2015届高三(理)一轮同步训练：第6单元《数列与算法》(含答案)

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2015届高考数学(文)一轮复习单元检测第6单元《数列与算法》(新人教B版)

第六单元数列与算法第30讲数列的概念与通项公式1.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，且a 8＝3421，则a 3＝( )A.32B.53C.85D.1382.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．643.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－1，则其通项公式a n ＝( )A ．3·2n －1B ．2·3n －1C ．2nD ．3n4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( ) A ．－55 B ．－5 C ．5 D ．555.已知数列{a n }中，a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *，则该数列{a n }的通项公式为________．6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n)(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，则数列{a n }的通项公式a n ＝ .7.在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则ab ＝______.8.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ＝1,2，3，…)，求a n .9.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，(n ∈N *)． (1)求通项a n ；(2)若b n ＝2n ·(a n －12)(n ∈N *)，求数列{b n }的最小项．1.设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．242.设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－8，a 15＝5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则有( ) A ．S 9<S 10 B ．S 9＝S 10 C ．S 11<S 10 D ．S 11＝S 103.若等差数列{a n }满足a n a n ＋1＝n 2＋3n ＋2，则公差为( ) A ．1 B ．2C ．1或－1D ．2或－24.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差为d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．55.已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列{a n }的通项公式为________．6.已知等差数列{a n }，若a 1＝3，前三项和为21，则a 4＋a 5＋a 6＝______.7.等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时n ＝________.8.已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项与最小项，并说明理由．9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果a 4＝－12，a 8＝－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值及其相应的n 的值；(3)从数列{a n }中依次取出a 1，a 2，a 4，a 8，…，a 2n －1，…构成一个新的数列{b n }，求{b n }的前n 项和．1.已知数列{a n }是正项等比数列，若a 2＝2,2a 3＋a 4＝16，则数列{a n }的通项公式为( )A ．2n －2B ．22－nC ．2n －1D ．2n2.等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝( )A ．254B ．255C ．256D ．2573.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13 B.13C ．－12 D.124.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，其前4项和S 4＝60，则a 2等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－65.已知数列{a n }为等比数列，且a 5＝4，a 9＝64，则a 7＝ .6.等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.7.设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.8.设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＝32(1a 3＋1a 4)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .9.已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)求证：数列{a n ＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .第33讲等差、等比数列的性质及综合应用1.在等差数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20－a 10等于( ) A.52 B.25 C.52或－52 D.25或－252.已知公比为2的等比数列{a n }中，a 2＋a 4＋a 6＝3，则a 5＋a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．63.设S n 表示等比数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，已知S 10S 5＝3，则S 15S 5＝( ) A ．3 B ．5C ．7D ．94.已知{a n }是等比数列，a 2＝4，a 5＝32，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．8(2n－1) B.83(4n －1)C.163(2n －1)D.23(4n－1) 5.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.6.已知1，a 1，a 2,9成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，且a 1，a 2，b 1，b 2，b 3都是实数，则(a 2－a 1)b 2＝______.7.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝________.8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，S 5＝4a 3＋6，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{1S n}的前n 项和．9.设各项均不为0的数列{a n }的前n 项之乘积是b n ，且λa n ＋b n ＝1(λ∈R ，λ＞0)． (1)探求a n 、b n 、b n －1之间的关系式；(2)设λ＝1，求证：数列{1b n}是等差数列；(3)设λ＝2，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <23.第34讲数列求和1.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n 2－22.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋2，则S 10等于( )A.175264B.7255C.1012D.11123.已知数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{ab n }前10项的和M 10等于( )A ．511B ．512C ．1023D ．10334.数列{(3n －1)·4n －1}的前n 项和S n ＝( )A ．(n －23)·4n ＋23B ．(n －23)·4n ＋1＋23C ．(n －23)·4n －1＋23D ．(n －23)·4n＋435.已知等差数列{a n }中，a 5＝1，a 3＝a 2＋2，则S 11＝ .6.若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 5＋a 6＋a 7＝______.7.已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p a q ＝a p ＋q ，若a 1＝12，则S 9＝________.8.数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．9.已知f (x )＝－4＋1x 2，点P n (a n ，－1a n ＋1)在曲线y ＝f (x )(n ∈N *)上且a 1＝1，a n >0.(1)求证：数列{1a 2n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a 2n ·a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，若对于任意的n ∈N *，存在正整数t ，使得S n <t 2－t－12恒成立，求最小正整数t 的值．第35讲数列模型及综合应用1.某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2022年年底在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )A ．5110－1B ．4110－1C ．3110－1D ．4111－12.等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．1＋log 35D ．2＋log 353.已知函数f (x )＝3x 2＋bx ＋1是偶函数，g (x )＝5x ＋c 是奇函数．若a 1＝1，f (a n ＋a n ＋1)－g (a n ＋1a n ＋a 2n )＝1，则正数数列{a n }的通项公式为( )A ．(23)n －1B ．(32)n －1C ．(23)nD ．(32)n4.已知f (x )＝sin 2x ，若等差数列{a n }的第5项的值为f ′(π6)，则a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝( )A ．2B ．4C ．8D ．165.五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2014次被报出的数为______．6.王老师从2011年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2018年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回______元．7.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是________．8.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件；若做广告宣传，广告费为n 千元比广告费为n －1千元时多卖出b2n (n ∈N *)件．(1)试写出销售量S n 与n 的函数关系式；(2)当a ＝10，b ＝4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？9.已知正数数列{a n }中，a 1＝2.若关于x 的方程x 2－a n ＋1x ＋2a n ＋14＝0(n ∈N *)对任意自然数n 都有相等的实根．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n <23(n ∈N *)．第36讲算法与程序框图1.以下结论正确的是( )A ．任何一个算法都必须有的基本结构是条件结构B ．任何一个算法都必须有的基本结构是顺序结构C ．在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断的是循环结构D ．在算法的逻辑结构中，要求根据结果进行不同处理的是顺序结构 2.下面的问题中必须用选择结构才能实现的个数是( ) ①已知三角形的三边长，求三角形的面积； ②求方程ax ＋b ＝0(a ，b 为常数)的根； ③求三个实数a ，b ，c 中的最大者； ④求1＋2＋3＋…＋100的值． A ．4 B ．3 C ．2 D ．13.执行如图的程序框图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最小值是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．15(第3题) (第4题)4.已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A ．2B ．3C ．5D ．75.执行如图所示的程框图，若输入x ＝4，则输出y 的值为________．(第5题) (第6题)6.下图给出了一个算法流程图．若给出实数a ，b ，c 为a ＝4，b ＝x 2，c ＝2x 2－3x ＋2，输出的结果为b ，则实数x 的取值范围是__________．7.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x 1，…，x 4(单位：吨)，根据下图所示的程序框图，若x 1、x 2、x 3、x 4分别为1、1.5、1.5、2，则输出的结果s 为________．8.试写出一个求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 x x 2－2x ＋x 的函数值的算法，并画出框图．9.某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(假定通话时间均为整数，不足1分钟按1分钟计)．试设计一个计算通话费用的算法．要求画出流程图．第37讲基本算法语句和算法案例1.下列关于“赋值语句”叙述正确的是( )A．3.6＝x是赋值语句B．利用赋值语句可以进行代数式的化简C．赋值语句中的等号与数学中的等号意义相同D．赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值2.当a＝3时，下面的程序段输出的结果是( )IF a<10 THENy＝2]A．9 B．3C．10 D．63.读下面的甲、乙两程序：甲乙i＝1S＝0WHILE i<＝1000 S＝S＋ii＝i＋1WENDPRINT SENDi＝1000S＝0DOS＝S＋ii＝i－1LOOP UNTIL i<1 PRINT SEND对甲、乙两程序和输出的结果判断正确的是( )A．程序不同，结果不同B．程序不同，结果相同C．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同 4.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x4＋3x3＋2x2＋6x＋1当x＝0.5时的值，需要做乘法的次数是( )A．9 B．14C．4 D．55.程序如下：t＝1i＝2WHILE i<＝4t＝t×ii＝i＋1WENDPRINT t以上程序输出的结果是________．6.若k进制数123(k)与十进制数38(10)相等，则k＝.7.程序如下，若输入10,20,30，则输出结果为__________．INPUT“a，b，c＝”；a，b，ca＝bb＝cc＝aPRINT a，b，c8.用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.00833x5＋0.04167x4＋0.16667x3＋0.5x2＋x＋1，当x＝－0.2时的值．9.用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款利息．若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购冰箱的钱全部付清后，实际付了多少元？请画出程序框图，并写出程序．第六单元数列与算法第30讲数列的概念与通项公式1．A 由a 8＝3421＝1＋1a 7，得a 7＝2113＝1＋1a 6.类似有a 6＝138＝1＋1a 5，a 5＝85＝1＋1a 4，a 4＝53＝1＋1a 3，从而a 3＝32，故选A.2．A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.3．B 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2·3n －1，又a 1＝S 1＝31－1＝2满足2·3n －1，故选B.4．C 由a n ＝(－1)n(n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝5.5．a n ＝n 2－2n ＋21 因为a n ＋1－a n ＝2n －1，所以a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝2n －3，n ≥2，以上各式相加可得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)⇒a n ＝20＋n －n －2＝n 2－2n ＋21(n ≥2)．又a 1＝20适合上式，故a n ＝n 2－2n ＋21.6．6n －5 因为S n n＝3n －2，所以S n ＝3n 2－2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2(n ∈N *)时，a n ＝S n －S n －1＝6n －5. 所以a n ＝6n －5.7．－1 因为a n ＝4n －52，a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －[a (n －1)2＋b (n －1)]＝2an －a ＋b ，所以a ＝2，b ＝－12，则ab ＝－1.8．解析：因为a n ＋1＝13S n ，所以a n ＝13S n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)，所以a n ＋1＝43a n (n ≥2)．又a 1＝1，a 2＝13S 1＝13a 1＝13，所以{a n }是从第2项起，公比为43的等比数列，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1343n －2 n ≥2，n ∈N *.9．解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.又n ＝1时，a 1＝2×1＋1＝3成立，所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)b n ＝2n ·(a n －12)＝2n·(2n －11)，由⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤b n ＋1b n ≤b n －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧2n n －n ＋1n －2n ·n －n －1n －⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ≥3.5n ≤4.5，所以3.5≤n ≤4.5，所以n ＝4，所以最小项为b 4＝－48.第31讲等差数列的概念及基本运算 1．B 由S 11＝S 10⇒a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11－10d ＝0－10×(－2)＝20. 2．B 由题意得，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 15－a 215－2＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝n －10，则a 10＝0，所以S 9＝S 10，故选B.3．C a n a n ＋1＝n 2＋3n ＋2＝(n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝n ＋1或a n ＝－n －1，公差为1或－1，故选C.4．D 由题意S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋(k ＋1)d ＋a 1＋kd ＝24⇒k ＝5.5．a n ＝－1n 由a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，得1a n －1a n ＋1＝1，即1a n ＋1－1a n＝－1，又1a 1＝－1，则数列{1a n}是以－1为首项和公差的等差数列，于是1a n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n.6．57 由条件知3×3＋3d ＝21，d ＝4，所以a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×3＋4×12＝57.7．5或6 由题意知a 21＝a 211＝(a 1＋10d )2＝a 21＋20a 1d ＋100d 2，即a 1＝－5d ，所以S n ＝na 1＋n n －2d ＝n n －2d ，故当n ＝5或6时，S n 最大．8．解析：(1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a na n －1－1a n －1 ＝1，所以{b n }是公差为1的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝b 1＋(n －1)×1＝135－1＋(n －1)＝n －72，所以1a n －1＝n －72，所以a n ＝2n －52n －7，又a n ＝1＋1n －72，由函数y ＝1＋1x －72的图象可知，n ＝4时，a n 最大；n ＝3时，a n 最小，所以最大项为a 4，最小项为a 3.9．解析：(1)设公差为d ，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－12a 8＝－4⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝－12a 1＋7d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－18d ＝2.所以a n ＝2n －20.(2)由数列{a n }的通项公式可知，当n ≤9时，a n <0；当n ＝10时，a n ＝0；当n ≥11时，a n >0. 所以当n ＝9或n ＝10时，S n 取得最小值为S 9＝S 10＝－90. (3)记数列{b n }的前n 项和为T n ，由题意可知 b n ＝a 2n －1＝2×2n －1－20＝2n －20. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n－20)＝(21＋22＋23＋ (2))－20n＝2－2n ＋11－2－20n＝2n ＋1－20n －2.第32讲等比数列的概念及基本运算1．C 设等比数列的首项及公比分别为a 1，q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝22a 1q 2＋a 1q 3＝16，由此可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，故数列的通项公式为a n ＝2n －1，故选C.2．B 由a 8＝1，q ＝12，得a 1＝27.所以S 8＝a 1－q 81－q ＝27[1－128]1－12＝28－1＝255.3．A 因为等比数列前n 项和可写为形如S n ＝kq n－k ，所以－a 2＝16，解得a ＝－13，故选A.4．A S 4＝60，q ＝2⇒a 1－241－2＝60⇒a 1＝4，故a 2＝8，故选A.5．16 因为a 5，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 5·a 9＝256.又a 5，a 7，a 9符号相同，所以a 7＝16.6.152 由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，得q n ＋1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q >0，解得q ＝2.又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝12－241－2＝152.7．15 对于S 4＝a 1－q 41－q ，a 4＝a 1q 3，所以S 4a 4＝1－q 4q 3－q＝15.8．解析：(1)由题意得a 1a 2＝2，a 3a 4＝32，即a 21q ＝2，a 21q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝4n －1＋(n －1)，所以 S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1＋0)＋(41＋1)＋(42＋2)＋…＋[4n －1＋(n －1)]＝(1＋41＋42＋…＋4n －1)＋[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝4n－13＋n －n 2.9．解析：(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2a n ＋4，即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ∈N *)．又由a 1＝2，得a 1＋2＝4，所以数列{a n ＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－2.所以S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n ＝22－2n 1－2－2n ＝2n ＋2－2n －4.第33讲等差、等比数列的性质及综合应用 1．C 由等差数列性质，a 4＋a 14＝a 7＋a 11＝5，又a 7·a 11＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 7＝2a 11＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝3a 11＝2，此时d ＝a 11－a 711－7＝14或－14.所以a 20－a 10＝10d ＝52或－52.2．C 由题意a 5＋a 7＋a 9＝a 2·q 3＋a 4·q 3＋a 6·q 3＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)＝23×3＝24.3．C 由等比数列的前n 项和性质得S 10＝S 5＋S 5·q 5(q 为公比)．又S 10S 5＝1＋q 5＝3，则q 5＝2. 又S 15＝S 5＋(S 10－S 5)＋(S 15－S 10)＝S 5(1＋q 5＋q 10)＝7S 5，所以S 15S 5＝7.4．B 由题意得等比数列{a n }的首项a 1＝2，公比q ＝2，则数列{a n a n ＋1}构成首项为8，公比为4的等比数列，所以S n ＝－4n1－4＝83(4n－1)，故选B.5．240 由等比数列性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，由已知条件知公比为2，所以a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)·q 3＝30×23＝240.6．8 由1，a 1，a 2,9成等差数列，可得a 2－a 1＝83，由1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，可得b 2＞0，且b 2＝3，所以(a 2－a 1)b 2＝8. 7.12 由等差数列的性质知1a 3＋1，1a 7＋1，1a 11＋1成等差数列，则2a 7＋1＝1a 3＋1＋1a 11＋1，即21＋1＝12＋1＋1a 11＋1，解得a 11＝12. 8．解析：(1)因为S 5＝4a 3＋6，所以5a 1＋5×42d ＝4(a 1＋2d )＋6.①因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1＋8d )＝(a 1＋2d )2.②由①②及d ≠0可得a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n 可知S n ＝2＋2n ×n 2＝n 2＋n .所以1S n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1.所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＋1S n＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.所以数列{1S n }的前n 项和为nn ＋1.9．解析：(1)由数列{a n }的前n 项之乘积是b n ，得a 1＝b 1，a n ＝b nb n －1. (2)令n ＝1，得λa 1＋b 1＝1，又a 1＝b 1，所以b 1＝1λ＋1，因为λ＝1，所以b 1＝12.当n ≥2时，将a n ＝b n b n －1代入a n ＋b n ＝1中，得b nb n －1＋b n ＝1，则1b n ＝1b n －1＋1，数列{1b n}是以1b 1＝2为首项，以1为公差的等差数列．(3)因为2a 1＋b 1＝1，a 1＝b 1，所以3b 1＝1，b 1＝13.当λ＝2时，将a n ＝b n b n －1代入2a n ＋b n ＝1中，得2b nb n －1＋b n ＝1，则1b n ＝2b n －1＋1，所以1b n ＋1＝2(1b n －1＋1)．所以{1b n＋1}是以1b 1＋1＝4为首项，以2为公比的等比数列．所以1b n＋1＝4·2n －1，解得b n ＝12n ＋1－1.因为12n ＋1－1＜12n ＋1－2＝12·12n －1，所以b n ＜12b n －1(n ∈N *，n ≥2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n≤b 1＋12b 1＋122b 1＋…＋12n －1b 1＝b 1·1－12n1－12<b 11－12＝23，即λ＝2时，b 1＋b 2＋…＋b n <23.第34讲数列求和1．C S n ＝(2＋22＋ (2))＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝－2n1－2＋n＋2n －2＝2n ＋1－2＋n 2.2．A S 10＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋19×11＋110×12＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(19－111)＋(110－112)] ＝12(1＋12－111－112)＝175264. 故选A.3．D a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，依题意得M n ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(1＋1)＋(2＋1)＋…＋(2n －1＋1)＝2n－1＋n ，M 10＝210＋10－1＝1033，故选D.4．A S n ＝2×1＋5×4＋8×42＋…＋(3n －1)·4n －1，①4S n ＝4×2＋5×42＋…＋(3n －1)·4n，② ②－①得：3S n ＝－2－3(4＋42＋…＋4n －1)＋(3n －1)·4n＝2＋(3n －2)4n，所以S n ＝(n －23)·4n＋23，故选A.5．33 由a 3＝a 2＋2，得d ＝2，所以a 6＝3，故S 11＝a 1＋a 112＝11a 6＝33.6．39 a 5＋a 6＋a 7＝S 7－S 4＝39. 7.511512 由题意得a n ＋1＝a n a 1，a n ＋1a n ＝a 1＝12， a n ＝a 1(12)n －1＝(12)n ，因此S 9＝1－(12)9＝511512.8．解析：(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得，a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)，又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)．从而S n ＝13×[1－13n ]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2.9．解析：(1)因为－1a n ＋1＝－4＋1a 2n ，所以1a 2n ＋1－1a 2n＝4，所以{1a 2n}是以1为首项，4为公差的等差数列．所以1a 2n＝4n －3，因为a n >0，所以a n ＝14n －3. (2)b n ＝a 2n ·a 2n ＋1＝1n －n ＋＝14(14n －3－14n ＋1)．所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14[(1－15)＋(15－19)＋…＋(14n －3－14n ＋1)]＝14(1－14n ＋1)<14. 对于任意的n ∈N *使得S n <t 2－t －12恒成立，所以只要14≤t 2－t －12，所以t ≥32或t ≤－12，所以存在最小的正整数t ＝2符合题意．第35讲数列模型及综合应用1．B 设2012年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )10＝4a ⇒x ＝4110－1.(切记翻两番为原来的4倍，而不是2倍)2．B log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 3(310)＝10.3．A f (x )是偶函数⇒b ＝0，所以f (x )＝3x 2＋1， g (x )是奇函数⇒c ＝0，所以g (x )＝5x ，又f (a n ＋a n ＋1)－g (a n ＋1a n ＋a 2n )＝1，即3(a n ＋a n ＋1)2＋1－5(a n ＋1a n ＋a 2n )＝1， (a n ＋a n ＋1)[3(a n ＋a n ＋1)－5a n ]＝0. 由于{a n }为正数数列，即a n >0，故3(a n ＋a n ＋1)＝5a n ，a n ＋1a n ＝23，又a 1＝1，所以{a n }是等比数列，且a n ＝(23)n －1(n ∈N *)．4．B 因为f ′(x )＝2cos 2x ，所以a 5＝f ′(π6)＝2cos π3＝1，所以a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝(a 1＋a 9)(a 8＋a 2)＝2a 5·2a 5＝4，故选B.5．8 设五位同学依次报出的数字构成的数列为{a n }，则a 1＝2，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝8，a 5＝8，a 6＝4，a 7＝2，a 8＝8，……易知此{a n }(n ≥3)是周期为6的数列，所以a 2014＝a 6×335＋4＝a 4＝8.6.a ＋r 8－a ＋r r复利问题，本题为等比数列模型．a (1＋r )7＋a (1＋r )6＋…＋a (1＋r )＝a ＋r－＋r7]－r＝a＋r8－a ＋rr.7．7月、8月当n ＝1时，a 1＝S 1＝16.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 230＋n 2－310，即a n ＝－n 230＋n 2－310.当n ＝7或n ＝8时，a n >1.5.8．解析：(1)设S 0表示广告费为0元时的销售量．由题意知S n －S n －1＝b2n ，S n －1－S n －2＝b2n －1，……S 2－S 1＝b 22，S 1－S 0＝b2，将上述各式相加得，S n ＝b ＋b 2＋b 22＋…＋b 2n ＝b [1－12n ＋1]1－12＝b ·(2－12n )．(2)当a ＝10，b ＝4000时，设获利为T n 元．由题意知T n ＝10S n －1000n ＝40000·(2－12n )－1000n .欲使T n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧T n ≥T n －1T n ≥T n ＋1，代入解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5n ≥5.所以n ＝5，此时S 5＝7875.即厂家应生产7875件这种产品，做5千元的广告，才能获利最大． 9．解析：(1)由题意得Δ＝a n ＋1－2a n －1＝0，即a n ＋1＝2a n ＋1，进而可得a 2＝5，a 3＝11.(2)证明：由于a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．因为a 1＋1＝3≠0，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，公比为2的等比数列，则数列{1a n ＋1}是以13为首项，公比为12的等比数列．于是11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n＝13(1＋12＋122＋…＋12n －1) ＝13·1－12n1－12＝23[1－(12)n ] <23，所以11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n <23(n ∈N *)．第36讲算法与程序框图1．B 由顺序结构、条件结构和循环结构的含义可知应选B. 2．C 只有②③符合条件，故选C.3．C 执行如图的程序框图，n ＝1，S ＝1；n ＝2，S ＝3；n ＝3，S ＝7；n ＝4，S ＝15；n ＝5输出，则p ＝8为最小值，故选C.4．B 当a ＝1时，进入循环，此时b ＝21＝2；当a ＝2时，再进入循环，此时b ＝22＝4；当a ＝3时，再进入循环，此时b ＝24＝16，所以当a ＝4时，应跳出循环，得循环满足的条件为a ≤3，故选B.5．－54 第1次循环后，y ＝1，x ＝1；第2次循环后，y ＝－12，x ＝－12；第3次循环后，y ＝－54.6．{x |x ＝2或－2≤x ≤1} 流程图的算法功能是求实数a ，b ，c 的最小值，则b ≤a ，b ≤c ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤4x 2≤2x 2－3x ＋2，解得x ＝2或－2≤x ≤1.7.32第一(i ＝1)步：s 1＝s 1＋x i ＝0＋1＝1；第二(i ＝2)步：s 1＝s 1＋x i ＝1＋1.5＝2.5；第三(i ＝3)步：s 1＝s 1＋x i ＝2.5＋1.5＝4；第四(i ＝4)步：s 1＝s 1＋x i ＝4＋2＝6，s ＝14×6＝32；第五(i ＝5)步：i ＝5>4，输出s ＝32.8．解析：第一步：输入实数a ；第二步：若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步：输出2a －1；第四步：输出a 2－2a ＋3.9．解析：该题涉及分段函数，故设y (单位：元)表示通话费，t (单位：分钟)表示通话时间，则依题意有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2 t 0.2＋t －t >3，t ∈N *0.2＋t －3]＋t >3，但t ∉N *.流程图如图所示：第37讲基本算法语句和算法案例 1．D 2.D 3.B4．C v 1＝3x ＋3，v 2＝v 1x ＋2，v 3＝v 2x ＋6，v 4＝v 3x ＋1，共需4次乘法，故选C.5．24 第1次运行后，t ＝2，i ＝3；第2次运行后，t ＝6，i ＝4；第3次运行后，t ＝24，i ＝5.6．5 由k 进制数123可判断k ≥4，若k ＝4，38(10)＝212(4)不成立．若k ＝5，38(10)＝123(5)成立，所以k ＝5.7．20,30,20 给a ，b ，c 赋初值分别为10,20,30，执行a ＝b 后a 的值为20，执行b ＝c 后b 的值为30，执行c ＝a 后c 的值为20.8．解析：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f (x )＝((((0.00833x ＋0.04167)x ＋0.16667)x ＋0.5)x ＋1)x ＋1. 按照从内到外的顺序依次计算一次多项式，当x ＝－0.2时的值： v 0＝0.00833，v 1＝0.00833×(－0.2)＋0.04167＝0.04， v 2＝0.04×(－0.2)＋0.16667＝0.15867， v 3＝0.15867×(－0.2)＋0.5＝0.46827， v 4＝0.46827×(－0.2)＋1＝0.90635， v 5＝0.90635×(－0.2)＋1＝0.81873，所以当x ＝－0.2时，多项式的值为0.81873.9．解析：购冰箱的钱全部付清后，实际付了1255元．程序框图如下：程序如下：m＝60a＝150S＝0S＝S＋ai＝1WHILE i<＝20S＝S＋mm＝m－0.5i＝i＋1 WENDPRINT SEND。

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第六章数列 6-5 Word版含解析

基础达标检测一、选择题1．已知数列{a n}是首项为a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于()A．1B．－1C．1或－1 D. 2[答案] C[解析]依题意有2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，整理得q4＋q2－2＝0，解得q2＝1(q2＝－2舍去)，所以q＝1或－1，故选C.2．等差数列{a n}的前n项和为S n，S9＝－18，S13＝－52，等比数列{b n}中，b5＝a5，b7＝a7，则b15的值为()A．64 B．－64C．128 D．－128[答案] B[解析]因为S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝－18，S13＝132(a1＋a13)＝13a7＝－52，所以a5＝－2，a7＝－4，又b5＝a5，b7＝a7，所以q2＝2，所以b15＝b7·q8＝－4×16＝－64.3．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等数列的公差等于()A ．0 B.π12 C.π6 D.π4[答案] A[解析] 因A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3，b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，可推得a ＝c ＝b . ∴A ＝B ＝C ，即公差为0.4．等差数列{a n }中，a 1＝a 3＋a 7－2a 4＝4，则a n a n ＋1＋12n 2＋3n 的值为整数时n 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] a 3＋a 7－2a 4＝2d ＝4， ∴d ＝2.∴a n ＝2n ＋2.∴a n a n ＋1＋12n 2＋3n ＝(2n ＋2)(2n ＋4)＋12n 2＋3n＝4＋20n (n ＋3).当n ＝1,2时，符合题意．5．某种细胞开始时有2个，1h 后分裂成4个并死去1个，2h 后分裂成6个并死去1个，3h 后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6h 后细胞存活数是( )A ．33B ．64C．65 D．127[答案] B[解析]每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．6．小正方形按照如图的规律排列：每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n}，有以下结论：①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n＋1＝a n＋n＋1(n∈N＋)．其中正确的命题序号为()A．①②B．①③C．①④D．①[答案] C[解析]当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3；当n＝3时，a3＝6；当n＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有a n＋1＝a n＋n＋1，a5＝15.故①④正确．二、填空题7．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆x2m＋y2n＝1的离心率为________．[答案] 22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝n －m n＝22.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] 2n ＋1－2[解析] ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ， ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.9．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N ＋)等于________．[答案] 6[解析] 本题考查等比数列通项公式，前n 项和公式等．记第一天植树a 1＝2，则第n 天为a n ＝2n，这n 天总共植树S n ＝2(1－2n)1－2＝2(2n－1)，令S n ≥100得n ≥6，所以最少要6天．三、解答题10．(2013·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N ＋函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′(π2)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2(a n ＋12a n)，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1·sin x －a n ＋2cos x对任意n ∈N ＋.f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1. (2)由b n ＝2(a n ＋12a n )＝2(n ＋1＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12[1－(12)n ]1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .能力强化训练一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图像在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为( )A.2 0132 015B.2 0122 013C.2 0132 014D.2 0142 015[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S 2 014＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 013－12 014)＋(12 014－12 015)＝1－12 015＝2 0142 015.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64an的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案] D[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n .∴S n ＋64a n＝n 2＋n ＋642n＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n ，∴n ＝8，故选D.二、填空题3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.[答案] 10[解析] 由等差数列的性质可知2a m ＝a m ＋1＋a m －1，又∵a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，∴a 2m ＝2a m ，∴a m ＝2(a m ＝0不合题意，舍去)，又S 2m －1＝2m －12(a 1＋a 2m －1)＝2m －12×2a m ＝(2m －1)·a m ＝38，∴2m －1＝19. ∴m ＝10.4．(2014·济南模拟)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列{1x n}为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．[答案] 100[解析] 因为数列{1x n}为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20(x 1＋x 20)2＝20(x 3＋x 18)2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3，x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤(x 3＋x 182)2＝100，即x 3x 18的最大值为100.三、解答题5．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{a n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上， ∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)∵b n ＝a n ·3n ，∴b n ＝(2n ＋1)·3n .∴T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)·3n －1＋(2n ＋1)·3n ，① ∴3T n ＝3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ＋(2n ＋1)·3n ＋1.②①－②得－2T n ＝3×3＋2(32＋33＋…＋3n )－(2n ＋1)·3n ＋1＝9＋2×9(1－3n －1)1－3－(2n ＋1)·3n ＋1＝－2n ·3n ＋1∴T n ＝n ·3n ＋1.6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .[解析] (1)由已知点A n (a n ，a n ＋1)在y 2－x 2＝1上知， a n ＋1－a n ＝1，又∵a 1＝2.∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上， ∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，② ①②两式相减得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)， ∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列． (3)证明：由(2)可知b n ＝23·(13)n －1＝23n . ∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)· 23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)<0， ∴c n ＋1<c n .------------------------------------------------------------------------怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。

2015年山东省高考(理)一轮专题复习特训：数列【含答案】

山东省2015年高考数学一轮专题复习特训数列一、选择题 1 1．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）已知数列{ an }的前n 项和为Sn,且Sn=2(an —1),则a2等于（） A ．4 B ．2 C ．1 D ．-2 【答案】A22．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知n n a )31(=,把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状,记),n m A （表示第m 行的第n 个数,则）（12,10A = （）A ．9331）（B ．9231）（C ．9431）（D ．11231）（【答案】A 33．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若5359a a =,则95SS =（） A ．1 B ．-1 C ．2 D．12【答案】A44．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）数列中,前项和为,且 ,则= （） A ．2600 B ．2601 C ．2602D ．2603【答案】A55．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,已知7863==S S ，,则=++987a a a （）}{n a n n S n n n a a a a )1(1,2,1221-++===+100SA ．81B ．81-C ．857D ．855【答案】A66 ．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示数列{an}的前n 项的和,若a1=3,a2a4=144,则S5的值为（）A ．692B ．69C ．93D ．189【答案】C 77．（山东省聊城市堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测数学（理）试题）若数列的通项为,则其前项和为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 根据题意,由于数列的通项为可以变形为n 112()2a n n =-+,那么可知数列的前n 项和为n 12n 111111+++2[()()+()]13242S a a a n n ==-+-+-+可知结论为,故选D88．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）等差数列中,则（） A ． B ． C ． D ．【答案】B 二、填空题 19．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）已知递增的等差数列满足,则_________ . 【答案】{}n a 564a a +=310122log (2222)a aa a ⋅⋅⋅⋅=…10204022log 5+{}n a 21321,4a a a ==-n a =21n -三、解答题1、（2014山东理）19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：19.解：（I ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===解得12,11-=∴=n a a n （II ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n )121121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1221211+=+-=∴n nn T n )121121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当12221211++=++=∴n n n T n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,1222、（2013山东理）20．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 前n 项和为n T ，且12n n n a T λ++=（λ为常数）.令2n nc b =4122421,,S S S S S S =∴成等比*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R 。

2015年三年高考数学(理)真题精编——专题06 数列(选择填空解答)

一、选择题1. 【2014高考北京理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C. 考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.2. 【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.3. 【2013课标全国Ⅱ，理3】等比数列{a n}的前n 项和为S n.已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝()．A ．13 B ．13- C ．19 D ．19- 【答案】：C【解析】：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝31(1)1a q q --＝a 1·q ＋10a 1，∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19. 8. 【2013课标全国Ⅰ，理7】设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若Sm －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】：C【解析】：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=.∴m ＝5.故选C. 11. 【2013课标全国Ⅰ，理12】设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【答案】：B 【解析】13. 【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <> 【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+， ∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B. 【考点定位】1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.等比数列的概念15. 【2014高考重庆理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D考点：1、等比数列的概念与通项公式；2、等比中项.16. 【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B .【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.20. 【2013上海,理17】在数列{a n }中，a n ＝2n －1.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij ＝a i ·a j＋a i ＋a j (i ＝1,2，…，7；j ＝1,2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ) A ．18B ．28C ．48D ．63【答案】A【解析】a i ，j ＝a i ·a j ＋a i ＋a j ＝2i ＋j －1，而i ＋j ＝2,3，…，19，故不同数值个数为18，选A.22. 【2014福建，理3】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C 【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C. 考点：等差数列的性质.23. (2013福建，理9)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n－1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N*)，则以下结论一定正确的是( )．A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 【答案】C25. 【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D【考点定位】等差中项和等比中项．二、填空题3. 【2013高考北京理第10题】若等比数列{a n}满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__________；前n 项和S n ＝__________.【答案】2 2n ＋1－2【解析】试题分析：由题意知352440220a a q a a +===+.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2.∴S n ＝21212n (-)-＝2n ＋1－2.考点：等比数列的通项公式,前n 项和.4. 【2014高考北京理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8考点：等差数列的性质，前n 项和的最值，容易题.5. 【2013高考广东卷.理.12】在等差数列{a n }中,已知a 3＋a 8＝10,则3a 5＋a 7＝__________.【答案】20【解析】因为数列{a n }的等差数列,所以由等差数列的性质得a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝a 4＋a 7＝10. 所以3a 5＋a 7＝a 5＋2a 5＋a 7＝a 5＋a 4＋a 6＋a 7＝2×10＝20.故填20. 【考点定位】本题考查数列中的等差数列,属于基础题7. 【2014高考广东卷.理.13】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .【答案】50.【解析】由题意知51011912101122a a a a a a e +==，所以51011a a e =，因此()()()()()101055012201202191011101110a a a a a a a a a a a ee ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅===对，因此()1250122020ln ln ln ln ln 50a a a a a a e⋅⋅⋅+=++== .【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题.9. 【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】等差数列的性质．11. 【 2013湖南15】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则（1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________。

2015年高考数学理一轮复习精品资料专题6.4 数列求和含解析

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第六章数列第四节数列求和一、选择题1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（） A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011002. 【改编题】设数列}{n a 中，若)N (21*++∈+=n a a a n n n ，则称数列}{n a 为“凸数列”.已知数列}{n b 为“凸数列”，且11=b ，22-=b ，则数列}{n b 的前2014项和为（） A ．5B ．5-C ．0D ．2-3. 数列1111111111,,,,,,,,,,223334444的前100项的和等于（）A.91314B.111314C.11414D.314144. 数列，，，，1617815413211的前n 项和n S 为( )． A.12211--+n n B.n n 2122-+ C.n n 2112-+ D. 12212--+n n5. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若数列{}n a 的通项为2(2)n a n n =+，则其前n 项和n S 为（） A ．112n -+ B ．31121n n --+ C ．31122n n --+ D ．311212n n --++6. 数列}{n a 满足 ,11=a 且对任意的*,N n m ∈都有 ,mn a a a n m n m ++=+则=+⋅⋅⋅+++20133211111a a a a （）A.20142013 B.20144026 C.20132012 D.201340247. 【2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】在数列{}n a 中，已知11a =，()111sin2n n a a π++-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（）A.1006B.1007C.1008D.10098. 【2014年陕西省宝鸡市高三数学质量检测（一）】已知一次函数b kx x f +=)(的图像经过点)2,1(P 和)4,2(--Q ，令N n n f n f a n *),1()(∈+=，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为s n ，当256=s n 时，n 的值等于（）A . 24 B. 25 C. 23 D. 26 【答案】Ａ【解析】因为一次函数b kx x f +=)(的图像经过点)2,1(P 和)4,2(--Q ，可得242k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得2k b =⎧⎨=⎩，所以()2f x x =，()()()(1)22141n a f n f n n n n n =+=⨯+=+，()111114141n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，11111111161142231414125n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，得24n =． 9. 【江西师大附中高三年级数学期中考试试卷】已知函数ax x x f -=2)(的图像在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线023=++y x 垂直，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ，则2013S 的值为（） A.20112010B.20122011 C.20132012D.2014201310. 已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N *∈）的前n 项和等于3231，则n 等于A ．4B ．5C ． 6D ． 7二、填空题12. 【改编题】已知数列{}n a 满足211222n n a -=++++，则{}n a 的前n 项和n S = .13. 【改编题】以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.三、解答题14.【原创题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求证：3n T >.15. 【河北石家庄2014届高三调研试题】已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n an b =+，求数列{}n b 的前n 项和.16. 【山东省威海市2014届高三3月模拟考试】已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2843,n n n S a a =++且2a 是1a 和7a 的等比中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记23[log ()]4n n a b +=，求1232n b b b b +++.。

2015届高考数学一轮总复习6-4数列的综合问题与数列的应用课后强化作业(新人教A版)

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)若a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 [答案] A[解析] 由题意知，b 2＝ac >0，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴无交点． (理)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 [答案] D[解析] 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64，故选D.2．(文)小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)，其中正确的为( )A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④[答案] D[解析] 观察图形可知a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴选D.(理)某同学在电脑中打出如下若干个圈：●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中的●的个数是( )A ．60B ．61C ．62D ．63 [答案] C[解析] 第一次出现●在第1个位置；第二次出现●在第(1＋2)个位置；第三次出现●在第(1＋2＋3)个位置；…；第n 次出现●在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1953,2014－1953＝61<63，∴在前2014个圈中的●的个数是62.3．(2012·沈阳市二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个实数根，则S 5的值为( )A.52 B ．5 C ．－52 D ．－5 [答案] A[解析] ∵a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两实根， ∴a 2＋a 4＝1，∴S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝52.4．(文)已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公式q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( ) A ．a 6＝b 6 B ．a 6>b 6 C ．a 6<b 6 D ．以上都有可能[答案] B[解析] a 6＝a 1＋a 112，b 6＝b 1b 11＝a 1a 11，由q ≠1得，a 1≠a 11. 故a 6＝a 1＋a 112>a 1a 11＝b 6.(理)(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →＝( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1[答案] A[解析] 由S 29＝S 4000得到S n 关于n ＝29＋40002＝2014.5对称，故S n 的最大(或最小)值为S 2014＝S 2015，故a 2015＝0，OP →·OQ →＝2015＋a n ·a 2015＝2015＋a n ×0＝2015，故选A.6．(2013·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A.2012－1B.2013－1C.2014－1D.2014＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12 .∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＝2014－1.二、填空题7．(文)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋d ＝q ，2(2＋3d )＝q 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，d ＝0，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝2.所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4. (理)在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比q 为________．[答案] 3[解析] ∵a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q 3＝a 4a 1＝27， ∴q ＝3.8．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案] 78ar[解析] 依题意得，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋3ar ＋2ar ＋ar ＝12(12＋1)2ar ＝78ar 元． 9．(文)已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为________．[答案]22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝n －m n＝22. (理)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ， ∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 三、解答题10．(文)(2013·浙江萧山五校联考)已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n . [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ∴S n ＝n 2＋2n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1，又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝(2n ＋1)·2n ，∴T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ， ∴2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1，相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2·4·(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.(理)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n项和T n .[解析] (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，∴a ＝3，b ＝－2， ∵f (x )过原点，∴c ＝0，∴f (x )＝3x 2－2x .依题意得S n ＝3n 2－2n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式． ∴a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n ，∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1(n ≥2)．相减得b n2n ＝6，∴b n ＝6·2n (n ≥2)．b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，6·2n (n ≥2).∴T n ＝2＋6(22＋23＋…＋2n )＝3·2n ＋2－22.能力拓展提升一、选择题11．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11000的等差数列，则n 的最大值为( )A ．2001B ．2000C ．1999D ．1998[答案] B[分析] 公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的项数就越多(即n 越大)，故P 1与P n 取长轴两端点时n 取最大值，可依据公差大于11000列不等式解．[解析] ∵|P n F |max ＝a ＋c ＝3，|P n F |min ＝a －c ＝1， d ＝a n －a 1n －1＝3－1n －1＞11000，n ∈N ，∴n max ＝2000，故选B.12．(文)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13 [答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2，a 1＋6d ＝a 1q 4.得d ＝a 14(q 4－q 2)． ∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2，∵q ≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63，∴b 11＝a 63.(理)(2013·河北教学质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n－λ)(1a n＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3[答案] C[解析] 由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.13．(文)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45 [答案] C[解析] 循环过程为i ＝1<4→i ＝2，m ＝1，S ＝11×2； i ＝2<4→i ＝3，m ＝2，S ＝11×2＋12×3；i ＝3<4→i ＝4，m ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4；i ＝4<4不成立，输出S 的值．故S ＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14 ＝1－14＝34.(理)已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －3[答案] B[解析] 由a i ＋1＝a i ＋2知数列{a n }是公差为2的等差数列，由M ＝1a i ai ＋1及S ＝S ＋M 知，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a i a i ＋1，由条件i ≤k 不满足时输出S 及输入k ＝5，输出S ＝511知，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…1a 5a 6＝12[(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…(1a 5－1a 6)]＝12(1a 1－1a 6)＝12(1a 1－1a 1＋10)＝5a 1(a 1＋10)＝511， ∵a 1>0，∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 二、填空题14．(2013·广东佛山一模)我们可以利用数列{a n }的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．[答案] 28 640[解析] a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝28. 5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640.15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，把数列{a n }的各项排列成如图所示的三角形数阵：2 22 23 24 25 26 27 28 29 210……记M (s ，t )表示该数阵中第s 行的第t 个数，则M (11,2)对应的数是________(用2n 的形式表示，n ∈N )．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m 行的最后一个数是数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，且该行有m 项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n }的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.三、解答题16．(文)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝⎛⎭⎫1，S 11，P 2⎝⎛⎭⎫2，S 22，…，P n ⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd ＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d . ∴点P n ⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上． ∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．即dx －2y ＋2－d ＝0.(理)在等差数列{a n }中，设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，(1)求a 1的取值范围；(2)指出S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中哪个值最大，并说明理由．[解析] (1)由已知可得a 5－a 35－3＝－2，则公差d ＝－2，∴⎩⎨⎧S 15＝15a 1＋15×142×d ＝15(a 1－14)>0，S16＝16a 1＋16×152×d ＝16(a 1－15)<0.∴14<a 1<15. (2)最大的值是S 8a 8，∵S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0， ∴a 8>0，a 9<0，即S 8最大．又当1≤i ≤8时，S i a i >0；当9≤i ≤15时，S ia i <0，∵数列{a n }递减，∴S 1a 1≤S 2a 2≤…≤S 8a 8，S 8a 8≥S 9a 9≥…≥S 15a 15⇒S 8a 8最大．考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．补充说明1．等比数列综合问题的解题思路在解答等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果，既要掌握“通法”，又要注重“特法”．2．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，将数列拆为基本数列，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．备选习题1．设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.3．已知数列{a n }、{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n ，则b 2014＝( )A.20132014B.20142013C.20142015D.20152014 [答案] C[解析] ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n ，∴b 2＝b 11－a 21＝23， ∴a 2＝13，b 3＝b 21－a 22＝34，a 3＝14，b 4＝b 31－a 23＝45，a 4＝15，…，观察可见a n＝1n ＋1，b n ＝n n ＋1，∴b 2014＝20142015，故选C.4．(2013·武汉调研)在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且满足a 1，j ＝2j －1，a i,1＝i ，a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j (i ，j ∈N *)；又记第3行的3,5,8,13,22,39，…，为数列{b n }，则(1)(2)数列{b n }的通项公式为________． [答案] (1)129 (2)b n ＝2n －1＋n ＋1，n ∈N *5．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝⎛⎭⎫12与3的大小，并证明你的结论．[解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋5⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝⎛⎭⎫12n ，两边同乘以12得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，两式相减得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋2⎝⎛⎭⎫12n －(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－(2n －1)12n ＋1. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝3－2n ＋32n<3.。

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第六章数列 6-3 Word版含解析

基础达标检测一、选择题1．(文)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( )A ．2 B. 2 C.22 D.12[答案] B[解析] ∵a 3·a 9＝(a 6)2＝2a 25， ∴(a 6a 5)2＝2，又{a n }的公比为正数，∴q ＝a 6a 5＝ 2.∴a 1＝a 2q ＝ 2.(理)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2[答案] A[解析] ∵{a n }为正项等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，且a 4a 5a 6>0， ∴a 4a 5a 6＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝52，故选A.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．243[答案] A[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，∴由a 1＋a 1q ＝3得a 1＝1，∴a 7＝1×27－1＝64.3．(文)(2013·新课标Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n[答案] D[解析] 本题考查等比数列前n 项和S n 与通项a n 之间的关系，由题意得，a n ＝(23)n －1，S n ＝1－(23)n 1－23＝1－23(23)n －113＝3－2a n ，选D. (理)(2013·新课标Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19[答案] C[解析] ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， a 3＝9a 1＝a 1q 2，∴q 2＝9，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 3，∴a 3＝1，又a 3＝9a 1，故a 1＝19.4．(文)一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项[答案] B[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，a n1qn (n －1)2＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n ＝642.所以n ＝12.(理)设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20＝( )A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．10 240[答案] C[解析] ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N ＋)， ∴log 2x n ＋1＝log 2(2x n )， ∴x n ＋1＝2x n ，x n ＋1x n＝2(n ∈N ＋)，又x n >0(n ∈N ＋)，所以数列{x n }是公比为2的等比数列，由x 1＋x 2＋…＋x 10＝10得到x 1＝10210－1，所以S 20＝x 1(1－220)1－2＝10×(210＋1)＝10 250.5．(文)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7[答案] D[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8⇒a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， a 4＝4，a 7＝－2⇔a 1＝－8，a 10＝1⇔a 1＋a 10＝－7， a 4＝－2，a 7＝4⇒a 10＝－8，a 1＝1⇔a 1＋a 10＝－7.(理)(2014·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n －13D.22n －23[答案] C[解析] 依题意，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1，a n ＝2n －1也适合a 1. 因此，a n ＝2n －1，a n ＋1a n＝2，数列{a n }是等比数列．数列{a n }的奇数项的前n 项和为1×(1－22n )1－22＝22n －13. 6．(2014·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32 C ．1 D ．－32[答案] B[解析] 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3 ，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 二、填空题7．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N ＋都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.[答案] 11[解析] 本题考查了等比数列通项公式，求和公式等，设{a n }公比为q ，则a n ＋2＋a n ＋1 －2a n ＝a 1q n ＋1＋a 1q n －2a 1q n －1＝0，所以q 2＋q －2＝0，即q ＝－2，q ＝1(舍去)，∴S 5＝1－(－2)51－(－2)＝11.8．在等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于________．[答案] 13(4n －1)[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1， ∴a 1＝1，a 2＝2，q ＝2 又∵{a n }是等比数列∴{a 2n }也是等比数列，首项为1，公比为4 ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝13(4n －1)． 9．(2013·辽宁高考)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.[答案] 63[解析] 本题考查等比数列的基本运算问题．因为方程x 2－5x ＋4＝0的两根为1,4.由a 1，a 3是方程的两根且数列是递增数列知，a 1＝1，a 3＝4，所以公比q ＝2，S 6＝1－261－2＝63.三、解答题10．(文)S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，且公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项．(1)求S 2和S 3；(2)求此数列{a n }的前n 项和公式．[解析](1)根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧12S 2＋13S 3＝2，(2S 2)(3S 3)＝36.整理得⎩⎨⎧3S 2＋2S 3＝12，(3S 2)(2S 3)＝36.解得3S 2＝2S 3＝6，即⎩⎨⎧S 2＝2，S 3＝3.(2)∵q ≠1，则⎩⎨⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝3.可解得q ＝－12，a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83－83(－12)n. (理)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列． [解析] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3. (2)数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2，所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2，因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．能力强化训练一、选择题1．(文)在正项等比数列{a n }中，若a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，则log 2a 7－12log 2a 8＝( )A.18B.16C.14D.12[答案]D[解析] ∵a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，∴a 6＝2， ∴log 2a 7－12log 2a 8＝log 2a 7a 8＝log 2a 6a 8a 8＝log 2a 6＝log 22＝12.(理)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12[答案] B[解析] 设{a n }的公比为q ，则q >0. ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列， ∴a 3＝a 1＋a 2，∴a 1q 2＝a 1＋a 1q ， ∵a 1≠0，∴1＋q ＝q 2，又∵q >0，∴q ＝5＋12， ∴a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝5＋12. 2．(2014·武汉模拟)等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0，且q >1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1>a n ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 [答案] A[解析] 易知，当a 1>0且q >1时，a n >0，所以a n ＋1a n＝q >1，表明a n ＋1>a n ；若对任意自然数n ，都有a n ＋1>a n 成立，当a n >0时，同除a n 得q >1，但当a n <0时，同除a n 得0<q <1. 也可举反例，如a n ＝－12n . 二、填空题3．若数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则a n 等于________．[答案] 2n －1[解析] a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2a 3－a 2＝22…a n－a n －1＝2n －1相加：a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， ∴a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1.4．(文)已知等比数列{a n}为递增数列，若a1>0，且2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的公比q＝________.[答案]2[解析]本题考查了等比数列的通项公式．∵{a n}是递增的等比数列，且a1>0，∴q>1，又∵2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，∴2a n＋2a n q2＝5a n q，∵a n≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12(舍去)，∴公比q为2.(理)已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的通项公式a n＝________.[答案]2n[解析]本题考查等比数列通项公式的求法．由题意，a25＝a10，则(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q.又∵2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，∴2q2－5q－2＝0，∵q>1，∴q＝2，a1＝2，∴a n＝a1·q n－1＝2n.三、解答题5．(2013·四川高考)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比及前n 项和．[解析] 根据题意确定数列的首项及公比．再利用等比数列的前n 项和公式求解．设该数列的公比为q ，由已知可得由a 2－a 1得a 1q －a 1＝2，即a 1(q －1)＝2.由6a 1＝2a 2＋a 3得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以数列的前n 项和S n ＝3n －12.6．(文)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．[解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.(理)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和． [解析] (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13，由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2nn ＋1.所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1.。

【精编】理科优化设计一轮高考模拟试卷-第六章数列 (2)

∈N*),其前 n 项和为 Sn,若数列{ ��}也为等差数列,则��+��2��10的最大值是( )
A.310
B.212
C.180
D.121
解析:因为等差数列{an}满足 a1=1,an>0(n∈N*),设公差为 d,则 an=1+(n-1)d,其前 n 项和为 Sn=
1 21 2
�� + 10 ��11
=(2n-1)2,所以 ��2�� = 2�� - 1 = 2 + 4�� - 2 .由于 2 + 4�� - 2 为单调递减数列,所以 ��2�� ≤ ��21
=112=121,故选 D.
10(��1 + ��10) 10(2��1 + 9��)
S10=
2
=
2 =0,故选 C.
答案:C
6.3 等比数列及其前 n 项和
专题等比数列的概念与
1
运算
■(2015 江西南昌一模,等比数列的概念与运算,解答题,理 17)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S3=6,正项数列{bn}满足 b1·b2·b3·…·bn=2��.
∴an=λSn-1+1(n≥2), ∴an+1-an=λan,即 an+1=(λ+1)an(n≥2),λ+1≠0, 又 a1=1,a2=λS1+1=λ+1, ∴数列{an}是首项为 1,公比为 λ+1 的等比数列, ∴a3=(λ+1)2,

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第六单元数列与算法第30讲数列的概念与通项公式1.(2013·延庆县第一次模拟)S n 是数列{a n }的前n 项和，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n (n 是偶数)2n (n 是奇数)，则S 5等于( )A ．30B ．32C ．36D ．382.(2013·新课标提分专家预测)若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，且a 8＝3421，则a 3＝( )A.32B.53C.85D.1383.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则其通项公式a n ＝( )A ．3·2n －1B ．2·3n －1 C ．2n D ．3n4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( ) A ．－55 B ．－5 C ．5 D ．555.若数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2(n ∈N *)，则其{a n }的前10项和为( )A ．40B ．80C ．120D ．1606.若{a n }是递增数列，对于任意自然数n ，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．7.(2013·山东青岛市期末)对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.8.若对于正整数k ，g (k )表示k 的最大奇数因数，例如g (3)＝3，g (10)＝5.设S n ＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋g (4)＋…＋g (2n )．(1)求g (6)，g (20)的值； (2)求S 1，S 2，S 3的值．9.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1)2(n ∈N *)，且a 4＝54，求：(1)a 1的值； (2)通项a n .第31讲等差数列的概念及基本运算1.设{a n }是等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝15，则这个数列的前5项和S 5＝( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．252.(2013·太原市第二次模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( )A ．10B ．16C ．20D ．243.若等差数列{a n }满足a n a n ＋1＝n 2＋3n ＋2，则公差为( ) A ．1 B ．2C ．1或－1D ．2或－2 4.(2013·山东省莱芜市上期末)等差数列{a n }中，已知a 1＝－6，a n ＝0，公差d ∈N *，则n (n ≥3)的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．85.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是________．6.已知等差数列{a n }，若a 1＝3，前三项和为21，则a 4＋a 5＋a 6＝________.7.在等差数列{a n }中，a 1＝－2014，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2014＝________.8.在等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最大值．9.设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．第32讲等比数列的概念及基本运算1.设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝( )A ．31B ．15C ．16D ．32 2.(2013·黄冈市上期期末考试)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，其前4项和S 4＝60，则a 2等于( )A ．8B ．6C ．－8D ．－63.如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于( )A ．32B ．64C ．－32D ．－644.已知数列{a n }是正项等比数列，若a 2＝2,2a 3＋a 4＝16，则数列{a n }的通项公式为( )A ．2n －2B ．22－nC ．2n －1 D ．2n5.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2013＝3S 2012＋2014，a 2012＝3S 2011＋2014，则公比q ＝( )A ．4B ．1或4C ．2D ．1或26.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13 B.13C ．－12 D.127.(2013·山东日照一次诊断)已知数列{a n }为等比数列，且a 5＝4，a 9＝64，则a 7＝________.8.已知数列{b n }(n ∈N *)是递增的等比数列，且b 1＋b 3＝5，b 1b 3＝4. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＝log 2b n ＋3，求证：{a n }是等差数列．9.已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)求证：数列{a n ＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .第33讲等差、等比数列的综合应用1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，S 5＝( ) A.52B ．5C ．－52 D ．－52.(2013·石家庄市质检)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值( )A ．16B ．32C ．48D ．643.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．9 B ．16 C ．36 D ．454.(2013·长春市调研测试)等差数列{a n }的公差为3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 4＝( )A ．8B ．10C ．12D ．16 5.(2013·湖南省长沙市第二次模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.6.已知1，a 1，a 2,9成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，且a 1，a 2，b 1，b 2，b 3都是实数，则(a 2－a 1)b 2＝______.7.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝________.8.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T nK n，求证：c n ＋1＞c n (n ∈N *)．9.等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n 2＋n ＋1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前99项的和．第34讲数列求和1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－112.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋2)，则S 10等于( )A.175264B.7255C.1012D.11123.已知数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{ab n }前10项的和等于( )A ．511B ．512C ．1023D ．10334.数列{(3n －1)·4n －1}的前n 项和S n ＝( )A ．(n －23)·4n ＋23B ．(n －23)·4n ＋1＋23C ．(n －23)·4n －1＋23D ．(n －23)·4n ＋435.已知等差数列{a n }中，a 5＝1，a 3＝a 2＋2，则S 11＝ .6.(2013·山东诸城月考)已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p a q ＝a p ＋q ，若a 1＝12，则S 9＝________.7.如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，即a i ＝a m ＋1－i (i ＝1,2，…，m )，则称其为“对称”数列．例如：1,2,5,2,1，与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在2011项的“对称”数列{c n }中，c 1006，c 1007，…，c 2011是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列{c n }的所有项的和为__________．8.已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝1，{b n }为等比数列，数列{a n ＋b n }的前三项依次为3,7,13，求(1)数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .9.(2013·山东济宁模拟)已知等差数列{a n }，a 3＝3，a 2＋a 7＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．第35讲数列模型及应用1.(2013·浙江省富阳市质检){a n }是等比数列，其中a 3，a 7是关于x 的方程x 2－2x sin α－3sin α＝0的两根，且(a 3＋a 7)2＝2a 3a 7＋6，则锐角α的值为( )A.π6B.π4C.π3D.5π122.在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且a ，6，c 成等比数列，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 63.已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列4.已知f (x )＝sin 2x ，若等差数列{a n }的第5项的值为f ′(π6)，则a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝( )A ．2B ．4C ．8D ．165.五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2014次被报出的数为______．6.(2013·江苏泰兴市上期中模拟)王老师从2013年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回________元．7.(2013·杭州第一次模拟)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为______．8.对正整数n ，设抛物线y 2＝2(2n ＋1)x ，过P (2n,0)任作直线l 交抛物线于A n ，B n 两点，设a n ＝OA →n ·OB →n .(1)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫OA →n ·OB →n 2(n ＋1)的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫OA →n ·OB →n 2(n ＋1)的前n 项和．9.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为n－1千元时多卖出b2n(n∈N*)件．(1)试写出销售量S n与n的函数关系式；(2)当a＝10，b＝4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？第36讲算法、程序框图与算法案例1.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( ) X ＝2013Y ＝1X ＝X ＋Y Y ＝X －YPRINT X ，YA ．2014,2012B ．2012,2014C ．2014,2014D ．2014,20132.执行如图的程序框图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最小值是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．15(第2题图) (第3题图)3.(2013·石家庄市模拟)已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A ．2B ．3C ．5D ．74.把五进制数123(5)化为二进制数为 (2)．5.执行如图所示的程序框图，若输入x ＝4，则输出y 的值为________．(第5题图) (第6题图)6.上图给出了一个算法流程图．若给出实数a ，b ，c 为a ＝4，b ＝x 2，c ＝2x 2－3x ＋2，输出的结果为b ，则实数x 的取值范围是________________________．7.到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行收取一定的手续费．规定汇款不超过100元时收取1元手续费；超过100元但不超过5000元时按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费，设计算法求汇款额为x 元时，银行收取手续费y 元，只画出流程图．8.用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款利息．若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购冰箱的钱全部付清后，实际付了多少元？请画出程序框图，并写出程序．第六单元数列与算法第30讲数列的概念与通项公式1．D S 5＝2＋22＋6＋24＋10＝38，故选D.2．A 由a 8＝3421＝1＋1a 7，得a 7＝2113＝1＋1a 6，类似有a 6＝138＝1＋1a 5，a 5＝85＝1＋1a 4，a 4＝53＝1＋1a 3，从而a 3＝32，故选A.3．B 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2·3n －1，又a 1＝S 1＝31－1＝2满足a n ＝2·3n －1，故选B.4．C 由a n ＝(－1)n (n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝5，故选C.5．A 由a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n2，得a 2n ＋1－2a n ＋1a n ＋a 2n ＝0，所以a n ＋1＝a n ，即{a n }为常数列，所以S 10＝10a 1＝40，故选A. 6．(－3，＋∞) 因为{a n }为递增数列，所以n 2＋λn ＞(n －1)2＋λ(n －1)(n ≥2)，即2n －1>－λ(n ≥2)⇒λ＞1－2n (n ≥2)，要使n ∈N *恒成立，则λ＞－3. 7.2n ＋12n 由H n ＝n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n，可得 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2，②由①－②，得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n.8．解析：(1)g (6)＝3，g (20)＝5. (2)S 1＝g (1)＋g (2)＝1＋1＝2；S 2＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋g (4)＝1＋1＋3＋1＝6；S 3＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋g (4)＋g (5)＋g (6)＋g (7)＋g (8)＝1＋1＋3＋1＋5＋3＋7＋1＝22.9．解析：(1)因为S 4＝a 1(34－1)2，S 3＝a 1(33－1)2，所以a 4＝S 4－S 3＝27a 1＝54，即a 1＝2.(2)因为S n ＝2(3n －1)2，所以S n －1＝2(3n －1－1)2(n ≥2)，所以a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1(n ≥2)．显然a 1＝2满足a n ＝2·3n －1，所以数列{a n }的通项a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．第31讲等差数列的概念及基本运算1．D 由a 2＋a 3＋a 4＝15知3a 3＝15，所以a 3＝5，所以S 5＝5a 3＝25，故选D.2．C 设公差为d ，则S 3＝3×2＋3d ＝12，则d ＝2，所以S 4＝4×2＋6×2＝20，故选C.3．C a n a n ＋1＝n 2＋3n ＋2＝(n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝n ＋1或a n ＝－n －1，公差为1或－1，故选C.4．A a n ＝a 1＋(n －1)d ＝0，所以d ＝6n －1.又d ∈N *，所以n (n ≥3)的最大值为7，故选A. 5．130 设公差为d ，则a 1＋(a 1＋8d )＋(a 1＋10d )＝30，整理得a 1＋6d ＝10，所以S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )＝130.6．57 由条件知3×3＋3d ＝21，d ＝4，所以a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×3＋4×12＝57. 7．－2014 设公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，S n n ＝a 1＋(n －1)d2，由S 1212－S 1010＝(12－1)d 2－(10－1)d 2＝d ，所以d ＝2，所以S 2014＝2014×(－2014)＋2014(2014－1)2×2＝－2014.8．解析：(1)设等差数列的公差为d ，则由a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4(a 1＋5d )＋(a 1＋7d )＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17d ＝－3，所以所求数列{a n }的通项公式a n ＝20－3n .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧20－3n ≥020－3(n ＋1)≤0，解得173≤n ≤203，因为n ∈N *，所以n ＝6，故前n 项和S n 的最大值为S 6＝6×17＋6×52×(－3)＝57.9．解析：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，所以a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5a 1＋5d ＝－8，解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)因为S 5S 6＋15＝0,所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2. 第32讲等比数列的概念及基本运算1．B S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝[1－(12)4]·24＝24－1＝15，故选B. 2．A S 4＝60，q ＝2⇒a 1(1－24)1－2＝60⇒a 1＝4，故a 2＝8，故选A.3．A a 5＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×a 5a 4＝a 51q 1＋2＋3＋4＝(－2)10＝32. 4．C 设等比数列的首项及公比分别为a 1，q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝22a 1q 2＋a 1q 3＝16，由此可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，故数列的通项公式为a n ＝2n －1，故选C.5．A 由a 2013＝3S 2012＋2014与a 2012＝3S 2011＋2014相减得，a 2013－a 2012＝3a 2012，即q ＝4，故选A.6．A 因为等比数列前n 项和可写为形如S n ＝kq n －k ，所以－a 2＝16，解得a ＝－13，故选A.7．16 因为a 5，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 5·a 9＝256.又a 5，a 7，a 9符号相同，所以a 7＝16.8．解析：(1)由b 1b 3＝4，b 1＋b 3＝5知，b 1、b 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根．又b n ＋1>b n ，所以b 1＝1，b 3＝4，所以b 22＝b 1b 3＝4，得b 2＝2，所以q ＝2，故b n ＝b 1·q n －1＝2n －1.(2)证明：由(1)知，a n ＝log 2b n ＋3＝log 22n －1＋3＝n ＋2. 因为a n ＋1－a n ＝n ＋1＋2－(n ＋2)＝1，所以数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列． 9．解析：(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2a n ＋4，即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ∈N *)．又由a 1＝2，得a 1＋2＝4，所以数列{a n ＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－2.所以S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n ＝22(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋2－2n －4.第33讲等差、等比数列的综合应用1．A a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，a 2＋a 4＝1，S 5＝(a 1＋a 5)×52＝52，故选A.2．D 等比数列{a n }，a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 25＝16，各项均为正数，所以a 5＝4，所以a 2·a 3·a 8＝a 35＝43＝64，即a 2·a 5·a 8的值为64，故选D. 3．D 由等差数列的性质可知a 7＋a 8＋a 9＝2(S 6－S 3)－S 3＝2×27－9＝45，故选D. 4．C 令首项为a ，根据条件有(a ＋9)2＝(a ＋3)(a ＋21)⇒a ＝3， a 4＝3＋3×3＝12，故选C.5．240 由等比数列性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，由已知条件知公比为2，所以a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)·q 3＝30×23＝240.6．8 由1，a 1，a 2,9成等差数列，可得a 2－a 1＝83，由1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，可得b 2＞0，且b 2＝3，所以(a 2－a 1)b 2＝8. 7.12 由等差数列的性质知1a 3＋1，1a 7＋1，1a 11＋1成等差数列，则2a 7＋1＝1a 3＋1＋1a 11＋1，即21＋1＝12＋1＋1a 11＋1，解得a 11＝12.8．解析：(1)设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2，所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2，b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ，①故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，② ①－②，得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，所以K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝(n ＋3)(2n－1)2n ＋1， c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2＞0，所以c n ＋1＞c n (n ∈N *)．9．解析：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)．因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 23＝a 1a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，所以d 2＝a 1d . 因为d >0，所以a 1＝d .①因为S 5＝a 25，所以5a 1＋5×42·d ＝(a 1＋4d )2.② 由①②解得a 1＝d ＝35.所以a n ＝35＋(n －1)×35＝35n (n ∈N *)．(2)b n ＝n 2＋n ＋135n ·35(n ＋1)＝259·n 2＋n ＋1n (n ＋1) ＝259(1＋1n －1n ＋1)．所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 99 ＝259(1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋199－1100) ＝259(99＋1－1100) ＝275＋2.75＝277.75. 第34讲数列求和1．D 通过8a 2＋a 5＝0，设公比为q ，将该式转化为8a 2＋a 2q 3＝0，解得q ＝－2，代入所求式可知答案选D.2．A S 10＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋19×11＋110×12＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(19－111)＋(110－112)] ＝12(1＋12－111－112) ＝175264. 故选A.3．D a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，依题意得M n ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(1＋1)＋(2＋1)＋…＋(2n －1＋1) ＝2n －1＋n ，M 10＝210＋10－1＝1033，故选D.4．A S n ＝2×1＋5×4＋8×42＋…＋(3n －1)·4n －1，① 4S n ＝4×2＋5×42＋…＋(3n －1)·4n ，② ②－①得：3S n ＝－2－3(4＋42＋…＋4n －1)＋(3n －1)·4n ＝2＋(3n －2)4n ，所以S n ＝(n －23)·4n ＋23，故选A.5．33 d ＝2，a 6＝3，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝33. 6.511512 由题意得a n ＋1＝a n a 1，a n ＋1a n ＝a 1＝12， a n ＝a 1(12)n －1＝(12)n ，因此S 9＝1－(12)9＝511512.7．2×10062－1 由题意得S 2011－S 1005＝1006c 1006＋1006×10052×2＝1006＋1006×1005 ＝10062.由对称数列得知，S 1005＝(S 2011－S 1005)－c 1006＝10062－1，所以S 2011＝2×10062－1.8．解析：(1)设公差为d ，公比为q . 因为⎭⎪⎬⎪⎫a 1＝1a 1＋b 1＝3a 2＋b 2＝7a 3＋b 3＝13⇒b 1＝2，d ＝2，q ＝2，所以a n ＝2n －1，b n ＝2n .(2)S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝1＋2n －12n ＋2(1－2n )1－2＝n 2＋2n ＋1－2.9．解析：(1)由已知a 2＋a 7＝12可得a 4＋a 5＝12，又因为a 3＝3，所以a 3＋a 4＋a 5＝15，所以a 4＝5，所以d ＝a 4－a 3＝2，所以a n ＝2n －3.(2)由(1)可知b n ＝n 22n －3，设数列{}b n 的前n 项和为T n ，所以T n ＝1·2－1＋2·21＋3·23＋…＋n ·22n －3，①4T n ＝1·21＋2·23＋…＋(n －1)22n －3＋n ·22n －1，② ①－②，可得－3T n ＝2－1＋21＋23＋…＋22n －3－n ·22n －1 ＝2－1(1－4n )1－4－n ·22n －1，所以T n ＝1－22n 18＋n ·22n －13.第35讲数列模型及应用1．C 由条件知(2sin α)2＝2(－3sin α)＋6，即2sin 2α＋3sin α－3＝0，解得sin α＝32，所以α＝π3，故选C.2．D 由条件知a ＋c ＝2b ，ac ＝6，则由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ，代入化简得b 2＝6，即b ＝6，故选D.3．A 当c n ∥b n 时，(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，则a n n ＝a n ＋1n ＋1，所以数列{a nn}为常数列，设此常数为k ，则a nn＝k ，即a n ＝kn ，易知数列{a n }是等差数列，故选A.4．B 因为f ′(x )＝2cos 2x ，所以a 5＝f ′(π6)＝2cos π3＝1，所以a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝(a 1＋a 9)(a 8＋a 2)＝2a 5·2a 5＝4，故选B.5．8 设五位同学依次报出的数字构成的数列为{a n }，则a 1＝2，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝8，a 5＝8，a 6＝4，a 7＝2，a 8＝8，……易知此{a n }是周期为6的数列，所以a 2014＝a 6×335＋4＝a 4＝8.6.a (1＋r )8－a (1＋r )r复利问题，本题为等比数列模型．a (1＋r )7＋a (1＋r )6＋…＋a (1＋r )＝a (1＋r )[1－(1＋r )7]－r＝a (1＋r )8－a (1＋r )r .7．－2 切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝(n ＋1)x n |x ＝1＝n ＋1，则切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，则x n ＝n n ＋1，所以a n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，于是a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…(lg 99－lg 100)＝－lg 100＝－2. 8．解析：(1)设直线方程为x ＝ty ＋2n ，代入抛物线方程得 y 2－2(2n ＋1)ty －4n (2n ＋1)＝0，设A n (x n 1，y n 1)，B (x n 2，y n 2)，则OA →n ·OB →n ＝x n 1x n 2＋y n 1y n 2＝(t 2＋1)y n 1y n 2＋2nt (y n 1＋y n 2)＋4n 2，用韦达定理代入得 OA n →·OB n →＝－4n (2n ＋1)(t 2＋1)＋4n (2n ＋1)t 2＋4n 2 ＝－4n 2－4n ，故OA →n ·OB →n 2(n ＋1)＝－2n . (2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫OA →n ·OB →n 2(n ＋1)的前n 项和 S n ＝－2n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n (n ＋1)．9．解析：(1)设S 0表示广告费为0元时的销售量．由题意知S n －S n －1＝b 2n ，S n －1－S n －2＝b 2n －1，…，S 2－S 1＝b 22，S 1－S 0＝b2，将上述各式相加得，S n ＝b ＋b 2＋b 22＋…＋b 2n ＝b [1－(12)n ＋1]1－12＝b ·(2－12n )．(2)当a ＝10，b ＝4000时，设获利为T n 元．由题意知T n ＝10S n －1000n ＝40000·(2－12n )－1000n .欲使T n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ T n ≥T n －1T n ≥T n ＋1，代入解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5n ≥5. 所以n ＝5，此时S 5＝7875.即厂家应生产7875件这种产品，做5千元的广告，才能获利最大．第36讲算法、程序框图与算法案例1．D X ＝1＋2013＝2014；Y ＝2014－1＝2013，故选D.2．C 执行如图的程序框图n ＝1，S ＝1；n ＝2，S ＝3；n ＝3，S ＝7；n ＝4，S ＝15；n ＝5输出，则p ＝8，故选C.3．B 当a ＝1时，进入循环，此时b ＝21＝2；当a ＝2时，再进入循环，此时b ＝22＝4；当a ＝3时，再进入循环，此时b ＝24＝16，所以当a ＝4时，应跳出循环，得循环满足的条件为a ≤3，故选B. 4．100110 123(5)＝1×52＋2×51＋3×50＝25＋10＋3＝38.所以123(5)＝100110(2)．5．－54第1次循环后，y ＝1，x ＝1；第2次循环后，y ＝－12，x ＝－12；第3次循环时，y ＝－54，|x －y |＝34<1，跳出循环．6．{x |x ＝2或－2≤x ≤1}解析：流程图的算法功能是求实数a ，b ，c 的最小者，则b ≤a ，b ≤c ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤4x 2≤2x 2－3x ＋2，解得x ＝2或－2≤x ≤1.7．解析：要计算手续费，首先要建立汇款额与手续费之间的函数关系式，依题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0<x ≤100)x ×0.01 (100<x ≤5000)50 (5000<x ≤1000000).流程图如图所示：8．解析：购买时付款150元，余款20次付清，每次的付款数组成一个数列{a n }， a 1＝50＋(1150－150)×1%＝60，a 2＝50＋(1150－150－50)×1%＝59.5， ……a n ＝50＋[1150－150－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(n ＝1,2，…，20)．所以a 20＝50.5，S 总＝150＋60＋59.5＋…＋50.5＝1255.购冰箱的钱全部付清后，实际付了1255元．程序框图如下：程序如下：m＝60a＝150S＝0S＝S＋ai＝1WHILE i<＝20S＝S＋mm＝m－0.5i＝i＋1 WENDPRINT SEND。