[数学]专题一 函数、导数与不等式
2005—2012年湖北高考试题分解 专题一 函数 导数 不等式(教师版)
专题一 函数、导数、不等式(2005-2012湖北高考理科试题汇编)2005年高考试题（理科）4. 函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是 B6.在y =2x,x=log 2x ,y =x 2,y =cos 2x 这四个数中，当0<x 1<x 2<1时，使)(221x x +>2)()(21x f x f +恒成立的函数的个数是 BA.0B.1C.2D.3 9.若0<x <2π,则2x 与3sin x 的大小关系：D A.2x >3sin x B.2x <3sin x C.2x =3sin x D.与x 的取值有关16.某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费____________元. 500 17.(本小题满分12分)已知向量a =(x 2,x +1),b =(1-x ,t ).若函数f (x )=a ·b 在区间(-1,1)上是增函数，求t 取值范围. 17.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用函数的性质分析和解决问题的能力.解法1:依定义f (x )=x 2(1-x )+t (x +1)=-x 3+x 2+tx +t , 则f ′(x )=-3 x 2+2x +t .若f (x )在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f ′(x )≥0. ∴f ′(x ) ≥0⇔t ≥3x 2-2x ,由于g (x )的图象是对称轴为x =31,开口向上的抛物线，故要使t≥5时，f ′(x )在(-1,1)上成立⇔t ≥g(-1),即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(-1,1)上满足f ′(x )>0,即f (x )在（-1,1）上是增函数. 故t 的取值范围是t ≥5.解法2:依定义f (x )=x 2(1-x )+t (x +1)=-x 3+x 2+tx+t , f ′(x )=-3x 2+2x +t .若f (x )在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f ′(x )≥0. ∵f ′(x )的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f ′(1)=t -1≥0,且f ′(-1)=t -5≥0时，f ′(x )在（-1,1）上满足f ′(x ) >0,即f (x )在（-1,1）上是增函数. 故t 的取值范围是t ≥5.2006年高考试题（理科） 4．设2()lg2x f x x+=-，则2()()2x f f x+的定义域为 ( B )A ．(4,0)(0,4)-B ．(4,1)(1,4)--C ．(2,1)(1,2)--D ．(4,2)(2,4)-- 10．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ( A )①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 17．（本小题满分13分）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
高考数学二轮复习不等式
(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确 的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2， 解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2， 当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2， 解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－ －ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212， 表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，
高考数学专题一 微专题12 隐零点问题
f(x)＝12x2－x＋asin x，则 f′(x)＝x－1＋acos x， ∴f′(π)＝π－1－a＝π－2，∴a＝1， 令φ(x)＝x－1＋cos x，则φ′(x)＝1－sin x≥0恒成立， ∴φ(x)是增函数，当x>0时，φ(x)>φ(0)＝0，即f′(x)>0恒成立， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝0， ∵λ≤f(x)恒成立，∴λ≤f(x)min＝0， ∴λ的取值范围是(－∞，0].
当a＝1时，f(x)＋g(x)＝bx＋ln x－xex，
由题意 b≤ex－lnxx－1x在(0，＋∞)上恒成立，
令 h(x)＝ex－lnxx－1x，
则
1－ln h′(x)＝ex－ x2
x＋x12＝x2ex＋x2 ln
x ，
令 u(x)＝x2ex＋ln x，则 u′(x)＝(x2＋2x)ex＋1x>0，所以 u(x)在(0，＋∞)
专题一 函数与导数
微专题12
隐零点问题
考情分析
隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在 函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到隐零点问题，一般 对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条 件，利用函数的性质巧妙求解.一般难度较大.
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
PART ONE
当 x0∈e12，＋∞时，h(x0)min＝h(e)＝－e， 综上，当x0∈(0，＋∞)时，h(x0)min＝h(e)＝－e， 得b≥－e. 故b的取值范围是[－e，＋∞).
考点三 与三角函数有关的“隐零点”问题
典例3 (2023·东北师大附中模拟)已知f(x)＝12x2－x＋asin x. (1)若在x＝π处的切线的斜率是π－2，求当λ≤f(x)在[0，＋∞)恒成立时的λ
2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第5讲基本不等式的综合问题(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第5讲 基本不等式的综合问题利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．例1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x >0，y >0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 答案 (1)233 (2)324(3)3 解析 (1)由(x ＋y )2＝xy ＋1，得(x ＋y )2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22 ≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号， 故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.例2 记max{a ，b }为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y的最小值为________．答案 10解析 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y x －y ， ∴2t ≥x 2＋25y x －y， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25y x －y >0， ∴t 2≥x 2·25y x －y ， 又∵x 2·25yx －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1B ．6C ．9D ．16答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝aa －1>0，解得a >1.同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x <52 的最大值是________．答案 2 2解析 y 2＝(2x －1＋5－2x )2＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x )＝8，又y >0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 答案 4解析 因为a >0，b >0，ab ＝1， 所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b＝a ＋b2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4， 当且仅当a ＋b2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值． 答案 －2解析12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b 且a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．。
高三数学专题之函数
数学专题之函数、导数、不等式1. 设函数)(,121)(x g xxx f 若+-=的图象与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称；那么)2(g 值等于 B（A ）－1 （B ）－2 （C ）54- （D ）52-2. 一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：CA ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >3. 已知23)1(3)(2+⋅+-=x x k x f ；当∈x R 时；)(x f 恒为正值；则k 的取值范围是 （ B ）)(A )1,(--∞ )(B )122,(--∞ )(C )122,1(-- )(D )122,122(---4. 方程1+=ax x 有一个负根且无正根；则a 的取值范围是 （ D ）)(A 1->a )(B 1=a )(C a ≤1 )(D a ≥15.x x 42--≤a x -+134的解集是]0,4[-；则a 的取值范围是 （ A ）)(A ]5,(--∞ )(B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,35 )(C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞,35]5,( )(D )0,(-∞6. 已知映射f ：A →B ；其中A=B=R ；对应法则为f ：x →y=x 2+2x+3；若对实数k ∈B ；在集合A中不存在原象；则k 的取值范围是BA 、(－∞；0)B 、(－∞；2)C 、(2；+∞)D 、(3；+∞) 7. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数；且f(x)=－f(x+2)；当0≤x ≤1时；2)(xx f =；那么使21)(-=x f 成立的x 的值为DA 、2n （n ∈Z ）B 、2n －1（n ∈Z ）C 、4n+1（n ∈Z ）D 、4n －1（n ∈Z ） 8. 若不等式21--+x x ＞a 在R x ∈上有解,则a 的取值范围是（ B ） A ． ()3,3- B . ()3,∞- C ． (]3,3- D ．()3,-∞-9. 已知)12(+=x f y 是偶函数；则函数)2(x f y =的图象的对称轴是（ D ） A ．1=x B ．2=x C ．21-=x D ．21=x 10. 已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()f x f x +=-且x ∈[－1；1]时；()f x x =；则方程()||f x 5log ||x =解的个数是C ：A ．4 B. 6 C.8 D. 1011. 已知多项式16x 4+32x 3+24x 2+8x+1能被5整除；则满足条件的最小自然数x 的值为（ C ） A. 7 B. 4 C. 2 D. 112. 一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥和一个棱台（用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥；底面和截面之间的部分叫棱台）；若小棱锥的体积为y ；棱台的体积为x ；则y 关于x 的函数图象大致形状为（C ）。
专题一 第5讲 导数与不等式的证明
可得h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)＝x－1－ln x≥h(1)＝0，即x－1≥ln x.
于是，当a≤1时，ex－a≥x－a＋1≥x＋a－1≥ln(x＋a)， 注意到以上三个不等号的取等条件分别为x＝a，a＝1，x＋a＝1，它 们无法同时取等， 所以当a≤1时，ex－a>ln(x＋a)，即f(x)>0.
12
当a＝e时，f(x)＝ln(e－x)－x＋e，
要证 f(e－x)<ex＋2xe，即证 ln x＋x<ex＋2xe，即证lnxx＋1<exx＋21e.
设
g(x)＝lnx
x＋1(x>0)，则
1－ln g′(x)＝ x2
x ，
所以当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
当t∈(0,1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减， 假设g(1)能取到， 则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0； 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增， 假设g(1)能取到，则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0，
x＋ln1－x 综上所述，g(x)＝ xln1－x <1 在 x∈(－∞，0)∪(0,1)上恒成立.
方法二 f(x)＝ln ex＝1－ln x. 欲证 f(x)<1＋1x－x2ex，只需证1－elxn x＋x2－1x<1，
因为x∈(0,1)，所以1－ln x>0，ex>e0＝1，
则只需证 1－ln x＋x2－1x<1， 只需证 ln x－x2＋1x>0， 令 t(x)＝ln x－x2＋1x，x∈(0,1)，
高三数学二轮复习重点
高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
专题一函数与导数、方程与不等式(一)
例 ２ （ ２ ０ １ ２ 年 “北 约 ”试 题 ）试 求
√ ＋１ ｌ 一６、 ／ ／ ＋２＋ √ ＋２ ７ —１ ０￣ ／ ＋２
— １的 实 数 根 的 个数 ．
解 析 求 解 本 题 的关 键 在 于 通 过 配
例 １ （ ２ ０ １ ２年 复 旦 大 学 千 分 考 试 题 ）
（ １ ） ｐ 厂 （ ） ＜ ０ ；
（ ２ ）方 程 ＿ 厂 （ ｚ ） ＝ ＝ ＝ ０ 在（ Ｏ ， １ ） 内一 定有 解． 解 析 （ １ ）由
下
（ １ ） ＜ ０即 可 ．
下 面用 反证 法 ： 假 设 （ ０ ） ≥ ０且 厂 （ １ ） ≥ ０ ， 则有 （ １ ） 厂 （ ０ ） 一ｒ ≥０ ， （ ２ ） ，（ １ ） 一Ｐ＋ｑ ＋ｒ ≥
若 ＋ｚ 一１ —０ ， 且Ｉ ｚ ｌ 一１ ， 求 复 数 ｚ的 值 ．
方， 褪 掉 二 重 根 号 ：√ ＋１ １ —６￣ ／ ｚ ＋２一
＋２ ） 一６、 解 析 因式分 解 ＋ｚ 一１ 一 ＋ 。 一 √（
（ 一 ＋ １ ） ＝ ＝ ＝ （ ｚ 一ｚ ＋１ ） （ ＋ 。 一１ ） 一０ ．
１ １例 ４设 二 次 函 数 厂 （ ） 一 ｚ ＋ ｇ ＋ ，
且 ＋ ＋ 一 ０ ， 已知 ＞ ０ ， 求证 ：
② 若 户 ＜ ０ ， 则－ 厂 （ ） ＞ ｏ ， 而 已 知
＞ｏ ， 则ｏ ＜ ＜１ ， 此 时要证 方 程 ． 厂 （ ５ ６ ） 一ｏ ｍ — ｒ １ 在（ ０ ， １ ） 内一 定 有 解 ， 只 要 证 ｆ（ ０ ） ＜ ０或
．
３ ｌ ＋
ｆ ｌ —１ ．
由 。 ＋ｚ 一１ —０ ， 先 将 其 中 的 １代 换 为
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形结合，考查方程根的分布(如2007 年广东试题)；另一方面可以
与导数相结合，考查方程解的情况．如本题：若对任意x1∈[0,2]， 总存在x2∈[0,2]，使f(x1)＝g(x2)的本质就是函数f(x)的值域是函数
g(x)值域的子集．
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx.
1 (2)因为 f(x)<0 在区间0，2上恒成立不可能， 1 故要使函数 f(x)在区间0，2上无零点， 1 只要对任意的 x∈0，2，f(x)>0 恒成立， 1 2lnx 即对 x∈0，2，a>2－ 恒成立． x－1 1 2lnx 令 l(x)＝2－ ，x∈0，2， x－1 2 2 xx－1－2lnx 2lnx＋x －2 则 l′(x)＝－ ＝ 2 2 ， x－1 x－1
查内容来看，函数与导数这部分内容在高考中的考查可以说是全 方位的，它不仅有对基础知识、基本技能的考查，更有对数学思
想、数学本质的考查；从考查的内容来看，它不仅有对函数知识
内部的显性考查，更有对与其他主干知识(数列、不等式、解析几 何)相结合的隐性考查．
2010 年广东高考没有考函数、导数和数列，批评声音不断， 2011 年终于回归常态，预计 2012 年高考，对函数的概念与性质只 会加强，不会削弱．备考时要特别注意三次函数、指数函数与对
2 4 1－x 解析：(1)方法一：对函数 f(x)求导，f′(x)＝3· 2 2. x ＋1
令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在(1,2)上单调递减． 2 8 又 f(0)＝0，f(1)＝3，f(2)＝15， ∴当
数函数(以 e 为底)的综合题．主要题型：(1)利用导数研究函数的单
调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主 要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解；(3)灵活 应用函数图象与性质等．
题型一
函数、方程与导数
4x 例 1：已知函数 f(x)＝ 2 ，x∈[0,2]． 3x ＋3 (1)求 f(x)的值域； 1 (2)设 a≠0， 函数 g(x)＝3ax3－a2x， x∈[0,2]． 若对任意 x1∈[0,2]， 总存在 x2∈[0,2]，使 f(x1)－g(x2)＝0.求实数 a 的取值范围．
1 2 再令 m(x)＝2lnx＋x－2，x∈0，2，
2 2 －21－x 则 m′(x)＝－x2＋x＝ <0， x2 故
1 m(x)在 0，2上为减函数， 1 m(x)>m2＝2－2ln2>0， 1 l(x)在0，2上为增函数，
可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该
2 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3.
方法二：当 x＝0 时，f(x)＝0， 4 1 4 1 2 当 x∈(0,2]时，f(x)＞0，且 f(x)＝3· 1≤3· ＝ ， 1 3 x＋x 2 x· x 1 当且仅当 x＝ x，即 x＝1 时，等号成立． 2 ∴当 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3. (2)设函数 g(x)在[0,2]上的值域是 A. ∵对任意 x1∈[0,2]，总存在 x2∈[0,2]， 2 使 f(x1)－g(x2)＝0，∴0，3⊆A. 对函数 g(x)求导，g′(x)＝ax2－a2.
ⅱ)当 x∈(0,2)， a≥2 时，即 a≥4，g′(x)＜0， ∴函数在(0,2)上单调递减， 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， ∴当 a≥4
2 时，不满足0，3⊆A. 1 的取值范围是3，1.
综上，实数 a
函数与方程是高考的重要题型之一．一方面可以数
于是
从而，l′(x)>0，于是
所以
1 l(x)<l2＝2－4ln2，
故要使 a>2－
2lnx 恒成立，只要 a∈[2－4ln2，＋∞)， x－1
1 f(x)在0，2上无零点，
综上所述，若函数
则 a 的最小值为 2－4ln2.
题型二 函数、导数与不等式 例2：为了进一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能 源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造
(1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间；
(2)若函数
1 f(x)在0，2上无零点，求
a 的最小值．
2 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝x－1－2lnx，则 f′(x)＝1－ x ，由 f′(x)>0，得 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2. 故 f(x)单调减区间为(0,2]，单调增区间为[2，＋∞)．
专题一
函数、导数与不等式
函数是高中数学的核心内容，是数学的基本工具之一，是历 年高考的必考内容之一．自从导数走进高考试题中，就和函数形 影不离，随着高考命题改革的深入，高考对导数考查的广度和深 度也在逐年增加，已由解决问题的辅助工具上升为解决问题必不
可少的工具．从最近几年全国及各省市新课程数学高考试卷的考
①当 a＜0 时，g′(x)＜0， ∴函数 g(x)在(0,2)上单调递减． 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， ∴当 a<0
2 时，不满足0，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⊆A.
②当 a＞0 时，g′(x)＝a(x－ a)(x＋ a)． 令 g′(x)＝0，得 x＝ a或 x＝－ a(舍去)．
ⅰ)当 x∈[0,2]，0＜ a＜2 时，列表： x g′(x) g(x) 0 0 (0， a) － a 0 2 2 －3a a ( a，2) ＋ 2 8 2 a － 2 a 3
∵g(0)＝0，g(
2 a)＜0，且∵0，3⊆A，
8 2 2 ∴g(2)＝3a－2a ≥3. 1 解得3≤a≤1.