材料力学扭转的ppt
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材料力学课件第3-4章
L M x( x) d x
0 GIP (x)
28
3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件
二. 刚度条件
对等直轴:
d
dx
Mx GIP
单位长度的扭转角
等直圆轴扭转
max
M x max GIP
180
[ ](o /m)
对阶梯轴: 需分段校核。
max
M x max GIP
180
[ ](ο /m)
2. 给出功率, 转速
(kw)
Me = 9549
P n
(N. m)
(r/min)
5
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二.横截面上的内力
截面法求内力： 截，取，代，平
Mx 称为截面上的扭矩
Mx 0 Mx Me 0 即 Mx Me
按右手螺旋法：
指离截面为正，
M x 指向截面为负。
6
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
10
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
一. 薄壁筒扭转实验
nm
t
实验观察 分析变形
x
r
nm l
mn没变 x = 0
x = 0
Me
nm
γ
Me
φ
x
r没变 = 0
= 0
nm
Me
nm
Mx
x
n m Mx
11
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
Me Mx
nm
Mx
n m Mx
由于轴为薄壁,所以认
为 沿t 均布.即 =C
max
M x max Wp
31.5 103 m
M x max d 3
16
材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学 ppt课件
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加；
④强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度
计算。
PPT课件
20
2、两相互垂直平面内的弯曲
有棱角的截面
max
Mz Wz
My Wy
[ ]
圆截面
max
M
2 z
M
2 y
[ ]
W
3、拉伸（压缩）与弯曲
有棱角的截面
max
FN ,max A
（4）确定最大剪力和最大弯矩
3、弯曲应力与强度条件
（1）弯曲正应力
My
I PPT课件 z
12
M max Wz
yt，max yc，max
Oz y
PPT课件
t,max
Myt,max Iz
c,max
Myc,max Iz
13
（2）梁的正应力强度条件
M max
Wz
M
2 z
M
2 y
T
2
Mr4
M
2 z
M
2 y
0.75T
2
PPT课件
22
5、连接件的强度条件
剪切的强度条件
FS [ ]
AS
挤压强度条件
bs
Fbs Abs
[ bs ]
PPT课件
M z,max Wz
M y,max Wy
[ ]
圆截面
max
FN ,max A PPT课件
M max W
[ ]
21
4、弯曲与扭转
《材料力学》课件3-5等直圆杆扭转时的变形.刚度条
3
在不同扭矩作用下，杆的变形表现出非线性特征， 这表明我们需要考虑非线性效应对杆刚度的影响。
研究不足与展望
01
虽然我们得到了杆在扭矩作用下的变形公式，但该公式是在一定假设条件下得 到的，可能存在一定的误差。未来可以通过更精确的实验和数值模拟方法来验 证和修正该公式。
02
目前的研究主要集中在等直圆杆的扭转问题上，对于其他形状的杆或复杂结构 的研究尚不够充分。未来可以进一步拓展研究范围，探究不同形状和结构的杆 在扭矩作用下的变形和刚度问题。
刚度条件的数学表达
刚度条件的数学表
达式
根据材料力学和弹性力学的基本 理论，等直圆杆扭转时的刚度条 件可以用数学表达式表示。
刚度常数
在数学表达式中，涉及到一些与 杆件材料、截面尺寸等有关的常 数，这些常数称为刚度常数。
刚度常数的意义
刚度常数是衡量杆件刚度的具体 数值，可以通过试验和计算获得， 是杆件设计和选用的重要依据。
ERA
刚度条件的定义与意义
刚度条件定义
在等直圆杆扭转时，杆件抵抗扭转变 形的能力称为刚度条件。
刚度条件的物理意义
刚度条件的意义
在工程实际中，刚度条件是设计、制 造和选用杆件的重要依据，满足刚度 条件的杆件才能保证结构的稳定性和 安全性。
它反映了杆件在承受扭矩作用时，抵 抗扭转变形的能力，是衡量杆件扭转 变形能力的重要参数。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
3-5等直圆杆扭转时的变形
与刚度条件
• 等直圆杆扭转时的基本概念 • 等直圆杆扭转时的变形分析 • 等直圆杆扭转时的刚度条件 • 等直圆杆扭转时的工程应用 • 结论与展望
目录
CONTENTS
材料力学(孙训方)PPT课件
[例3-2-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1
9.55P1 n
9.55500 300
A
15.9(kN m)
B
C
D
m 2 m 3 9 .5P n 5 2 9. 5 1 35 5 0 4 .0 0 7(8 k m N) m 49 .5P n 5 49. 5 3 25 0 0 6 0 0 .3(7km N)
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
其中：P n
— —
功率，马力（PS） 转速，转/分（rpm）
1PS=735.5N·m/s , 1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正， 反之为负。
m2
m3
m1
m4
A
B
C
T
– –
4.78 kNm
9.56 kNm
D
6.37 kNm
x
例 32-2已知 :m12kN m,m2 4kN m,m3
1kN m,m4 1kN m,求:各段扭矩及画扭
解：1——1:
m4 3 m3 2 m2 1 m1
M0 m1T10
T1 m1 2kNm
材料力学第三章-PPT
Me3
r / min
Me1 15915 N m
2
3
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
Me1 n Me4
1
4
6366 N·m
+
2)画扭矩图
4774.5 N·m
9549 N·m
【课堂练习】若将
Me2
Me4
从动轮3与4对调如
18
Me1 n Me3
图,试作扭矩图、
2
BC段内:
2,max
T2 Wp 2
π
14103 71.3MPa 100 103 3
3)校核强度
16
2,max >1,max且2,max<[ ] = 80MPa,满足强度条件、
36
§3-5 等直圆杆扭转时得变形·刚度条件
Ⅰ、 扭转时得变形
等直圆杆得扭转变形可用两个横截面得
相对扭转角(相对角位移) j 来度量。
GIP
j Tl 180 GIP
—单位为度 (º)
若圆轴在第i段标距li内Gi、IPi、Ti为常 数,则相对扭转角:
n
j
T i li
—单位为弧度(rad)
i1 Gi I Pi
n
j
T i li 180 —单位为度 (º)
i1 Gi I Pi
39
【例3-4】钢制实心圆轴中,M1=1 592 N·m,M2 = 955 N·m,M3 = 637 N·m,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切变模量G = 80 Gpa、试求横截面C 相对于
Me
Me
FS左=τ左dydz
FS右=τ右dydz
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由上式解出：d=46.9mm。
空心轴与实心轴的截面 面积比(重量比)为：
A空 A实
(D2
D 2t2 )
4
பைடு நூலகம்
d 2 0.334 1
4
3
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴
较实心轴合理。
§3.5 圆轴扭转时的变形 刚度条件
计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。
相对扭转角： j dj l T dx
解：计算截面参数： I p
D4
32
(1 4 )
77.1104 mm4
Wt
Ip D/2
20.3103 mm3
由强度条件：
max
Tmax Wt
97.5MPa [ ]
故轴的强度满足要求。
若将空心轴改成实心轴，仍使 max 97.5MPa ，则
max
Tmax Wp
1.98103
d 3 /16
97.5MPa
3、静力学关系
T dx
Gg
b g
G dj
dx
dj
dx
T
A
dA
G
dj
dx
A
2dA
G
dj
dx
Ip
dA
O r
Ip
2dA —极惯性矩
A
dA
由T
G
dj
dx
I
得
p
dj
dx
T GI P
— 单位长度相对扭转角
应力公式
1)横截面上任意点：
T
Ip
T：横截面上的扭矩
：点到截面形心的距离
2)横截面边缘点： max
l
0 GI p
Tl
j rad
GI p
GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。
单位长度的扭转角： j dj T rad/m
dx GI p
刚度条件
jm ax
Tm ax GI
180
[j]
其中： [j，]—许用扭转角，
法线方向一致的扭矩为正
对应
切应力
纵向线
扭转实验前
圆周线
扭转实验后
结论
平面假设成立
相邻截面绕轴线作相对转动
横截面上各点的剪（切）应 力的方向必与圆周线相切。
1.薄壁圆筒的扭转的切应力
Me r0 x
dA
2.剪切胡克定律
由几何关系知： g r / l
T
τdA r 2r r Me
A
得：τ
Me
T
T
扭矩的符号按右手法则规定，即右手四指指向扭矩的转向， 拇指离开截面的扭矩为正，指向截面的扭矩为负。
对未知的扭矩按正方向设定
例 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动
轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转 速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
式中， [l]代表许用拉应力。
轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状 态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。
根据强度条件可进行：
强度校核; 选择截面; 计算许可荷载。
例 某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩
T=1.98kN·m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
尺寸有关。
a. 圆截面
dA 2 d
b. 空心圆截面
式中： d
D
二、斜截面上的应力
n
Fn 0
dA dAcos sin dAsin cos 0 x
Ft 0
t
dA dAcos cos dAsin sin 0
得：
sin 2 cos2
max
45
第三章
扭转
§3-1 概 述
mA
g
m B j B'
外力偶作用平面和杆件横截面平行
g：切剪应切变角 g
j：相对扭转角
§3.2 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图
一、传动轴上的外力偶矩
输入功率：P(kW)
1分钟输入功： W 60 P1000 60000P
Me
转速：n(转/分)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。
纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应 力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）
§3.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力 a
b
1、变形几何关系 Me T
g
e
g
O2
g
dx a
2、物理关系(剪切虎克定律)
Gg
2r 2
Gg
……剪切胡克定律
（线弹性范围适用）
G为材料的剪切弹性模量
O
O
另外有：G
E （2 1
）
3.切应力互等定理
y
dz
′
o dy
x
单元体：微小的正六面体
在扭转时，左右两侧面（杆的横截 面）上只有切应力，方向与y轴平行， 前后无应力。
由平衡条件：
dx
z 切应力互等定理：两个相互垂直的微面上的切应力（τ、τ′） 成对存在，数值相等，且都指向（或背离）两平面的交线。
MB
MC
MA
MD
解：已知
B
C
A
D
955N·m T
477.5N·m +
M A 1592N • m M B M C 477.5N • m M D 637N • m
作扭矩图如左图示。
-
637N·m
§3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
m
1
m
R0
δ<<R0
---薄壁圆筒
1
m
T
扭矩
规定：矢量方向与横截面外
min 45
0 或90， ?有有max max 0 ?
低碳钢扭转破坏
铸铁扭转破坏
三、强度条件
强度条件： max
Tm a x Wt
[
]
，
[]—许用切应力；
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[]与 许用正应力[]之间存在下述关系：
对于塑性材料． [] ＝(0.5一0.577) [] 对于脆性材料， [] ＝(0.8—1.0) [l]
MB
MC
MA
MD
B
C
A
D
解：计算外力偶矩
MA
9550 PA n
1592N m
MB
MC
9550 PB n
477.5N m
MD
9550 PD n
637N m
二、扭矩及扭矩图
1.横截面上的内力：扭矩(T)
2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。
例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
W W'
当杆件只受到位于其横截面内的扭 转力偶作用时。杆件将会产生扭转变形。
在该杆BC区间内作m-m截面,取截面 左侧杆段为研究对象，如图所示，此时
杆件横截面上只有Mx，记作扭矩T，其
余的内力分量均为零。
m1 m2
由研究对象的平衡方程可知，m-m截面的扭矩
T=m1-m2
等于其一侧的外力偶矩的代数和。
Tr Ip
T Wt
T
d/2 ρ O
max
其中：
Wt
Ip r
T
抗扭截面系数
D/2
d/2 O
max
实心圆
Ip
d 4
32
Wt
d 3
16
空心圆
Ip 32
D4 d 4
D4 (1 4 )
32
Wt
D3
16
(1 4 )
关于极惯性矩和抗扭截面系数
Ip 称为极惯性矩，Wt 称为抗扭截面系数，它们均与横截面的形状、