2018年上海市普陀区高三二模数学卷(含答案)

2017学年第二学期普陀区高三数学质量调研

2018.4

考生注意:

1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.

2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 2. 若函数1

()21

f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.

3.

若函数()f x =

()g x ，则函数()g x 的零点为________.

4. 书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.

5. 在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角

A 的大小为________.

6. 若3

21()n x x

-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.

7. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为

120和121

，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.

8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为24

x y ?=-??

?

?=??

（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 1

sin 2

x y θθ=??

?=??（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________. 9. 设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且

2462018()7f a a a a =，则222

2

1232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.

10. 设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m

-≥??+≤?

?≥??+≤?，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是

__________.

11. 设集合1|,2x

M y y x R ??????

==∈?? ???????

，()()()1|1112,121N y y x m x x m ????==+-+--≤≤?? ?-????，

若N M ?，则实数m 的取值范围是 .

12. 点1F ，2F 分别是椭圆2

2:

12

x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2

122MN MF MF =?，则122MF MF +的最大值为__________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13. 已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ）

)A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1

-

14. 如图所示的几何体，其表面积为(5

π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等， …………………………（ ）

)A (4 ()B 6 ()C 8 ()D 10

15. 设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*

N n ∈），则“lim n n S →∞

存在”是

“该数列公差0d =”的 ……………………………………………………………………………（ ）

)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件

()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件

16. 已知*

N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描叙正 确的是 …………………………………………………………………………………………………（ ）

)A (若5k =，则至少．．存．在．

一个以,,x y z 为边长的等边三角形 ()B 若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都．存在．．以,,x y z 为边长的三角形 ()C 若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都．存在．．以,,x y z 为边长的三角形 ()D 若8k =，则对满足不等式的,,x y z 不．存在．．

以,,x y z 为边长的直角三角形

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图所示的正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱12AA =,点E 在棱1CC 上，

且1=CE CC λ(0λ>).

（1）当1

=2

λ时，求三棱锥1D EBC -的体积；

（2）当异面直线BE 与1D C 所成角的大小为2

arccos 3

时，求λ的值.

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分

已知函数2(=sin cos sin f x x x x -），R x ∈. （1）若函数()f x 在区间[,

]16

a π

上递增，求实数a 的取值范围；

（2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，且1[,]44

x ππ

∈-

，求点Q 的坐标.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分

某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通s 号线线路示意图如图所示.已知

,M N 是东西方向主干道边两个景点，,P Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O

均为

，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点

M 的距离都多10km ，

线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy . （1）求轨道交通s 号线线路示意图所在曲线的方程； （2）规划中的线路AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最近，问如何设置站点G 的位置？

第19题图

A

D B

C

A 1

B 1

C 1

D 1

E 第17题图

20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立. （1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；

（2）当2t =时，若[0,2]x ∈，()(2)f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[2,6]-上的值域； （3）设函数()f x 的值域为[,]a a -，证明：函数()f x 为周期函数.

21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*,N p q ∈使得p q a a c ==（c 为常数）；

②当n p ≠且n q ≠时，对任意*

N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列.

（1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n

=+； ②sin 2n n a π

=； ③()()35n a n n =--

（2）设50

1012,1502,50

n n n n a m n --≤≤?=?

+>?，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）设()9310n

n a kn ??

=+ ???

，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k 的值；

若不存在，请说明理由.

普陀区2017学年第二学期高三数学质量调研评分标准（参考）

4

[,)3

+∞

三、解答题 17.（1）由11

=2

CE CC ，得1CE =， 又正四棱柱1111ABCD A B C D -，则11D C ⊥平面EBC ， 则1111

3

D EBC Rt ECB V S D C -?=? …………………………… 4分

111

326

CE BC =??=.………………………… 6分 （2）以D 为原点，射线DA 、DC 、1DD 作x 轴、y 轴、z 轴的正

半轴，建立空间直角坐标系（如图），……………… 2分 则(1,1,0)B ，(0,1,2)E λ，1(0,0,2)D ，(0,1,0)C ，

即1(0,1,2)DC =-，(

1,0,2)BE λ=- ………………………………………………… 4分 又异面直线BE 与1D C 所成角的大小为2

arccos

3

， 则11023

D C BE

D C B

E ??===

?,……………………… 6分 化简整理得2

165λ=，又0λ>

，即4

λ=

. ……………………………………… 8分 18.（1）2

1cos 21

(=sin cos sin sin 222

x f x x x x x --=+）

，…………………………2分 1

)242x π=

+-，…………………………4分 当16

x π

=

时，则3224

16

4

82

x π

π

π

ππ

+

=?

+

=

<， 又函数()f x 在[,

]16

a π

上递增，则24

2

a π

π

+

≥-

，即38

a π

≥-

，………………………7分 则实数a 的取值范围为3[,)816

a ππ

∈-

. …………………………………………………8分 （2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，则1sin(2)04

x π

+=， ………………2分

即124

x k π

π+=（Z k ∈），则12

8

k

x ππ=

-[,]44

ππ

∈-，………………………………4分

由Z k ∈得0k =，则点Q 的坐标为1

(,)82

π

-

-. …………………………………………6分 y

19.（1）因为线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，所以线路AB 段所在曲线是以定点M ，N 为左、右焦点的双曲线的左支，

则其方程为2225(0,0)x y x y -=<≥， …………………………………………………3分

因为线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，所以线路BC 段所在曲线是以O 为圆心、以OB 长为半径的圆，由线路AB 段所在曲线方程可求得(5,0)B -，

则其方程为2225(0,0)x y x y +=≤≤， …………………………………………………5分

因为线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，所以线路CD 段所在曲线是以定点Q 、P 为上、下焦点的双曲线下支，

则其方程为2225(0,0)x y x y -=-≥<， …………………………………………………7分 故线路示意图所在曲线的方程为25x x y y +=-. ……………………………………8分 （2）设00(,)G x y

，又Q

，则GQ =

，

由（1）得22

0025x y -=

，即GQ =

3分

则GQ =

02y =

时，min GQ = 则站点G

的坐标为? ?，可使G 到景点Q 的距离最近.……………………6分 20．（1）由()()f x t tf x +=-得，()3(3)k x t t kx ++=-+对R x ∈恒成立，

即()(3)30k kt x k t ++++=对R x ∈恒成立，则(1)0

(3)300k t k t t +=??

++=??≠?

，……………………2分

即0

1

k t =??

=-?. ……………………………………………………………………………4分

（2）当[0,2]x ∈时，2

()(2)1(1)[0,1]f x x x x =-=--∈，……………………………2分 当[2,0]x ∈-时，即2[0,2]x +∈， 由(2)2()f x f x +=-得1()(2)2f x f x =-

+，则1

()[,0]2

f x ∈-，……………………3分 当[2,4]x ∈时，即2[0,2]x -∈，

由(2)2()f x f x +=-得()2(2)f x f x =--，则()[2,0]f x ∈-， ……………………4分 当[4,6]x ∈时，即2[2,4]x -∈，

由()2(2)f x f x =--得()[0,4]f x ∈， …………………………………………………5分 综上得函数()f x 在闭区间[0,6]上的值域为[2,4]-. ……………………………………6分 （3）（证法一）由函数()f x 的值域为[,]a a -得，()f x t +的取值集合也为[,]a a -，

当0t >时，()()[,]f x t tf x ta ta +=-∈-，则ta a

ta a

-=-??

=?，即1t =.……………………2分

由(1)()f x f x +=-得(2)(1)()f x f x f x +=-+=，

则函数()f x 是以2为周期的函数. …………………………………………………………3分

当0t <时，()()[,]f x t tf x ta ta +=-∈-，则ta a

ta a

-=??

=-?，即1t =-.……………………5分

即(1)()f x f x -=，则函数()f x 是以1为周期的函数.

故满足条件的函数()f x 为周期函数. ………………………………………………………6分 （证法二）由函数()f x 的值域为[,]a a -得，必存在0R x ∈，使得0()f x a =， 当1t >时，对1t >，有00()()f x t tf x ta a +=-=-<-，

对1t <-，有00()()f x t tf x ta a +=-=->，则1t >不可能；

当01t <<时，即

11t

>，001

()()f x f x t t =-+，

由()f x 的值域为[,]a a -得，必存在0R x ∈，使得0()f x t a +=， 仿上证法同样得01t <<也不可能，则必有1t = ，以下同证法一.

21. （1）①③是双底数列，②不是双底数列；……………………………………………4分 （2）数列{}n a 当150n ≤≤时递减，当50n >时递增，

由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-，……………………………………………2分 当150n ≤≤时，数列成等差，()

29910121002

n n n S n n +-=

=-，

当50n >时，()()()22

501005*********n n S -=?-+-+-+

+-

49

2

2548n n -=-+， ………………………………………5分

综上，249100,150

22548,50n n n n n S n n -?-≤≤=?-+>?.……………………………………………………6分

（3）()()1

199331010n n

n n a a kn k kn ++??

??

-=++-+ ?

???

??

，

()()93931010n

kn k kn ++????=-+

? ?????

， ()19931010n

k kn ??

=-- ???

， ……………………………………2分 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列）， 即 3

9n k

-

=，………………………………………………………………………3分 得16k n =??=?或38k n =??=?或112k n =-??=?或310k n =-??=?

故当1k =时，()13961010n

n n a a n +??

-=- ???

，

当15n ≤≤时，1n n a a +>；当6n =时，1n n a a +=；当7n ≥时，1n n a a +<； 从而 12345678a a a a a a a a <<<<<=>> ，数列{}n a 不是双底数列；

同理可得：

当3k =时，12891011a a a a a a <<<=>>> ，数列{}n a 不是双底数列； 当1k =-时，1212131415a a a a a a >>>=<<< ，数列{}n a 是双底数列； 当3k =-时，1210111213a a a a a a >>

>=<<<

，数列{}n a 是双底数列；

…………………………………………………………………………………………………7分 综上，存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列.…………………………8分