32动量算符和角动量算符
《量子力学》课程6
2 p ( r ) p ( r ) d c e
* 2
d dxdydz
c
i
e
[( p x p x ) ( p y p y ) y ( p z p ) z ] x z
3 2
p (r )
1
e
i p r
量子力学
函数为
(x) px
1 ( 2 )
1/ 2
i
e
pxx
3、箱归一化
如果我们仍然要求按通常的归一化方式 对动量本征函数归一化，就必须放弃无穷空 间的积分，采用箱归一化方法。以一维为例 [ L , L ] 中运 讨论。设粒子只能在有限空间 2 2 动。由
(x) pn
1 L
i 2 n x
e
L
则满足归一化条件
* pn
pn
dx 1
讨论： h L , p n p n 1 p n L 0 1）当 h 则本征谱由分立谱变成了连续谱 L dp 2）三维情况：粒子被限制的边长为 L 的一个 正方形箱中，取箱的中心为坐标原点，波函 数满足的周期性边界条件为：在两个相对的
L
i L
dx
L 2
i
*
dx
2
L 2
) (
L 2
)
所以对于任意的 ,
(L) 2
*
都有
const 1
( L ) 2
*
角动量算符平方与动量分量的对易关系
角动量算符平方与动量分量的对易关系角动量算符和动量算符是量子力学中的两个重要算符，它们描述了粒子的运动和旋转性质。
在量子力学中，一个物理量A的算符表示为^A，而物理量B的算符表示为^B。
首先，我们来定义角动量算符和动量算符：1. 角动量算符：在量子力学中，角动量算符通常用L表示，其三个分量的算符分别为^L_x，^L_y和^L_z。
2. 动量算符：动量算符通常用p表示，其三个分量的算符分别为^p_x，^p_y和^p_z。
然后，我们来讨论角动量算符平方和动量算符分量的对易关系。
在量子力学中，对易关系可以用来描述两个算符的关系，对易关系为[ ^A, ^B ] = ^A ^B - ^B ^A。
首先，我们来计算角动量算符平方和角动量分量的对易关系：( ^L_x )^2 = ^L_x ^L_x = ( ^L_x ^L_x - ^L_x ^L_x ) + ^L_x^L_x= ^L_x ( ^L_x ^L_x - ^L_x ^L_x ) + ^L_x ^L_x= [ ^L_x, ^L_x ] ^L_x + ^L_x ^L_x= 0 + ^L_x ^L_x= ^L_x ^L_x同理，可得( ^L_y )^2 = ^L_y ^L_y 和 ( ^L_z )^2 = ^L_z ^L_z。
接下来，我们来计算角动量平方与动量算符分量的对易关系：[ ( ^L_x )^2, ^p_x ] = ^L_x ^L_x ^p_x - ^p_x ^L_x ^L_x根据量子力学中的对易关系，角动量算符和动量算符的分量满足对易关系：[ ^L_i, ^p_j ] = iħ ε_ijk ^L_k其中ε_ijk是三维Levi-Civita符号，i，j，k可以取x，y，z。
带入上式：[ ( ^L_x )^2, ^p_x ] = ^L_x ^L_x ^p_x - ^p_x ^L_x ^L_x= ^L_x ħ ε_xyz ^L_z - ħ ε_xyz ^L_z ^L_x= ħ ε_xyz ( ^L_x ^L_z - ^L_z ^L_x )同理可得：[ ( ^L_y )^2, ^p_y ] = ħ ε_xyz ( ^L_y ^L_z - ^L_z ^L_y )[ ( ^L_z )^2, ^p_z ] = ħ ε_xyz ( ^L_z ^L_z - ^L_z ^L_z )可见，角动量算符平方和动量算符分量并不对易。
动量算符及角动量算符的球坐标表示.pdf
在原子物理学和量子力学的教学中都会遇到动量算符，其表达
形式p =-inV,它是量子力学中的一个基本算符。它的的直角坐标
a , a , a 系下的形式为
i5
=
-
itt(i —
Bx
+J
—
函
+k —Bz )，各分量 九
=
a a -in — ，凡 = -iii — , 祁彻
仇 =-in. —a 是大家都熟悉的，学生们也没有疑惑，但是对于在球坐
az az ar az ae az J (Jl
ar r ae
我们
通
过直
角
坐标
系
可用e,<p
表
示出
.^l,
)l^.,
^K 在球面
坐标系
下的
形式：
oo ,,^l、
,^J
\ K^ J
f .g \ eo0sg,cspcoos0 coscp
= .gi
cos0 sin cp
c。
- sin0
一二rn
我们把上面的结果代入下式
2.2动量各分量的算符表示
2.2.1 - in —B 和
1 iii
a 不是厄密算符，不能作为动量的分量
祈
r汾
各分量的 P^,,^ Pa,^P叩算符形式就产生了疑惑，而一般的量子力学教材 [1~3]对此也没有过多说明，本文试图从在量子力学中表示力学量的
算符必须是厄密算符的要求出发解决这一疑惑。
1.直角坐标系中动量及其各分量的算符表示
P= -ihv'= -in(立； 十二＋立 k)= - in(~
函 By oz
OX
6
立
量子力学— —算符
，都是厄米算符。
对于任意量子态
，
。所以，动量算符确实是一个厄米算符。 动量算符确实是一个厄米算符
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1.2 （位置算符）本征值与本征函数
假设，位置算符 的本征值为 的本征函数是 。用方程表达， 这方程的一般解为，
其中， 虽然
是常数， 无法归一化：
是狄拉克δ函数。
设定
= 1，我们可以使
满足下述方程：
们立刻再测量可观察量
，得到的答案必定是
可是，假若，我们改为测量可观察量 为
，则量子态不会停留于本征态
的本征态。假若，得到的测量值为其本征值
，则量子态几率地坍缩为本征态
根据不确定性原理， 的不确定性与 与 之间， 与 的不确定性的乘积 之间，也有类似的特性。 ，必定大于或等于 。
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3.1 角动量算符 简介
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系 统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力 学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计 算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现 于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是 以波函数或量子幅来描述其几率性行为，而不是命定 性(deterministic)行为。
量子力学
算 符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋 7.3.4 自旋与统计
二、动量算符
3.2 动量算符和角动量算符
作 换 px ⇔ x，p′ ⇔ x0， 代 ： 则 x 1 δ ( px − p′ ) = x ∫−∞ e 2πh i
∞ i ( px − p′ ) x x h
dx
1 ∞ h px ( x−x0 ) δ (x − x0 ) = dpx ∫−∞ e 2πh
性质
f (x)δ (x − a) = f (a)δ (x − a)
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
r L rA′ ≡ − , y, z 2
y A
r L rA ≡ , y, z 2
ce
i L [ px + py y+ pz z] h 2 i −L [ px + py y+ pz z] h 2
x = r sin θ cosφ, tanφ = y / x sin φ 1 ∂φ x tanφ = y, +x =0 cosφ cos2 φ ∂x
∂f ∂f ∂r ∂f ∂θ ∂f ∂φ = + + ∂xi ∂r ∂xi ∂θ ∂xi ∂φ ∂xi
∂ ∂ ∂r ∂ = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂ ∂ ∂r ∂ 或 = + ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂ ∂ ∂r ∂ = + ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂θ ∂ + ∂φ ∂x ∂θ ∂ + ∂y ∂φ ∂θ ∂ + ∂z ∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z
∂r n ∂x = si θ cosφ ∂r n n = si θ si φ ∂y ∂r = cosθ ∂z
∂θ 1 = cosθ cosφ r ∂x 1 ∂θ = cosθ sinφ r ∂y ∂θ 1 = − sinθ r ∂z
动量算符和角动量算符的对易关系
动量算符和角动量算符的对易关系
动量算符和角动量算符的对易关系是量子力学中一个重要的基本原理。
在物理学中，对易关系是指两个算符A和B，它们的对易子是0，即[A,B]=AB-BA=0。
如果两个算符A和B的对易子不等于0，那么它们是不对易的。
在量子力学中，动量算符和角动量算符的对易关系是：
[Px, Lz]=iħYx
[Py, Lz]=iħYy
[Pz, Lz]=iħYz
其中Px、Py和Pz分别表示沿着X、Y和Z方向的动量算符，Lz表示沿着Z方向的角动量算符，ħ是普朗克常数除以2π，而Yx、Yy和Yz 表示一个轨道角动量算符在X、Y和Z方向上的本征值，它们称为
“本征矢”。
这个对易关系告诉我们，在量子力学中，动量算符和角动量算符是互
相影响的。
如果我们测量一个粒子的动量，就会影响其角动量，并且
在测量其角动量时，会影响其动量。
这个关系是量子力学的基本原理
之一，它描述了物理世界的量子性质。
总的来说，动量算符和角动量算符的对易关系是量子力学中一个非常
重要的基本原理，它不仅仅涉及到动量和角动量的测量，还涉及到粒
子的本质结构和量子性质。
因此，对于每一个学习量子力学的人来说，理解动量算符和角动量算符的对易关系是非常必要的。
3.2 动量算符和角动量算符
本征方程
力学量算符
本征值波函数 本征值
本征值和本征波函数由本征值方程得到 动量算符
动量算符的本征态
解以上方程得
c为归一化常数
归一化出现问题,发散 px = px’ 两种归一方法
利用
( x)
x
这样一来
同时我们从解本征方程看，动量的本征值可取任意值， 连续谱，在处理动量问题时，常把动量的连续本征值变 为分立值，最后在把分立体征值实回到连续本征值。
箱中粒子波函数是动量取分立值的平面波
角动量算符
角动量平方算符
角动量平方算符
角动量算符——球坐标系中的表示
球坐标中P点，直角坐标表示（x,y,z) 球坐标（ r, , ），
z
p
r
y
ห้องสมุดไป่ตู้
在球坐标下，以上算符
有怎样的具体形式？
x
角动量算符——球坐标系中的表示
例如
由
角动量算符——球坐标系中的表示
定轴转动呢？
本征方程
方程求解是困难的 物理要求在整个区域有限
在直坐标 球坐标
角动量算符的本征值和本征函数
有限条件 解是球函数
勒让德多项式
角动量算符的本征函数的归一化
球谐函数
角动量算符的本征值和本征函数
L为角量子数
m为磁量子数
量子数？
角动量算符的本征值问题的应用
应用转动问题 刚性转子 定态薛方程 刚体运动分解 为平动和转动
角动量算符——球坐标系中的表示
这样就求得了 同样方法可求得 带入
角动量算符——球坐标系中的表示
(1)
(2)
(3)
角动量算符——球坐标系中的表示
动量算符角动量算符
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Nlm由Ylm ( ,) 的归一化条件定出：
0
2 0
Ylm ( ,)Ylm ( ,) sin d d
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
§3.2 动量算符和角动量 算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
函p 是数。动分量量算式符：的本征i 值，xpp((rr))是属px于 p此(r本) 征值的本征
i
y
p (r )
py
p (r )
i
z
p (r )
pz
p (r )
它们的解是 p (r ) C exp( i p r ) (2)
二、角动量算符
１、定义：角动量算符 L rˆ pˆ (12)
分量式为
Lˆx ypˆ z zpˆ y
( y z ) i i z y
(y z ) z y
Lˆy zpˆ x xpˆ z
(z x ) i i x z
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32动量算符和角动量算符
?3.2 动量算符和角动量算符
一(动量算符。
,,,,,,1. 动量算符的本征值方程:，三个分量方程是 (3.2.1) ，，，，,,r,p,rppi ,,,,,,，，，，， ,r,p,r,,,x,，,pxpi,x
,,,,,, ， (3.2.2) ,,,y,，,，，，，,r,p,rpypi,y
,,,,,,，，，，， ,r,p,r,,,z,，,pzpi,z
通解是
i,,p,r,,,，C是归一化常数。
(3.2.3) ，，,r,Cep
2.动量本征函数的归一化。
i,,,，，,,，，p,px，p,py，，，
p,pz，,，,，,，,xxyyzz2,,,,,，，，，,r,rd,,Cedxdydzp p,,,,,,,,,,,,
i,ppx，，,，,xx,,，，edx2,,,pp,,因为，所以有 xx,,,
，,2,3,,,,,,,,,,,,,rrd,C2p,pp,pp,p,，，，，，，，，，，，，ppxxyyzz,,,
2,,3,，，，，,C2,,p,p,
3,,,2,，，如果取，，，则,r归一化为函数。
C,2,, Y p
，,,,,,, ,,,,,,;rrd,p,p，，，，，，pp,,, i,,p,rA A
1,(3.2.4) ,,,，，r,ep3 O X
2，，2,,
(3.2.5)
Z
3.箱归一化
i,,p,r,,,,A，，,r,Ce在A(L/2,y,z)和(-L/2,y,z)点, 的值应相同。
即 p
11ii,,,,,pL，py，pzpL，py，pz,,,,xyzxyz,2,2,,,,Ce,Ce i，，pLx,e,1
pxL,2n,n所以，是正负整数或零。
xx,
2,n,xp,,n,0,,1,？ (3.2.6) xxL
2,n,y (3.2.7) p,,n,0,,1,？yyL
2,n,zp,,n,0,,1,？ (3.2.8) zzL
当L时，的本征值就变为连续谱。
p,p,p,,xyz
i,,p,r1,,,，，,r,e (3.2.9) p32L
LLL1,,,,222,由可求出归一化系数。
，，，，,r,rd,,dxdydz,1ppLLL,,,,3,,,L222二(角动量算符
:,::,,在直角坐标系下， 1.角动量算符L,r，p
,,ˆˆˆ lypzpiyz,,,,,,()xzy,,zy
,,ˆˆˆlzpxpizx,,,,,,() (3.2.10) yxz,,xz
,,ˆˆˆ lxpypixy,,,,,,()zyx,,yx2222 (3.2.11) L,L，L，LXYZ
222,r,x，y，z,,x,rsincos,,,,,122,,,y,rsinsin，，,tanx，y/z (3.2.12) ,,
,,,1z,rcos,，，,tany/x,,,,
2.在球坐标系中角动量算符
,,ˆlictg,,, (sincos) ,，,x,,,,
,,ˆlictg,,,(cossin) ,,,,y,,,,
,ˆ (3.2.14) li,,,z,,
2:，，1,,1,,,22, l,,,sin，,,,,22,,sin,,,sin,,,,,，，1. l 本征函数 z ˆ角动量算符的本征函数 lz
1im, ,,,e(m,0,,1,,2,？)()m2,
组成正交归一系:
2,*,,,,,,()()d, (7) ,,mmmm,0
2ˆ2. 本征值和本征函数: l
:222ˆl的本征值方程: ，，，，lY,,,,,,Y,,,
2222ˆˆ角动量平方算符l本征值为，角动量平方算符l属于本征值的本征函l(l，1),l(l，1),
mim,数为: YY,(,,),NP(cos,)elmlmlml
2l，1l,m!，，是归一化系数。
N,lm，，4,l，m!
2,,*Y,(,,)Y(,,,)sin,d,d,,,组成正交归一系: (8) ,,lmlmll,,00
2,,*Y,(,,)Y(,,,)sin,d,d,,,, (7)和(8)可合写为 (9) ,,,,lmlmllmm,,00
式中 l,0.1,2,？;m,0,,1,,2,？,,l。