3-i1-i等于 ( )A .1+2iB .1-2iC .2+iD .2-i 答案:C解析:3-i 1-i =(3-i)(1+i)(1-i)(1+i)=4+2i 2=2+i.故选C.2.(2017·宁夏、海南)复数3+2i 2-3i -3-2i2+3i=( )A .0B .2C .-2iD .2i答案:D解析:3+2i 2-3i -3-2i 2+3i =(3+2i)(2+3i)(2-3i)(2+3i)-(3-2i)(2-3i)(2-3i)(2+3i)=13i 13--13i 13=i +i =2i.3.(2017·陕西)已知z 是纯虚数,z +21-i是实数,那么z 等于( )A .2iB .iC .-iD .-2i 答案:D解析:由题意得z =a i.(a ∈R 且a ≠0). ∴z +21-i =(2+a i)(1+i)(1-i)(1+i)=2-a +(a +2)i2,则a +2=0,∴a =-2.有z =-2i ,故选D.4.(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )=x 3-x 2+x -1,则f (i)= ( )A .2iB .0C .-2iD .-2 答案:B解析:依题意,f (i)=i 3-i 2+i -1=-i +1+i -1=0,选择B.5.(2017·北京朝阳4月)复数z =2-i1+i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 答案:D解析:z =2-i 1+i =12-32i ,它对应的点在第四象限,故选D.6.(2017·北京东城3月)若将复数2+i i 表示为a +b i(a ,b ∈R ,i 是虚数单位)的形式,则ba的值为( )A .-2B .-12C .2 D.12答案:A解析:2+i i =1-2i ,把它表示为a +b i(a ,b ∈R ,i 是虚数单位)的形式,则b a的值为-2,故选A.7.(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位,复数z =tan45°-i·sin60°,则z 2等于 ( ) A.74-3i B.14-3i C.74+3i D.14+3i 答案:B解析:z =tan45°-i·sin60°=1-32i ,z 2=14-3i ,故选B.8.(2017·黄冈中学一模)过原点和3-i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B .-π6C.23πD.56π 答案:D解析:3-i 对应的点为(3,-1),所求直线的斜率为-33,则倾斜角为56π,故选D. 9.设a 、b 、c 、d ∈R ,若a +b ic +d i为实数,则( )A .bc +ad ≠0B .bc -ad ≠0C .bc -ad =0D .bc +ad =0 答案:C解析:因为a +b i c +d i =(a +b i)(c -d i)c 2+d 2=ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i ,所以由题意有bc -adc 2+d2=0⇒bc -ad =0.10.已知复数z =1-2i ,那么1z = ( )A.55+255i B.55-255i C.15+25iD.15-25i 答案:D 解析:由z =1-2i 知z =1+2i ,于是1z =11+2i =1-2i 1+4=15-25i.故选D.11.已知复数z 1=3-b i ,z 2=1-2i ,若z 1z 2是实数,则实数b 的值为( )A .6B .-6C .0 D.16答案:A解析:z 1z 2=3-b i 1-2i =(3-b i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=(3+2b )+(6-b )i 5是实数,则实数b 的值为6,故选A.12.(2017·广东)设z 是复数,α(z )表示满足z n =1的最小正整数n ,则对虚数单位i ,α(i )=( ) A .2 B .4 C .6 D .8 答案:B解析:α(i )表示i n =1的最小正整数n ,因i 4k =1(k ∈N *),显然n =4,即α(i )=4.故选B. 13.若z =12+32i ,且(x -z )4=a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4,则a 2等于( )A .-12+32i B .-3+33iC .6+33iD .-3-33i 答案:B解析:∵T r +1=C r 4x4-r (-z )r , 由4-r =2得r =2,∴a 2=C 24(-z )2=6×(-12-32i )2=-3+33i .故选B.14.若△ABC 是锐角三角形,则复数z =(cos B -sin A )+i (sin B -cos A )对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 答案:B解析:∵△ABC 为锐角三角形, ∴A +B >90°,B >90°-A , ∴cos B <sin A ,sin B >cos A , ∴cos B -sin A <0,sin B -cos A >0, ∴z 对应的点在第二象限.15.如果复数2-bi1+2i(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b 等于( )A. 2B.23 C .-23D .2答案:C解析:2-bi 1+2i =(2-bi )(1-2i )5=(2-2b )5+(-4-b )5i由2-2b 5=--4-b 5得b =-23.16.设函数f (x )=-x 5+5x 4-10x 3+10x 2-5x +1,则f (12+32i )的值为( )A .-12+32i B.32-12iC.12+32i D .-32+12i 答案:C解析:∵f (x )=-(x -1)5∴f (12+32i )=-(12+32i -1)5=-ω5(其中ω=-12+32i )=-ω=-(-12-32i )=12+32i .17.若i 是虚数单位,则满足(p +qi )2=q +pi 的实数p ,q 一共有 ( )A .1对B .2对C .3对D .4对 答案:D解析:由(p +qi )2=q +pi 得(p 2-q 2)+2pqi =q +pi ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ p 2-q 2=q ,2pq =p .解得⎩⎪⎨⎪⎧ p =0,q =0,或⎩⎪⎨⎪⎧p =0,q =-1,或⎩⎨⎧p =32,q =12,或⎩⎨⎧p =-32,q =12,因此满足条件的实数p ,q 一共有4对.总结评述:本题主要考查复数的基本运算,解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决,解答中要特别注意不要出现漏解现象,如由2pq =p 应得到p =0或q =12.18.已知(2x 2-x p )6的展开式中,不含x 的项是2027,那么正数p 的值是 ( )A .1B .2C .3D .4 答案:C解析:由题意得:C 46·1p 4·22=2027,求得p =3.故选C. 总结评述:本题考查二项式定理的展开式,注意搭配展开式中不含x 的项,即找常数项.19.复数z =-lg(x 2+2)-(2x +2-x -1)i (x ∈R )在复平面内对应的点位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 答案:C解析:本题考查复数与复平面上的点之间的关系,复数与复平面上的点是一一对应的关系,即z =a +bi ,与复平面上的点Z (a ,b )对应,由z =-lg(x 2+2)-(2x +2-x -1)i (x ∈R )知:a =-lg(x 2+2)<0,又2x +2-x -1≥22x ·2-x -1=1>0;∴-(2x +2-x -1)<0,即b <0.∴(a ,b )应为第三象限的点,故选C.20.设复数z +i (z ∈C )在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积,若复数ω在映射f 下的象为-1+2i ,则相应的ω为 ( )A .2B .2-2iC .-2+iD .2+i 答案:A解析:令ω=a +bi ,a ,b ∈R ,则ω=[a +(b -1)i ]+i , ∴映射f 下ω的象为[a -(b -1)i ]·i =(b -1)+ai =-1+2i .∴⎩⎪⎨⎪⎧ b -1=-1,a =2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b =0,a =2.∴ω=2. 第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,请将答案填在题中的横线上。

复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案

复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案

专题7. 7 复数的运算大题专项训练(30道)【人教A版2019必修第二册】姓名:___________班级:___________考号:___________ 1.(2023·高一课时练习)已知复数z=−21+√3i,求1+z+z2+⋯+z2022的值.2.(2023·高一课时练习)已知非零复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1−z2|,求证:(z1z2)2一定是负数.3.(2023·高三课时练习)已知z是复数,z+2i、z2−i均为实数(i为虚数单位),且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.4.(2022春·陕西榆林·高二校考期中)已知复数z=b i(b∈R,i是虚数单位),z+31−i是实数.(1)求b的值;(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限,求实数m的取值范围.5.(2022春·广西桂林·高二校考期中)已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i,其中m∈R.(1)若z为实数,求m的值;(2)若z为纯虚数,求z1+i的值.6.(2022·高一单元测试)设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数,求z1⋅z2;(2)若z1z2是纯虚数,求z1的共轭复数.7.(2022春·重庆酉阳·高一阶段练习)已知复数z=1+b i(i为虚数单位,b>0,且z2为纯虚数.(1)求复数z;(2)若复数ω=z1−i,求ω的模.8.(2023·高一课时练习)设复数ω=−12+√32i,求证:(1)ω,ω2,1都是1的立方根;(2)1+ω+ω2=0.9.(2022春·重庆沙坪坝·高一期中)已知a,b R,i是虚数单位,若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10.(2023·高一单元测试)已知f(z)=z−1,且f(z1−z2)=4+4i,若z1=2−2i.(1)求复数z1的三角形式与arg z1;(2)求|z1−z2z1+z2|.11.(2023·高一课时练习)已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x).(1)若f(x)=8,且x>0,求复数i z的虚部;(2)当f(x)取得最小值时,求复数z的实部.1+2i12.(2022春·广西玉林·高一阶段练习)已知复数z=(1−i)2+3(1+i).2−i(1)求z的共轭复数;(2)若az+b=1−i,求实数a,b的值.13.(2023·高一课时练习)复数z=(1+i)2+2i,其中i为虚数单位.1−i(1)求z及|z|;(2)若z2+az̅+b=2+3i,求实数a,b的值.14.(2022秋·山东日照·高二统考期中)已知z是复数,z+2i(i为虚数单位)为实数,且z+z̅=8.(1)求复数z;(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.15.(2022·湖南·模拟预测)国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议,第十四届大会将在上海召开,其会标如图,包含若许多数学元素,主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出其二进制码(0)11111100100,换算成十进制的数是n,求(1+i)2n及(1+i√2)n的值.16.已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4,求ω的三角形式;(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i,求实数a,b的值.17.(2022春·河南郑州·高二期中)已知复数z=1+m i(i是虚数单位,m∈R),且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i,求|z1|;(2)设复数z2=a-i2022z,且复数z2所对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.18.(2022春·浙江·高一期中)已知复数z使得z+2i∈R,z2−i∈R,其中i是虚数单位.(1)求复数z的模;(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.19.(2022秋·广东中山·高二阶段练习)已知z1=1+2i,z2=3−4i,i是虚数单位.(1)求z1⋅z2;(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3,O为坐标原点,若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形,求复数z3.20.(2022秋·浙江台州·高二开学考试)复数z1=a−i,z2=1−2 i,其中i是虚数单位,为纯虚数.且z1z2(1)求复数z1;(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围.21.(2022春·江苏盐城·高一期中)若复数z1=1+a i(a∈R),复数z2=3−4i.(1)若z1+z2∈R,求实数a的值;(2)若a=2,求z1.z222.(2022春·福建福州·高一期末)已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,其中i为虚数单位.(1)求p,q的值;(2)记复数z=p+q i,求复数z的模.1+i23.(2022春·北京昌平·高一期中)已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2;(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R),求mn.24.(2022秋·山东临沂·高二开学考试)已知复数z=3−i2+i(i是虚数单位).(1)求复数z的共轭复数和模;(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a,b的值.25.(2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试)已知复数z1=3+4i,z2=−2i,i为虚数单位.(1)若z=z1z2,求z的共轭复数;(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.26.(2022·全国·高一专题练习)已知复数z满足z2−2z+4=0,虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|;(2)若z1+z1=z̅z +zz̅,求a的值.27.(2022春·广西百色·高二期末)已知复数z1=(2+i)2,z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|;(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28.(2022春·上海长宁·高一阶段练习)已知复数z满足|z|=√2,z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)若Rez>0,设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C,求△ABC的面积.29.(2023·高一课时练习)设i 为虚数单位,n 为正整数,θ∈[0,2π).(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ,(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ,(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ,…猜测:(cosθ+i sinθ)n (直接写出结果); (2)若复数z =√3−i ,利用(1)的结论计算z 10.30.(2022春·上海普陀·高一阶段练习)已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4),且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22,类比到对应的向量,请写出类似的结论,并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ,求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练(30道)【人教A版2019必修第二册】姓名:___________班级:___________考号:___________9.(2022春·重庆沙坪坝·高一期中)已知a,b R,i是虚数单位,若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8,所以x 2+2x =8, 又x >0,所以x =2,即z =6−2i , 则iz =i(6−2i)=2+6i , 所以复数i z 的虚部为6.(2)因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1,所以当x =−1时,f(x)取得最小值, 此时,z =−3−2i , 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ,所以z 1+2i 的实部为−75.12.(2022春·广西玉林·高一阶段练习)已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i.(1)求z 的共轭复数;(2)若az +b =1−i ,求实数a ,b 的值.【解题思路】(1)根据复数乘方、除法的运算法则,结合共轭复数的定义进行求解即可; (2)根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】(1)z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ,所以z 的共轭复数为1−i ;(2)az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13.(2023·高一课时练习)复数z =(1+i )2+2i1−i ,其中i 为虚数单位. (1)求z 及|z |;(2)若z 2+az̅+b =2+3i ,求实数a ,b 的值.【解题思路】(1)首先根据复数的运算求解出复数z ,进而根据复数的模长公式求解|z |; (2)首先将z =−1+3i 代入等式,然后根据等式关系构造方程组,解方程组即可得到实数a ,b 的值.【解答过程】(1)∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i , ∴|z |=√(−1)2+32=√10.(2)由(1)可知z =−1+3i ,z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ,得:(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i , 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ,∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.,解得{a =−3,b =7.14.(2022秋·山东日照·高二统考期中)已知z 是复数,z +2i (i 为虚数单位)为实数,且z +z̅=8. (1)求复数z ;(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限,求实数a 的取值范围.【解题思路】(1)设z =c +d i (c ,d ∈R ),利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出;(2)根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】(1)根据题意,设复数z =c +d i (c ,d ∈R ), 则z +2i =c +(d +2)i 为实数,即d +2=0,解得d =−2, 所以z =c −2i ,z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8,∴2c =8,得c =4, 所以复数z =4−2i.(2)由(1)知,(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限,所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得:{−2<a <6a <2 ,即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15.(2022·湖南·模拟预测)国际数学教育大会(ICME )是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议,第十四届大会将在上海召开,其会标如图,包含若许多数学元素,主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出其二进制码(0)11111100100,换算成十进制的数是n ,求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值.【解题思路】利用进位制求出n 的值,然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020. ∴n =2020,∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020, (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1.16.已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4,求ω的三角形式; (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ,求实数a ,b 的值.【解题思路】(1)求出z =1+i 的共轭复数,代入ω=z 2+3z̅−4化简,再求ω,最后再整理成ω的三角形式;(2)根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ,得到(a +b )+(a +2)i =1+i ,列方程组即可求解.(1)求复数z的模;(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.【解题思路】(1)设复数z=a+b i,(a,b∈R),由复数的运算性质和复数为实数的条件,虚部为0,解方程即可得到复数z,从而求出其模;(2)计算复数(z+m i)2,由复数对应的点在第一象限,可得m的不等式组,解不等式即可得到m的范围.【解答过程】(1)解:设复数z=a+b i,(a,b∈R),根据题意,z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i,所以b+2=0,即b=−2;又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i,所以2b+a=0,即a=−2b=4,所以z=4−2i,则|z|=√42+(−2)2=2√5;(2)解:由(1)可知z=4−2i,所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

一、复数选择题1.若复数z 满足()13i z i +=+(其中i 是虚数单位),复数z 的共轭复数为z ,则( )A .z 的实部是1B .z 的虚部是1C .z =D .复数z 在复平面内对应的点在第四象限2.已知i 是虚数单位,复数2z i =-,则()12z i ⋅+的模长为( )A .6BC .5D 3.已知,a b ∈R ,若2()2a b a b i -+->(i 为虚数单位),则a 的取值范围是( ) A .2a >或1a <-B .1a >或2a <-C .12a -<<D .21a -<< 4.在复平面内复数Z=i (1﹣2i )对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 5.已知i 是虚数单位,则复数41i i +在复平面内对应的点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 6.设复数2i 1i z =+,则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限7.已知复数202111i z i-=+,则z 的虚部是( ) A .1-B .i -C .1D .i 8.若复数2i 1i a -+(a ∈R )为纯虚数,则1i a -=( )A B C .3 D .59.复数112z i =+,21z i =+(i 为虚数单位),则12z z ⋅虚部等于( ). A .1-B .3C .3iD .i - 10.若()()324z ii =+-,则在复平面内,复数z 所对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 11.设复数z 满足41i z i =+,则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限12.( )A .i -B .iC .iD .i -13.已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ,i 为虚数单位),则实数+a b 的值为( )A .3B .5C .6D .814.在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(1,1),则z i =( ) A .1i -B .1i --C .1i -+D .1i +15.题目文件丢失!二、多选题16.已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则( )A .z =-1+2iB .|z |=5C .12z i =+D .5z z ⋅=17.已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位),则下列说法错误的是( )A .z 的实部为2B .z 的虚部为1C .z i =D .||z =18.已知复数(),z x yi x y R =+∈,则( )A .20zB .z 的虚部是yiC .若12z i =+,则1x =,2y =D .z =19.若复数z 满足()234z i i +=+(i 为虚数单位),则下列结论正确的有( )A .z 的虚部为3B .z =C .z 的共轭复数为23i +D .z 是第三象限的点 20.下面是关于复数21i z =-+(i 为虚数单位)的命题,其中真命题为( ) A .||2z = B .22z i = C .z 的共轭复数为1i + D .z 的虚部为1-21.已知复数z 满足2724z i =--,在复平面内,复数z 对应的点可能在( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限 22.下列说法正确的是( )A .若2z =,则4z z ⋅=B .若复数1z ,2z 满足1212z z z z +=-,则120z z =C .若复数z 的平方是纯虚数,则复数z 的实部和虛部相等D .“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 23.已知i 为虚数单位,复数322i z i +=-,则以下真命题的是( ) A .z 的共轭复数为4755i - B .z 的虚部为75i C .3z =D .z 在复平面内对应的点在第一象限24.下列结论正确的是( )A .已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+,则该方程相应于点(2,29)的残差为1.1B .在两个变量y 与x 的回归模型中,用相关指数2R 刻画回归的效果,2R 的值越大,模型的拟合效果越好C .若复数1z i =+,则2z =D .若命题p :0x R ∃∈,20010x x -+<,则p ⌝:x R ∀∈,210x x -+≥25.已知复数12ω=-(i 是虚数单位),ω是ω的共轭复数,则下列的结论正确的是( )A .2ωω=B .31ω=-C .210ωω++=D .ωω>26.已知i 为虚数单位,则下列选项中正确的是( )A .复数34z i =+的模5z =B .若复数34z i =+,则z (即复数z 的共轭复数)在复平面内对应的点在第四象限C .若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数,则1m =或4m =-D .对任意的复数z ,都有20z27.任何一个复数z a bi =+(其中a 、b R ∈,i 为虚数单位)都可以表示成:()cos sin z r i θθ=+的形式,通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是( )A .22z z =B .当1r =,3πθ=时,31z =C .当1r =,3πθ=时,12z =D .当1r =,4πθ=时,若n 为偶数,则复数n z 为纯虚数28.已知复数z 满足(1﹣i )z =2i ,则下列关于复数z 的结论正确的是( )A .||z =B .复数z 的共轭复数为z =﹣1﹣iC .复平面内表示复数z 的点位于第二象限D .复数z 是方程x 2+2x +2=0的一个根29.若复数21iz =+,其中i 为虚数单位,则下列结论正确的是( )A .z 的虚部为1-B .||z =C .2z 为纯虚数D .z 的共轭复数为1i --30.已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A .z 不可能为纯虚数B .若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C .若||z z =,则z 是实数D .||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、复数选择题1.C【分析】利用复数的除法运算求出,即可判断各选项.【详解】,,则的实部为2,故A 错误;的虚部是,故B 错误;,故C 正;对应的点为在第一象限,故D 错误.故选:C.解析:C【分析】利用复数的除法运算求出z ,即可判断各选项.【详解】()13i z i +=+,()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-, 则z 的实部为2,故A 错误;z 的虚部是1-,故B 错误;z ==,故C 正; 2z i =+对应的点为()2,1在第一象限,故D 错误.故选:C.2.C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的公式得答案.【详解】,,所以,,故选:C.解析:C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的公式得答案.【详解】2z i =-,(12)(2)(12)43z i i i i ∴⋅+=-+=+,所以,5z =,故选:C.3.A【分析】根据虚数不能比较大小可得,再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为,,所以,,所以或.故选:A【点睛】关键点点睛:根据虚数不能比较大小得是解题关键,属于基础题.解析:A【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =,再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为,a b ∈R ,2()2a b a b i -+->,所以a b =,220a a -->,所以2a >或1a <-.故选:A【点睛】关键点点睛:根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键,属于基础题. 4.A【解析】试题分析:根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数Z 化为a=bi (a ,b ∈R )的形式,分析实部和虚部的符号,即可得到答案.解:∵复数Z=i (1﹣2i )=2+i∵复数Z 的实部2>0,虚解析:A【解析】试题分析:根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数Z 化为a=bi (a ,b ∈R )的形式,分析实部和虚部的符号,即可得到答案.解:∵复数Z=i (1﹣2i )=2+i∵复数Z 的实部2>0,虚部1>0∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评:本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义,其中根据复数乘法的运算法则,将复数Z 化为a=bi (a ,b ∈R )的形式,是解答本题的关键.5.A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式,得到其对应坐标即知所在象限.【详解】,所以复数对应的坐标为在第一象限,故选:A解析:A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式,得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++,所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限, 故选:A6.D【分析】先求出,再求出,直接得复数在复平面内对应的点【详解】因为,所以,在复平面内对应点,位于第四象限.故选:D解析:D【分析】先求出z ,再求出z ,直接得复数z 在复平面内对应的点【详解】 因为211i z i i ==++,所以1z i -=-,z 在复平面内对应点()1,1-,位于第四象限. 故选:D7.C【分析】求出,即可得出,求出虚部.【详解】,,其虚部是1.故选:C.解析:C【分析】求出z,即可得出z,求出虚部.【详解】()()()220211i1ii1i1i1iz--===-++-,iz∴=,其虚部是1.故选:C.8.B【分析】把给出的复数化简,然后由实部等于0,虚部不等于0求解a的值,最后代入模的公式求模.【详解】由复数()为纯虚数,则,则所以故选:B解析:B【分析】把给出的复数化简,然后由实部等于0,虚部不等于0求解a的值,最后代入模的公式求模.【详解】由()()()()()()21i2221112a i a a ia ii i i----+-==++-复数2i1ia-+(a∈R)为纯虚数,则2222aa-⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩,则2a=所以112ai i-=-=故选:B9.B【分析】化简,利用定义可得的虚部.【详解】则的虚部等于故选:B解析:B【分析】化简12z z ⋅,利用定义可得12z z ⋅的虚部.【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3故选:B10.D【分析】根据复数的运算,先化简复数,再由复数的几何意义确定对应点的坐标,进而可得出结果.【详解】,则复数对应的点的坐标为,位于第四象限.故选:D .解析:D【分析】根据复数的运算,先化简复数,再由复数的几何意义确定对应点的坐标,进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-,则复数z 对应的点的坐标为()7,6-,位于第四象限.故选:D . 11.D【分析】先对化简,从而可求出共轭复数,再利用复数的几何意义可得答案【详解】解:因为,所以,所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限,故选:D解析:D【分析】 先对41i z i=+化简,从而可求出共轭复数z ,再利用复数的几何意义可得答案 【详解】解:因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-, 所以22z i =-, 所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限,故选:D12.B【分析】首先,再利用复数的除法运算,计算结果.【详解】复数.故选:B解析:B【分析】首先3i i =-,再利用复数的除法运算,计算结果.【详解】3133i i i +====. 故选:B 13.D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】,故 则故选:D解析:D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ,故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+= 故选:D14.A【分析】根据复数对应的点的坐标是,得到,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内,复数对应的点的坐标是,所以,所以,故选:A解析:A【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1),得到1z i =+,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(1,1),所以1z i =+, 所以11i i i z i+==-, 故选:A 15.无二、多选题16.AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量,得到复数,再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量,所以,,|z|=,,故选:AD解析:AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-,得到复数12z i =-+,再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-,所以12z i =-+,12z i =--,|z 5z z ⋅=,故选:AD17.AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数,所以z 的虚部为1,,故AC 错误,BD 正确.故选:AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---,所以z 的虚部为1,||z =故AC 错误,BD 正确.故选:AC18.CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误;由复数的概念可判断B 、C 选项的正误;由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,取,则,A 选项错误;对于B 选项,复数的虚部为,B 选项错误;解析:CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误;由复数的概念可判断B 、C 选项的正误;由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,取z i ,则210z =-<,A 选项错误;对于B 选项,复数z 的虚部为y ,B 选项错误;对于C 选项,若12z i =+,则1x =,2y =,C 选项正确;对于D 选项,z =D 选项正确.故选:CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断,涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模,属于基础题. 19.BC【分析】利用复数的除法求出复数,利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】,,所以,复数的虚部为,,共轭复数为,复数在复平面对应的点在第四象限. 故选:BD.【点睛】本题考【分析】利用复数的除法求出复数z ,利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+,34232i z i i+∴=-=-+,所以,复数z 的虚部为3-,z =共轭复数为23i +,复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选:BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义,考查计算能力,属于基础题.20.BD【分析】把分子分母同时乘以,整理为复数的一般形式,由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解:,,A 错误;,B 正确;z 的共轭复数为,C 错误;z 的虚部为,D 正确.故选:BD.【点解析:BD【分析】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --,整理为复数的一般形式,由复数的基本知识进行判断即可.【详解】 解:22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--,||z ∴=A 错误;22i z =,B 正确;z 的共轭复数为1i -+,C 错误;z 的虚部为1-,D 正确.故选:BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念,属于基础题.【分析】先设复数,根据题中条件,由复数的乘法运算,以及复数相等的充要条件求出,即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数,则,所以,则,解得或,因此或,所以对应的点为或,因此复解析:BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈,根据题中条件,由复数的乘法运算,以及复数相等的充要条件求出z ,即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈,则2222724z a abi b i =+-=--,所以2222724z a abi b i =+-=--,则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩,解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩, 因此34z i =-或34z i =-+,所以对应的点为()3,4-或()3,4-,因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选:BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限,熟记复数的运算法则,以及复数相等的条件即可,属于基础题型.22.AD【分析】由求得判断A ;设出,,证明在满足时,不一定有判断B ;举例说明C 错误;由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若,则,故A 正确;设,由,可得则,而不一定为0,故B 错误;当时解析:AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ;设出1z ,2z ,证明在满足1212z z z z +=-时,不一定有120z z =判断B ;举例说明C 错误;由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =,则24z z z ⋅==,故A 正确;设()11111,z a bi a b R =+∈,()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-,可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=,而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0,故B 错误;当1z i =-时22z i =-为纯虚数,其实部和虚部不相等,故C 错误;若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数,则210a -≠,即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件,故D 正确; 故选:AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识,考查了学生对基础知识的掌握情况,属于中档题.23.AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出,再逐项判断后可得正确的选项.【详解】,故,故A 正确.的虚部为,故B 错,,故C 错,在复平面内对应的点为,故D 正确.故选:AD.【点睛】本题考解析:AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ,再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-,故4755i z =-,故A 正确.z 的虚部为75,故B 错,3z ==≠,故C 错, z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,故D 正确. 故选:AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义,注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ,不是bi ,另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.24.ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ,根据相关指数的性质判断B ,根据复数的模长公式判断C ,根据否定的定义判断D.【详解】当时,,则该方程相应于点(2,29)的残差为,则A 正确;在两个变量解析:ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ,根据相关指数的性质判断B ,根据复数的模长公式判断C ,根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时,ˆ9.429.127.9y=⨯+=,则该方程相应于点(2,29)的残差为2927.9 1.1-=,则A 正确;在两个变量y 与x 的回归模型中,2R 的值越大,模型的拟合效果越好,则B 正确;1z i =-,z ==C 错误;由否定的定义可知,D 正确;故选:ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算,求复数的模,特称命题的否定,属于中档题. 25.AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解:∵所以,∴,故A 正确,,故B 错误,,故C 正确,虚数不能比较大小,故D 错误,故选:AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析:AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解:∵12ω=-所以122ω=--,∴213142422ωω=--=--=,故A 正确,32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故B 错误,2111102222ωω++=---++=,故C 正确, 虚数不能比较大小,故D 错误,故选:AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算,结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键.属于中档题.26.AB【分析】求解复数的模判断;由共轭复数的概念判断;由实部为0且虚部不为0求得值判断;举例说明错误.【详解】解:对于,复数的模,故正确;对于,若复数,则,在复平面内对应的点的坐标为,在第四解析:AB【分析】求解复数的模判断A ;由共轭复数的概念判断B ;由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ;举例说明D 错误.【详解】解:对于A ,复数34z i =+的模||5z ==,故A 正确;对于B ,若复数34z i =+,则34z i =-,在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-,在第四象限,故B 正确;对于C ,若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数,则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩,解得1m =,故C 错误; 对于D ,当z i 时,210z =-<,故D 错误.故选:AB .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,属于基础题. 27.AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误;利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误;计算出复数,可判断C 选项的正误;计算出,可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,,则,可得解析:AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误;利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误;计算出复数z ,可判断C 选项的正误;计算出4z ,可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,()cos sin z r i θθ=+,则()22cos2sin 2z r i θθ=+,可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=,()222cos sin z r i r θθ=+=,A 选项正确; 对于B 选项,当1r =,3πθ=时,()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-,B 选项错误;对于C 选项,当1r =,3πθ=时,1cos sin 332z i ππ=+=+,则12z =,C 选项正确;对于D 选项,()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+, 取4n =,则n 为偶数,则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数,D 选项错误.故选:AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算,考查了复数的模长、共轭复数的运算,考查计算能力,属于中等题.28.ABCD【分析】利用复数的除法运算求出,再根据复数的模长公式求出,可知正确;根据共轭复数的概念求出,可知正确;根据复数的几何意义可知正确;将代入方程成立,可知正确.【详解】因为(1﹣i )z =解析:ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+,再根据复数的模长公式求出||z ,可知A 正确;根据共轭复数的概念求出z ,可知B 正确;根据复数的几何意义可知C 正确;将z 代入方程成立,可知D 正确.【详解】因为(1﹣i )z =2i ,所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+,所以||z ==A 正确; 所以1i z =--,故B 正确;由1z i =-+知,复数z 对应的点为(1,1)-,它在第二象限,故C 正确;因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=,所以D 正确.故选:ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算,考查了复数的模长公式,考查了复数的几何意义,属于基础题. 29.ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得:,然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为,对于A :的虚部为,正确;对于B :模长,正确;对于C :因为,故为纯虚数,解析:ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得:1z i =-,然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-, 对于A :z 的虚部为1-,正确;对于B :模长z =对于C :因为22(1)2z i i =-=-,故2z 为纯虚数,正确;对于D :z 的共轭复数为1i +,错误.故选:ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的有关概念,考查逻辑思维能力和运算能力,侧重考查对基础知识的理解和掌握,属于常考题.30.BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识,选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析:BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识,选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选:BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识,属于基础题.。

相关文档
最新文档