16.3(3)分母有理化
《分母有理化》 讲义
《分母有理化》讲义一、什么是分母有理化在数学中，分母有理化是一种重要的运算技巧。
当我们面对一个分式，其中分母是含有根式的表达式时，通过一定的方法将分母中的根式去掉，把分母化为有理数，这个过程就叫做分母有理化。
比如说，对于分式\（＼frac{1}｛＼sqrt{2}｝＼），它的分母\（＼sqrt{2}＼）是一个无理数。
经过分母有理化后，我们可以将其化为\（＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），此时分母\（2\）就是一个有理数。
分母有理化的目的主要是为了简化计算和表达式，使得数学运算更加方便和清晰。
二、为什么要进行分母有理化分母有理化在数学中具有重要的意义和作用，主要体现在以下几个方面：1、简化运算当分式的分母中含有根式时，进行计算往往比较复杂。
通过分母有理化，可以将分母化为有理数，从而简化运算过程，提高计算的准确性和效率。
2、统一形式在数学问题中，为了便于比较和分析不同的表达式，常常需要将它们化为相同的形式。
分母有理化可以帮助我们将分式化为具有统一分母的形式，便于进行后续的运算和处理。
3、便于理解和分析有理化后的分母更容易被理解和直观地把握，有助于我们更深入地研究和分析数学问题。
三、分母有理化的基本方法分母有理化的方法主要有以下几种：1、乘法有理化对于形如\（＼frac{A}｛＼sqrt{B}｝＼）的分式，我们可以将分子分母同时乘以\（＼sqrt{B}＼），得到\（＼frac{A\sqrt{B}｝｛B}＼）。
例如，对于\（＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（＼sqrt{3}＼），得到\（＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼）。
2、平方差公式有理化当分母是形如\（a ＋＼sqrt{b}＼）或\（a ＼sqrt{b}＼）的式子时，我们可以利用平方差公式\（（a ＋ b)（a b) ＝ a^2 b^2\）来进行有理化。
例如，对于\（＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（2 ＼sqrt{3}＼），得到：＼＼begin{align}＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛（2 ＋＼sqrt{3}）（2 ＼sqrt{3}）｝＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛2^2 （＼sqrt{3}）＾2}＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛4 3}＼＼＆＝2 ＼sqrt{3}＼end{align}＼四、分母有理化的实例下面通过一些具体的例子来进一步理解分母有理化的过程和方法。
分母有理化的方法
分母有理化的方法在数学中，我们经常会遇到分母有理化的问题，也就是将分母中的无理数化为有理数的过程。
这在很多数学题目中都是一个常见的步骤，因此掌握好分母有理化的方法对于解题非常重要。
下面我们就来详细介绍一些分母有理化的方法。
一、有理化的基本原则。
在进行分母有理化的过程中，我们需要遵循一些基本原则。
首先，我们需要利用根式的性质进行变形，将分母中的无理数化为有理数。
其次，我们需要注意到有理化的方法不唯一，可以根据具体的题目情况选择不同的方法。
最后，我们需要在有理化的过程中保持等式的等价性，确保等式两边的值不变。
二、分母有理化的常见方法。
1. 有理化因式分解法。
有理化因式分解法是分母有理化的常见方法之一。
当分母中含有二次根式时，我们可以利用因式分解的方法将分母有理化。
例如，对于分母含有平方根的情况，我们可以将其乘以其共轭形式，得到一个有理数作为分母。
2. 有理化有理化因式分解法。
有理化有理化因式分解法是另一种常见的分母有理化方法。
当分母中含有三次根式或更高次的根式时，我们可以利用有理化因式分解法进行分母有理化。
这种方法需要我们将分母中的根式进行适当的变形，将其化为有理数。
3. 有理化有理化有理化因式分解法。
有理化有理化有理化因式分解法是针对更复杂的分母情况的一种分母有理化方法。
当分母中含有多个根式时，我们可以利用多次有理化因式分解的方法，逐步将分母化为有理数。
这种方法需要我们耐心地进行变形和化简，确保分母最终化为有理数。
三、分母有理化的实际应用。
分母有理化不仅仅是数学中的一个概念，它在实际问题中也有着重要的应用。
例如，在物理学中，当我们需要对某些物理量进行计算时，常常会遇到含有无理数的分母，这时我们就需要利用分母有理化的方法，将其化为有理数，从而方便我们进行计算和分析。
此外，在工程领域中，分母有理化的方法也经常被用到。
例如，在电路设计中，当我们需要对电路进行分析和计算时，会遇到一些复杂的分母，这时我们就需要运用分母有理化的方法，将其化为有理数，以便进行后续的工程设计和优化。
(附答案解析)人教版八年级数学下册16.3二次根式的加减(1))精选同步练习
16.3 二次根式的加减（1）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点１.同类二次根式(１)同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式．(２)同类二次根式的合并合并同类二次根式类似于合并同类项,就是将同类二次根式的“系数”合并 ,根指数与被开方数保持不变．２.二次根式的加减(１)二次根式的加减实质是合并同类二次根式,非同类二次根式不能合并．(２)二次根式加减法的一般步骤: ①先把各根式化成最简二次根式; ②找出其中的同类二次根式; ③合并同类二次根式．3. 比较二次根式大小时,可将根号外的非负数(或式子) 移到根号内．基础知识和能力拓展训练一、选择题1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )A. 6和32B. a和2aC. 12和13D. 3和92．下列二次根式中，不能与2合并的是（）A. 12B. 8C. 12D. 183．已知二次根式24a 与2是同类二次根式，则a的值可以是（）A. 5B. 3C. 7D. 84．下列运算正确的是（）A. （﹣a2）3=a6B. （a+b）2=a2+b2C. 8﹣2=2D. 55﹣5=4 5．已知等腰三角形的两边长为23和52，则此等腰三角形的周长为（）A. 43+52B. 23+102C. 43+102D. 43+52或23+102 6．计算|2﹣5|+|4﹣5|的值是（）A. ﹣2B. 2C. 25﹣6D. 6﹣257．计算：32﹣8的结果是（）A. 30B. 2C. 22D. 2.88．实数的值在( )A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间 D . 3和4之间9．设a＝6－2，b＝3－1，c＝231，则a，b，c之间的大小关系是( )A. c＞b＞aB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. a＞b＞c10．设的小数部分为，则的值是（）A. B. 是一个无理数C. D. 无法确定二、填空题11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a ＝______，b ＝___________．12．若最简二次根式1x +与22x -能合并为一个二次根式，则x =_______。
16.3二次根式的加减课件+2023-—2024学年人教版数学八年级下册
同类项合并就是字母不变，系数相加减。
新课学习
二次根式的加减
7.5dm
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，
能否采用如图的方式，在这块木板
5dm
上截出两个分别是8dm2和18dm2的
dm
dm
正方形木板？
( + )dm
问题转化为比较7.5dm与( + )dm的大小。
新课学习
( + )
复习导入
2、把下列各根式化简
(1) 12
2
3
1
(5)
2
2
2
(2) 48
4
3
(6) 32
4
2
(3) 18
3
2
(4) 50
5
2
1
(7) 45 (8) 1
3
3
5
2
3
3
导入新课
计算下列各式：
（1）2x+3x
5x
（2）2x5-5x5+5x5
2x5
（3）3x+2x+3y
5x+3y
（4）3a2-2a2+a3
a2+a3
先化为最简二次根式
把同类二次根式合并。
二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的
运算实质也基本相同。
拓展提升
1.解下列方程和不等式．
（1）
x+
−
=2x+1
+
（2） （x-1）＞3（x+1）
分析：（1）先将分母有理化，再解方程即可解答本题；
（2）根据解不等式的步骤进行解答即可，注意不等号的方向。
16.3(4)二次根式的分母有理化
16.3（4）二次根式的分母有理化一、学习目标：1、理解有理化因式的概念，明白如何寻找有理化因式。
2、会对二次根式进行分母有理化3、初步掌握二次根式的加减乘除混合运算。
二、重、难点：重点：二次根式的混合运算。
难点：有理化因式的确定及分母有理化。
三、学习过程：1、引入 化简：______31= 探索：______231=- 分析：23）（可以化为有理数3，______231=-，此式中3、2两项均需平方，23）（、22）（才能去掉根号。
2、探索 平方差公式和完全平方公式都可以出现3、2的平方，是否都正确？学生可实验，找两个同学板书（仅板书两个整式公式)23)(23(+-，2)23(-）3、小结，正确的应该是平方差因式。
引出定义：两个含有二次根式的非零代数 式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。
4、学生举例：5、既然知道有理化的因式，那么怎样进行分母有理化呢？ 教师板书231-的化简过程6、学生练习 例题9、把下列各式分母有理化：（1）133+ （2）23341+小结：寻找合适的有理数因式，中间不要跳步，刚开始学习需步骤充分。
（多媒体投影）7、含字母的二次根式的分母有理化（3）)(n m n m nm ≠+- 学生板书 一个分母有理化，一个因式分解的约分 n m ≠条件的含义8、小结分母有理化分母的类型（1）一个二次根式，单项式的形式------有理化因式为本身（2）二次根式的和差，多项式的形式------有理化因式为平方差因式9、写出下列式子的有理化因式b a b a --+-,,7523,23,310、二次根式的混合运算运算顺序，运算法则，运算律 例题：154510-- 2)(b a a b + 一生叙述，教师板书 11、学生练习： 132231--+ 小结：注意有理化因式，括号和符号12、代入求值：已知121-=x ，求222+-x x常规思路，通法：x ，及代数式各自化简，然后带入求值。
16.3.分母有理化(2)
(7)2 3 8 11
3 4 11 (默2)
(8)a x a ( x a)
a x a
2 2
(默2)
例
将下列各式分母有理化因式
(默3)
3 1 m -n （ 1 ） （） 2 （） 3 (m ¹ n) 3+ 1 4 3+ 3 2 m+ n
3- 3 3 3 ?( 3 - 1) = (1) = 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 - 1) 解： 2 1 4 3- 3 2 4 3- 3 2 （） 2 = = 2 2 4 3+ 3 2 (4 3) - (3 2) 30
平方差公式
2 2
（ a-
2 2( a + b ) 2( a + b ) = = a- b a - b ( a - b )( a + b )
（ a-
b ） （ ? a
2 2 b ） =（ a ） -（ b ） = a- b
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积 不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理 化因式 (默1)
a b 2、a b的有理化因式为 _____________ ；
3、a n b的有理化因式为 _____________ ； an b
a b 4、 a b的有理化因式为 _____________ ；
3 3
5、m a n b的有理化因式为 _____________ m a n b ；
b a b a (3) a b a b .
4.
我们把上面的过程叫做分母有理化，如果分母是 一个正实数的算术根只要分子，分母同时乘上这 个二次根式即可，如果是一个二项式只要乘上一 个二项式使分母变成平方差即可。
分母有理化
龙文教育个性化辅导授课案教师： 学生 时间：2014年 月 日 段课 题考点分析重点难点授课内容： 分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a b +与a b -，a b a b +-与，a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
4.方法集锦：一. 常规基本法例1. 化简解：原式评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。
二. 分解约简法例2. 化简解：原式评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。
例3. 化简解：原式评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘以；若分两种情况讨论又比较繁琐。
注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。
例4. 化简解：评注：注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简。
例5. 化简.解：原式评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。
三. 巧用通分法例6. 化简解：原式评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。
四. 裂项约简法例7. 化简解：原式评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。
例8. 化简解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。
分母有理化知识点总结
分母有理化知识点总结首先，我们来介绍一下有理化学的基本概念。
有理化学是一种通过变换和化简来消除不合适数形式的化学运算法则。
在化学中，我们常常会遇到一些不方便进行计算的式子，比如分母中含有开根号的式子、含有复数的式子等等。
有理化学就是通过一些变换和化简的方法，将这些不方便计算的式子化为符合我们计算需要的形式，从而更方便进行计算和分析。
接下来，我们来总结一下分母有理化的知识点。
分母有理化主要包括以下几个方面的内容：1. 分母有理化的基本理论：分母有理化主要是通过变换和化简的方法，将不合适的数形式化为合适的数形式。
要实现分母有理化，首先要了解和掌握有理函数的概念和特点，理解和掌握有理函数的基本性质，掌握分式的乘除、加减的基本运算法则以及有理函数的相加减思想等基础知识。
2. 分母有理化的基本方法：分母有理化主要包括几种基本的方法，比如分子除法法、最小公倍数法、分解因式法等。
要实现分母有理化，首先要根据式子的形式和特点选择合适的有理化方法，然后通过具体的变换和化简步骤进行分母有理化。
3. 分母有理化的具体案例：分母有理化主要包括一些具体的案例，比如分母含有平方根的式子、含有复数的式子、含有多项式的式子等等。
要实现分母有理化，首先要根据具体的案例选择合适的有理化方法，然后通过具体的变换和化简步骤进行分母有理化。
接下来，我们来提供一些学习分母有理化的方法和技巧。
1. 理清概念，掌握基础：要学习分母有理化，首先要理清分母有理化的基本概念，了解有理函数的概念和特点，熟练掌握有理函数的基本性质，熟练掌握分式的乘除、加减的基本运算法则以及有理函数的相加减思想等基础知识。
2. 理解方法，掌握技巧：要学习分母有理化，需要理解和掌握分母有理化的基本方法，比如分子除法法、最小公倍数法、分解因式法等。
要根据式子的形式和特点选择合适的有理化方法，然后通过具体的变换和化简步骤进行分母有理化。
3. 多练习，善总结：学习分母有理化，需要多进行一些分母有理化的练习，通过练习可以加深对分母有理化的理解和掌握，并且可以总结一些分母有理化的常见规律和技巧，从而更好地应用和运用这些规律和技巧。
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例题1 计算
(1) 2 12 (2)a a b (a b 0) (3) a b 2a 2b
2 2
例题2 面积为2a的正方形ABCD
3 a 中,截得Rt ABE的面积为 3
求EC的长.
A
D
B
E
C
例题3 解下列方程和不等式
(1) 3(1 2 2) x 2 2 (2)3 5 x 6 3 7 5 x
3b 3a 2 3a
3b 3a 6a
b 3a 2a
分母有理化后,别忘了结果要化简!
练习1 把下列各式分母有理化
a 1 (2) a2
a4 (3) a 2
a2 (a 1)
53 2 (4) 53 2
解:原式=
(a 1) a 2 a2 a2 a2
分母有理化时 原式中的分子和分母有时需要添括号!
4)
3 5 7 1 a 已知：a ,求 . 1 a 3 5 7
5)
已知 : x 2 2
2
1
, y 2 3
1
求[a 1 b 1 ]
1 2 2
如何计算
2a 3b
?
方法1 解 由题可知 3b>0 原式=
2a 3b
方法2 解 原式=
2a 3b
2a 3bb
6ab 3b
6ab 3b
把分母中的根号化去,叫做分母有理化.
方法:
把分子与分母乘以适当的代数式,
使分母不含根号.
分母有理化的关键是: 分子和分母同乘以乘以适当的代数式 3b 练习1 把下列各式分母有理化 (1) 12a 解： 3a 3b 3b 3b 3b 2 3a 3a 4 3a 2 3a 12a
(3) 8x 4 3 2 3x
1) 已知：x 1
3 3
2
5 3,
1 y 2
5 3
求x y 的值.
2）化简：
1 6 x 4 x 4 x 1 x 10x 25 x 5 2
2 2
3)
2 1 已知实数 的整数部分 2 1 为a，小数部分为 b，求 ab 的值. a b