数值运算的误差分析(精)
1-2数值计算的误差
3. 截断误差
当得不到数学模型的精确解时，要用 数值计算方法求它的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差) /* Truncation Error */
例如：在微积分中sinx可展开成
"Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish sheep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!"
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
r ( x1 x2 )
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
和的误差(限)等于误差(限)之和
(2)减法运算：
( x x ) ( x x ) 1 2 1 2 e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( 差来源的分类 数 二、误差分析的重要性 值 三、绝对误差 计 算 四、相对误差 的 五、有效数字 误 六、数值运算的误差传播 差
1.观测误差
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
注：通常根据测量工具的精度，可以知
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
数值分析误差
I k −1
11 ( k = n, n − 1,…,2,1) = − Ik 5k
(1 − 3)
依式（ 依式（1-3）计算
* 0
的近似值。 I n −1 , I n − 2 ,…, I 1 , I o 的近似值。
* 14
1 1 1 分别取 I = 0.18232155， I = + ≈ 0.01222222 2 6 × 15 5 × 15 按算法1、算法 2的计算结果见下屏表 1 − 1：
逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的 逆向递推公式在数学上完全等价， 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，可以一 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，
种方向的递推会使误差扩大， 种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误 差逐步减小。在设计（选用） 差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增 长的算法。 长的算法。
1 3 1 5 作近似计算， 取 S = x − x + x ，作近似计算，则 3! 5! 为其截断误差。 为其截断误差。
R = sin x − S
条 件 问 题
计算方法中有一类问题称为条件问题， 公式） 条件问题是一个算法 （公式）由于初始 数据或者中间某些数据微小摄动对计算结 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条 观测误差都属初始数据的摄动。 件问题的计算方法是十分重要的课题， 件问题的计算方法是十分重要的课题，有 的时候，一些问题的条件并不坏， 的时候，一些问题的条件并不坏，但由于 算法不恰当， 算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入 误差在计算过程中不断被放大，而可能导 误差在计算过程中不断被放大， 致计算结果的精度大大降低， 致计算结果的精度大大降低，甚至使计算 失去意义。
误差分析与数值计算的基本方法
误差分析与数值计算的基本方法在日常生活中，我们不断地进行着数值计算，比如计算家庭的开销、工作中的数据分析等。
然而，在数值计算中，我们经常会遇到误差的问题。
误差不仅会影响计算结果的准确性，还可能导致实际应用中的误判或失败。
因此，正确的误差分析和数值计算方法具有非常重要的意义。
本文将从几个方面来介绍误差分析和数值计算的基本方法。
误差的类型误差是指实际值与真实值之间的差异，而误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差是指实际值与真实值之间的差异，通常以绝对值来表示。
相对误差是指绝对误差与真实值之比的绝对值，通常以百分数的形式来表示。
在计算机数值计算中，由于计算机内部表示数字的方式是有限制的，因此还会出现舍入误差。
所谓舍入误差，就是因为数字的位数限制而被截掉的数值，造成的误差。
误差的来源在数值计算中，误差来自多个方面，如输入数据、计算过程、输出结果等。
不同来源的误差，可能导致误差类型不同，进而影响正确性和可靠性。
输入数据的误差是指在实际输入数据时可能出现的误差，包括仪器误差、测量误差、观测误差等。
这些误差通常是由于工具或人的精度不同而产生的。
计算过程的误差是指计算中可能发生的误差，包括算法误差、步长误差、舍入误差等。
由于计算机的运算只有0和1两种状态，因此可能出现舍入误差。
输出结果的误差是指计算结果与最终目标之间的差异，包括截断误差、舍入误差等。
输出结果误差可能会影响后续的数值计算和实际结果的可靠性。
误差的刻画和控制误差的刻画和控制是数值计算中非常重要的内容，它们决定了数值计算的正确性和可靠性。
误差的刻画包括误差界的估计和误差分布的描述。
误差界是指计算结果可能存在的误差上限和下限，误差分布是指误差可能呈现的分布状态。
通过误差界和误差分布，我们可以判断计算结果的可靠性，制定正确的数值计算策略。
误差的控制包括提高输入数据的准确性、选择适当的算法和参数、严格的校验和测试、合适的舍入方式等方法。
通过合适的误差控制方法，我们可以提高数值计算的正确性和稳定性。
数值计算中的误差
∴ n=3
r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%
1.3.4 有效数字与相对误差
例8 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相
对误差限
解：已知 n=2 代入公式 r*=1/2x1 10-(n-1)得
r*=1/2x1 10-1
x*的第一位有效数字x1没有给出，可进行如下 讨论：当
e(x* ) x x* dx
er (x* )
e* x
x x* x
dx x
d ln x
1.4.2 算术运算误差
由d( x±y)=dx±dy 可得两数之和(差）的
误差等于两数的误差之和（差）；
由 d ln(x y) d ln x d ln y 可得两数之积
的相对误差等于两数的相对误差之和；
定义1.2 设存在一个正数，使
e* x x* *
则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。
1.3 误差的度量
例1 设x ==3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有 x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2
一般情况，当f(x)≈f(x*)时，可用泰勒展开 f (x) f (x* ) f (x* )(x x* ) f (x) (x x* )2
由
d
ln
x y
d
ln
x
d
ln
y
可得两数商的相
对误差可看作是被除数与除数的相对误差之差
。
例12 正方形的边长约为100cm,怎样测量才能使其 面积误差不超过1cm2 ?
数值运算的误差估计四则运算的证明
数值运算的误差估计四则运算的证明数值运算的误差估计是指在进行四则运算（加法、减法、乘法、除法）时，由于计算机在表示和处理实数时存在有限精度的问题，导致结果可能与实际值之间存在一定的差距。
这种差距即为误差，我们需要对误差进行估计，以保证计算结果的准确性和可靠性。
在进行数值运算时，计算机使用有限的位数来表示实数，例如使用二进制的浮点数表示法。
然而，无论使用何种表示方法，都无法完全准确地表示无限的实数集合。
这就意味着，在计算机中进行的数值运算实际上是对实数的一个近似计算。
我们来看加法和减法运算的误差估计。
在进行加法运算时，如果两个数的绝对值差距很大，那么较小的数在计算机中可能被舍入为零，从而引入了较大的误差。
而在进行减法运算时，由于计算机的有限精度，可能会出现两个非常接近的数相减时的大误差。
在实际应用中，我们可以通过控制计算顺序以及合理的舍入规则来减小这些误差。
接下来，我们来看乘法和除法运算的误差估计。
在进行乘法运算时，如果两个数的绝对值都很大，那么结果的绝对值可能会超出计算机的表示范围，从而导致溢出。
而在进行除法运算时，如果除数接近于零，那么结果可能会变得非常大，也可能会变得非常小，这就会引入较大的误差。
因此，在进行乘法和除法运算时，我们需要特别注意数值的范围和精度，避免产生不可预测的结果。
为了更好地估计数值运算的误差，我们可以借助一些数值分析的方法。
其中一种常用的方法是舍入误差分析。
舍入误差是由于将无限精度的实数舍入为有限精度的实数而引入的误差。
通过分析舍入误差的上界和下界，我们可以得到对数值运算结果的误差估计。
另外，我们还可以使用数值稳定性分析来评估数值算法的稳定性和可靠性。
数值稳定性是指在输入数据存在扰动的情况下，算法的输出结果是否能够保持稳定。
如果算法具有较好的数值稳定性，那么它在进行数值运算时产生的误差就相对较小。
总结起来，数值运算的误差估计是保证计算结果准确性和可靠性的重要手段。
在进行四则运算时，我们需要注意加法、减法、乘法和除法运算可能引入的误差，并采取相应的措施来减小误差。
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。
然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。
乘除运算中的误差分析
三、乘除运算中的误差分析前面我们提到过，“乘除运算”当中我们应该考虑“相对误差”，而这是我们误差分析最为重要的内容。
那么，如果相乘或者相除的两个数分别发生一定程度的近似，它们的乘积或者商又会发生什么样的变化呢？我们首先先给出两个重要的结论：1.两个数相乘，那么这两个数的相对误差之和，近似为总体的相对误差；2.两个数相除，那么这两个数的相对误差之差，近似为总体的相对误差。
我们先举两个相乘的例子：注：上面分析的所有误差指的都是“相对误差”，因为只有“相对误差”才能在乘除运算当中保持近似的加减关系。
四、近似误差与选项差异通过上面的分析我们知道，近似的计算会产生一定的误差，那么这种误差会不会对最后结果的判定产生影响呢？这就取决于近似误差（“近似误差”指的是数字近似后产生的相对误差，在与“选项差异”进行大小比较时，指其绝对值）与选项差异之间的相对关系了，通俗的讲就是：选项差别大，估算可大胆；选项差别小，估算需谨慎。
但我们需要的不仅仅是这样一句定性的描述，我们更加需要的是定量的结论。
首先，我们对两个数字之间的“相对差异”进行一个定义：我们以两个数字当中较大的数字为真实值，较小的数字为估算值，这样计算得到的“相对误差”的绝对值，我们称之为这两个数字之间的“相对差异”。
譬如“4”和“5”，我们以5为真实值，以4为估算值，得到的“相对误差”为“-20%”，那么我们就说“4和5之间的相对差异为20%”。
再譬如说，9和12之间的相对差异为25%，15和18之间的相对差异为16.7%等等。
然后，我们对“选项差异”进行一个定义：所谓“选项差异”，是指四个选项中任意两个数值之间的“相对差异”的最小值。
具体操作时，我们仅需要考虑相邻数字之间（是指大小相邻，非而位置相邻）的相对差异即可。
我们看下面这样的选项设置：A.20B.24C.28D.32我们考虑相邻数字之间的相对差异：20与24之间的相对差异为16.7%，24与28之间的相对差异为14.3%，28与32之间的相对差异为12.5%。
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实验一 数值运算的误差分析
1.问题的提出
任何数值计算都是一种近似计算，于是研究此误差的来源及防止在整个数值计算中占非常重要的地位。
首先是误差的分类、其次是估计误差的工具最后是一些避免误差产生及传播的手段。
1)模型误差：
实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素，从而造成数学的量和实际的量的误差称为模型误差 2)观测误差：
数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的，这种数据误差造成数学量的近似。
3)截断误差：
通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差 。
例如，函数)(x f 用泰勒（Taylor ）多项式
n
n n x n f x f x f f x p !
)0(!2)0(!1)0()0()(2'''++++=
近似代替，则数值方法的截断误差是：
εε(,)!
1()()()()(1
)1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R
4)舍入误差：
最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字，这就要求进行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。
例如用3.14159近似代替π，产生的误差 0000026.03014159=-=πR 为舍入误差。
2.误差与有效数字
1)绝对误差： 2)相对误差：
3)有效数字：
若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字，表示
()()
1121*101010---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，
其中是),,1(n i a i =0到9中的一个数字，0≠i a ，m 为整数，且
1*102
1
+-⨯≤
-n m x x
例如：
若*x 具有n 位有效数字，则其相对误差限为：)1(1
*1021
--⨯≤
n r a ε 例一：要是20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？ 设取n 位有效数字，由定理1，)1(1
*1021
--⨯≤
n r a ε。
由于 4.420=，知1a =4，故只要取4=n ，就有1.01010125.033*
=<⨯≤--r ε%，
即只要对20的近似值取4 位有效数字，其相对误差限就小于0.1%，此时由开
4.472≈。
4)误差的积累运算：
≈±)(*2*1x x ε)(*1x ε+)(*
2x ε； ≈)(*2*1x x ε*2*2*1
)(x x x +ε)(*
1x ε； ≈
)/(*
2*1x x ε2
*2
*
1*2*2*1)
()(x
x x x x εε+；
5)函数的误差：
设)(x f 是一元函数，x 的近似值为*x 以)(*x f 近似)(x f ,其误差记作
)((*x f ε;那么函数的误差是：)()())((***x x f x f εε'≈
当f 多元函数时，例如计算A ),,(1n x x f =。
如果 n x x ,,1 的近似值为 *
*1,,n x x 则A 的近似值为 ),,(**1*n x x f A =，
于是由泰勒展开得函数值*A 的误差为)(*A e ; 于是函数的误差限：)()(
)*(*
1
*k n
k k
x x f A εε∑=∂∂≈；
（2） 而*
A 相对误差限为：*
*1****)()()*(A x x f A A A k
n
k k
r r
εεεε∑=∂∂≈==）
（（3） 例二：已测得某场地长l 的值为m l 110*=，宽d 的值为m d 80*=,已知
m l l 2.0*≤-,m d d 1.0*≤-,试求面积 ld s =的绝对误差限与相对误差限。
解：因ld s =，
d l s =∂∂，l d
s =∂∂，由（3）知 )()()()(
)*(****d d
s
l l s s εεε∂∂+∂∂≈，其中m d l s 80)(**==∂∂，
m l d s 110*==∂∂， 而m l 2.0)(*=ε，m d 1.0)(*=ε 于是
绝对误差限为 m s 27)1.0(110)2.0(80)(*=⨯+⨯≈ε， 相对误差限为
%31.08800
27
)
()
()(*
***
**
=≈
=
=
d l s s s s r εεε 6)避免误差危害的若干原则 ● 避免接近零数作除数。
例如：2
12
12
12
1)1())1((1x x x x ++=-+
顺便指出，有时为避免中间结果益出也要变换公式， 例如: y x ≥,21
22
12
2
))(1()(x y x y x +=+
● 避免相近数相减。
例如：)
)1((1)1(1212121x x x x ++=-+
再如求01562=++x x 的根，取五位数字
982.55982.2728)128(282121=+=-+=x 018.0982.2728)128(282122=-=--=x 2x 的有效数字就少了。
可用01786288
.0972
.551
1
1
2===x x 试比准确解：017862840.0,982137159.5521==x x ; ● 防止大数‘吃’小数。
例如：1.0010010=+++=a a a a x ，0001.010021====a a a 如果按先后次序10a a +得0.1，再加2a 还是0.1， 1=x
如果从后往前加， ,0002
.00001.00001.0=+最后11.001.01.0=+=x ; ● 减少计算步聚。
例如：计算多项式的值
x
x x x ++-+11
1为
x
x
x x cos 1sin sin cos 1+-为
43223140a x a x a x a x a ++++宜用43210)))(((a x a x a x a x a ++++
这就是最著名ＦＦＴ算法数值例。
注意递推公式。
有些公式计算时误差不断积累越来越大，有些公式误差则不会增加前者称数值不稳定的应避免使用，后者称数值稳定的，我们应该采用着类公式，请看例子。
计算出 ,1,0,1,6321.01110=-=≈-=--n nI I e I n n 可算出728.08-≈I 误差大的惊人，竟出现了负数。
但若用 ,8,9,/)1(,0684.019=-=≈-n n I I I n n 算出0I 有四位有效数字。
不难看出前一算法所得8I 的误差是0I 的!8倍，而后一算法所得0I 的误差是9I 的!
91 .
参考思考题： 1、 2、 3、
实验一的目的是什么？以后的内容起什么作用？ 在实验一里主要提醒什么？或不叫“实验一”，叫“预备知识”。