含根式函数值域的求法
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
巧用三角换元法解含根式的函数值域题
ö ø
≤
1
，
∴ f (x) = x +
1 - x2的值域 为 éêë
2 2
，1ùú û
.
解答形如 f (x) = kx + a - bx2 的函数值域问题，需首
先设 x =
a b
cos2
θ
,将原函数化为
y
=
k
a b
cos
θ
+
a sin θ
的形式，然后利用辅助角公式将三角函数式化简，再
根据三角函数的有界性来求得函数的值域.
sin
α2∙2
sin
β 2
+
2
cos
α2∙2
cos
β 2
= 2 cos （α2 - 2β） ≤ 2 ，
(x - z)(y - z) + (x + z)(y + z)
即
xy
≤2.
该函数式较为复杂，需首先将不等式进行变形，
然后令
z x
= cos α,
z y
= cos β
，通过三角换元，将问题转
化为三角函数最值问题，通过三角恒等变换将三角函
例 2.试求 f (x) = x - 4 + 15 - 3x 的值域.
解：设 x = 4 + cos2θ(0 ≤ θ ≤ π) ，
∴原函数为 y = 4 + cos2θ - 4 + 15 - 3(4 + cos2θ)
=
cos2θ +
3 sin2θ = cos θ +
3 sin
θ
=
2
sinæè
θ
+
几类根式函数的值域(或最值)求法
— 二＝ —— ＿ ＝＝＝ 的函数的值域 均可用分子 ） （ 或分母 ） 有理化化简后再 结合函数单调性求
得．
＿ ） ＝２为常数 ， 『 可考 虑用分 子有理 化
达 到 目的．
Ｙ ＝ ｘ七１ 一 ２
一
二 、 元 法 换
ｘ一 １
例 ２ 求下列函数的值域 ： （ ） ＋１一 ／ １，＝ ｘ一１ ；
到 目的 ；
、
分子 、 母 有 理 化 法 分
例 １ 求函数ｙ＝
一 ＿＿的值 战 Ｉ ＿
③ 求形如 Ｙ＝
／ ｘ＋ａ 一 ／ ｘ＋ｂ
＋ｎ一
＋ｂ 或 Ｙ＝ （
分析 直接求解 比较困难 ， 用导数法 求
解 又 比 较 麻 烦． 注 意 到 （ ＋１ 一 ）
高中数学教 与学
２１ ０１置
几类稂式函数硇值域 （ 或最值 ） 求法
王 亚
（ 湖北 省孝感 高级 中学 ， ２０ ） ４ １０ ３
函数的值域 （ 或最值 ）是高考 常考题型 ， 在最 近几年高考试题 中经常 涉及到求 根式 函 数的值域 （ 或最值 ）问题． 本文就 考试 中常 出
４Ｒ ・
一
解 为 圆 程 化 詈＋ １ 因 椭 方 可 为 等＝，
所 以可设椭 圆上任一点 Ｍ的坐标为 （ ｏ ， √ ｃｓ ｓ ） 其中 ∈ ［ ，￣） 代人直线 方程 ， ｉ ｎ妒 ， ０２ｒ ．
．
１≤ｓ （ ＋ ≤ １ ｉ ） ｎ 即可 ， 即
＋４ ｏ ｃｓ０≥
２ 从而推出 ｃｓ０≥ ｉ ． ， ｏ １ 答案为 Ｃ ．
Ｈ Ⅱ ／ ２＋４ ｏ。 ｓ （ ＋ ｃ ｓ ｉ ）＝２ Ｏｎ ，
（ ０ 寻或 ｐ ｃ ≤ ≤ ≤ ≤ ）
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
例谈含二次根式的函数值域的常用求法
例谈含二次根式的函数值域的常用求法含二次根式的函数值域的求法可以通过以下几种常用方法来进行。
首先，我们需要明确值域的定义：对于函数$y=f(x)$，值域是指$y$的所有可能值的集合。
1.图像法：对于二次根式函数，可以先绘制函数的图像，通过观察图像来判断值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x}$，当$x$取非负的实数时，$y$有意义，所以值域为非负的实数集合，即$[0,+\infty)$。
类似地，对于函数$y=\sqrt{a-x}$，可以通过绘制图像，观察$x$的取值范围，以及函数图像的上下界来确定值域的范围。
2.代数法：通过代数方法来求解函数的值域，主要利用一些基本的代数性质和不等式。
a) 对于含有单个二次根式的函数，可以利用平方的性质，将根号去掉，然后再进行值域的判断。
例如，对于函数$y=\sqrt{ax+b}$，可以通过平方等式$x=ky^2+m$来求解。
首先令$y=kx+m$，然后进行平方运算得到$x=k(y-m)^2$。
通过观察得到，当$k>0$时，函数的值域为$(m,+\infty)$；当$k<0$时，函数的值域为$(-\infty,m)$。
b) 对于含有多个二次根式的复合函数，可以通过合并根号，并运用不等式来求解值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}+\sqrt{9-x}$，可以合并根号并利用不等式$x^2-4\geq 0$以及$9-x\geq 0$。
然后再利用不等式来求解函数的值域。
3.求解不等式：对于含有二次根式的函数，可以通过求解不等式来确定函数的值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}$，可令$y\geq 0$，然后通过求解$x^2-4\geq 0$来确定$x$的范围。
根据不等式的求解，可以得到$x\leq -2$或$x\geq 2$。
所以该函数的值域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。
综上所述，含二次根式的函数值域的常用求法有图像法、代数法和求解不等式。
例谈含根式函数值域的求解方法
例谈含根式函数值域的求解方法作者：葛云云来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第01期求函数值域是高考的重点及热点，很多问题最后都转化为求函數的值域得以解决。
其中求含根式的函数值域是特殊的一个类型，平常大家碰到的频率也较高，其求解思路多样，方法多变，下面对这一类问题的几种求解策略进行举例分析。
一、函数单调法例1 求函数的值域。
解：函数的定义域为，由复合函数的单调性可知，在定义域内是单调递减的，所以函数在定义域内是单调递增的，故其值域为。
启示：利用函数单调性求解函数问题是最常用的方法，解题时可预先判断函数的单调性，充分抓住函数的相关性质。
二、换元法例2 求函数的值域。
解：该题与例1相差一个符号，若利用单调性求其值域，会发现在定义域内，为单调递减，故函数整体的单调性不显著。
此时，可采取换元法，令t=则，所以该函数为开门向上的抛物线一部分，最小值取在对称轴t=l处，故其值域为[-1，+∞）。
启示：换元法可将含根式函数变为初等函数，而初等函数值域的求解一般较为简单，需要注意的是换元后的新函数定义域发生了变化。
三、平方法例3 求函数y=的值域。
解：先找到函数的定义域为[-1，1]，将函数两边进行平方，可得万，发现∈[O，1]，因此y2∈[2，3]，最后得到函数的值域为。
启示：该种方法适用于两个根式内x项的系数恰好互为相反数的情况，因其平方后，平方项的和可变为常数。
此外，变量x便集中在一个根式内，可有效降低分析难度，利于值域的顺利求解。
四、导数法例4 求函数y=的值域。
解：该题和例3也相差不大，为两个根式相加，若采用平方法，变量x还是没能全部集中于根号内，不利于求解值域。
此外，其单调性也不直观，可采用导数法。
函数的定义域为，对函数求导得得x∈（1/4，1]，此时函数在该区域内递减，同理可得函数在上递增。
故其值域为启示：利用导数寻找函数的单调性·通过单调性得到值域。
这种方法应该是求函数值域时万能的方法，一般川在函数较为复杂或者其单调性不显著时。
含根式函数值域的求法之欧阳术创编
含根式函数值域的几何求法时间：2021.02.02创作：欧阳术函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。
其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。
例1 求函数312+-+=x x y 的最小值.解：由03≥+x 得：3-≥x .令⎩⎨⎧≥+=-≥+=)0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v则点()v u ,在)5(212+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y u v u v )5(212，消去u 整理得：0522=---y v v ，由△=0，图1即：0)5(24)1(2=--⨯⨯--y 解得：=y 841-.∴ 原函数的最小值为841-.评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。
因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。
例2 求函数131-++-=x x y 的值域.分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。
解：由⎩⎨⎧≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x .令⎩⎨⎧≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v xv u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵22,2==OB OA ∴1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。
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含根式函数值域的几何求法
函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。
其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。
例1 求函数312+-+=x x y 的最小值.
解：由03≥+x 得：3-≥x .
令⎩⎨⎧≥+=-≥+=)
0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2
12+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y
u v u v )5(212， 消去u 整理得：
0522=---y v v ，由△=0，
即：0)5(24)1(2=--⨯⨯--y 解得：=y 8
41-. ∴ 原函数的最小值为841-
. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。
因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。
图1
例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。
解：由⎩⎨⎧≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令⎩⎨⎧≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u
则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上，
如图2，显然OB y OA ≤+≤1
又 ∵ 22,2==OB OA
∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。
例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值.
分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为：
y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。
解：
106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x
设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化
为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的
距离之和最小。
如图3，易求得点A 关于x 轴
的对称点A / 的坐标为（0, －2），则：
B A BP P A BP AP //=+=+即为最小.
∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y .
评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重
要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易 图2
图3
图4 u
求解，而复数法实质上就是上述解法的另一种形式，可见，利用数形结合求解含根式函数的值域，不但简化了解题过程，而且在思维上提高了认识，对培养学生的创造力具有重要的意义。
例4 求函数2214401016x x x x y -+--+=的值域. 解：由2214401016x x x x y -+--+=得：
)
2(]5)2[(9)5(9222--------=x x x x y . 我们可以看到上式的右边表示过函数2)5(9--=x u 上自变量x 相差2的任意两点的直线的斜率，如图4，
∴ AB CD k y k ≤≤2 ∵ B ，C 两点的坐标分别为()()
22,6,22,4
∴ 2,2=-=AB CD k k
∴ 222≤≤-y 即：2222≤≤-y . ∴ 原函数的值域为[]
22,22-.
例5 求函数113632424+--+--=x x x x x y 的最大值.
解：由已知函数得：222222)0()1()3()2(-+---+-=x x x x y
上式可看作抛物线2v u =上的点P 到点A （3，2），B （0，1）距离之差的最大值，如图5.
由AB PB PA ≤-可知：当点P 在AB
的延长线上的P / 处时，y 取最大值AB .
∴ 10)12()03(22max =-+-=y .
例6 求函数7)2(4222+---=x x y 的值域. 图5
解：令⎩⎨⎧≤≤--=≤≤=)20()2(4)40(2v x v u x u ， 消去x 整理得：4)2(22=+-v u ，
则2222)2(2722)2(2722-++-⋅
-+=+-=v u v u y ， 其中22)2(27
22-++-v u 是半园A ：4)2(22=+-v u （20≤≤v ）上点到直线l ：0722=+-v u 的
距离，如图6，从圆心A 作AC ⊥l 于C 交半园A 于E ，BD ⊥l 于D ，则BD v u CE ≤-++-≤22)2(27
22
∵ 22211
2-=
-=AC CE ， 2215
=BD
∴ BD y CE ⋅-+≤≤⋅-+2222)2(2)2(2
∴ 152411≤≤-y 即为所求函数的值域.
例7 求函数2
212+-=x x y 的最大值. 分析：把原函数化为)
2(0212----=x x y 时，我们就容易联想到两点的斜率公式。
解：由⎩⎨⎧≠+≥-0
20212x x 解得：2222≤≤-x . .
令⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=)10(21)2222(2v x v u x u ，
消去x 整理得：1222=+v u ，
图6
则2212+-=x x y )
2(0212----=x x . 其中)
2(0212----x x 可看作是椭圆弧1222=+v u )2222(≤≤-u 上点P 与点Q （－2，0）连线的斜率k ，如图7易知：当直线过点Q 且与椭圆弧相切时，其斜率取最大值。
联立方程组⎩⎨⎧+==+)
2(1222u k v v u ，消去v 化简整理得：
0144)2(2222=-+++k u k u k ，
由△=0，即：
0)14()2(4)4(2222=-⨯+⨯-k k k
解得：=k 714或=k －7
14（舍去）. ∴ 原函数的最大值为
714.
图7。