新人教版八年级数学拔尖测试

期末选优拔尖自测卷 （120分,100分钟）一、选择题（每题3分，共24分） 1.下列运算正确的是（ ） A ．b a ba+=+211 B ．a ÷b ×b1=a C ．1-=--xy y x D ．3131-=-2.若等腰三角形有两条边的长分别是3和1，则此等腰三角形的周长是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．63.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如c b a ++就是完全对称式．下列四个代数式：①abc ；②ca bc ab ++；③a c c b b a 222++；④()2b a -．其中是完全对称式的是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．②③ D ．①②③4.若022=-+x x ,则2012223+-+x x x 的值是（ ）A ．2014B ．2013C ． 2014-D ．2013- 5.若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.〈湖北仙桃〉如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，BC =6 cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为( )A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm图1 图2 图37.如图2所示，在直角三角形ABC 中，已知∠ACB ＝90°，点E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，DE 交AC 的延长线于点D 、交BC 于点F ，若∠D ＝30°，EF ＝2，则DF 的长是（ ）A.5B.4C.3D.28.如图3所示，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下四个结论：①△ACD ≌△BCE ；②AD =BE ；③∠AOB =60°；④△CPQ 是等边三角形．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．①③④D ．①②③ 二、填空题（每题3分，共24分） 9.因式分解：a a a 9623+- =___________．10.计算：()()201411212014--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- =___________．11.按图4所示程序计算：图4请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简：_________．12.如图5，将△ABC 纸片沿DE 折叠，图中实 线围成的图形面积与原三角形面积之比为2∶3，若图中实线围成的阴影部分面积为2，则 图5 重叠部分的面积为__________.13.〈辽宁沈阳〉已知等边三角形ABC 的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P ，若点P 到AB 的距离是1，点P 到AC 的距离是2，则点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是__________．14.在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，3），若△ABC 的面积为6，且点C 在坐标轴上，则符合条件的点C 的坐标为___________． 15.如图6所示，在平面直角坐标系中，点A (2，2)关于y 轴的对称点为B ，点C ()42--，关于y 轴的对称点为D ．把一条长为2 014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A →B →C →D →A →…的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是__________．图6 图716.如图7的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若A P P P P P P P AP 14141332211===== ，则∠A 的度数是________．三、解答题（17、18题每题5分，23、25题每题9分，24题8分，26题12分，其余每题6分，共72分）17.如图8均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在两个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．图818.如图9，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD ⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．图919.在解题目：“当a =2 014时，求代数式1211342+-⎪⎭⎫⎝⎛--⋅--a a a a 的值”时，小明认为a 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同的结果，你认为他说的有道理吗？请说明理由．20.已知M =941012422+++-y y xy x ，当式中的x 、y 各取何值时，M 的值最小？求此最小值.21.是否存在实数x ，使分式63104-+x x 的值比分式245--x x 的值大1？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由.22.如图10所示，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，BE 平分∠ABC ，且点E 是AD 的中点，试探求AB 、CD 与BC 的数量关系，并说明你的理由.图1023.如图11，某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60°方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30°方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30°方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里（1）判断△BCD的形状；.图11（2）求该船从A处航行至D处所用的时间；（3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，观测灯塔B，灯塔B 在什么方向上？24.某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为300 m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设路面的长度；(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25 000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．25.如图12所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．图12 （1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD 与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？26.数学课上，老师出示了如下框中的题目，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图13，试确定线段AE与DB的数量关图13系，并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图14（1），确定线段AE与DB的数量关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”）．图14 （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的数量关系是：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”），理由如下：如图14（2），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．（请你直接写出结果）参考答案及点拨 期末选优拔尖自测卷一、1.C 点拨：因为ab b a ba+=+11，所以A 错误；因为a ÷b ×b1=a ×b 1×b 1=2b a，所以Ｂ错误；因为1-=---=--y x y x x y y x ，所以C 正确；因为3131=-，所以D 错误．应选C ． 2.B 点拨：分底边长为3和底边长为1两种情况讨论．（1）若底边长为1，则这个等腰三角形的周长为7；（2）若底边长为3，这个等腰三角形不存在．故选B ．3.A 点拨：根据完全对称式的定义可知abc 、ca bc ab ++、()2b a -是完全对称式，而a c c b b a 222++不是完全对称式，应选A ．解答本题的关键是按照新定义，将四个代数式进行变换，然后对照确定正确选项．4.A 点拨：方法1:由022=-+x x 得22=+x x ， 所以原式()222201222012x x x x x x x x =++-+=+-+ 2201222012x x =++=+.2014=方法2：由022=-+x x 得x x -=22，22=+x x ,所以原式()201420122201220122222=+=++=+-+-=x x x x x x . 5.D 点拨：原式()121121-+=-+-=n n n ，要使11-+n n 为整数，则12-n 必须为整数，因此21=-n 或2-或1或1-，解得3=n 或1-或2或0；因此整数n 的值有4个， 应选D ．6.C 点拨：如答图1，连接MA 、NA .∵AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，∴BM =AM ，CN =AN ，∴∠MAB =∠B ，∠CAN =∠C ，∵∠BAC =120°，AB =AC ，∴∠B =∠C =30°，∴∠BAM =∠CAN =30°，∴∠AMN =∠ANM = 60°，∴△AMN 是等边三角形，∴AM =AN =MN ，∴BM=MN =NC ，∴MN =31BC =2 cm ，故选C ．答图17.B 点拨：在Rt △AED 中，因为∠D ＝30°，所以∠DAE ＝60°；在Rt △ABC 中，因为∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，所以∠B ＝30°；在Rt △BEF 中，因为∠B ＝30°，EF ＝2，所以BF ＝4；连接AF ，因为DE 是AB 的垂直平分线，所以F A ＝FB ＝４，∠F AB ＝∠B ＝30°；因为∠BAC ＝60°，所以∠DAF ＝30°，因为∠D ＝30°，所以∠DAF ＝∠D ， 所以DF ＝AF ＝４.故应选B. 8. A 点拨：由正△ABC 和正△CDE ，可知AC =BC ，∠ACB = ∠DCE =60°，CD =CE ，所以∠ACD =∠BCE ，所以△ACD ≌△BCE ，从而AD =BE ，∠CAD =∠CBE ；在△ACP 和△BPO 中，因为∠APC =∠BPO ，∠CAD =∠CBE ，所以由三角形内角和定理可得∠AOB = ∠ACB ＝60°；由条件可证△PCD ≌△QCE ，所以PC ＝QC ，又∠PCQ ＝60°，所以△CPQ 是等边三角形．应选A ．二、9. ()23-a a 点拨：原式()()22396-=+-=a a a a a ．因式分解时，首先考虑提取公因式，再考虑运用乘法公式分解，同时注意要分解到不能分解为止．10. 2 点拨：原式2121=-+=．在无括号的实数混合运算中，先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算．11.()222=-÷+a a a a 点拨：由流程图可得()2222=-+=-÷+a a a a a a ． 12. 2 点拨：设重叠部分的面积为x , 则实线围成的图形面积为2+x ，三角形ABC 面积为2+2x ．由题意得()x x 22322+=+，解得x =2． 13. 1和7 点拨：点P 可在三角形内和三角形外，需要分情况求解．设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为321h h h 、、，△ABC 的高为h ．（1）当点P 在等边三角形ABC 内时：连接P A 、PB 、PC ，利用面积公式可得h h h h =++321，则13=h ，所以点P 到BC 的最小距离是1；（2）当点P 在等边三角形ABC 外时（只考虑P 离BC 最远时的情况）：同理可得321h h h h =++，此时73=h .综上可知，点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是1和7.14.（0,2-）、（0,6）、（3,0-）、（9,0）点拨：分点C 在x 轴上和点C 在y 轴上两种情况讨论，可得符合条件的点C 的坐标．（1）当点C 在x轴上时，设点C 的坐标为(0，x )，则63221=⨯-x ，解得x =6或2-，因此点C 的坐标为（0,2-）、（0,6）；（2）当点C 在y 轴上时，设点C 的坐标为(0，y )，则62321=⨯-y ，解得y =3-或9，因此点C 的坐标为（3,0-）、（9,0）；综上得点C 的坐标为（0,2-）、（0,6）、（3,0-）、（9,0）. 15.（4,2-） 点拨：因为A (2，2)关于y 轴的对称点为B ，所以点B 的坐标为（2,2-）；因为C （4,2--）关于y 轴的对称点为D ，所以点D 的坐标为（4,2-），所以四边形ABCD 的周长为20，因为2 014÷20=100……14，说明细线绕了100圈，回到A 点后又继续绕了14个单位长度，故细线另一端到达点的坐标为（4,2-）.本题利用周期的规律求解，因此求得细线绕四边形ABCD 一圈的长度是解题的关键. 16. 12° 点拨：设∠A =x ，∵A P P P P P P P AP 14141332211===== ， ∴∠A =∠12P AP =∠1413P AP =x ，∴∠312P P P =∠121413P P P =2x ， ∴∠423P P P =∠111312P P P =3x ，…，∠867P P P =∠798P P P =7x ， ∴∠87P AP =7x ，∠78P AP =7x ，在△87P AP 中，∠A +∠87P AP +∠78P AP =180°，即x +7x +7x =180°， 解得x =12°，即∠A =12°．三、17. 解：如答图2所示，画出其中任意两个即可．答图2点拨：对称轴可以是过正方形对边中点的直线，也可以是正方形对角线所在的直线．本题可以通过折叠操作找到对称轴，从而确定轴对称图形．18. 解：∵∠A =40°，∠B =76°，∴∠ACB = 647640180=--， ∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE =∠BCE =32°，∴∠CED =∠A +∠ACE =40°+32°=72°，∵DF ⊥CE ，CD ⊥AB ，∴∠CFD =∠CDE =90°， ∴∠CDF +∠ECD =∠ECD +∠CED =90°，∴∠CDF =∠CED =72°． 19. 解：小明说的有道理．理由：()().3121233221211342=+-+=+---⋅--+=+-⎪⎭⎫⎝⎛--⋅--a a a a a a a a a a a a 所以只要使原式有意义，无论a 取何值，原式的值都相同，为常数3． 20. 解：M ()()5232544912422222+++-=+++++-=y y x y y y xy x ， 因为()232y x -≥0，()22+y ≥0，所以当032=-y x 且02=+y ，即3-=x 且2-=y 时，M 的值最小，最小值为5.21. 解：不存在. 理由：若存在，则124563104=----+x x x x . 方程两边同乘()23-x ，得()()23453104-=--+x x x ， 解这个方程，得2=x .检验：当2=x 时，()023=-x ，原方程无解． 所以，不存在实数x 使分式63104-+x x 的值比分式245--x x 的值大1． 点拨：先假设存在，得到分式方程，再解分式方程，由分式方程的结果可说明理由. 22. 解：AB +CD =BC .理由：如答图3，过点E 作EF ⊥BC 于点F . 因为AB ∥DC ，AD ⊥CD ， 所以AD ⊥AB .因为BE 平分∠ABC ，所以EA=EF .在Rt △ABE 和Rt △FBE 中，因为EA =EF ，BE =BE ， 所以Rt △ABE ≌Rt △FBE . 所以AB =BF .因为E 是AD 的中点，所以AE =ED ，所以ED =EF .在Rt△EDC和Rt△EFC中，因为ED=EF，EC=EC，所以Rt△EDC≌Rt△EFC.所以DC=FC.所以AB+DC=BF+CF=BC，即AB+CD=BC.答图323. 解：（1）由题意得：∠BCD=∠BDC=60°，∴∠CBD=60°. ∴△BCD是等边三角形.（2）由题意得：∠BAC=30°，∠ACB=120°，∴∠ABC=∠BAC=30°，∴AC=BC= BD=60海里，∴AD= AC+ CD=60+60=120（海里），∴t=120÷15=8（小时）.∴该船从A处航行至D处所用的时间为8小时.（3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，连接BE.此时AE=15×6=90（海里），∴CE=90-60=30（海里）.∴CE=DE=30海里.∵△BCD是等边三角形，∴BE是CD的垂直平分线.∴灯塔B在该船的正北方向上.24. 解：(1)设原计划每天铺设路面的长度为x m．根据题意得()30201120300120=+-+x x．解之得x ＝9． 经检验：x ＝9是原方程的根,且符合题意． 答：原计划每天铺设路面的长度为9 m ． (2) 所准备的流动资金够支付工人工资． 理由：共支付工人工资为+⨯6009120()()=+=⨯+⨯⨯+-1300080006003019201120300 21000(元) ． 因为21000＜25000，所以所准备的流动资金够支付工人工资． 25. 解：（1）①因为t =3秒， 所以BP =CQ =1×3=3(厘米)，因为AB =10厘米，点D 为AB 的中点， 所以BD =5厘米．又因为PC =BP BC -，BC =8厘米， 所以PC =538=-(厘米)， 所以PC =BD ．因为AB =AC ，所以∠B ＝∠C ， 所以△BPD ≌△CQP ． ②因为P v ≠Q v ，所以BP ≠CQ ，当△BPD ≌△CPQ 时，因为∠B ＝∠C ，AB =10厘米，BC =8厘米， 所以BP =PC =4厘米,CQ =BD =5厘米， 所以点P ，点Q 运动的时间为4秒，所以45=Q v 厘米/秒，即当点Q 的运动速度为45厘米/秒时，能够使△BPD 与△CQP 全等.（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得10245⨯+=x x ， 解得80=x ．所以点P 共运动了80厘米．因为80=2×28+24，所以点P 、Q 在AB 边上相遇， 所以经过80秒点P 与点Q 第一次在△ABC 的边AB 上相遇. 26. 解：（1）＝ （2）＝；在等边三角形ABC 中，∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，AB =BC =AC ， 因为EF ∥BC ，所以∠AEF =∠AFE =60°=∠BAC ． 所以△AEF 是等边三角形， 所以AE =AF =EF ，所以AF AC AE AB -=-，即BE =CF . 因为ED =EC ， 所以∠EDB =∠ECB ，又因为∠ABC =∠EDB +∠BED =60°, ∠ACB =∠ECB +∠FCE =60°, 所以∠BED =∠FCE ， 所以△DBE ≌△EFC ， 所以DB =EF ， 所以AE =DB .(3)1或3.点拨：(1)利用等边三角形三线合一知，∠ECB=30°，又ED=EC，则∠D=30°，所以∠DEC=120°，则∠DEB=30°=∠D,所以DB＝EB＝AE；(2)先证△AEF为等边三角形，再证△EFC≌△DBE，可得AE=DB；(3)当E 在射线AB上时，如答图4（1），AB＝BC＝EB＝1，∠EBC＝120°，所以∠BCE＝30°，因为ED＝EC，所以∠D＝30°，则∠DEB＝90°，所以DB＝2EB＝2，所以CD＝2+1＝3；当E在射线BA上时，如答图4（2），过点E作EF⊥BD于点F，则1BE＝1.5,∠BEF＝30°，所以BF＝2所以CF＝0.5，因为EC＝ED，EF⊥CD，所以CD＝2CF＝1.综上，CD的长为1或3．答图4。